1. Wstęp teoretyczny

Prąd sinusoidalnie zmienny.

Ogólnie prąd elektryczny podzielić można na prąd stały, czyli taki, którego natężenie nie ulega zmianie w czasie i zmienny w którym wraz ze zmianą czasu zmienia się również natężenie lub zwrot - jeśli zmiany te zachodzą okresowo , to prąd taki nazywa się przemiennym , a wartość średnia natężenia w okresie czasu równa się zeru. Najczęściej spotykanym prądem elektrycznym przemiennym jest prąd sinusoidalnie zmienny, którego przebieg jest sinusoidalną funkcją czasu.

Jego wartość chwilową obliczamy ze wzoru:

i(t) = I_m sin(ωt + ϕ)

I_m - wartość maksymalna prądu.

ω - częstość kątowa (ω = 2πf)

ϕ - przesunięcie w fazie początkowej

Prąd przemienny charakteryzują również takie wielkości jak wartość średnia prądu oraz wartość skuteczna.

Wartość średnia całookresowa prądu przemiennego jest równa zero, dlatego podaje się wartość średnią półokresową. Jest ona równa takiej ilości prądu stałego który w tym samym czasie przeniesie taki sam ładunek co dany prąd przemienny. Wartość tę można policzyć ze wzoru:

I_ŚR = (1/π) ₀∫^π/2 i(t)dt

Wartość skuteczna natężenia prądu, jest to wartość liczbowo równa takiej wartości prądu stałego, który w tym samym czasie i na tym samym oporze wydzieli taką samą ilość ciepła. Określa ją wzór:

I_SK = √ (1/T) ∫ i² (t)dt

Wpływ indukcyjności na natężenie prądu zmiennego.

Jeżeli do źródła prądu stałego o napięciu U przyłączymy cewkę o indukcyności L o wielu zwojach z przewodu o znikomo małej oporności , to przez taką zwojnicę mógłby teoretycznie płynąć prąd o bardzo dużym natężeniu ograniczonym tylko opornością wewnętrzną źródła.

Jeżeli tą samą cewkę pozbawioną oporności czynnej przyłączymy do źródła prądu zmiennego, to okaże się , że natężenie tego prądu będzie ograniczone. Prąd w obwodzie ogranicza siła elektromotoryczna indukcji własnej e_L , której wartości są zależne od współczynnika indukcyjności własnej L zwojnicy i od szybkości zmian strumienia , a więc częstotliwości zmian prądu przepływającego przez uzwojenie cewki w myśl zależności:

e_L = - z dφ/dt lub e_L = - L di/dt

Gdy przez indukcyjność przepływa prąd zmienny , to wartość chwilową tego prądu wyraża równanie:

i = I_m sinωt

Spadek napięcia u_L na indukcyjności równoważy siłę elektromotoryczną indukciji własnej. Można to zapisać następująco:

u_L = -e_L

Podstawiając za e_L równanie definiujące s.e.m. samoindukji oraz różniczkując wyrażenie na wartość chwilową prądu otrzymamy:

u_L = - e_L = L di/dt = LωI_m cosωt = LωI_msin(ωt + π/2)

Z powyższego równania wynika , że napięcie doprowadzone do zacisków idealnej cewki wyprzedza prąd o 90 ⁰.

Bezwzględna wartość szczytowa napięcia na indukcyjności jest równa szczytowej wartości s.e.m. indukcyjności własnej:

U_m = E_m = LωI_m , A wartość skuteczna U = E = LωI

Ze wzoru wyrażającego zależność między wielkościami skutecznymi U , I i pulsacją ω prądu przepływającego , oraz indukcyjnością L odbiornika określamy tzw. oporność bierną indukcyjną X_L

X_L = U/I = ωL = 2πfL

Wpływ pojemności na natężenie prądu zmiennego.

Napięcie doprowadzone do okładzin kondensatora o pojemności C zmienia się sinusoidalnie , tj. wg równania:

u = U_m sinωt

Prąd jaki będzie płynął przez kondensator związany będzie z przemieszczeniem ładunku q, dlatego możemy zapisać:

i = dq/dt

korzystając z równania:

dq = C du = C U_m ωcosωt dt

i biorąc pod uwagę dwa ostatnie związki:

i = C ωU_m cosωt

Mając na względzie, że:

cosα = sin(α+π/2)

otrzymujemy:

i = CωU_msin(ωt+π/2)

Równanie to wskazuje , że przepływający przez pojemność prąd zmienny ma natężenie o przebiegu sinusoidalnym , które wyprzedza napięcie o kąt 90 ⁰. Szczytowa wartość natężenia prądu wynosi:

I_m = CωU_m , a dla wartości skutecznych : I = CωU

Kondensator przewodzi prąd zmienny . Stanowi on dla prądu zmiennego pewną oporność, której wartość wyraża się stosunkiem wartości skutecznej napięcia U do prądu I. Oporność tę nazywa się opornością bierną pojmnościową i oznacza X_C .

Xc = U/I = 1/ωC = 1/ (2πfC)

Wpływ oporu na natężenie prądu zmiennego.

W obwodach prądu elektrycznego , możemy wyróżnić elementy o oporności czynnej i biernej. Do pierwszej grupy zaliczamy m. in. rezystory , do drugiej zaś cewki i kondensatory.

Odbiornik o oporności czynnej to takie odbiorniki których indukcyjność oraz pojemność jest znikomo mała i można ją pominąć. Spadek napięcia U na oporności czynnej R przy jej niezmiennej wartości jest tym większy , im większa jest wartość przepływającego prądu, więc chwilowe napięcie jest największe (U_m) w chwili, gdy wartość chwilowa przepływającego prądu i jest szczytowa (I_m) . Gdy prąd i = 0 , to napięcie u = 0. Napięcie i prąd na rezystancji są zgodne w fazie , osiągają w tych samych momentach swe wartości szczytowe dodatnie i ujemne oraz zerowe. Między prądem i napięciem chwilowym zachodzi związek:

u = R I_m sin ωt

A między wartościami szczytowymi:

U_m = R I_m

Obwód szeregowy RLC.

Szeregowy obwód RLC składa się z szeregowo połączonych : rezystancji , indukcyjności i pojemności. Napięcie chwilowe między zaciskami zewnętrznej części takiego układu jest sumą algebraiczną napięć na poszczególnych częściach obwodu

u = u_R + u_L + u_C

Wartość skuteczna napięcia doprowadzonego do zacisków układu jest suma geometryczną napięć składowych U_L , U_R , U_C . Należy pamiętać o tym że napięcia U_L i U_C są przesunięte w fazie względem napięcia U_R odpowiednio o + 90 ⁰ i - 90 ⁰. Poniższy rysunek przedstawia wykres wskazowy dla takiego przypadku:

U² = U_R² + (U_L - U_C)²

U = √ (IR)² + (IX_L - IX_C)² = I √ R² + (X_L - X_C)²

Wyrażenie pod pierwiastkiem nazywa się opornością pozorną (impedancją) i często oznacza się literą Z

Z = √ R² + (X_L -X_C)²

Jest to pierwiastek z sumy kwadratów oporności czynnej i biernej , gdzie oporność bierna jest sumą geometryczną oporności biernej pojemnościowej i oporności biernej indukcyjnej występujących w obwodzie.

Obwody zasilane prądem zmiennym , zawierające elementy czynne i bierne powodują przesunięcia fazowe pomiędzy prądem a napięciem. Kąt przesunięcia fazowego jest określony przez arctg stosunku oporności biernej od oporności czynnej:

ϕ = arctg (X_L - X_C)/R

Wzór wyrażający zależność między natężeniem prądu a napięciem :

I = U/Z

wyraża w najogólniejszej postaci prawo Ohma dla odcinka lub części zewnętrznej obwodu prądu przemiennego zawierającego oporność czynną i bierną .

2. Wykonanie ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika indukcji własnej cewki

(indukcyjności) i pojemności kondensatora poprzez pomiar impedancji.

Schemat układu pomiarowego:

Powyższy układ składa się z odpowiednio dobranego amperomierza i woltomierza (w zależności od rodzaju prądu którym jest on zasilany) oraz odbiornika, którego rolę pełni cewka lub kondensator. Dla każdego z nich mierzymy zależność natężenia prądu I od napięcia U zasilając obwód prądem stałym i zmiennym.

Opis wykonania pomiarów:

1. Podłączenie do obwodu cewki oraz zasilacza prądu stałego i odczytanie wartości natężenia prądu dla różnych wartości napięcia.

2. Zmiana zasilacza prądu stałego na prąd zmienny i ponowne odczytanie wartości natężenia prądu dla różnych napięć.

3. Wymiana cewki na kondensator i odczytywanie wartości natężenia prądu dla różnych wartości napięcia.

Lista wykorzystanych przyrządów:

• cewka

• kondensator

• miernik natężenia prądu stałego

• miernik natężenia prądu zmiennego

• miernik napięcia prądu stałego

• miernik napięcia prądu zmiennego

• zasilacz prądu stałego

• zasilacz prądu zmiennego

4. Tabela z wynikami pomiarów

UR-	IR-	R	R ± ΔR
[V]	[A]	[Ω]	[Ω]
2	0,11	18,18
4	0,21	19,05
6	0,31	19,35	18,80688 ± 0,16864
8	0,42	19,05
10	0,53	18,87
12	0,64	18,75

UL	IL	Z	Z ± ΔZ	L ± ΔL
[V]	[A]	[Ω]	[Ω]	[H]
20	0,34	58,82
30	0,52	57,69
40	0,68	58,82	58,51272 ± 0,52459	0,176 ± 0,00485
50	0,86	58,14
60	1,02	58,82
70	1,2	58,33

UC	IC	Xc	Xc ± ΔXC	C ± ΔC
[V]	[A]	[Ω]	[Ω]	[μF]
20	0,2	100
30	0,31	96,77
40	0,41	97,56	98,56548 ± 0,88368	32 ± 0,535
50	0,51	98,04
60	0,61	98,36
70	0,71	98,59

5. Obliczenia:

1. a) Opór R obliczamy ze wzoru:

R =

R₁ = 2/0,11 = 18,18 Ω

Analogicznie obliczamy pozostałe R.

b) R ± ΔR obliczamy z wykresu U_R- = f(I_R-) metodą najmniejszych kwadratów

ΔU =
=
= 0,075 V

ΔI =
=
= 0,00375 A

Aby ta funkcja była minimalna muszą być spełnione następujące warunki:

Otrzymuje się z nich układ równań liniowych dla niewiadomych a i b

Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b

Po podstawieniu danych do powyższych wzorów i obliczeniu otrzymujemy:

a = 18,80688

b = 0,04146

Niepewności dla tych wartości obliczamy ze wzorów:

Δa = 0,16864

Δb = 0,0695

W naszym przypadku a = R zaś b powinno równać się 0. Jego istnienie jest wynikiem błędów pomiarowych, gdyż powstałą funkcje opisuje wzór U_R- = R*I_R-

R ± ΔR = 18,80688 ± 0,16864Ω

2. a) Oporność pozorną Z obliczamy ze wzoru:

Z =

Z₁ = 20/0,34 = 58,82 Ω

Analogicznie obliczamy pozostałe Z.

b) Z ± ΔZ obliczamy z wykresu U_L- = f(I_L-) metodą najmniejszych kwadratów analogicznie jak w punkcie 1 b)

ΔU =
=
0,375 V

ΔI =
=
= 0,0075 A

Po dokonaniu obliczeń otrzymujemy:

a = 58,51272

b = -0,05479

Δa = 0,52459

Δb = 0,43197

W tym przypadku a = Z zaś b powinno równać się 0. Jego istnienie jest wynikiem błędów pomiarowych, gdyż powstałą funkcje opisuje wzór U_L = Z*I_L

Z ± ΔZ = 58,51272 ± 0,52459Ω

3. Indukcyjność cewki L obliczamy ze wzoru:

L =

Z_s = 58,44 Ω

R_s = 18,875 Ω

ƒ = 50 Hz

L =
= 0,176 H

ΔL obliczamy metodą różniczki zupełnej.

ΔL =

Z_s = 58,44 Ω

R_s = 18,875 Ω

ƒ = 50 Hz

ΔZ_s = 1.26242 Ω

ΔR_s = 0,55428 Ω

ΔL = 0,00485 H

4. a) Oporność bierną kondensatora X_C obliczamy ze wzoru:

X_c =

X₁ = 20/0,2 = 100 Ω

Analogicznie obliczamy pozostałe X_c.

b) X_C ± ΔX_C obliczamy z wykresu U_C = f(I_C) metodą najmniejszych kwadratów analogicznie jak w punkcie 1 b)

ΔU =
=
0,375 V

ΔI =
=
= 0,00375 A

Po dokonaniu obliczeń otrzymujemy:

a = 98,56548

b = -0,17584

Δa = 0,88368

Δb = 0,43299

W tym przypadku a = X_C zaś b powinno równać się 0. Jego istnienie jest wynikiem błędów pomiarowych, gdyż powstałą funkcje opisuje wzór U_C = X_C*I_C.

5. Pojemność kondensatora C obliczamy ze wzoru:

C =

X_s = 98,22 Ω

C =

ΔC obliczamy metodą różniczki zupełnej.

ΔC =
0,000000535 F = 0,535 μF

5. Wykresy

6. Wnioski

Celem ćwiczenia było wyznaczenie indukcyjności cewki i pojemności kondensatora.

Najpierw dzięki dokonaniu pomiarów na prądzie stałym wyznaczyliśmy wartości rezystancji cewki, która średnio wyniosła 18,875 Ω. Następnie tą samą cewkę podłączyliśmy do prądu zmiennego i wyznaczyliśmy jej oporność pozorną, która średnio wyniosła 58,44 Ω i obliczyliśmy jej indukcyjność - 0,176 H. Na końcu do obwodu prądu zmiennego włączyliśmy kondensator i wyznaczyliśmy jego oporność pozorną - 98,22 Ω oraz jego pojemność - 32 μF.

2

Wykres zależności napięcia od natężenia dla cewki zasilanej prądem stałym

U_R- = f(I_R-)

Wykres zależności napięcia od natężenia dla cewki zasilanej prądem zmiennym

U_L = f(I_L)

Wykres zależności napięcia od natężenia dla kondensatora zasilanego prądem zmiennym

U_C = f(I_C)

---