R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 9. nodarb%2łba sin2 x 2 1. piemrs. Atrast diferencilviendojuma y "sin x - y "cos x = - vispr%2łgo x2 atrisinjumu. 2 Viendojums ir liners, jo y un y ir tikai pirmaj pakp. Risinot viendojumu 2 2 2 izmantosim substitkciju y = u " v , tad y = u v + uv un iegksim viendojumu: sin2 x 2 2 u "v "sin x + u(v sin x - vcos x)= - . x2 Funkciju v(x) atrad%2łsim no viendojuma 2 v "sin x - v "cos x = 0 . Atdal%2łsim main%2łgos, tad dv dv cos x dv d(sin x) sin x = v cos x , = dx , = , +" +" dx v sin x v sin x ln v = ln sin x , v = sin x . Noteiksim u(x) no viendojuma sin2 x 1 dx x-1 1 2 2 u "sin2 x = - , u = - , u = - = - x-2dx = - + C = + C . +" +" -1 x x2 x2 x2 Ttad dot viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir 1 # ś#sin y = + C x . ś# ź# x # # 2 2. piemrs. Atrisint Koai uzdevumu y cos x - y sin x = 2x, y(0) = 0 . Vispirms atrad%2łsim linera viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu: 2 2 2 y = u " v, y = u v + v u , 2 2 2 2 (u v + v u)cos x - u " vsin x = 2x, u v " cos x + u(v cos x - vsin x) = 2x , dv dv sin x 2 v cos x - vsin x = 0, cos x = vsin x, = dx , dx v cos x dv d(cos x), ln v = - ln cos x , v = (cos x)-1 = 1 = - ; +" +" v cos x cos x 9. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 1 2 2 u " " cos x = 2x, u = 2x, u = +"2xdx = x2 + C . cos x 1 x2 + C y = (x2 + C)" = - vispr%2łgais atrisinjums. cos x cos x Tagad ievietosim skuma nosac%2łjumu: 02 + C C 0 = ! 0 = ! C = 0 . cos0 1 Ttad partikulrais atrisinjums ir x2 y = . cos x xy 9 2 3. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu y + = , y(0) = 3. 9 - x2 9 - x2 Tas ir liners diferencilviendojums, ko risinsim pc Bernulli metodes ar substitkciju 2 2 2 y = uv, y = u v + uv : xuv 9 xv 9 ś# 2 2 2 2 u v + uv + = , u v + u#v + = . ś# ź# 9 - x2 9 - x2 9 # - x2 9 - x2 # Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un no iegkt viendojuma noteiksim funkciju v: xv dv xv dv xdx 2 v + = 0 , = - , = - , 9 - x2 dx 9 - x2 v 9 - x2 dv 1 d(9 - x2), ln v = 1 = ln 9 - x2 , v = 9 - x2 . +" +" v 2 9 - x2 2 Funkciju v ievietosim viendojum un noteiksim funkciju u: 9 9 2 2 u 9 - x2 = , u = . 3 9 - x2 2 (9 - x2) x = 3sin t 9 Ą# ń# 3costdt costdt u = dx = = 27 = ó#dx = 3costdtĄ# = 9 +" 3 +" 3 +" 3 2 Ś# 2 2 (9 - x2)Ł# (9 - 9sin t) 2 (9cos2 t) Ą# ń# costdt dt x ó#tgt sint sint = x / 3 Ą# = 27 = = tg t + C = = = = = +"+" ó# cost 27 cos3 t cos2 t 1- sin2 t 1-(x / 3)2 - x2 Ą# 9 Ł# Ś# 9. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. x = + C . 9 - x2 Dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir # ś# x ś# ź# y = + C " 9 - x2 = x + C 9 - x2 . ś# 9 # - x2 ź# # No dot skumnosac%2łjuma y(0) = 3 seko, ka y = 3, ja x = 0. Ievietosim a%2łs vrt%2łbas vispr%2łgaj atrisinjum 3 = 0 + C 9 - 02 ! 3 = 3C ! C = 1. Ttad dot diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina doto skumnosac%2łjumu, ir y = x + 9 - x2 . xy 2 4. piemrs. Atrisint Koa%2ł viendojumu y - = x, y(0)=1. x2 +1 2 2 2 Dotais viendojums ir liners. Izmantosim substitkciju y = u " v , tad y = u v + v u un viendojumu var prrakst%2łt adi: x x 2 2 2 2 u v + v u - " uv = x jeb u v + u#v - "vś# = x . ś# ź# x2 + 1 # x2 +1 # Izvlsimies v(x) t, lai x 2 v - " v = 0 . x2 +1 Atdal%2łsim main%2łgos: dv x dv x dv 1 d(x2 +1), = " v , = dx , = +" +" dx v v 2 x2 +1 x2 +1 x2 +1 1 1 2 ln v = ln x2 +1 , v = (x2 +1) = x2 +1 . 2 Tagad, lai atrastu u(x), atrisinsim viendojumu 2 u " x2 +1 = x . No t x 2 u = x2 +1 9. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. un 1 1 - 2 xdx 1 1 (x2 +1) 2 u = = (x2 +1) d(x2 +1)= " + C = x2 +1 + C . +" +" 1 2 2 x2 +1 2 Atliek tikai sareizint u un v: # ś# y = x2 +1 + C x2 +1 = x2 +1+ C x2 +1 . ś# ź# # # Tagad ievietosim skuma nosac%2łjumu: 1 = 02 +1+ C 02 +1 ! 1 = 1+ C ! C = 0 . Ttad dot diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina nord%2łto skumnosac%2łjumu, ir y = x2 +1. 1 3 2 5. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu y + x " y = 3y, y(0) = . 6 6 Prrakst%2łsim doto viendojumu, uz kreiso pusi prnesot lineros saskaitmos, uz labo - nelineros: 3 2 y - 3y = -x " y . Tas ir Bernulli diferencilviendojums, kuru var atrisint, izmantojot substitkciju 2 2 2 y = uv, y = u v + uv : 3 3 2 2 2 2 u v + uv - 3uv = -x " uv , u v + u(v - 3v) = -x " uv , Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un atrisinsim diferencilviendojumu ar atdalmiem main%2łgajiem: dv dv dv 2 v - 3v = 0 , = 3v , = 3dx , = 3 , ln v = 3x , v = e3x . +" +"dx dx v v Funkciju v ievietosim dotaj viendojum un atrisinsim iegkto diferencilviendojumu: du du ex 3 3 2 u " e3x = -x " u " e3x , e3x = -x " u " ex , = -x dx , 3 dx e3x u 1 - 3 xe-2xdx . +"u du = -+" Apr7insim katru integrli atsevia7i: 9. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 2 1 3 - u 3 3 3 +"u du = + C = u2 + C , 2 / 3 2 Ą# ń# ó# Ą# +"s dw = sw - +"wds Ą# # x 1 ś# ó# - xe-2xdx = s = x, ds = dx = - ś#- e-2x + +" +"e-2xdxź# = ó# Ą# 2 2 # # ó#dw = e-2xdx, w = - 1 e-2x Ą# ó# Ą# Ł# 2 Ś# x 1 = e-2x + e-2x + C . 2 4 Tad 3 x 1 x 1 3 3 u2 = e-2 x + e-2 x + C , u2 = e-2x + e-2x + C , 2 2 4 3 6 3 2 x 1 # ś# u = e-2 x + e-2 x + C . ś# ź# 3 6 # # Diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir 3 2 x 1 # ś# y = e-2x + e-2 x + C " e3x . ś# ź# 3 6 # # Izmantosim skuma nosac%2łjumu, lai noteiktu konstantes vrt%2łbu: 3 2 1 1 1 #0 ś# y(0) = ! = + + C , ś# ź# 6 6 6 6 6 # # 2 3 # 1 ś# 1 1 1 ś# ź# = + C ! = + C ! C = 0 . ś# ź# 6 6 6 6 6 # # Diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums, kura apmierina doto skuma nosac%2łjumu, ir 3 3 3 x 1 # 2x +1 ś# 2 2x +1 # # ś# 2 y = e-2x + e-2x ś# 2 " e3x = ś## ś# " e-2x ź# " e3x = " e-3x " e3x . ś# ź# ś# ź# ś#ś# 6 ź# ź# 3 6 6 # # # # # # # # 3 2 2x +1 # ś# Rezultt iegksim y = . ś# ź# 6 # # 9. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 1 1 2 6. piemrs. Atrast diferencilviendojuma y = y + vispr%2łgo atrisinjumu. 2x 2y Tas ir Bernulli viendojums, kur m = -1. Lietojot substitkciju y = u " v , iegkst u " v 1 v 1 ś# 2 2 2 2 = . u v + v u - = , u v + u#v - ź# ś# 2x 2u " v 2x 2u " v # # v dv v dv dx dv 1 dx 2 a) v - = 0, = , = , = , +"+" 2x dx 2x v 2x v 2 x 1 1 2 ln v = ln x , v = x = x . 2 1 du 1 dx dx 2 b) u x = , = , 2udu = , , +"2udu = +" dx 2ux x x 2u x 2 u = ln x + C u = ą C + ln x . Ttad y = ą C + ln x " x jeb y2 = Cx + x ln x . (1+ sin x)cos x 2 7. piemrs. Atrisint viendojumu 2y + y cos x = . y Dotais viendojums ir Bernulli viendojums, kuru var atrisint, izmantojot substitkciju y = u "v . Tad (1+ sin x)cos x (1+ sin x)cos x 2 2 2 2 2u v + 2v u + u "v "cos x = , 2u v + u(2v + vcos x) = . u "v u "v Piel%2łdzinsim nullei izteiksmi iekavs un atrisinsim iegkto viendojumu ar atdalmiem main%2łgajiem dv dv 1 dv 1 2 2v + v cos x = 0 , 2 = -v cos x , = - cos xdx , = - +"+"cos xdx , dx v 2 v 2 sin x sin x - - 1 2 2 ln v = - sin x , ln v = ln e , v = e . 2 Tagad atrisinsim viendojumu 9. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. sin x - (1+ sin x)cos x 2du (1+ sin x)cos x 2 2 2u " e = jeb = , sin x sin x sin x dx - - - 2 2 2 e "u e " u " e kuru iegkst, ievietojot v dotaj diferencilviendojum. Atdal%2łsim main%2łgus: 2udu = (1+ sin x)cos xesin xdx un nointegrsim abas viendojuma da<as: u2 = sin x)cos xesin xdx = sin x)esin xd(sin x) =[sin x = t]= t)et dt = +"(1+ +"(1+ +"(1+ u1 = 1+ t du1 = dt Ą# ń# = = (1+ t)et - = et + tet - et + C = tet + C = sin xesin x + C ó# Ą# +"etdt = etdt v1 = et Ś# ó# Ą# Ł#dv1 Tad u = ą sin xesin x + C un dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir sin x - 2 y = u " v = ąe C + sin xesin x = ą e-sin x(C + sin xesin x)= ą Ce-sin x + sin x . # 1 y2 ś# y ś# ź#dx - 2 dy = 0 . 8. piemrs. Atrisint diferencilviendojumu + ś# x x2 ź# x # # Apz%2łmsim 1 y2 y P = + , Q = -2 . x x x2 "P "Q Noteiksim parcilos atvasinjumus un : "y "x "P 2y "Q 2y = , = -2y " (-1)x-2 = . "y x2 "x x2 "P "Q T k = , tad dotais viendojums ir eksaktais diferencilviendojums. Lai to "y "x atrisintu, meklsim funkciju U(x, y): # 1 y2 ś# dx x-1 y2 U(x, y) = + + y2 x-2dx = ln x + y2 " + (y) = ln x - + (y) +"ś# x x2 ź#dx = +" +" ś# ź# x -1 x # # 9. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. Iegkto rezulttu parcili atvasinsim pc y un atvasinjumu piel%2łdzinsim funkcijai Q: 2y 2y 2 2 - + (y) = - , (y) = 0 , (y) = C . x x Dot diferencilviendojuma vispr%2łgo integrli iegksim, funkciju U piel%2łdzinot nullei: y2 ln x - + C = 0 . x # 1 ś# 9. piemrs. Atrisint viendojumu ś# + 3x2 y2 ź#dy + 2y3xdx = 0 . ś# ź# y # # Prbaud%2łsim, vai dotais viendojums ir eksaktais, t.i., prbaud%2łsim nosac%2łjuma "P "Q 1 = izpildi, kur P(x, y) = 2y3x un Q(x, y) = + 3x2 y2 : "y "x y "P "Q = 6y2x, = 6xy2 . "y "x Nosac%2łjums izpilds, ttad dot viendojuma lab puse ir funkcijas U(x, y) pilnais diferencilis. Noteiksim ao funkciju: x2 U(x, y) = xdx = 2y3 " + (y) = x2 y3 + (y). +"2y3xdx = 2y3+" 2 Iegkto funkciju parcili atvasinsim pc y un atvasinjumu piel%2łdzinsim funkcijai Q: 1 1 dy 2 2 3x2 y2 + (y) = + 3x2 y2 , (y) = , (y) = = ln y + C . +" y y y Dot diferencilviendojuma vispr%2łgais integrlis ir x2 y3 + ln y + C = 0 . y 10. piemrs. Atrast diferencilviendojuma (y3 + cos x)dx +(e + 3xy2)dy = 0 vispr%2łgo integrli. Prbaud%2łsim, vai viendojums ir eksakts: 2 P = y3 + cos x, Py = 3y2 ; y 2 Q = e + 3xy2 , Qx = 3y2 . Nointegrsim viendojuma pirmo da<u 9. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. U = (y3 + cos x)dx = y3 + xdx = y3x + sin x + (y) +" +"dx +"cos Atvasinsim iegktu izteiksmi pc argumenta y un piel%2łdzinsim funkcijai Q: y y 2 2 3xy2 + (y) = e + 3xy2 , (y) = e un y y (y) = dy = e + C . +"e Attiec%2łgi dot diferencilviendojuma vispr%2łgais integrlis ir y y3x + sin x + e + C = 0 . 2 2 11. piemrs. Atrisint viendojumu y = e-x ar skuma nosac%2łjumiem y(0)=1 un 2 y (0)= 0 . Doto viendojumu nointegrsim -x 2 y = dx = -e-x + C1. +"e 2 No skuma nosac%2łjuma seko, ka y = 0 , ja x = 0, ttad 0 = -e0 + C1 ! 0 = -1+ C1 ! C1 = 1 un 2 y = -e-x +1. Nointegrsim vlreiz: y = (- e-x +1)dx = e-x + x + C2 . +" No skuma nosac%2łjuma y(0)= 1 seko 1 = e0 + 0 + C2 ! 1 = 1+ C2 ! C2 = 0. Rezultt iegkstam dot viendojuma partikulro atrisinjumu y = e-x + x . 2 y 2 2 2 12. piemrs. Atrast diferencilviendojuma xy = y + xsin vispr%2łgo atrisinjumu. x Viendojums atklt veid nesatur y, ttad varam pazemint diferencilviendojuma 2 2 2 2 krtu, izmantojot substitkciju y = z, y = z . Tad iegksim pirms krtas diferencilviendojumu 9. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. z z z 2 2 xz = z + xsin jeb z = + sin . x x x z Tas ir homogns diferencilviendojums, kuru r7ina ar substitkciju u = . Tad x 2 2 z = ux, z = u x + u : du du dx du dx 2 u x + u = u + sin u , x = sin u , = , = , +" +" dx sin u x sin u x u u ln tg = ln x + lnC1, tg = C1x , u = 2arctg(C1x), z = 2x " arctg(C1x). 2 2 Ą# +"sdw =sw - +"wds ń# ó# Ą# C1dx ó#s Ą# y = " arctg(C1x)dx = = arctg(C1x) ds = = x2arctg(C1x)- +"2x ó# 1+ (C1x)2 Ą# ó# Ą# dw = 2xdx w = x2 Ś# ó# Ą# Ł# C1x2 1 (C1x)2 +1-1 - dx = x2arctg(C1x)- +"1+ (Cx)2 dx = x2arctg(C1x)- C1 +" 1+ (C1x)2 # ś# 1 1 d(C1x) x 1 ś# - +"dx - +"1+ (C1x)2 ź# = x2arctg(C1x)- C1 + C12 arctg(C1x)+ C2 . ź# C1 ś# C1 # # Ttad dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir x 1 y = x2arctg(C1x)- + arctg(C1x)+ C2 . C1 C12 1 2 2 2 2 2 13. piemrs. Atrisint treas krtas diferencilviendojumu xy + y = . x 2 T k viendojums atklt veid nesatur y un y , izmantosim substitkciju 2 2 z = y . 2 2 2 2 Tad y = z un reductais viendojums 1 2 xz + z = x ir liners pirms krtas diferencilviendojums. Aizstjot z ar divu funkciju u un v reizinjumu, iegksim 9. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 1 1 2 2 2 2 xu v + xv u + uv = , xu v + u(xv + v)= . x x Tad dv dv dx 1 2 a) xv + v = 0, x = -v, = - , ln v = -ln x , v = x-1 = . dx v x x 1 1 - 2 1 1 1 dx x 2 2 2 b) x " u " = , u = , u = = x dx = = 2 x + C1 . +" +" 1 x x x x 2 Dabkjam 1 C1 2 2 2 z =(C1 + 2 x)" jeb y = + . x x x Divreiz integrjot, iegkstam 1 - dx 2 2 y = C1 + 2 x dx = C1 ln x + 4 x + C2 ; +" +" x Ą# +"adb = ab - +"bdań# 1 ó# Ą# dx dx ś# 2 Ą# y = C1 x dx + 4 x dx + C2 = = ln x da = = C1# x ln x - x " + ś# ź# +"ln +" +"dx ó#a +" ó# Ą# x x # # ó# Ą# db = dx b = x Ł# Ś# 3 2 x 8 + 4 " + C2x + C3 = C1(x ln x - x)+ x x + C2x + C3 - dot diferencilviendojuma 3 3 2 vispr%2łgais atrisinjums. 2 2 2 14. piemrs. Atrast diferencilviendojuma yy = (y )2 vispr%2łgo atrisinjumu. Dotais viendojums atklt veid nesatur x, tpc lietosim substitkciju 2 2 2 2 y = p(y), y = p p . Tad iegksim pirms krtas diferencilviendojumu 2 yp p = p2 . Tas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Atrisinsim to: dp dp dy dp dy yp = p2 , = , = , ln p = ln y + ln C , p = C1y . +" +" dy p y p y 9. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. dy 2 Prejot atpaka< ar substitkciju p = y = , iegksim vl vienu viendojumu ar dx atdalmiem main%2łgajiem: dy dy dy 1 = C1y , = C1dx , = C1 , ln y = C1x + ln C2 , y = C2eC x , +" +"dx dx y y kas ar%2ł ir dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums. 2 3 2 2 2 2 2 15. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu yy = (y ) - (y ) , y(1) = 1, y (1) = -1. Dotais viendojums atklt veid nesatur x, tpc lietosim substitkciju 2 2 2 2 y = p(y), y = p p . Tad iegksim pirms krtas diferencilviendojumu 2 yp p = p2 - p3 . Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Izdalot abas viendojuma puses ar p, dabksim dp dp dy y = p - p2 , = . dy p - p2 y Nointegrsim abas viendojuma puses: dp dp 1 0,5 + p - 0,5 p = = ln = ln +" +" 2 p - p2 2 " 0,5 0,5 - p + 0,5 1- p 0,25 - (p - 0,5) Iegksim p p ln = ln y + ln C jeb = y " C 1- p 1- p 2 Izmantojot skuma nosac%2łjumus apr7insim C. Ja x = 1, tad y = 1 un p = y = -1, ttad -1 1 = 1 "C ! = C ! C = 0,5 . 1- (-1) 2 Tad p - 0,5y y = 0,5y ! p = 0,5yp - 0,5y, p(1- 0,5y) = -0,5y , p = = , p -1 1- 0,5y y - 2 dy y y - 2 # ś# 2 = , dy = dx , +"ś#1- y ź#dy = +"dx , y - 2ln y = x + C . ś# ź# dx y - 2 y # # No skuma nosac%2łjuma y(1) = 1 seko: 1- 2ln1 = 1+ C ! C = 0 9. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. Ttad y - 2ln y = x . 16. piemrs. Trauk ar tilpumu 40 l ir gaiss, kura sastv ir 80 % slpeklis un 20 % skbeklis. Trauk katr sekund pievada 0,2 l slpek<a un izskkn tdu paau daudzumu mais%2łjuma. Noteikt, pc cik ilga laika trauk bks 99% slpek<a. Apz%2łmsim ar x(t) slpek<a daudzumu litros pc t sekundm no m#injuma skuma. Apskat%2łsim laika spr%2łdi "t . Trauk pievad%2łt slpek<a daudzums bks 0,2""t l . Lai noteiktu, cik l slpek<a izskkn laika spr%2łd%2ł "t , ievrosim, ka moment t katr litr ir x(t)l slpek<a un, ja pieFemsim, ka laika spr%2łd%2ł "t slpek<a koncentrcija nemains, 40 x(t) tad izskkn "0,2" "t l slpek<a. Slpek<a daudzuma izmaiFa laika spr%2łd%2ł "t bks 40 "x(t)= x(t + "t)- x(t) un aptuveni tas ir viends ar x(t) 0,2"t - "0,2"t . 40 Attiec%2łgi, iegkstam viendojumu "x(t) x(t) = 0,2 - +ą , "t 200 kur ą ir bezgal%2łgi mazs lielums, augstkas krtas nek "t . "x(t) dx Eemot vr, ka lim = , iegksim diferencilviendojumu "t 0 "t dt dx x = 0,2 - . dt 200 Viendojuma skuma nosac%2łjums ir x(0)= 80% " 40 = 32 . dx Iegktais viendojums ir liners diferencilviendojums (jo x un ir tikai pirmaj dt pakp), ttad to var risint ar substitkciju x(t) = u(t)" v(t): uv v ś# 2 2 2 2 u v + uv + = 0,2 , u v + u#v + = 0,2 . ś# ź# 200 200 # # t - v dv v dv dt t 200 2 a) v + = 0 , = - , = - , ln v = - , v = e . 200 dt 200 v 200 200 t t t t - 1 t 200 200 2 2 b) u e = 0,2, u = 0,2e , u = " 200 d# ś# = 40e + C . +"e 200 ś# 200 ź# 200 5 # # 9. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. Tad t t t # ś# - - ś#40e 200 + C ź# 200 200 x(t) = " e = Ce + 40 ś# ź# # # un no skuma nosac%2łjuma iegkst 32 = Ce0 + 40, 32 = C + 40 , C = -8, ttad t - 200 x(t) = 40 - 8e . Lai noteiktu laiku, kad trauk bks 99 % slpek<a, apr7inm 99 % no 40 , tas ir 39,6 un ievietojam atrisinjum t t t - - - t 200 200 200 39,6 = 40 -8e , - 8e = -0,4 , e = 0,05, - = ln 0,05 , 200 t = -200ln 0,05 H" 599 sek. H" 10 min. 17. piemrs. Materils punkts ar masu m spka F iespaid kustas pa taisni. Spks ir tieai proporcionls laikam, kas pagjis no kust%2łbas skuma, un apgriezti proporcionls kust%2łbas trumam. 1) Noteikt sakar%2łbu starp kust%2łbas trumu v un laiku t, ja v(0) = 0; 2) Atrast punkta noieto ce<u pc T laika vien%2łbm, ja skuma moment noietais ce<a ir 0; 3) Apr7int punkt 2) minto ce<u, ja proporcionalittes koeficients k ir 0,04, m = 25, T = 20. 1) PieFemsim, ka laik t no kust%2łbas skuma materila punkta prvietojums ir x(t), tad 2 a%2łs funkcijas pirms krtas atvasinjums x (t) ir kust%2łbas trums v, bet otrs krtas 2 2 atvasinjums x (t) - patrinjums, tpc mehnisks kust%2łbas matemtisko modeli var pierakst%2łt veid 2 2 2 F = ma = mv = mx (pc otr Ektona likuma). No uzdevuma nosac%2łjumiem t t F = k " = k , 2 v x kur k ir proporcionalittes koeficients. Piel%2łdzinot F izteiksmes iegkst viendojumu t t 2 2 2 mv = k jeb mx = k . 2 v x Lai atbildtu uz pirmo uzdevuma jautjumu izmantosim pirmo viendojumu. Tas ir pirms krtas diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem: 9. nodarb%2łba. 14. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. mdv t mv2 kt2 = k , mvdv = ktdt , m = k , +"vdv +"tdt 2 = + C1. dt v 2 Izmantojot skuma nosac%2łjumu v(0) = 0 iegkst 0 = 0 + C1 , C1 = 0 , ttad 2 mv2 kt k = , v(t) = t . 2 2 m 2) Risinot otro uzdevuma jautjumu, izmantosim iegkto rezulttu un aizvietosim dx v(t)= : dt 2 dx k k k t = " t, dx = tdt, x = + C2 . dt m m m 2 2 k t T k x(0) = 0, tad C2 = 0 un x(t) = " . L%2łdz ar to punkta noietais ce<a pc T m 2 2 k T laika vien%2łbm ir x(T ) = " . m 2 3) Gad%2łjum, kad k = 0,04, m = 25 un T = 20, noteiktais ce<a x(T) ir 0,04 400 x(20) = " = 8 . 25 2 18. piemrs. Elast%2łga homogna 7de nostiprinta abos galos. 6des %2łpatnjais svars ir . Ir zinms, ka horizontl virzien vrstais elast%2łbas spks ir H. Atrast viendojumu l%2łnijai, ko izveido 7de smaguma spka ietekm, ja y(0) = a. y r r F Fy ą r M Fx A r r P H a x O 9. nodarb%2łba. 15. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. r Apz%2łmsim ar F 7des punktam M(x,y) pielikto spku, vrstu pa pieskari, kas l%2łdzsvaro r r 7des l%2łnijas loka AM smaguma spku P un elast%2łbas spku H . r Sadal%2łsim spku F komponents, tad Fy = -P, Fx = -H T k Fx = F cosą, Fy = F siną, P = " l, kur l ir 7des l%2łnijas loka AM garums, tad iegkstam F siną = - " l, F cosą = -H Izdal%2łsim pirmo viendojumu ar otro, tad
tgą = l . H
2 Apz%2łmjot ar k un ievrojot, ka tgą = y iegkstam viendojumu H 2 y = kl . 2 T k loka garuma diferencils dl ir viends ar 1+ (y )dx , ja l%2łnijas viendojums ir y = y(x), atvasinot viendojuma abas puses, iegkst 7des l%2łnijas diferencilviendojumu 2 2 2 y = k 1+ (y )2 . 2 Viendojums nesatur x, tpc t krtu var pazemint, apz%2łmjot y = z , tad dz 2 2 2 y = z = . Iegkst pirms krtas diferencilviendojumu dx dz = k 1+ z2 . dx Atdalot main%2łgos un integrjot, iegkstam dz = k , ln z + 1+ z2 = kx + C1. +"+"dx 1+ z2 Ievrojot skuma nosac%2łjumu 2 y (0)= z(0)= 0 , Noteiksim C1 vrt%2łbu: ln 0 + 1+ 02 = k " 0 + C1 ! C1 = 0 . Tad z + 1+ z2 = ekx . Izteiksim z: 9. nodarb%2łba. 16. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. 1+ z2 = ekx - z . Kpinot abas puses kvadrt, iegkst e2kx -1 ekx - e-kx 1+ z2 = e2kx - 2zekx + z2 , z = = = sh(kx). 2 2ekx dy T k z = , iegkstam dx dy = sh(kx) dx Un, integrjot ekx + e-kx ch(kx) y = + C2 = + C2 . 2k k Ievrojot skuma nosac%2łjumu y(0) = a, iegkst 1 1 1 1 a = + C2; C2 = a - , y = ch(kx)+ a - , kur k = . k k k k H 1 x Piez%2łme. Ja a = , tad C2 = 0 un atbilde ir y = ach . k a 19. piemrs. Ir zinms, ka strvas stiprumu I(t) un elektrodzinjspku E 7d ar pretest%2łbu R un paaindukciju L saista viendojums dI E = R " I + L . dt Atrast strvas stiprumu, ja E(t)= E0 sint; I(0) = I0 . dI Viendojums E = RI + L ir pirms krtas liners viendojums. Atrisinsim to k dt parasti ar substitkciju I(t) = u(t)" v(t). Tad 2 2 2 2 L(u v + v u)+ Ruv = E0 sint , Lu v + u(Lv + Rv) = E0 sint . dv dv R dv R 2 a) Lv + Rv = 0 , L = -Rv , = - dt , = - , +"+"dt dt v L v L R - t R L ln v = - t , v = e . L 9. nodarb%2łba. 17. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. R R R - t E0 L t E0 L t L 2 2 b) Lu e = E0 sin t , u = e sin t , u = +"e sin tdt . L L Integrjot viendojuma labo pusi divas reizes izmantosim parcilo integraanu: Ą#u1 = eąt ; du1 = ą eąt dt ń# 1 ą ó# Ą# ąt ąt +"e sin tdt = +"e cos t dt = ó#dv = sin t dt; v1 = - 1 cos tĄ# = - eąt cos t +
1 ó# Ą#
Ł# Ś# Ą#u2 = eą t ; du2 = ą eą t dt ń# 2 1 ą ą ó# Ą# ąt = +"e sin t dt . ó#dv = cos t dt; v2= 1 sin tĄ# = - eąt cos t + eąt sin t - 2 2
2 ó# Ą#
Ł# Ś# Ttad 2 # ś# ą ą 1 +"eą t sin tdt + +"eą t sin tdt = ś# sin t - cos t ź#eą t + C , 2 ś# 2 ź#
# # 2 # ś# # ś# ą 1 ś#1+ ą ź# +"eą t sin tdt = ś# sin t - cos t ź#eą t + C , 2 ś# ź# ś# 2 ź#
# # # # 2 2 # ś# ą + ą 1 +"eą t sin tdt = ś# sin t - cos t ź#eą t + C , 2 ś# 2 ź#
# # ą sin t - cos t ąt eąt + C . +"e sin t dt = 2 2 ą + R Attiec%2łgi dotaj uzdevum ą = un = , ttad L R R E0 L sin t - cos t L t E0(R sin t - L cos t)e Rt + C L u(t) = " e + C = 2 L R2 2 R2 + L2 + L2 un R # - t E0(Rsin t - L cos t)e Rt + C ś# e- Rt = E0(Rsin t - L cos t) ś# ź# L L L I(t) = " + Ce . 2 ś# 2 ź# R2 + L2 R2 + L2 # # Noteiksim C, izmantojot skuma nosac%2łjumu I(0) = I0 : R - "0 E0(Rsin 0 - L cos0) L I0 = + Ce , 2 R2 + L2 9. nodarb%2łba. 18. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu risinjumu paraugi. E0L E0L I0 = C - ; C = I0 + . 2 2 R2 + L2 R2 + L2 Ttad R - t E0(R sin t - L cos t)ź#e jeb E0L # ś# L I(t) = + I0 + ś# 2 2 R2 + L2 # R2 + L2 # R R ś# - t E0 # - L t ś# Le + R sin t - L cos t ź# L I(t) = I0e + . 2 ź# R2 + L2 ś# # # 9. nodarb%2łba. 19. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko