Uzdevumi 9 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
9. nodarb%2łba
sin2 x
2
1. piemrs. Atrast diferencilviendojuma y "sin x - y "cos x = - vispr%2łgo
x2
atrisinjumu.
2
Viendojums ir liners, jo y un y ir tikai pirmaj pakp. Risinot viendojumu
2 2 2
izmantosim substitkciju y = u " v , tad y = u v + uv un iegksim viendojumu:
sin2 x
2 2
u "v "sin x + u(v sin x - vcos x)= - .
x2
Funkciju v(x) atrad%2łsim no viendojuma
2
v "sin x - v "cos x = 0 .
Atdal%2łsim main%2łgos, tad
dv dv cos x dv d(sin x)
sin x = v cos x , = dx , = ,
+" +"
dx v sin x v sin x
ln v = ln sin x , v = sin x .
Noteiksim u(x) no viendojuma
sin2 x 1 dx x-1 1
2 2
u "sin2 x = - , u = - , u = - = - x-2dx = - + C = + C .
+" +"
-1 x
x2 x2 x2
Ttad dot viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
1
# ś#sin
y = + C x .
ś# ź#
x
# #
2
2. piemrs. Atrisint Koai uzdevumu y cos x - y sin x = 2x, y(0) = 0 .
Vispirms atrad%2łsim linera viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu:
2 2 2
y = u " v, y = u v + v u ,
2 2 2 2
(u v + v u)cos x - u " vsin x = 2x, u v " cos x + u(v cos x - vsin x) = 2x ,
dv dv sin x
2
v cos x - vsin x = 0, cos x = vsin x, = dx ,
dx v cos x
dv d(cos x), ln v = - ln cos x , v = (cos x)-1 = 1
= - ;
+" +"
v cos x cos x
9. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1
2 2
u " " cos x = 2x, u = 2x, u =
+"2xdx = x2 + C .
cos x
1 x2 + C
y = (x2 + C)" = - vispr%2łgais atrisinjums.
cos x cos x
Tagad ievietosim skuma nosac%2łjumu:
02 + C C
0 = ! 0 = ! C = 0 .
cos0 1
Ttad partikulrais atrisinjums ir
x2
y = .
cos x
xy 9
2
3. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu y + = , y(0) = 3.
9 - x2 9 - x2
Tas ir liners diferencilviendojums, ko risinsim pc Bernulli metodes ar substitkciju
2 2 2
y = uv, y = u v + uv :
xuv 9 xv 9
ś#
2 2 2 2
u v + uv + = , u v + u#v + = .
ś# ź#
9 - x2 9 - x2 9
# - x2 9 - x2
#
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un no iegkt viendojuma noteiksim funkciju v:
xv dv xv dv xdx
2
v + = 0 , = - , = - ,
9 - x2 dx 9 - x2 v 9 - x2
dv 1 d(9 - x2), ln v = 1
= ln 9 - x2 , v = 9 - x2 .
+" +"
v 2 9 - x2 2
Funkciju v ievietosim viendojum un noteiksim funkciju u:
9 9
2 2
u 9 - x2 = , u = .
3
9 - x2
2
(9 - x2)
x = 3sin t
9 Ą# ń# 3costdt costdt
u = dx = = 27 =
ó#dx = 3costdtĄ# = 9
+" 3 +" 3 +"
3
2
Ś#
2 2
(9 - x2)Ł# (9 - 9sin t)
2
(9cos2 t)
Ą# ń#
costdt dt x
ó#tgt sint sint = x / 3 Ą#
= 27 = = tg t + C = = = = =
+"+"
ó# cost
27 cos3 t cos2 t
1- sin2 t 1-(x / 3)2 - x2 Ą#
9
Ł# Ś#
9. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
x
= + C .
9 - x2
Dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
# ś#
x
ś# ź#
y = + C " 9 - x2 = x + C 9 - x2 .
ś#
9
# - x2 ź#
#
No dot skumnosac%2łjuma y(0) = 3 seko, ka y = 3, ja x = 0. Ievietosim a%2łs vrt%2łbas
vispr%2łgaj atrisinjum
3 = 0 + C 9 - 02 ! 3 = 3C ! C = 1.
Ttad dot diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina doto
skumnosac%2łjumu, ir
y = x + 9 - x2 .
xy
2
4. piemrs. Atrisint Koa%2ł viendojumu y - = x, y(0)=1.
x2 +1
2 2 2
Dotais viendojums ir liners. Izmantosim substitkciju y = u " v , tad y = u v + v u un
viendojumu var prrakst%2łt adi:
x x
2 2 2 2
u v + v u - " uv = x jeb u v + u#v - "vś# = x .
ś# ź#
x2 + 1 # x2 +1 #
Izvlsimies v(x) t, lai
x
2
v - " v = 0 .
x2 +1
Atdal%2łsim main%2łgos:
dv x dv x dv 1 d(x2 +1),
= " v , = dx , =
+" +"
dx v v 2
x2 +1 x2 +1 x2 +1
1
1
2
ln v = ln x2 +1 , v = (x2 +1) = x2 +1 .
2
Tagad, lai atrastu u(x), atrisinsim viendojumu
2
u " x2 +1 = x .
No t
x
2
u =
x2 +1
9. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
un
1
1
- 2
xdx 1 1 (x2 +1)
2
u = = (x2 +1) d(x2 +1)= " + C = x2 +1 + C .
+" +"
1
2 2
x2 +1
2
Atliek tikai sareizint u un v:
# ś#
y = x2 +1 + C x2 +1 = x2 +1+ C x2 +1 .
ś# ź#
# #
Tagad ievietosim skuma nosac%2łjumu:
1 = 02 +1+ C 02 +1 ! 1 = 1+ C ! C = 0 .
Ttad dot diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina nord%2łto
skumnosac%2łjumu, ir
y = x2 +1.
1
3
2
5. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu y + x " y = 3y, y(0) = .
6 6
Prrakst%2łsim doto viendojumu, uz kreiso pusi prnesot lineros saskaitmos, uz labo -
nelineros:
3
2
y - 3y = -x " y .
Tas ir Bernulli diferencilviendojums, kuru var atrisint, izmantojot substitkciju
2 2 2
y = uv, y = u v + uv :
3 3
2 2 2 2
u v + uv - 3uv = -x " uv , u v + u(v - 3v) = -x " uv ,
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un atrisinsim diferencilviendojumu ar
atdalmiem main%2łgajiem:
dv dv dv
2
v - 3v = 0 , = 3v , = 3dx , = 3 , ln v = 3x , v = e3x .
+" +"dx
dx v v
Funkciju v ievietosim dotaj viendojum un atrisinsim iegkto
diferencilviendojumu:
du du ex
3
3
2
u " e3x = -x " u " e3x , e3x = -x " u " ex , = -x dx ,
3
dx e3x
u
1
-
3
xe-2xdx .
+"u du = -+"
Apr7insim katru integrli atsevia7i:
9. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
1
3
-
u 3
3
3
+"u du = + C = u2 + C ,
2 / 3 2
Ą# ń#
ó# Ą#
+"s dw = sw - +"wds Ą# # x
1
ś#
ó#
- xe-2xdx = s = x, ds = dx = - ś#- e-2x +
+" +"e-2xdxź# =
ó# Ą#
2 2
# #
ó#dw = e-2xdx, w = - 1 e-2x Ą#
ó# Ą#
Ł# 2 Ś#
x 1
= e-2x + e-2x + C .
2 4
Tad
3 x 1 x 1
3
3
u2 = e-2 x + e-2 x + C , u2 = e-2x + e-2x + C ,
2 2 4 3 6
3
2
x 1
# ś#
u = e-2 x + e-2 x + C .
ś# ź#
3 6
# #
Diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
3
2
x 1
# ś#
y = e-2x + e-2 x + C " e3x .
ś# ź#
3 6
# #
Izmantosim skuma nosac%2łjumu, lai noteiktu konstantes vrt%2łbu:
3
2
1 1 1
#0 ś#
y(0) = ! = + + C ,
ś# ź#
6
6 6 6 6 # #
2
3
# 1 ś# 1 1 1
ś# ź# = + C ! = + C ! C = 0 .
ś# ź#
6 6 6
6 6
# #
Diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina doto skuma
nosac%2łjumu, ir
3
3 3
x 1 # 2x +1 ś# 2
2x +1
# # ś# 2
y = e-2x + e-2x ś# 2 " e3x = ś## ś# " e-2x ź# " e3x = " e-3x " e3x .
ś# ź# ś# ź#
ś#ś# 6 ź# ź#
3 6 6
# # # # # #
# #
3
2
2x +1
# ś#
Rezultt iegksim y = .
ś# ź#
6
# #
9. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1 1
2
6. piemrs. Atrast diferencilviendojuma y = y + vispr%2łgo atrisinjumu.
2x 2y
Tas ir Bernulli viendojums, kur m = -1. Lietojot substitkciju y = u " v , iegkst
u " v 1 v 1
ś#
2 2 2 2
= .
u v + v u - = , u v + u#v - ź#
ś#
2x 2u " v 2x 2u " v
# #
v dv v dv dx dv 1 dx
2
a) v - = 0, = , = , = ,
+"+"
2x dx 2x v 2x v 2 x
1
1
2
ln v = ln x , v = x = x .
2
1 du 1 dx dx
2
b) u x = , = , 2udu = , ,
+"2udu = +"
dx 2ux x x
2u x
2
u = ln x + C u = ą C + ln x .
Ttad
y = ą C + ln x " x jeb y2 = Cx + x ln x .
(1+ sin x)cos x
2
7. piemrs. Atrisint viendojumu 2y + y cos x = .
y
Dotais viendojums ir Bernulli viendojums, kuru var atrisint, izmantojot
substitkciju y = u "v . Tad
(1+ sin x)cos x (1+ sin x)cos x
2 2 2 2
2u v + 2v u + u "v "cos x = , 2u v + u(2v + vcos x) = .
u "v u "v
Piel%2łdzinsim nullei izteiksmi iekavs un atrisinsim iegkto viendojumu ar atdalmiem
main%2łgajiem
dv dv 1 dv 1
2
2v + v cos x = 0 , 2 = -v cos x , = - cos xdx , = -
+"+"cos xdx ,
dx v 2 v 2
sin x sin x
- -
1
2 2
ln v = - sin x , ln v = ln e , v = e .
2
Tagad atrisinsim viendojumu
9. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
sin x
-
(1+ sin x)cos x 2du (1+ sin x)cos x
2
2
2u " e = jeb = ,
sin x sin x sin x
dx
- - -
2 2 2
e "u e " u " e
kuru iegkst, ievietojot v dotaj diferencilviendojum.
Atdal%2łsim main%2łgus:
2udu = (1+ sin x)cos xesin xdx
un nointegrsim abas viendojuma da<as:
u2 = sin x)cos xesin xdx = sin x)esin xd(sin x) =[sin x = t]= t)et dt =
+"(1+ +"(1+ +"(1+
u1 = 1+ t du1 = dt
Ą# ń#
= = (1+ t)et - = et + tet - et + C = tet + C = sin xesin x + C
ó# Ą#
+"etdt
= etdt v1 = et Ś#
ó# Ą#
Ł#dv1
Tad
u = ą sin xesin x + C
un dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
sin x
-
2
y = u " v = ąe C + sin xesin x = ą e-sin x(C + sin xesin x)= ą Ce-sin x + sin x .
#
1 y2 ś# y
ś# ź#dx - 2 dy = 0 .
8. piemrs. Atrisint diferencilviendojumu +
ś#
x
x2 ź# x
# #
Apz%2łmsim
1 y2 y
P = + , Q = -2 .
x x
x2
"P "Q
Noteiksim parcilos atvasinjumus un :
"y "x
"P 2y "Q 2y
= , = -2y " (-1)x-2 = .
"y
x2 "x x2
"P "Q
T k = , tad dotais viendojums ir eksaktais diferencilviendojums. Lai to
"y "x
atrisintu, meklsim funkciju U(x, y):
#
1 y2 ś# dx x-1 y2
U(x, y) = + + y2 x-2dx = ln x + y2 " + (y) = ln x - + (y)
+"ś# x x2 ź#dx = +" +"
ś# ź#
x -1 x
# #
9. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Iegkto rezulttu parcili atvasinsim pc y un atvasinjumu piel%2łdzinsim funkcijai Q:
2y 2y
2 2
- +  (y) = - ,  (y) = 0 , (y) = C .
x x
Dot diferencilviendojuma vispr%2łgo integrli iegksim, funkciju U piel%2łdzinot nullei:
y2
ln x - + C = 0 .
x
# 1 ś#
9. piemrs. Atrisint viendojumu ś# + 3x2 y2 ź#dy + 2y3xdx = 0 .
ś# ź#
y
# #
Prbaud%2łsim, vai dotais viendojums ir eksaktais, t.i., prbaud%2łsim nosac%2łjuma
"P "Q 1
= izpildi, kur P(x, y) = 2y3x un Q(x, y) = + 3x2 y2 :
"y "x y
"P "Q
= 6y2x, = 6xy2 .
"y "x
Nosac%2łjums izpilds, ttad dot viendojuma lab puse ir funkcijas U(x, y) pilnais
diferencilis. Noteiksim ao funkciju:
x2
U(x, y) = xdx = 2y3 " + (y) = x2 y3 + (y).
+"2y3xdx = 2y3+"
2
Iegkto funkciju parcili atvasinsim pc y un atvasinjumu piel%2łdzinsim funkcijai Q:
1 1 dy
2 2
3x2 y2 +  (y) = + 3x2 y2 ,  (y) = , (y) = = ln y + C .
+"
y y y
Dot diferencilviendojuma vispr%2łgais integrlis ir
x2 y3 + ln y + C = 0 .
y
10. piemrs. Atrast diferencilviendojuma (y3 + cos x)dx +(e + 3xy2)dy = 0 vispr%2łgo
integrli.
Prbaud%2łsim, vai viendojums ir eksakts:
2
P = y3 + cos x, Py = 3y2 ;
y
2
Q = e + 3xy2 , Qx = 3y2 .
Nointegrsim viendojuma pirmo da<u
9. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
U = (y3 + cos x)dx = y3 + xdx = y3x + sin x + (y)
+" +"dx +"cos
Atvasinsim iegktu izteiksmi pc argumenta y un piel%2łdzinsim funkcijai Q:
y y
2 2
3xy2 +  (y) = e + 3xy2 ,  (y) = e
un
y y
(y) = dy = e + C .
+"e
Attiec%2łgi dot diferencilviendojuma vispr%2łgais integrlis ir
y
y3x + sin x + e + C = 0 .
2 2
11. piemrs. Atrisint viendojumu y = e-x ar skuma nosac%2łjumiem y(0)=1 un
2
y (0)= 0 .
Doto viendojumu nointegrsim
-x
2
y = dx = -e-x + C1.
+"e
2
No skuma nosac%2łjuma seko, ka y = 0 , ja x = 0, ttad
0 = -e0 + C1 ! 0 = -1+ C1 ! C1 = 1
un
2
y = -e-x +1.
Nointegrsim vlreiz:
y = (- e-x +1)dx = e-x + x + C2 .
+"
No skuma nosac%2łjuma y(0)= 1 seko
1 = e0 + 0 + C2 ! 1 = 1+ C2 ! C2 = 0.
Rezultt iegkstam dot viendojuma partikulro atrisinjumu
y = e-x + x .
2
y
2 2 2
12. piemrs. Atrast diferencilviendojuma xy = y + xsin vispr%2łgo atrisinjumu.
x
Viendojums atklt veid nesatur y, ttad varam pazemint diferencilviendojuma
2 2 2 2
krtu, izmantojot substitkciju y = z, y = z . Tad iegksim pirms krtas
diferencilviendojumu
9. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
z z z
2 2
xz = z + xsin jeb z = + sin .
x x x
z
Tas ir homogns diferencilviendojums, kuru r7ina ar substitkciju u = . Tad
x
2 2
z = ux, z = u x + u :
du du dx du dx
2
u x + u = u + sin u , x = sin u , = , = ,
+" +"
dx sin u x sin u x
u u
ln tg = ln x + lnC1, tg = C1x , u = 2arctg(C1x), z = 2x " arctg(C1x).
2 2
Ą#
+"sdw =sw - +"wds ń#
ó# Ą#
C1dx
ó#s Ą#
y = " arctg(C1x)dx = = arctg(C1x) ds = = x2arctg(C1x)-
+"2x
ó#
1+ (C1x)2 Ą#
ó# Ą#
dw = 2xdx w = x2 Ś#
ó# Ą#
Ł#
C1x2 1 (C1x)2 +1-1
- dx = x2arctg(C1x)-
+"1+ (Cx)2 dx = x2arctg(C1x)- C1 +"
1+ (C1x)2
# ś#
1 1 d(C1x) x 1
ś#
-
+"dx - +"1+ (C1x)2 ź# = x2arctg(C1x)- C1 + C12 arctg(C1x)+ C2 .
ź#
C1 ś# C1
# #
Ttad dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
x 1
y = x2arctg(C1x)- + arctg(C1x)+ C2 .
C1 C12
1
2 2 2 2 2
13. piemrs. Atrisint treas krtas diferencilviendojumu xy + y = .
x
2
T k viendojums atklt veid nesatur y un y , izmantosim substitkciju
2 2
z = y .
2 2 2 2
Tad y = z un reductais viendojums
1
2
xz + z =
x
ir liners pirms krtas diferencilviendojums. Aizstjot z ar divu funkciju u un v
reizinjumu, iegksim
9. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1 1
2 2 2 2
xu v + xv u + uv = , xu v + u(xv + v)= .
x x
Tad
dv dv dx 1
2
a) xv + v = 0, x = -v, = - , ln v = -ln x , v = x-1 = .
dx v x x
1
1
- 2
1 1 1 dx x
2
2 2
b) x " u " = , u = , u = = x dx = = 2 x + C1 .
+" +"
1
x
x x x
2
Dabkjam
1 C1 2
2 2
z =(C1 + 2 x)" jeb y = + .
x x
x
Divreiz integrjot, iegkstam
1
-
dx
2
2
y = C1 + 2 x dx = C1 ln x + 4 x + C2 ;
+" +"
x
Ą#
+"adb = ab - +"bdań#
1
ó# Ą#
dx dx
ś#
2 Ą#
y = C1 x dx + 4 x dx + C2 = = ln x da = = C1# x ln x - x " +
ś# ź#
+"ln +" +"dx ó#a +"
ó# Ą#
x x
# #
ó# Ą#
db = dx b = x
Ł# Ś#
3
2
x 8
+ 4 " + C2x + C3 = C1(x ln x - x)+ x x + C2x + C3 - dot diferencilviendojuma
3
3
2
vispr%2łgais atrisinjums.
2 2 2
14. piemrs. Atrast diferencilviendojuma yy = (y )2 vispr%2łgo atrisinjumu.
Dotais viendojums atklt veid nesatur x, tpc lietosim substitkciju
2 2 2 2
y = p(y), y = p p . Tad iegksim pirms krtas diferencilviendojumu
2
yp p = p2 .
Tas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Atrisinsim to:
dp dp dy dp dy
yp = p2 , = , = , ln p = ln y + ln C , p = C1y .
+" +"
dy p y p y
9. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
dy
2
Prejot atpaka< ar substitkciju p = y = , iegksim vl vienu viendojumu ar
dx
atdalmiem main%2łgajiem:
dy dy dy
1
= C1y , = C1dx , = C1 , ln y = C1x + ln C2 , y = C2eC x ,
+" +"dx
dx y y
kas ar%2ł ir dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums.
2 3
2 2 2 2 2
15. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu yy = (y ) - (y ) , y(1) = 1, y (1) = -1.
Dotais viendojums atklt veid nesatur x, tpc lietosim substitkciju
2 2 2 2
y = p(y), y = p p . Tad iegksim pirms krtas diferencilviendojumu
2
yp p = p2 - p3 .
Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Izdalot abas viendojuma
puses ar p, dabksim
dp dp dy
y = p - p2 , = .
dy p - p2 y
Nointegrsim abas viendojuma puses:
dp dp 1 0,5 + p - 0,5 p
= = ln = ln
+" +" 2
p - p2 2 " 0,5 0,5 - p + 0,5 1- p
0,25 - (p - 0,5)
Iegksim
p p
ln = ln y + ln C jeb = y " C
1- p 1- p
2
Izmantojot skuma nosac%2łjumus apr7insim C. Ja x = 1, tad y = 1 un p = y = -1,
ttad
-1 1
= 1 "C ! = C ! C = 0,5 .
1- (-1) 2
Tad
p - 0,5y y
= 0,5y ! p = 0,5yp - 0,5y, p(1- 0,5y) = -0,5y , p = = ,
p -1 1- 0,5y y - 2
dy y y - 2 # ś#
2
= , dy = dx ,
+"ś#1- y ź#dy = +"dx , y - 2ln y = x + C .
ś# ź#
dx y - 2 y
# #
No skuma nosac%2łjuma y(1) = 1 seko:
1- 2ln1 = 1+ C ! C = 0
9. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Ttad
y - 2ln y = x .
16. piemrs. Trauk ar tilpumu 40 l ir gaiss, kura sastv ir 80 % slpeklis un 20 %
skbeklis. Trauk katr sekund pievada 0,2 l slpek<a un izskkn tdu paau
daudzumu mais%2łjuma. Noteikt, pc cik ilga laika trauk bks 99% slpek<a.
Apz%2łmsim ar x(t) slpek<a daudzumu litros pc t sekundm no m#injuma skuma.
Apskat%2łsim laika spr%2łdi "t . Trauk pievad%2łt slpek<a daudzums bks 0,2""t l . Lai
noteiktu, cik l slpek<a izskkn laika spr%2łd%2ł "t , ievrosim, ka moment t katr litr ir
x(t)l slpek<a un, ja pieFemsim, ka laika spr%2łd%2ł "t slpek<a koncentrcija nemains,
40
x(t)
tad izskkn "0,2" "t l slpek<a. Slpek<a daudzuma izmaiFa laika spr%2łd%2ł "t bks
40
"x(t)= x(t + "t)- x(t)
un aptuveni tas ir viends ar
x(t)
0,2"t - "0,2"t .
40
Attiec%2łgi, iegkstam viendojumu
"x(t) x(t)
= 0,2 - +ą ,
"t 200
kur ą ir bezgal%2łgi mazs lielums, augstkas krtas nek "t .
"x(t) dx
Eemot vr, ka lim = , iegksim diferencilviendojumu
"t 0 "t dt
dx x
= 0,2 - .
dt 200
Viendojuma skuma nosac%2łjums ir x(0)= 80% " 40 = 32 .
dx
Iegktais viendojums ir liners diferencilviendojums (jo x un ir tikai pirmaj
dt
pakp), ttad to var risint ar substitkciju x(t) = u(t)" v(t):
uv v
ś#
2 2 2 2
u v + uv + = 0,2 , u v + u#v + = 0,2 .
ś# ź#
200 200
# #
t
-
v dv v dv dt t
200
2
a) v + = 0 , = - , = - , ln v = - , v = e .
200 dt 200 v 200 200
t t t t
-
1 t
200 200
2 2
b) u e = 0,2, u = 0,2e , u = " 200 d# ś# = 40e + C .
+"e 200 ś# 200 ź# 200
5
# #
9. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Tad
t t t
# ś#
- -
ś#40e 200 + C ź#
200 200
x(t) = " e = Ce + 40
ś# ź#
# #
un no skuma nosac%2łjuma iegkst
32 = Ce0 + 40, 32 = C + 40 , C = -8,
ttad
t
-
200
x(t) = 40 - 8e .
Lai noteiktu laiku, kad trauk bks 99 % slpek<a, apr7inm 99 % no 40 , tas ir
39,6 un ievietojam atrisinjum
t t t
- - -
t
200 200 200
39,6 = 40 -8e , - 8e = -0,4 , e = 0,05, - = ln 0,05 ,
200
t = -200ln 0,05 H" 599 sek. H" 10 min.
17. piemrs. Materils punkts ar masu m spka F iespaid kustas pa taisni. Spks ir
tieai proporcionls laikam, kas pagjis no kust%2łbas skuma, un apgriezti
proporcionls kust%2łbas trumam.
1) Noteikt sakar%2łbu starp kust%2łbas trumu v un laiku t, ja v(0) = 0;
2) Atrast punkta noieto ce<u pc T laika vien%2łbm, ja skuma moment noietais ce<a
ir 0;
3) Apr7int punkt 2) minto ce<u, ja proporcionalittes koeficients k ir 0,04,
m = 25, T = 20.
1) PieFemsim, ka laik t no kust%2łbas skuma materila punkta prvietojums ir x(t), tad
2
a%2łs funkcijas pirms krtas atvasinjums x (t) ir kust%2łbas trums v, bet otrs krtas
2 2
atvasinjums x (t) - patrinjums, tpc mehnisks kust%2łbas matemtisko modeli var
pierakst%2łt veid
2 2 2
F = ma = mv = mx
(pc otr Ektona likuma).
No uzdevuma nosac%2łjumiem
t t
F = k " = k ,
2
v x
kur k ir proporcionalittes koeficients. Piel%2łdzinot F izteiksmes iegkst viendojumu
t t
2 2 2
mv = k jeb mx = k .
2
v x
Lai atbildtu uz pirmo uzdevuma jautjumu izmantosim pirmo viendojumu.
Tas ir pirms krtas diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem:
9. nodarb%2łba. 14. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
mdv t mv2 kt2
= k , mvdv = ktdt , m = k ,
+"vdv +"tdt 2 = + C1.
dt v 2
Izmantojot skuma nosac%2łjumu v(0) = 0 iegkst
0 = 0 + C1 , C1 = 0 ,
ttad
2
mv2 kt k
= , v(t) = t .
2 2 m
2) Risinot otro uzdevuma jautjumu, izmantosim iegkto rezulttu un aizvietosim
dx
v(t)= :
dt
2
dx k k k t
= " t, dx = tdt, x = + C2 .
dt m m m 2
2
k t
T k x(0) = 0, tad C2 = 0 un x(t) = " . L%2łdz ar to punkta noietais ce<a pc T
m 2
2
k T
laika vien%2łbm ir x(T ) = " .
m 2
3) Gad%2łjum, kad k = 0,04, m = 25 un T = 20, noteiktais ce<a x(T) ir
0,04 400
x(20) = " = 8 .
25 2
18. piemrs. Elast%2łga homogna 7de nostiprinta abos galos. 6des %2łpatnjais svars ir
 . Ir zinms, ka horizontl virzien vrstais elast%2łbas spks ir H. Atrast
viendojumu l%2łnijai, ko izveido 7de smaguma spka ietekm, ja y(0) = a.
y
r
r
F
Fy
ą
r
M Fx
A
r
r
P
H
a
x
O
9. nodarb%2łba. 15. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
r
Apz%2łmsim ar F 7des punktam M(x,y) pielikto spku, vrstu pa pieskari, kas l%2łdzsvaro
r r
7des l%2łnijas loka AM smaguma spku P un elast%2łbas spku H .
r
Sadal%2łsim spku F komponents, tad
Fy = -P, Fx = -H
T k
Fx = F cosą, Fy = F siną, P =  " l,
kur l ir 7des l%2łnijas loka AM garums, tad iegkstam
F siną = - " l, F cosą = -H
Izdal%2łsim pirmo viendojumu ar otro, tad

tgą = l .
H

2
Apz%2łmjot ar k un ievrojot, ka tgą = y iegkstam viendojumu
H
2
y = kl .
2
T k loka garuma diferencils dl ir viends ar 1+ (y )dx , ja l%2łnijas viendojums ir
y = y(x), atvasinot viendojuma abas puses, iegkst 7des l%2łnijas diferencilviendojumu
2 2 2
y = k 1+ (y )2 .
2
Viendojums nesatur x, tpc t krtu var pazemint, apz%2łmjot y = z , tad
dz
2 2 2
y = z = . Iegkst pirms krtas diferencilviendojumu
dx
dz
= k 1+ z2 .
dx
Atdalot main%2łgos un integrjot, iegkstam
dz
= k , ln z + 1+ z2 = kx + C1.
+"+"dx
1+ z2
Ievrojot skuma nosac%2łjumu
2
y (0)= z(0)= 0 ,
Noteiksim C1 vrt%2łbu:
ln 0 + 1+ 02 = k " 0 + C1 ! C1 = 0 .
Tad
z + 1+ z2 = ekx .
Izteiksim z:
9. nodarb%2łba. 16. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1+ z2 = ekx - z .
Kpinot abas puses kvadrt, iegkst
e2kx -1 ekx - e-kx
1+ z2 = e2kx - 2zekx + z2 , z = = = sh(kx).
2
2ekx
dy
T k z = , iegkstam
dx
dy
= sh(kx)
dx
Un, integrjot
ekx + e-kx ch(kx)
y = + C2 = + C2 .
2k k
Ievrojot skuma nosac%2łjumu y(0) = a, iegkst
1 1 1 1 
a = + C2; C2 = a - , y = ch(kx)+ a - , kur k = .
k k k k H
1 x
Piez%2łme. Ja a = , tad C2 = 0 un atbilde ir y = ach .
k a
19. piemrs. Ir zinms, ka strvas stiprumu I(t) un elektrodzinjspku E 7d ar
pretest%2łbu R un paaindukciju L saista viendojums
dI
E = R " I + L .
dt
Atrast strvas stiprumu, ja E(t)= E0 sint; I(0) = I0 .
dI
Viendojums E = RI + L ir pirms krtas liners viendojums. Atrisinsim to k
dt
parasti ar substitkciju
I(t) = u(t)" v(t).
Tad
2 2 2 2
L(u v + v u)+ Ruv = E0 sint , Lu v + u(Lv + Rv) = E0 sint .
dv dv R dv R
2
a) Lv + Rv = 0 , L = -Rv , = - dt , = - ,
+"+"dt
dt v L v L
R
- t
R
L
ln v = - t , v = e .
L
9. nodarb%2łba. 17. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
R R R
- t
E0 L t E0 L t
L
2 2
b) Lu e = E0 sin t , u = e sin t , u =
+"e sin tdt .
L L
Integrjot viendojuma labo pusi divas reizes izmantosim parcilo integraanu:
Ą#u1 = eąt ; du1 = ą eąt dt ń#
1 ą
ó# Ą#
ąt ąt
+"e sin  tdt = +"e cos  t dt =
ó#dv = sin  t dt; v1 = - 1 cos  tĄ# = - eąt cos  t +
 
1
ó# Ą#

Ł# Ś#
Ą#u2 = eą t ; du2 = ą eą t dt ń#
2
1 ą ą
ó# Ą#
ąt
=
+"e sin  t dt .
ó#dv = cos  t dt; v2= 1 sin  tĄ# = - eąt cos  t + eąt sin  t - 2
2

 
2
ó# Ą#

Ł# Ś#
Ttad
2
# ś#
ą ą 1
+"eą t sin  tdt + +"eą t sin  tdt = ś# sin  t - cos  t ź#eą t + C ,
2 ś# 2 ź#

 
# #
2
# ś# # ś#
ą 1
ś#1+ ą ź#
+"eą t sin  tdt = ś# sin  t - cos  t ź#eą t + C ,
2
ś# ź# ś# 2 ź#

 
# # # #
2 2
# ś#
ą +  ą 1
+"eą t sin  tdt = ś# sin  t - cos  t ź#eą t + C ,
2 ś# 2 ź#

 
# #
ą sin  t -  cos  t
ąt
eąt + C .
+"e sin  t dt =
2 2
ą + 
R
Attiec%2łgi dotaj uzdevum ą = un  =  , ttad
L
R
R
E0 L sin t -  cos t L t E0(R sin t -  L cos t)e Rt + C
L
u(t) = " e + C =
2
L
R2 2 R2 +  L2
+ 
L2
un
R
#
- t
E0(Rsin t -  L cos t)e Rt + C ś# e- Rt = E0(Rsin t -  L cos t)
ś# ź#
L L L
I(t) = " + Ce .
2
ś# 2 ź#
R2 +  L2 R2 +  L2
# #
Noteiksim C, izmantojot skuma nosac%2łjumu I(0) = I0 :
R
- "0
E0(Rsin 0 -  L cos0)
L
I0 = + Ce ,
2
R2 +  L2
9. nodarb%2łba. 18. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
 E0L  E0L
I0 = C - ; C = I0 + .
2 2
R2 +  L2 R2 +  L2
Ttad
R
- t
E0(R sin t -  L cos t)ź#e jeb
 E0L
# ś#
L
I(t) = + I0 +
ś#
2 2
R2 +  L2 # R2 +  L2 #
R R
ś#
- t
E0 # - L t
ś# Le + R sin t -  L cos t ź#
L
I(t) = I0e + .
2 ź#
R2 +  L2 ś#
# #
9. nodarb%2łba. 19. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka