Dawid Postek
2 IIS
Treść zadania:
Wykonać tablice trzech rozkładów prawdopodobieństwa, po jednym z każdej z następujących
trzech rodzin:
Γ(k,b) gdzie k = 2, 3, 4, oraz b = 1; 0,5; 1/3.
T(a,b,c) gdzie (a,b,c) = (0;1;3), (-1;0;2), (-3; 0; 3).
N(m,σ) gdzie (m;σ) = (0;2), (2;1), (2;2).
Należy podać: tablice gęstości, dystrybuanty oraz tablicę kwantyli, a także sporządzić szkice
gęstości i dystrybuanty wybranych rozkładów.
W części opisowej opracowania podać sposób obliczenia liczb podanych w tablicach .
Skala osi odciętych dla gęstości i dystrybuant: co 0,1 w zakresie wartości (w przedziale)
o prawdopodobieństwie 0,99.
Lista kwantyli: powinna zawierać kwantyle rzędu: 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99.
Rozwiązanie
1) Γ (2, 1) - rozkład gamma z parametrem skali: k = 2
i parametrem kształtu: b = 1
Jest to rozkład o gęstości: f (x) =
gdzie: Γ (b) =
dx nazywana jest funkcją gamma
o następujących właściwościach:
Γ (b+1) = b Γ(b) i stąd dla b ∈ N mamy Γ(b) = (b-1) !
oraz Γ(b) Γ(1-b) =
dla 0 < b < 1 i stąd Γ(
) =
Dla rozkładu z zadania: Γ (2,1) otrzymujemy:
b = 1 ∈ N czyli Γ(1) = (1-1)! = 0! = 1
oraz funkcję gęstości: f(x) = =
=
wobec tego dystrybuanta będzie określona wzorem:
F(x) =
(x) dx =
=
Tablica gęstości Γ (2,1)
+ |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0 |
0 |
0,4756 |
0,4524 |
0,4304 |
0,4094 |
0,3894 |
0,3704 |
0,3523 |
0,3352 |
0,3188 |
1 |
0,3033 |
0,2885 |
0,2744 |
0,261 |
0,2483 |
0,2362 |
0,2247 |
0,2137 |
0,2033 |
0,1934 |
2 |
0,1839 |
0,175 |
0,1664 |
0,1583 |
0,1506 |
0,1433 |
0,1363 |
0,1296 |
0,1233 |
0,1173 |
3 |
0,1116 |
0,1061 |
0,1009 |
0,096 |
0,0913 |
0,0869 |
0,0826 |
0,0786 |
0,0748 |
0,0711 |
4 |
0,0677 |
0,0644 |
0,0612 |
0,0582 |
0,0554 |
0,0527 |
0,0501 |
0,0477 |
0,0454 |
0,0431 |
5 |
0,041 |
0,039 |
0,0371 |
0,0353 |
0,0336 |
0,032 |
0,0304 |
0,0289 |
0,0275 |
0,0262 |
6 |
0,0249 |
0,0237 |
0,0225 |
0,0214 |
0,0204 |
0,0194 |
0,0184 |
0,0175 |
0,0167 |
0,0159 |
7 |
0,0151 |
0,0144 |
0,0137 |
0,013 |
0,0124 |
0,0118 |
0,0112 |
0,0106 |
0,0101 |
0,0096 |
8 |
0,0092 |
0,0087 |
0,0083 |
0,0079 |
0,0075 |
0,0071 |
0,0068 |
0,0065 |
0,0061 |
0,0058 |
Szkic wykresu gęstości
Tablica wartości dystrybuanty Γ (2,1)
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0 |
0 |
0,0488 |
0,0952 |
0,1393 |
0,1813 |
0,2212 |
0,2592 |
0,2953 |
0,3297 |
0,3624 |
1 |
0,3935 |
0,4231 |
0,4512 |
0,478 |
0,5034 |
0,5276 |
0,5507 |
0,5726 |
0,5934 |
0,6133 |
2 |
0,6321 |
0,6501 |
0,6671 |
0,6834 |
0,6988 |
0,7135 |
0,7275 |
0,7408 |
0,7534 |
0,7654 |
3 |
0,7769 |
0,7878 |
0,7981 |
0,808 |
0,8173 |
0,8262 |
0,8347 |
0,8428 |
0,8504 |
0,8577 |
4 |
0,8647 |
0,8713 |
0,8775 |
0,8835 |
0,8892 |
0,8946 |
0,8997 |
0,9046 |
0,9093 |
0,9137 |
5 |
0,9179 |
0,9219 |
0,9257 |
0,9293 |
0,9328 |
0,9361 |
0,9392 |
0,9422 |
0,945 |
0,9477 |
6 |
0,9502 |
0,9526 |
0,955 |
0,9571 |
0,9592 |
0,9612 |
0,9631 |
0,9649 |
0,9666 |
0,9683 |
7 |
0,9698 |
0,9713 |
0,9727 |
0,974 |
0,9753 |
0,9765 |
0,9776 |
0,9787 |
0,9798 |
0,9807 |
8 |
0,9817 |
0,9826 |
0,9834 |
0,9842 |
0,985 |
0,9857 |
0,9864 |
0,9871 |
0,9877 |
0,9883 |
Szkic wykresu dystrybuanty
Kwantyle dla Γ (2,1)
F(x) |
0.01 |
0.02 |
0.05 |
0.1 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
0.9 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
x |
0,020 |
0,041 |
0,103 |
0,212 |
0,575 |
1,388 |
2,772 |
4,605 |
5,993 |
7,821 |
9,215 |
2) T (0,1,3) - rozkład trójkątny na odcinku [0,3] o wierzchołku w punkcie 1,
parametry a = 0, b = 1, c = 3.
Funkcja gęstości rozkładu
f(x) = 0 ⇔ x ≤ a ⋀ x ≥ c ⇒ f(x) = 0 ⇔ x ≤ 0 ⋀ x ≥ 3
f(x) =
⇔ a < x ≤ b ⇒ f(x) =
=
⇔ 0 < x ≤ 1
f(x) =
⇔ b < x < c ⇒ f(x) =
=
⇔ 1 < x < 3
Tablica gęstości
+ |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
0 |
0 |
0.067 |
0.133 |
0.2 |
0.267 |
0.333 |
0.4 |
0.467 |
0.533 |
0.6 |
1 |
0.667 |
0.633 |
0.6 |
0.567 |
0.533 |
0.5 |
0.467 |
0.433 |
0.4 |
0.367 |
2 |
0.333 |
0.3 |
0.267 |
0.233 |
0.2 |
0.167 |
0.133 |
0.1 |
0.067 |
0.033 |
3 |
0 |
Przykłady obliczeń:
x = 0.2 ⇒ x ∈ (0,1〉 f (0.2) =
≈ 0.133
x = 2.5 ⇒ x ∈ (1,3) f (2.5) =
≈ 0.167
Dystrybuanta
F(x) = 0 ⇔ x ≤ a ⇒ F(x) = 0 ⇔ x ≤ 0
F(x) =
⇔ a < x ≤ b ⇒
=
⇔ 0 < x ≤ 1
F(x) = 1 -
⇔ b < x ≤ c ⇒ 1 -
= 1 -
⇔ 1 < x ≤ 3
F(x) = 1 ⇔ x > c
Tablica wartości dystrybuanty
+ |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
0 |
0 |
0.003 |
0.013 |
0.03 |
0.053 |
0.083 |
0.12 |
0.163 |
0.213 |
0.27 |
1 |
0.333 |
0.398 |
0.46 |
0.518 |
0.573 |
0.625 |
0.673 |
0.718 |
0.76 |
0.798 |
2 |
0.833 |
0.865 |
0.893 |
0.918 |
0.94 |
0.958 |
0.973 |
0.985 |
0.993 |
0.998 |
3 |
1 |
Przykłady obliczeń:
x = 0.4 ⇒ x ∈ (0,1〉 F(x) =
≈ 0.053
x = 2.1 ⇒ x ∈ (1,3〉 F(x) = 1 -
≈ 0.865
Szkic wykresu dystrybuanty
Kwantyle
Punktem przegięcia wykresu dystrybuanty jest punkt: (1,F(1)) , gdzie
F(1) =
stąd kwantyle rzędu: 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0,25 będą wyznaczone ze wzoru:
F(x) =
x =
natomiast kwantyle rzędu: 0.5, 0.75, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99 ze wzoru:
F(x) = 1 -
x = 3 -
Tabela kwantyli
F(x) |
0.01 |
0.02 |
0.05 |
0.1 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
0.9 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
x |
0.17 |
0.24 |
0.38 |
0.55 |
0.87 |
1.27 |
1.78 |
2.23 |
2.45 |
2.65 |
2.76 |
3) N(2,1) - rozkład normalny o wartości średniej m = 2 i odchyleniu standardowym Ϭ = 1
funkcja gęstości dana jest wzorem:
f (x) =
⇒ dla N(2,1) f (x) =
dystrybuanta dana wzorem:
F (x) =
do jej wyznaczenia posłużymy się własnością:
F(x) = Φ
⇒
(x) = Φ (x-2)
gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0,1)
Tablica ma zawierać wartości z przedziału prawdopodobieństw równego 0.99
F (
) = 0,005 , F (
) = 0,995
F (
) = 0,005 = 2,58, F (
) = 0,995 = 2,58
= -2,58 * 1 + 2 = -0,42 ≈ -0,4
= 2,58 * 1 + 2 = 4,58 ≈ 4,6
Tablica gęstości f(x) dla N(2,1)
+ |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
-1 |
b.d. |
0,0135 |
0,0175 |
0,0223 |
0,0283 |
0,0354 |
0,0439 |
|||
0 |
0,0539 |
0,0656 |
0,0789 |
0,0940 |
0,1109 |
0,1295 |
0,1497 |
0,1713 |
0,1941 |
0,2178 |
1 |
0,2419 |
0,2660 |
0,2896 |
0,3122 |
0,3332 |
0,3520 |
0,3682 |
0,3813 |
0,3910 |
0,3969 |
2 |
0,3989 |
0,3969 |
0,3910 |
0,3813 |
0,3682 |
0,3520 |
0,3332 |
0,3122 |
0,2896 |
0,2660 |
3 |
0,2419 |
0,2178 |
0,1941 |
0,1713 |
0,1497 |
0,1295 |
0,1109 |
0,0940 |
0,0789 |
0,0656 |
4 |
0,0539 |
0, 0439 |
0,0354 |
0,0283 |
0,0223 |
0,0175 |
0,0135 |
b.d. |
Wykres gęstości
Tablica wartości dystrybuanty dla N (2,1)
( wartości odczytane z tablic N (0,1), gdzie F(x) = Φ (x-2) )
+ |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
-1 |
b.d. |
0.0046 |
0,0062 |
0,0081 |
0,0107 |
0,0139 |
0,0178 |
|||
0 |
0,0227 |
0,0287 |
0,0359 |
0,0445 |
0,0547 |
0,0668 |
0,0807 |
0,0968 |
0,1150 |
0,1356 |
1 |
0,1586 |
0,1840 |
0,2118 |
0,2419 |
0,2742 |
0,3085 |
0,3445 |
0,3820 |
0,4207 |
0,4601 |
2 |
0,5 |
0,5398 |
0,5792 |
0,6179 |
0,6554 |
0,6914 |
0,7257 |
0,7580 |
0,7881 |
0,8159 |
3 |
0,8413 |
0,8643 |
0,8849 |
0,9032 |
0,9192 |
0,9331 |
0,9452 |
0,9554 |
0,9640 |
0,9712 |
4 |
0,9772 |
0,9821 |
0,9860 |
0,9893 |
0,9918 |
0,9938 |
0,9953 |
1 |
Wykres dystrybuanty
Kwantyle dla N(2,1)
Korzystając z zależności F(x) = Φ(x-2),
oraz F(-x) = 1 - F(x) = 1 - Φ(x-2)
podstawiając y = x+2 otrzymujemy:
F(y) = F(x+2) = Φ(x),
oraz F(-y) = F(-(x+2)) = 1 - F(x+2) = 1 - Φ(x)
np. F(y) = 0,05 dla y = 0,35, ponieważ F(0,35) = Φ(-1,65) = 1 - Φ(1,65) = 1 - 0,95 = 0,05,
F(y) = 0,75 dla y = 2,67, bo F(2,67) = Φ(0,67) = 0,75 (wartość odczytana z tablic)
Tablica kwantyli
Φ(x) |
0.01 |
0.02 |
0.05 |
0.1 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
0.9 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
x |
-2,33 |
-2,05 |
-1,65 |
-1,28 |
-0,67 |
0 |
0,67 |
1,28 |
1,65 |
2,06 |
2,33 |
y=x+2 |
-0,33 |
-0,05 |
0,35 |
0,72 |
1,33 |
2 |
2,67 |
3,28 |
3,65 |
4,06 |
4,33 |
7