fiza, rozdz.1-Świat zjawisk fizycznych2, 1


  1. Świat zjawisk fizycznych, skalary i wektory w fizyce, wielkości pochodne i pierwotne

Fizyka jako nauka zajmująca się prawidłowościami i relacjami występującymi w naszym otoczeniu pozwala na zrozumienie, a raczej przybliżenie zrozumienia, funkcjonowania otaczającego nas świata. Poznawanie to odbywa się zasadniczo w dwóch kierunkach. Jeden dotyczy ekspansji poznawania w skali kosmosu i ogromnych przedziałów czasowych, drugi zaś związany jest z poznawaniem obiektów w skali mikro i odpowiadających mu niezmiernie małym przedziałom czasowym. Pojmowanie tych światów (makro i mikro) ułatwiają wprowadzane modele fizyczne przybliżane przez zjawiska występujące w otoczeniu człowieka.

0x08 graphic
0x01 graphic

Rys.1 Rozmiary, masy i czasy życia obiektów we Wszechświecie.

Przykładem może tu być model orbitalny (powłokowy) wykorzystywany zarówno do opisu Układu Słonecznego jak i modelu atomu czy jądra atomowego. Oprócz dwóch parametrów jakimi są rozmiary liniowe i czas, należy też wspomnieć o kolejnym, a mianowicie o masie obiektów i związanej z nią energią. Korelacje między rozmiarami, masą i czasem w potocznych ujęciach przedstawia rysunek 1. Na linii (linia ukośna) trendu pojawiają się kolejno: cząstki elementarne, atomy, mikroorganizmy, człowiek, Ziemia, Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat. Odejście od głównego trendu prowadzi do nietypowych stanów materii takich jak: czarna dziura ze skrajnie dużą gęstością masy i przestrzeń kosmiczna ze skrajnie małą gęstością masy.

W tym miejscu odsyłam co bardziej dociekliwych i odważnych czytelników do rozdziału 16 poświęconemu elementom kosmologii.

Uświadomienie sobie miejsca człowieka we Wszechświecie prowadzi z jednej strony do rozbudzenia zainteresowań związanych z jego budową i funkcjonowaniem, z drugiej zaś strony budzi pokorę wobec ogromu (wielkości mas, odległości oraz przedziałów czasu) oraz bogactwa obserwowanych zjawisk. Nieodparty ciąg umysłu ludzkiego do poznawania otaczającego nas świata prowadził przez tysiąclecia do rozwoju ludzkości. Jest to szczególnie widoczne w ostatnich latach, gdy rozwój fizyki i innych nauk ścisłych doprowadził do dynamicznego postępu technicznego i towarzyszących mu zmian w takich dziedzinach jak: biologia, medycyna, technika, informatyka i inne. Nikt dziś nie wyobraża sobie życia (a właściwie nie chce sobie wyobrazić takiego kataklizmu) bez komputerów i sieci internetowej. Ich powstanie umożliwił szybki rozwój elektroniki a w konsekwencji informatyki. Dzisiaj wszyscy zgodzą się, że najcenniejszym „towarem” jest informacja i jej szybki przekaz. Odzwierciedlenie tego faktu widoczne jest nie tylko w naukach ścisłych, ale i w innych naukach, takich jak ekonomia czy nauki humanistyczne. U podstaw wielkiego skoku cywilizacyjnego (nie tylko XX wieku) stoją geniusz i żmudna praca (niejednokrotnie nie doceniana za życia jednostki) fizyków, matematyków i innych przedstawicieli nauk ścisłych.

Spróbujmy teraz określić fizykę jako naukę, czyli zbiór faktów i prawidłowości występujących między nimi. Fizyka to podstawowa nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem fundamentalnych i uniwersalnych (na danym etapie) właściwości materii i zjawisk w otaczającym nas świecie. Własności te wiążą się ściśle z podstawowymi oddziaływaniami między elementarnymi składnikami materii obdarzonymi pewnymi własnościami ogólnymi (np. masą czy ładunkiem). Badania tych oddziaływań i ich własności prowadzą do formułowania praw fizycznych (ilościowych związków przyczynowo-skutkowych) i bardziej ogólnych zasad zachowania. Dlatego też językiem (narzędziem) fizyki jest matematyka. Odgrywa ona ogromną rolę przy planowaniu, opracowywaniu wyników eksperymentów i tworzeniu syntezy w postaci modeli lub teorii fizycznych.

Fizyka jest ściśle związana z innymi naukami przyrodniczymi. Doprowadziło to do powstania nauk takich jak: geofizyka, astrofizyka, biofizyka, chemia fizyczna, biologia molekularna, fizyka medyczna. Fizyka jest tez motorem napędowym i zapleczem teoretycznym dla techniki.

Wstęp matematyczny

Poniżej przypomniane zostaną wybrane wiadomości z matematyki mające istotne znaczenie dla posługiwania się językiem przyrody. W otaczającym nas świecie mamy głównie do czynienia z wielkościami fizycznymi posiadającymi tylko wartość (nie zależną od kierunku w przestrzeni) i nazywanymi skalarami oraz z wielkościami, do opisu których wymagane jest także (oprócz wartości) podanie punktu zaczepienia, kierunku oraz zwrotu i nazywanymi wektorami. Przykładami skalarów są: masa, czas, energia, moc, ładunek, potencjał, rezystancja, strumień indukcji. Do wielkości wektorowych zaliczamy np.: prędkość, przyspieszenie, pęd, siłę, natężenie i indukcję pola wektorowego.

Wektor 0x01 graphic
możemy rozłożyć na składowe we współrzędnych prostokątnych na wektory 0x01 graphic
Ostatnie składowe odpowiadają wektorom w kierunku osi x, y i z (rysunek2). Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe w kierunkach osi x, y i z oraz oznaczymy je jak na rysunku: 0x01 graphic
Ponieważ są to wektory o wartości równej 1 możemy je zdefiniować w następujący sposób:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Wykorzystując powyższe równania możemy zapisać wektor 0x01 graphic
w postaci:

0x01 graphic

lub skrótowo: (wx, wy, wz).

0x01 graphic

Rys.2 Rozkład wektora na składowe we współrzędnych prostokątnych

Przypomnimy teraz podstawowe działania na wektorach. Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę oraz mnożyć wektory przez siebie (iloczyn skalarny lub wektorowy). Dodanie wektorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
polega na dodaniu odpowiednio ich współrzędnych x-owych, y-owych i z-owych. Otrzymujemy równanie:

0x01 graphic
.

Skrótowo można to zapisać za pomocą znaku sumy Σ:

0x01 graphic
.

Mnożenie wektora przez skalar polega na wymnożeniu jego wszystkich składowych przez tą samą liczbę:

0x01 graphic
.

Mnożenie wektorów przez siebie może w wyniku dawać skalar i mówimy wtedy o iloczynie skalarnym lub wektor i mówimy wtedy o iloczynie wektorowym. Iloczyn skalarny wektorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
to taka operacja matematyczna, która tej parze wektorów przyporządkowuje liczbę (skalar) c taki, że jego wartość jest równa:

0x01 graphic
,

gdzie α jest kątem między wektorami. Ponieważ funkcja cosinus jest parzysta to iloczyn wektorowy jest przemienny:

0x01 graphic
.

Wartość jednego z wektorów pomnożona przez cosα jest równa długości rzutu tego wektora na kierunek drugiego wektora. Tak więc sens geometryczny iloczynu skalarnego jest taki, że jest to iloczyn długości jednego z wektorów i długości rzutu drugiego na kierunek pierwszego. Warto w tym miejscu zauważyć, że w przypadku wersorów iloczyn skalarny tych samych wersorów jest równy 1 a różnych 0.

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
(cos 0 = 1),

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
(cos 90o=0).

We współrzędnych prostokątnych możemy iloczyn skalarny zapisać:

0x01 graphic
.

Mając wyliczony iloczyn skalarny (ze współrzędnych) i znane długości wektorów można obliczyć cosinus kąta między nimi:

0x01 graphic
.

Iloczyn wektorowy wektorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
to taka operacja matematyczna, która tej parze wektorów przyporządkowuje wektor 0x01 graphic
taki, że:

Zauważmy, że w⋅sinα jest długością wysokości w równoległoboku wyznaczonym przez wektory 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Oznacza to, że wartość (długość) wektora 0x01 graphic
jest równa wartości pola powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Mając współrzędne wektorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
można wyliczyć współrzędne wektora 0x01 graphic
przy pomocy wyznacznika:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy 0 (sin 0o = 0). Iloczyn wektorowy nie jest też przemienny [sin(-α) = - sinα]. Stąd:

0x01 graphic
.

Aby nie zniechęcić czytelnika zostaną teraz przedstawione niektóre cechy wielkości pochodnych i pierwotnych występujących w fizyce. Łączą się one z matematycznymi pojęciami pochodnej i całki, choć na tym etapie nie wymagają ich dogłębnego przestudiowania. Wielkość fizyczną (np. szybkość v - skalar) pochodną w stosunku do danej wielkości fizycznej (np. s droga liczona w układzie toru) możemy traktować jako szybkość zmian tej drugiej w funkcji zmiennej niezależnej (np. t). Rysunek 3 przedstawia wykres zależności drogi od czasu s(t).

0x01 graphic

Rys. 3 Ilustracja interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji

Na rysunku zaznaczono dwa punkty o współrzędnych (t1, s1) i (t2, s2) oraz odpowiadające im różnice Δs i Δt. Te ostanie dwie wartości pozwalają wyliczyć iloraz różnicowy Δs/Δt równy tangensowi α1, czyli współczynnikowi kierunkowemu siecznej przechodzącej przez powyższe punkty. Sens fizyczny tego ilorazu różnicowego wyraża szybkość średnią ciała. Jeśli punkt drugi będziemy przesuwać w kierunku pierwszego (t2→t1) to wartość ilorazu różnicowego będzie zmierzać do wartości równej tgα, czyli współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji s(t) dla t=t1. Wielkość tą nazywamy w tym przypadku szybkością chwilową ciała w momencie t1. Mówimy, że szybkość definiujemy jako pochodną drogi po czasie i zapisujemy:

0x01 graphic
.

Tak więc nachylenie stycznej do wykresu s(t) w punkcie t1 jest miarą pochodnej wielkości zależnej s (funkcji s(t)) względem wielkości niezależnej t. Czyli szybkość v jest pochodną drogi s po czasie t. W drugą stronę s jest wielkością pierwotną do v po czasie t. Policzymy teraz drogę s, czyli wartość funkcji pierwotną do v w przedziale od t1 do t2. Rysunek 4 przedstawia zależność szybkości od czasu i sposób liczenia drogi.

0x01 graphic

Rys.4 Sposób liczenia drogi w przedziale od t1 do t2 .

Wycinamy cienki pasek powierzchni Δs tak aby można było przyjąć stałą wartość szybkości v. W tym przedziale pole powierzchni Δs będzie równe:

Δs= v Δt .

Wartość całkowitej powierzchni pod wykresem v(t) obliczymy sumując przyczynki Δsi w przedziale od t1 do t2. Chcąc obliczyć dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą v(t) musimy przeprowadzić podział na nieskończenie małe elementy ds. (ds to Δs→0), a następnie przeprowadzić ich nieskończone sumowanie. Proces matematyczny odpowiadający tej procedurze nazywamy całkowaniem i zapisujemy:

0x01 graphic
.

Pole powierzchni pod krzywą jest więc miarą wielkości pierwotnej w stosunku do wielkości będącej tu zmienną zależną.

Relacje między wielkościami pierwotnymi i pochodnymi obrazuje rysunek 5. Obrazuje on również stopniowanie tych pojęć. Zaznaczono na nim pochodną po czasie z szybkości (drugą pochodną z drogi po czasie) jaką jest przyspieszenie.

0x01 graphic

Rys. 5 Wielkości pochodne i pierwotne w fizyce

W rozdziale 3 przypomnimy sobie, podobnie do szybkości, definiowaną wielkość wektorową nazywaną prędkością. Jest ona definiowana jako pochodna wektora położenia po czasie.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
204pl, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z 1 prac
fiza, rozdz.9-Prąd elektryczny, 9
fiza, rozdz.9-Prąd elektryczny, 9
Lab fiz 302, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z
Zjawiska fizyczne
teoria do 109, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria
E. Durkheim, Elementarne formy �ycia religijnego, rozdz. Definicja zjawiska religijnego i religii ,
fiza, rozdz.15-Elementy teorii względności, 15
ZJAWISKO fizyczne przemiana chemiczna
Wentylacja naturalna wykorzystuje naturalne zjawiska fizyczne powietrza
Ćw109mmm, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z 1 p
E Durkheim, Elementarne formy życia religijnego, rozdz Definicja zjawiska religijnego i religii
fiza, rozdz.7-Podstawy termodynamiki, 7
302, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z 1 pracow
Lab fiz 101, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z
Tarcie to?łość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizy
Tabelka 303, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z
Lab fiz 104, Politechnika Poznańska ZiIP, II semestr, Fizyka, laborki fiza, wszystkie laboratoria z

więcej podobnych podstron