Praca domowa


Dawid Postek

2 IIS

Treść zadania:

Wykonać tablice trzech rozkładów prawdopodobieństwa, po jednym z każdej z następujących

trzech rodzin:

Γ(k,b) gdzie k = 2, 3, 4, oraz b = 1; 0,5; 1/3.

T(a,b,c) gdzie (a,b,c) = (0;1;3), (-1;0;2), (-3; 0; 3).

N(m,σ) gdzie (m;σ) = (0;2), (2;1), (2;2).

Należy podać: tablice gęstości, dystrybuanty oraz tablicę kwantyli, a także sporządzić szkice

gęstości i dystrybuanty wybranych rozkładów.

W części opisowej opracowania podać sposób obliczenia liczb podanych w tablicach .

Skala osi odciętych dla gęstości i dystrybuant: co 0,1 w zakresie wartości (w przedziale)

o prawdopodobieństwie 0,99.

Lista kwantyli: powinna zawierać kwantyle rzędu: 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99.

Rozwiązanie

1) Γ (2, 1) - rozkład gamma z parametrem skali: k = 2

i parametrem kształtu: b = 1

Jest to rozkład o gęstości: f (x) = 0x01 graphic

gdzie: Γ (b) = 0x01 graphic
0x01 graphic
dx nazywana jest funkcją gamma

o następujących właściwościach:

Γ (b+1) = b Γ(b) i stąd dla b ∈ N mamy Γ(b) = (b-1) !

oraz Γ(b) Γ(1-b) = 0x01 graphic
dla 0 < b < 1 i stąd Γ(0x01 graphic
) = 0x01 graphic

Dla rozkładu z zadania: Γ (2,1) otrzymujemy:

b = 1 ∈ N czyli Γ(1) = (1-1)! = 0! = 1

oraz funkcję gęstości: f(x) = = 0x01 graphic
= 0x01 graphic

wobec tego dystrybuanta będzie określona wzorem:

F(x) = 0x01 graphic
(x) dx = 0x01 graphic
= 0x01 graphic

Tablica gęstości Γ (2,1)

+

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

0

0,4756

0,4524

0,4304

0,4094

0,3894

0,3704

0,3523

0,3352

0,3188

1

0,3033

0,2885

0,2744

0,261

0,2483

0,2362

0,2247

0,2137

0,2033

0,1934

2

0,1839

0,175

0,1664

0,1583

0,1506

0,1433

0,1363

0,1296

0,1233

0,1173

3

0,1116

0,1061

0,1009

0,096

0,0913

0,0869

0,0826

0,0786

0,0748

0,0711

4

0,0677

0,0644

0,0612

0,0582

0,0554

0,0527

0,0501

0,0477

0,0454

0,0431

5

0,041

0,039

0,0371

0,0353

0,0336

0,032

0,0304

0,0289

0,0275

0,0262

6

0,0249

0,0237

0,0225

0,0214

0,0204

0,0194

0,0184

0,0175

0,0167

0,0159

7

0,0151

0,0144

0,0137

0,013

0,0124

0,0118

0,0112

0,0106

0,0101

0,0096

8

0,0092

0,0087

0,0083

0,0079

0,0075

0,0071

0,0068

0,0065

0,0061

0,0058

Szkic wykresu gęstości

0x01 graphic

Tablica wartości dystrybuanty Γ (2,1)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

0

0,0488

0,0952

0,1393

0,1813

0,2212

0,2592

0,2953

0,3297

0,3624

1

0,3935

0,4231

0,4512

0,478

0,5034

0,5276

0,5507

0,5726

0,5934

0,6133

2

0,6321

0,6501

0,6671

0,6834

0,6988

0,7135

0,7275

0,7408

0,7534

0,7654

3

0,7769

0,7878

0,7981

0,808

0,8173

0,8262

0,8347

0,8428

0,8504

0,8577

4

0,8647

0,8713

0,8775

0,8835

0,8892

0,8946

0,8997

0,9046

0,9093

0,9137

5

0,9179

0,9219

0,9257

0,9293

0,9328

0,9361

0,9392

0,9422

0,945

0,9477

6

0,9502

0,9526

0,955

0,9571

0,9592

0,9612

0,9631

0,9649

0,9666

0,9683

7

0,9698

0,9713

0,9727

0,974

0,9753

0,9765

0,9776

0,9787

0,9798

0,9807

8

0,9817

0,9826

0,9834

0,9842

0,985

0,9857

0,9864

0,9871

0,9877

0,9883

Szkic wykresu dystrybuanty

0x01 graphic

Kwantyle dla Γ (2,1)

F(x)

0.01

0.02

0.05

0.1

0.25

0.5

0.75

0.9

0.95

0.98

0.99

x

0,020

0,041

0,103

0,212

0,575

1,388

2,772

4,605

5,993

7,821

9,215

2) T (0,1,3) - rozkład trójkątny na odcinku [0,3] o wierzchołku w punkcie 1,

parametry a = 0, b = 1, c = 3.

0x01 graphic

Funkcja gęstości rozkładu

0x01 graphic

f(x) = 0 ⇔ x ≤ a ⋀ x ≥ c ⇒ f(x) = 0 ⇔ x ≤ 0 ⋀ x ≥ 3

f(x) = 0x01 graphic
0x01 graphic
⇔ a < x ≤ b ⇒ f(x) = 0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
⇔ 0 < x ≤ 1

f(x) = 0x01 graphic
0x01 graphic
⇔ b < x < c ⇒ f(x) = 0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
⇔ 1 < x < 3

Tablica gęstości

+

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

0

0.067

0.133

0.2

0.267

0.333

0.4

0.467

0.533

0.6

1

0.667

0.633

0.6

0.567

0.533

0.5

0.467

0.433

0.4

0.367

2

0.333

0.3

0.267

0.233

0.2

0.167

0.133

0.1

0.067

0.033

3

0

Przykłady obliczeń:

x = 0.2 ⇒ x ∈ (0,1〉 f (0.2) = 0x01 graphic
≈ 0.133

x = 2.5 ⇒ x ∈ (1,3) f (2.5) = 0x01 graphic
≈ 0.167

Dystrybuanta

F(x) = 0 ⇔ x ≤ a ⇒ F(x) = 0 ⇔ x ≤ 0

F(x) = 0x01 graphic
⇔ a < x ≤ b ⇒ 0x01 graphic
= 0x01 graphic
⇔ 0 < x ≤ 1

F(x) = 1 - 0x01 graphic
⇔ b < x ≤ c ⇒ 1 - 0x01 graphic
= 1 - 0x01 graphic
⇔ 1 < x ≤ 3

F(x) = 1 ⇔ x > c

Tablica wartości dystrybuanty

+

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

0

0.003

0.013

0.03

0.053

0.083

0.12

0.163

0.213

0.27

1

0.333

0.398

0.46

0.518

0.573

0.625

0.673

0.718

0.76

0.798

2

0.833

0.865

0.893

0.918

0.94

0.958

0.973

0.985

0.993

0.998

3

1

Przykłady obliczeń:

x = 0.4 ⇒ x ∈ (0,1〉 F(x) = 0x01 graphic
≈ 0.053

x = 2.1 ⇒ x ∈ (1,3〉 F(x) = 1 - 0x01 graphic
≈ 0.865

Szkic wykresu dystrybuanty

0x01 graphic

Kwantyle

Punktem przegięcia wykresu dystrybuanty jest punkt: (1,F(1)) , gdzie

F(1) = 0x01 graphic

stąd kwantyle rzędu: 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0,25 będą wyznaczone ze wzoru:

F(x) = 0x01 graphic

x = 0x01 graphic

natomiast kwantyle rzędu: 0.5, 0.75, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99 ze wzoru:

F(x) = 1 - 0x01 graphic

x = 3 - 0x01 graphic

Tabela kwantyli

F(x)

0.01

0.02

0.05

0.1

0.25

0.5

0.75

0.9

0.95

0.98

0.99

x

0.17

0.24

0.38

0.55

0.87

1.27

1.78

2.23

2.45

2.65

2.76

3) N(2,1) - rozkład normalny o wartości średniej m = 2 i odchyleniu standardowym Ϭ = 1

funkcja gęstości dana jest wzorem:

f (x) = 0x01 graphic
⇒ dla N(2,1) f (x) = 0x01 graphic

dystrybuanta dana wzorem:

F (x) = 0x01 graphic

do jej wyznaczenia posłużymy się własnością:

F(x) = Φ 0x01 graphic
0x01 graphic
(x) = Φ (x-2)

gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0,1)

Tablica ma zawierać wartości z przedziału prawdopodobieństw równego 0.99

F (0x01 graphic
) = 0,005 , F (0x01 graphic
) = 0,995

F (0x01 graphic
) = 0,005 = 2,58, F (0x01 graphic
) = 0,995 = 2,58

0x01 graphic
= -2,58 * 1 + 2 = -0,42 ≈ -0,4

0x01 graphic
= 2,58 * 1 + 2 = 4,58 ≈ 4,6

Tablica gęstości f(x) dla N(2,1)

+

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-1

b.d.

0,0135

0,0175

0,0223

0,0283

0,0354

0,0439

0

0,0539

0,0656

0,0789

0,0940

0,1109

0,1295

0,1497

0,1713

0,1941

0,2178

1

0,2419

0,2660

0,2896

0,3122

0,3332

0,3520

0,3682

0,3813

0,3910

0,3969

2

0,3989

0,3969

0,3910

0,3813

0,3682

0,3520

0,3332

0,3122

0,2896

0,2660

3

0,2419

0,2178

0,1941

0,1713

0,1497

0,1295

0,1109

0,0940

0,0789

0,0656

4

0,0539

0, 0439

0,0354

0,0283

0,0223

0,0175

0,0135

b.d.

Wykres gęstości

0x01 graphic

Tablica wartości dystrybuanty dla N (2,1)

( wartości odczytane z tablic N (0,1), gdzie F(x) = Φ (x-2) )

+

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-1

b.d.

0.0046

0,0062

0,0081

0,0107

0,0139

0,0178

0

0,0227

0,0287

0,0359

0,0445

0,0547

0,0668

0,0807

0,0968

0,1150

0,1356

1

0,1586

0,1840

0,2118

0,2419

0,2742

0,3085

0,3445

0,3820

0,4207

0,4601

2

0,5

0,5398

0,5792

0,6179

0,6554

0,6914

0,7257

0,7580

0,7881

0,8159

3

0,8413

0,8643

0,8849

0,9032

0,9192

0,9331

0,9452

0,9554

0,9640

0,9712

4

0,9772

0,9821

0,9860

0,9893

0,9918

0,9938

0,9953

1

Wykres dystrybuanty

0x01 graphic

Kwantyle dla N(2,1)

Korzystając z zależności F(x) = Φ(x-2),

oraz F(-x) = 1 - F(x) = 1 - Φ(x-2)

podstawiając y = x+2 otrzymujemy:

F(y) = F(x+2) = Φ(x),

oraz F(-y) = F(-(x+2)) = 1 - F(x+2) = 1 - Φ(x)

np. F(y) = 0,05 dla y = 0,35, ponieważ F(0,35) = Φ(-1,65) = 1 - Φ(1,65) = 1 - 0,95 = 0,05,

F(y) = 0,75 dla y = 2,67, bo F(2,67) = Φ(0,67) = 0,75 (wartość odczytana z tablic)

Tablica kwantyli

Φ(x)

0.01

0.02

0.05

0.1

0.25

0.5

0.75

0.9

0.95

0.98

0.99

x

-2,33

-2,05

-1,65

-1,28

-0,67

0

0,67

1,28

1,65

2,06

2,33

y=x+2

-0,33

-0,05

0,35

0,72

1,33

2

2,67

3,28

3,65

4,06

4,33

7



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
praca domowa stropy stacjonarne
Praca domowa 2a Analiza Matematyczna
cwiczenia 2 25.10.2007 praca domowa, cwiczenia - dr januszkiewicz
PRACA DOMOWA UCZNIA, kształcenie zintegrowane
Praca domowa-rzeczoznawca, PRAWO ADMINISTRACYJNE, ćwiczenia
PRACA DOMOWA Prawo Administracyjne, PRAWO ADMINISTRACYJNE, ćwiczenia
Rachunkowość Finansowa wykłady praca domowa
praca domowa nr 2
Praca domowa 3 OgarnijTemat com
Java praca domowa 10
praca domowa1
praca domowa angol
MSS Praca domowa nr 1
Praca domowa z metrologii, Sprawdzian szczękowy do wałka 66g6
Java praca domowa 05
Praca domowa nr 2
5 granice praca domowa
POWYM Praca domowa 1
Java praca domowa 08

więcej podobnych podstron