AMII, am2.10


Zamiana zmiennych w całce podwójnej

Def. Obszar regularny

Obszarem regularnym na płaszczyźnie nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi 0x lub 0y) o parami rozłącznych wnętrzach.

TW:

Jeżeli obszar regularny D jest sumą obszarów normalnych D1, D2 o rozłącznych wnętrzach, 0x01 graphic
, funkcja f jest ciągła na D, to

0x01 graphic
.

MACIERZ JACOBIEGO, JAKOBIAN

Rozważmy funkcje 0x01 graphic
klasy 0x01 graphic
0x01 graphic

Funkcję

0x01 graphic

nazywamy jakobianem przekształcenia określonego przez funkcje0x01 graphic
.

Przykład

a)

Para funkcji

0x01 graphic
, 0x01 graphic

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami

0x01 graphic

na kwadrat

0x01 graphic

na płaszczyźnie 0uv.

Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Uwaga

Wartość bezwzględna jakobianu przekształcenia w punkcie jest w przybliżeniu równa stosunkowi pola obrazu małego otoczenia punktu do pola tego otoczenia.

Tw. (o Zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Jeżeli

1. odwzorowanie

0x01 graphic

przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego 0x01 graphic
na wnętrze obszaru regularnego D

2. funkcje 0x01 graphic
są klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym zawierającym zbiór 0x01 graphic

3. jakobian J 0x01 graphic
jest różny od zera wewnątrz obszaru 0x01 graphic

4. funkcja podcałkowa f jest ciągła na D

to

0x01 graphic
.

Przykład

1. Współrzędne biegunowe

Jeżeli obszarem całkowanie jest koło, wycinek kołowy, pierścień, to często stosujemy zamianę współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe.

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Jakobian J przekształcenia wynosi

0x01 graphic

Zatem wzór na zamianę współrzędnych kartezjańskich na biegunowe

0x01 graphic

Zad.

Obliczyć 0x01 graphic
gdzie obszar D określają nierówności 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi 0x01 graphic
.

Wprowadzamy nowe zmienne, które przeprowadzą obszar D na prostokąt

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

Para funkcji

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami

0x01 graphic

na prostokąt

0x01 graphic

na płaszczyźnie 0uv.

Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic

Zastosowania fizyczne

Masa obszaru o gęstości powierzchniowej 0x01 graphic

0x01 graphic

Współrzędne środka masy (środek ciężkości)

0x01 graphic
, 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

zad.2

Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej płytki w kształcie półkola o promieniu a.

23



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
AMII, am2.11b, ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
AMII, am2.13, Zadanie 3
AMII, am2.4, WYKŁAD 4
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.5, Definicja
AM2 10 Pochodne kierunkowe id 5 Nieznany (2)
AMII, am2.3, Konspekt 1
AMII, am2.14
AMII, am2.8
AMII, am2.1 Szeregi liczbowe, SZEREGI LICZBOWE
29 12 10 02 12 55 am2 2004 k1 grupaPS
29 12 10 02 12 15 am2 2004 k1 popr
29 12 10 02 12 36 am2 2004 k1
29 12 10 02 12 51 am2 2004 popr
29 12 10 02 12 06 am2 e mnop6
29 12 10 02 12 33 am2 2004 k2

więcej podobnych podstron