Wykład 15
Podstawy szczególnej teorii względności
Zasada względności i transformacji Galileusza
Z podstaw mechaniki wiemy , że gdy układ odniesienia porusza się ze stałą prędkością
po linii prostej to każde przeprowadzone przez nas doświadczenie przebiega tak samo
jakbyśmy się nie poruszali. Jednocześnie jakakolwiek zmiana prędkości układu natychmiast
jest przez nas zauważana. To prawo przyrody znane jest jako zasada względności i było
sformułowano jeszcze za czasów Galileusza:
Prawa przyrody (fizyki również) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je
z układu inercjalnego nie poruszającego się, czy z ruchomego układu inercjalnego (czyli
układu poruszającego się względem pierwszego układu bez przyśpieszenia).
/ /
Jeżeli rozważymy dwa inercjalne układy odniesienia K i i układ porusza się
K K
względem układu K ze stałą prędkością V wzdłuż osi Ox (Oy = Oy/ , ), to z
Oz = Oz/
mechaniki klasycznej wynika, że wzory przekładające wyniki obserwacji jednego
obserwatora na spostrzeżenia drugiego mają postać
x'= x - Vt, y'= y, z'= z, t'= t
. (XV.1)
Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza.
Prawie do końca dziewiętnastego wieku uważano, że stosując powyższe wzory do
opisu doświadczeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu inercjalnego w
którym to doświadczenie opisujemy. Okazało się jednak, że nie jest to prawdą. Najpierw
stwierdzono, że przekształcenia Galileusza zastosowane do równań Maxwella nie dają tych
samych wyników dla różnych układów inercjalnych. W szczególności z praw Maxwella
wynika, że prędkość światła, określająca prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych
w próżni, jest podstawową stałą przyrody i powinna być taka sama w każdym układzie
odniesienia. Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w
kierunku osi Ox jest obserwowany przez dwóch obserwatorów, to zarówno obserwator
nieruchomy jak poruszający się z prędkością V (względem pierwszego) zmierzą identyczną
c
prÄ™dkość impulsu = 2.998Å"108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacjÄ… Galileusza i ze
zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość ( c - V ). Wszystkie prowadzone
doświadczenia, w których próbowano podważyć równania Maxwella, dały wynik negatywny i
151
musimy uznać, że prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia. Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości
światła.
Dylatacja czasu
Załóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A,
który następnie odbity przez lustro Z, odległe od A o d powraca do punktu A, gdzie jest
/
rejestrowany (rys.XV.1). Czas jaki upływa między wysłaniem światła, a jego
" t
/
zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie jest oczywiście równy
" t = 2d / c
(patrz rys.XV.1 po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego,
względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie,
znalez
ć czas " t przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na
rysunku (po prawej stronie) światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z porusza się po
linii o długości S :
Rys.XV.1
2 2 2 2
" t c V 2d c V 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 /
. (XV.2)
S = V + d = " t + = " t + (" t )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 c c 2 c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (tj. dwóch odcinków S) wynosi: " t = 2S / c . Z
uwzględnieniem (XV.2) znajdujemy:
2
V 2
ëÅ‚ öÅ‚
/
.
" t = " t + (" t )
ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
SkÄ…d
152
" t'
" t =
2
. (XV.3)
V
1-
c2
Ze wzoru (XV.3) wynika, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach
odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami
obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny. A zatem, każdy
obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar w
spoczynku. To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu
ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych,
więc i np. biologicznego starzenia się.
Transformacja Lorentza i skrócenie długości
/ /
Jeżeli rozważmy dwa inercjalne układy odniesienia K i i układ porusza się
K K
względem układu K ze stałą prędkością V wzdłuż osi Ox (Oy = Oy/ , ), to wzory
Oz = Oz/
przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego, które
uwzględniają stałość prędkości światła, mają postać
V
x - Vt t - x
x'= ,
c2
2
t'=
y'= y, z'= z,
. (XV.4)
V
2
1- V
1-
c2
c2
(V / c) 0
Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza. A
atwo sprawdzić, że jeżeli
przekształcenia Lorentza przechodzą w przekształcenia Galileusza (XV.1).
Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza. Jako przykład,
rozważmy rakietę, poruszającą się z prędkością V , wzdłuż osi i niech w tej
Ox = Ox/
/
rakiecie (układ ) leży pręt o długości . Długość pręta w układzie, w którym pręt
K L/ L/
spoczywa będziemy nazywali własną długością pręta. Znajdziemy, jaką długość tego pręta
zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym .
K
Załóżmy, że pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk
zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki
zapalają się na końcach pręta to . Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie
" x/ = L/
(dla obserwatora w układzie spoczywającym) to dodatkowo " t = 0 . Uwzględniając te
warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza
153
1
" x/ = " x
2
,
V
1-
c2
gdzie "x jest długością pręta L w układzie nieruchomym więc
2
V
" x = L = L/ 1- . (XV.5)
c2
Okazuje się więc, że ruchomy pręt ma mniejszą długość czyli jest krótszy.
Czasoprzestrzeń Minkowskiego
Podstawą matematyczną szczególnej teorii względności jest tak zwana czasoprzestrzeń
Minkowskiego.
Rozważmy w przestrzeni jakiś punktowe z
ródło fal świetlnych , które znajduje się w
P0 (x0, y0, z0 ) t0
układzie odniesienia K w punkcie i w chwili emituje falę świetlną. W
t0 + dt
chwili powierzchnia czoła fali w układzie odniesienia K będzie kulą
(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = c2 (dt)2 . (XV.6)
dx = x
Tu - x0 dy = y - y0 dz = z - z0 x, y, z
, , i są to współrzędne dowolnego punktu na
t0 + dt
powierzchni czoła fali w chwili .
Zgodnie z niezależnością prędkości światła od wybranego układu odniesienia, w
/
drugim inercjalnym układzie odniesienia czoło tej samej fali również będzie powierzchnią
K
kuli
/
(dx/ )2 + (dy/ )2 + (dz/ )2 = c2 (dt )2 . (XV.7)
Z porównania wzorów (XV.6) i (XV.7) widzimy, że wielkość
(ds)2 = c2 (dt)2 - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2 = 0 (XV.8)
nie zależy od wybranego układu odniesienia i jest równa zeru dla fal świetlnych.
Podstawowym założeniem teorii relatywistycznej jest założenie, że wielkość
(ds)2 = c2 (dt)2 - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2 = const (XV.9)
jest wielkością inwariantną nie zależną od wybranego inercjalnego układu odniesienia.
Wielkość (ds)2 nazywa się przedziałem czasoprzestrzennym dwóch nieskończenie
bliskich zdarzeń i ma prostą interpretację, jeżeli wprowadzić czterowymiarową przestrzeń
154
Minkowskiego. W abstrakcyjnej przestrzeni Minkowskiego oprócz trzech przestrzennych
kartezjańskich osi współrzędnych dodajemy jeszcze jedną oś czasową. Zakładamy, iż w
rð rð rð rð
e0,e1,e2,e3
przestrzeni Minkowskiego istnieją cztery jednostkowe wektory takie, że
+ 1 dla µ = ½ = 0,
rð rð
gµ ½ a" (eµ Å" e½ ) = - 1 dla µ = ½ = 1,2,3,
(XV.10)
0 dla µ `" ½ .
gµ ½
Wielkości noszą nazwę składowych tensora metrycznego.
rð
eµ µ = 0,1,2,3
Wektory , oraz wybrany początek układu O tworzą bazę ortonormalną i
położenie dowolnego punktu w przestrzeni Minkowskiego można przedstawić za pomocą
czterowymiarowego wektora (czterowektora) wodzÄ…cego
rð rð rð rð rð
Á = ct Å" e0 + x Å" e1 + y Å" e2 + z Å" e3
. (XV.11)
rð rð rð rð
a" x0 Å" e0 + x1 Å" e1 + x2 Å" e2 + x3 Å" e3
(ct)
Wzdłuż osi czasowej odkładamy dlatego, żeby wszystkie współrzędne miały wymiar
długości. Ze wzorów (XV.10) i (XV.11) otrzymujemy, że jeżeli rozważymy oprócz
czterowektora (XV.11) czterowektor
rð rð rð rð rð rð
Á + ds = c(t + dt) Å" e0 + (x + dx) Å" e1 + ( y + dy) Å" e2 + (z + dz) Å" e3
, (XV.12)
rð rð
(ds Å" ds)
to kwadrat odległości między dwoma punktami albo iloczyn skalarny wynosi
rð rð
2
(ds)2 a" ds Å" ds = c2t - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2 . (XV.13)
Z porównania wzorów (XV.9) i (XV.13) widzimy, że przedziałem czasoprzestrzennym jest po
prostu kwadrat odległości w przestrzeni Minkowskiego dwóch nieskończenie bliskich
zdarzeń.
W odróżnieniu od zwykłej przestrzeni Euklidesa, dla której kwadrat długości wektora
musi być zawsze dodatni, dla przestrzeni Minkowskiego kwadraty wektorów mogą mieć
dowolny znak.
Ze względu na znak kwadratu długości czterowektory w przestrzeni Minkowskiego
dzielimy na (rys.XV.2):
wektory czasowe ( (ds)2 > 0 ,
wektory zerowe ( (ds)2 = 0 ),
155
wektory przestrzenne ((ds)2 < 0 ).
Przyszłość
Ó!
P
gdzie indziej
Ń!
przeszłość
Rys.XV.2
Wektory zerowe znajdują się na powierzchni stożka, który nazywamy stożkiem świetlnym
pewnego zdarzenia P (zdarzenie znajduje się w początku stożka). Jeżeli w znajduje się
P P
z
ródło światła, to promienie świetlne będą rozchodzić się w czasie wzdłuż powierzchni stożka
świetlnego w przód (do góry, jeżeli oś czasowa jest skierowana do góry). Stożek świetlny
dzieli wszystkie zdarzenia względem na trzy obszary (patrz rysunek). Obszary dwóch
P
składowych stożka (górny i dolny) dzielimy na przyszłość (górna cześć stożka) i przeszłość
(dolna część stożka). Wszystkie zdarzenia rzeczywiste, czyli zdarzenia, dla których prędkość
światła jest maksymalną prędkością, znajdują się wewnątrz stożka świetlnego. Dla wektorów
czasowych: c2 (dt)2 > (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 . Zdarzenia znajdujące się poza stożkiem
świetlnym zdarzenia nazywamy zdarzeniami przestrzennymi. Zdarzenia przestrzenne nie są
P
związane przyczynowo ze zdarzeniem P , ponieważ dla nich c2 (dt)2 < (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .
Obszar poza stożkiem nosi nazwę gdzie indziej.
Czas własny i efekt dylatacji czasu
/
Jeżeli jako układ rozważymy układ sztywny związany z poruszającą się cząstką, to
K
zgodnie z (XV.9) mamy
/
c2 (dt)2 - (dl)2 = c2 (dt )2 = (ds)2 = const . (XV.14)
rð rð
2
Tu (dl)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 . UwzglÄ™dniajÄ…c, iż (dl)2 = (Å Å" dt)2 = Å Å" (dt)2 , gdzie Å jest
prędkością cząstki w układzie odniesienia , ze wzoru (XV.14) otrzymujemy, że
K
156
2
Å
/
. (XV.15)
d Å" [t - t Å" 1- ] = 0
c2
SkÄ…d
/ 2
, (XV.16)
t = t Å" 1- ² = const
gdzie
Å
² =
. (XV.17)
c
/
Ze wzoru (XV.16) wynika, że czas ma wyróżnione znaczenie: ten czas obliczony według
t
wzoru (XV.16) nie zależy od żadnego obserwatora inercjalnego, chociaż każdy z
t
obserwatorów bÄ™dzie miaÅ‚ swój czas , a prÄ™dkość czÄ…stki Å wzglÄ™dem różnych ukÅ‚adów
/
bÄ™dzie różna. Czas nazywamy czasem wÅ‚asnym i bÄ™dziemy oznaczali ten czas literÄ… Ä . Ze
t
t
wzoru (XV.16) wynika, że czas własny ruchomej cząstki  płynie wolniej niż czas mierzony
w układzie odniesienia K . Efekt zmniejszenia tempa upływu czasu w układzie ruchomym
(Å = c)
nosi nazwę dylatacji czasu. Ze wzoru (XV.16) wynika, że dla światła czas  własny w
ogóle  nie płynie .
Relatywistyczne dodawanie prędkości
Znajdziemy teraz wzory łączące prędkości ruchomej cząstki w dwóch inercjalnych
rð
/
e1
układach odniesienia. Niech znów układ porusza się względem układu K wzdłuż osi z
K
prędkością V . Ze wzorów (XV.4) mamy
V
/ /
dx1 + Vdt dt + dx1
/ /
dx1 =
c2
2
dx2 = dx2 , dx3 = dx3 , dt =
, / / . (XV.18)
2
V
ëÅ‚ öÅ‚
V
ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
rð rð
rð/ rð/ /
/
Å = dr dt
Prędkości cząstki w układach K i określają wzory: , . A zatem
K Å = dr dt
dzieląc pierwsze trzy równości wzory (XV.18) przez czwartą otrzymujemy
2 2
V V
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
dx1 Å 1/ + V
Å 1- ìÅ‚ ÷Å‚
Å 1- ìÅ‚ ÷Å‚
Å = =
1 dx2 2/ c dx3 3/ c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Å V , , . (XV.19)
dt
Å = = Å = =
1/
2 3
1+
Å V Å V
dt dt
1/ 1/
c2
1+ 1+
c2 c2
157
Wzory (XV.19) określają prawo składania prędkości w relatywistycznej mechanice. W
c "
przypadku, gdy wzory te przechodzÄ… we wzory mechaniki klasycznej: Å 1 = Å 1/ + V ,
Å = Å = Å
, Å .
2
2/ 3 3/
Dynamika relatywistyczna. Czterowektory prędkości i pędu
CechÄ… charakterystycznÄ… w mechanice Newtona jest absolutny charakter czasu, co
oznacza, że czas nie zależy od wybranego inercjalnego układu odniesienia. W mechanice
rð rð
Å = dr dt
Newtona prędkość cząstki określa wektor styczny do trajektorii cząstki: .
Oznaczając wektor za pomocą strzałki, podkreślamy, że w mechanice klasycznej wektor
możemy rozpatrywać jako obiekt geometryczny nie zależny od wyboru osi współrzędnych.
Mówiąc o wektorze wyobrażamy sobie zorientowaną w przestrzeni strzałkę o określonej
długości. Dowolny obrót układu osi współrzędnych nie zmienia kierunku i długości wektora.
Od wybranego układu odniesienia zależą tylko składowe wektora.
W mechanice relatywistycznej trajektorię cząstki będziemy określali 4 - wymiarowym
rð rð
Á Á
wektorem (czterowektorem) wodzącym . Przez współrzędne wektor wodzący w
wybranej bazie możemy zapisać w postaci
rð rð rð rð rð
Á = x0 Å" e0 + x1 Å" e1 + x2 Å" e2 + x3 Å" e3
. (XV.20)
Podobnie jak w zwykłej przestrzeni Euklidesa, będziemy rozpatrywali dowolny wektor w
przestrzeni Minkowskiego jako obiekt geometryczny. Kierunek i długość wektora wodzącego
rð
Á
jest inwariantny względem przekształceń Lorentza. Jednak czas w mechanice
relatywistycznej w różnych inercjalnych układach odniesienia jest różny. Z tego powodu
powstaje pytanie  jak określić wektor prędkości punktu materialnego, żeby ten wektor był
niezależny od wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wiemy, że niezależnym od układu
rð
odniesienia jest wÅ‚asny czas czÄ…stki Ä . A wiÄ™c, jeżeli czterowektor prÄ™dkoÅ›ci u okreÅ›limy
jako
rð
rð dÁ
u =
, (XV.21)
dÄ
to ten wektor będzie relatywistyczne inwariantnym. Współrzędne tego wektora zależą
2
x0 = ct
oczywiście od wybranego układu odniesienia. Uwzględniając, że
i ze
dÄ = dt 1- ²
wzorów (XV.20) i (XV.21) otrzymujemy
158
dx0 c
u0 = =
, (XV.22a)
2
dÄ
1- ²
dx1 Å
1
u1 = =
, (XV.22b)
2
dÄ
1- ²
dx2 Å
2
u2 = =
, (XV.22c)
2
dÄ
1- ²
dx3 Å
3
u3 = =
. (XV.22d)
2
dÄ
1- ²
rð
Å Å Å
Tu , , sÄ… to skÅ‚adowe trójwymiarowego wektora prÄ™dkoÅ›ci Å czÄ…stki w wybranym
1 2 3
inercjalnym układzie .
K
A
atwo sprawdzić, że iloczyn skalarny
rð rð
2 2 2 2
(u Å" u) = u0 - u1 - u2 - u3 = c2
(XV.23)
jest relatywistycznym inwariantem.
W mechanice Newtona pęd punktu materialnego jest iloczynem trójwymiarowego
&ð
m0 rð rð
wektora prędkości i jego masy : p = m0r . W mechanice relatywistycznej uogólnia się
rð
m0
pojęcie pędu i pęd jest iloczynem czterywektora prędkości u i jego masy
rð rð
p = m0u
. (XV.24)
Korzystając ze wzorów (XV.22) składowe czterowektora pędu możemy zapisać w następujący
sposób
p0 = mc pi = mÅ (i = 1,2,3)
, . (XV.25)
i
Tu wielkość
m0
m =
(XV.26)
2
1- ²
m0
nazywa siÄ™ masÄ… relatywistycznÄ… czÄ…stki. Masa nazywa siÄ™ masÄ… spoczynkowÄ… czÄ…stki.
Korzystając ze wzoru (XV.10) natychmiast otrzymujemy, że
rð rð
2 2 2 2 2
( p Å" p) = p0 - p1 - p2 - p3 = m0 c2
(XV.27)
159
jest niezmiennikiem relatywistycznym.
Związek między masą i energią
(Å H" c)
Rozważmy teraz ruch relatywistyczny cząstki w pewnym układzie inercjalnym
K . Można udowodnić, że dla zmiennych przestrzennych pędu równanie ruchu ma postać
równania Newtona
rð
rð
dp
= F (i = 1,2,3)
. (XV.28)
dt
Jednak, w mechanice relatywistycznej, zgodnie z (XV.25) i (XV.26)
rð
rð rð m0Å
p = mÅ =
. (XV.29)
2
1- ²
rð
rð rð
Praca elementarna siÅ‚y dla maÅ‚ego przesuniÄ™cia punktu materialnego o dr = Å Å" dt wynosi
F
rð rð
rð rð rð rð
dA = F Å" dr = Å Å" Fdt = Å Å" dp . (XV.30)
1
- 1/ 2 2
2
dx =
OznaczajÄ…c - ² )
i korzystajÄ…c ze wzoru - (1 - ² )- 3/ 2 (- 2² d² )
znajdujemy
x = (1
2
rð
rð m0Å rð rð rð
dp = d[ ] = m0 Å" d(Å Å" x) = m0 Å" ( x Å" dÅ + Å Å" dx) =
2
1 - ²
rð rð rð
2
îÅ‚ Å‚Å‚
dÅ rð ² Å" d² (1- ² )dÅ + Å ² d²
= m0 Å" + Å Å" = m0 Å"
. (XV.31)
ïÅ‚
2 2 2
(1- ² )1/ 2 (1- ² )3 / 2 śł (1- ² )3 / 2
ðÅ‚ ûÅ‚
rð rð rð
2
Mnożąc (XV.31) skalarnie przez Å i biorÄ…c pod uwagÄ™, że Å dÅ = Å dÅ = d(Å / 2)
otrzymujemy
rð rð rð rð
2
rð rð (1- ² )(Å Å" dÅ ) + (Å Å" Å )² d²
dA = Å Å" dp = m0 Å" =
2
(1- ² )3 / 2
2 2 2 2
Å Å" dÅ - ² d(Å / 2) + Å d(² / 2) Å dÅ
= m0 = m0 2 / 2
. (XV.32)
2
(1- ² )3 / 2 (1- ² )3
1 dy
- 1/ 2
2
d(1- y) = - (1 - y)- 3/ 2(- dy) =
OznaczajÄ…c y = ² i korzystajÄ…c ze wzoru
2 2(1- y)3/ 2
znajdujemy ze wzoru (XV.32)
160
ëÅ‚ öÅ‚
1 d( y) 1
÷Å‚
dA = m0c2 = m0c2 Å" dìÅ‚
. (XV.33)
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 (1 - y)3/ 2
1 - ²
íÅ‚ Å‚Å‚
rð
Praca wykonana przez działający na punkt materialny siły jest równa przyrostowi energii
F
kinetycznej punktu, a zatem
ëÅ‚
m0c2 öÅ‚
dE a" dA = dìÅ‚ 2 ÷Å‚
. (XV.34)
ìÅ‚ ÷Å‚
1- ²
íÅ‚ Å‚Å‚
Wynika stąd słynny wzór Einsteina określający związek między masą i energią cząstki
m0c2
E = mc2 =
. (XV.35)
2
1- ²
² = Å / c < < 1)
W przypadku małych prędkości ( , korzystając z rozwinięcia
2 2
, otrzymujemy
(1- ² )- 1/ 2 = 1+ ² / 2 + Lð w szereg potÄ™gowy wzglÄ™dem Å / c
2 2
Å 1 Å 1
2
E = m0c2 (1- )- 1/ 2 = m0c2 (1+ + Lð) H" m0c2 + m0Å . (XV.36)
c2 2 c2 2
(Å = 0)
Ze wzoru (XV.36) wnioskujemy, że nawet nieruchoma cząstka posiada energię
E0 = m0c2
. Energia ta nazywa siÄ™ energiÄ… spoczynkowÄ… czÄ…stki.
p0 = mc
Biorąc pod uwagę, że i korzystając ze wzorów (XV.27) i (XV.35) znajdziemy
związek między energią a trójwymiarowym pędem
2 2 2
E = m2c4 = p0c2 = m0c4 + c2 p2
, (XV.37)
2 2 2
p2 = p1 + p2 + p3
gdzie .
Ze wzoru (XV.37) wynika, że jeżeli masa spoczynkowa cząstki (na przykład fotonu)
(m0 = 0)
jest równa zeru , to energię i pęd cząstki określa związek
E = cp
. (XV.38)
p = h / 
Dla fotonu , gdzie  - długość fali świetlnej, h - stała Plancka, a zatem ze wzoru
(XV.38) otrzymujemy słynny wzór Plancka - Einsteina określający związek między częstością
½
i energiÄ… fotonu
E
c
E = h a" h½
. (XV.39)

161
Literatura do Wykładu 15
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994,
str.657-664.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 88-107.
Zadania do Wykładu XV
1. W inercjalnym układzie odniesienia , pręt porusza się w podłużnym kierunku z
K
prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å . Ile musi być równa prÄ™dkość Å , żeby dÅ‚ugość prÄ™ta w ukÅ‚adzie K
· =
c
zmniejszyła się o 0,5%? Odpowiedz
: Å = c · (2 - · ) = 0,1Å" c , gdzie - prÄ™dkość
światła.
2. Znalez
ć własną długość pręta, jeżeli pręt porusza się względem nieruchomego układu
K z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å = c / 2 , a jego dÅ‚ugość wzglÄ™dem ukÅ‚adu wynosi m.
K L = 1
Założyć, że kąt między prętem i kierunkiem jego ruchu jest równy 450.
2 2
Odpowiedz
: m.
L0 = L (1- ² sin2 ¸ ) /(1- ² ) = 1,08
t = 5,0
3. Ile wynosiła prędkość zegara w nieruchomym układzie K , jeżeli za czas s (w
t = 5,0
układzie K ), zegar we własnym układzie wskazywał o s mniejszy czas.
Odpowiedz
: Å = c (2 - " t / t)" t / t = 0,6 Å" 108 m/s.
" t0 = 10
4. Czas własny życia pewnej nietrwałej cząstki jest równy ns. Ile wynosi droga
tej cząstki w nieruchomym laboratoryjnym układzie , w którym czas życia tej
K
czÄ…stki wynosi " t = 20 ns. Odpowiedz
: s = c" t 1- (" t0 / " t)2 = 5 m.
5. Dwie cząstki poruszające się w nieruchomym laboratoryjnym układzie wzdłuż
K
jednej prostej z prędkością Š= 3c / 4 zderzają się z tarczą jedna po drugiej z
interwałem czasowym " t = 50 ns. Ile wynosiła odległość między cząstkami do
2
zderzenia z tarczÄ…? Odpowiedz
: m.
L0 = Å " t / 1- ² = 17
xOy
6. W płaszczyz
nie nieruchomego laboratoryjnego układu porusza się cząstka z
K
rð
/ /
prędkością Š(Šx ,Šy ) . Znalez
ć prędkość tej cząstki w układzie odniesienia ,
Å K
162
V
który porusza się z prędkością względem układu w kierunku osi Ox .
K
/ 2 2
Odpowiedz
: Å = (Å - V )2 + Å (1- V / c2 ) /(1- Å V / c2 ) .
x y x
7. Dwie cząstki w nieruchomym laboratoryjnym układzie zbliżają się do siebie
K
Å = 0,5c Å = 0,75c
wzdłuż jednej prostej z prędkościami . Znalez
ć: a) prędkość z
i
1 2
którą zmniejsza się odległość między cząstkami w układzie ; b) względną prędkość
K
Å = Å + Å = 1,25c
czÄ…stek. Odpowiedz
: a) ; b) Å = (Å + Å ) /(1+ Å Å / c2 ) = 0,91c .
1 2 1 2 1 2
8. Dwie cząstki w nieruchomym laboratoryjnym układzie K zbliżają się do siebie pod
Å Å
kątem prostym z prędkościami i . Znalez
ć względną prędkość cząstek.
1 2
2 2
Odpowiedz
: .
Å = Å + Å - (Å Å / c)2
1 2 1 2
p = 10 c
9. Pęd poruszającego się protonu wynosi GeV/c, gdzie - prędkość światła. O
ile procent różni się prędkość tego protonu od prędkości światła. Odpowiedz
:
(c - Å ) / c = 1- [1+ (mc / p)2 ]- 1/ 2 = 0,44% .
· = 2
10. Ile musi wynosić prędkość cząstki, żeby jej relatywistyczny pęd był w razy
większy od pędu klasycznego ( newtonowskiego ).
2
Odpowiedz
: .
Å = (c / · ) · - 1 = c 3 / 2
163