Przyrosty i Różniczki

Def: Iloczyn

nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu argumentu
.

Różniczkę oznaczamy symbolem df(x₀) lub krótko df lub dy

Symbolika różniczkowa

Oznaczając dowolny przyrost argumentu x symbolem dx i nazywając go różniczką argument x otrzymujemy

zatem
dla dx≠0

Pochodna funkcji jest ilorazem różniczki funkcji przez różniczkę argumentu.

Zamiast symbolu
można pisać

Tw:Jeśli funkcja f , określona w otoczeniu U punktu x₀, ma pochodną
, to dla każdego przyrostu
takiego, że
zachodzi równość

przy czym
.

W symbolice różniczkowej tezę twierdzenia można zapisać

gdzie
.

Jeżeli
to

Reszta dąży do 0 szybciej niż różniczka funkcji, co wyrażamy mówiąc, że różniczka funkcji jest częścią główną przyrostu funkcji.

Różniczkę można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości funkcji.

Jeśli opuścimy resztę to otrzymamy równość przybliżoną

a stąd

WZÓR TAYLORA z n-tą pochodną

Tw.

Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu U punktu x₀ n-tą pochodną, to dla dowolnego punktu x჎U, istnieje punkt
leżący między x₀ i x taki, że zachodzi równość

gdzie
,
.

nazywamy resztą wzoru Taylora w postaci Lagrange'a.

Dla x₀=0 wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina, przyjmuje on postać

,
.

WZÓR TAYLORA z drugą pochodną

Tw.

Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu U punktu x₀ drugą pochodną, to dla dowolnego punktu x჎U, istnieje punkt
leżący między x₀ i x taki, że zachodzi równość

gdzie
,
.

Dla x₀=0 wzór Maclaurina

ASYMPTOTY UKOŚNE (POCHYŁE ) I POZIOME

Zakładamy, że funkcja f jest określona w przedziale (-∞, a).

Prostą o równaniu
nazywamy asymptotą ukośną ( gdy m=0 asymptotą poziomą) lewostronną krzywej
wtedy i tylko wtedy, gdy

Analogicznie określamy asymptotę ukośną (albo poziomą) prawostronną dla funkcji f określonej w przedziale (a,∞).

Jeżeli prosta
jest asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną krzywej
to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną tej krzywej.

Tw.

Prosta
jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice

.

Prosta
jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice

.

Zauważ, że jeżeli f jest różniczkowalna i ma asymptotę ukośną to z reguły H

---