c

c

» »» »»

» !"#$!%&

1. KiӅu Khҳc Lâu, LÝ THUYӂT TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, GD, 2006

2. Ngô Nhұt Ҧnh, TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, ĐHBK TPHCM, 1995

3. NguyӉn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYӂT TRƯӠNG, GD, 1978

!'()*+

,»-.»/»01

23456&7

Ô

ë

y

x

ë

y

x

a

k

a

j

a

i

a

,

a

,

a

a

»

»

»

»

G

G

Ô

ë

y

x

ë

y

x

b

k

b

j

b

i

b

,

b

,

b

b

»

»

»

»

G

G

Ô

ë

y

x

ë

y

x

c

k

c

j

c

i

c

,

c

,

c

c

»

»

»

»

G

G

M

ë

ë

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

.

a

G

G

»

»

M

Œ

Œ

Œ

x

y

y

x

ë

x

x

ë

y

ë

ë

y

ë

y

x

ë

y

x

b

a

b

a

k

b

a

b

a

j

b

a

b

a

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

º

G

º

G

º

»

»

»

»

»

»

»

»

M

Œ

b

,

a

cos

b

a

b

.

a

»

»

»

»

»

»

M

c

b

a

»

»

»

Phương:

Œ

u

»

»

»

ñ

ChiӅu: theo qui tҳc vһn nút chai

Đӝ lӟn:

Œ

b

,

a

sin

b

a

c

»

»

»

»

»

^

M

Œ

Œ

Œ

b

.

a

.

c

c

.

a

.

b

c

b

a

»

»

»

»

»

»

»

»

»

º

9

3»&8)9)":"

c

c

9

6

ë

,

y

,

x

6

37";5)

ë

k

y

j

x

i

.

grad

G

G

»

»

»

3<57*5)65

ë

a

y

a

x

a

a

.

a

div

ë

y

x

^

^

»

»

3 &"7=

ÊÊ

Ê

ÊÊ

^

^

^

y

a

x

a

k

x

a

ë

a

ë

a

y

a

i

a

a

a

ë

y

x

k

i

a

a

rot

x

y

ë

x

y

ë

ë

y

x

»

»

»

»

»

»

»

»

>!?6

Hàm mũ

Œ

y

sin

i

y

cos

e

e

e

x

iy

x

ë

^

^

Hàm mũ là mӝt hàm tuҫn hoàn có chu kì là 2 i. Thӵc vұy, ta có

1

k

2

sin

i

k

2

cos

e

i

k

2

^

^

Suy ra

ë

i

k

2

ë

i

k

2

ë

e

e

.

e

e

^

^

Công thӭc Euler

e

iy

= cosy +isiny

Khi đó sӕ phӭc ë = r e

i

= r(cos +isin)

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai là phương trình bұc nhҩt đӕi vӟi

hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

G

G

(1)

Trong đó:

c

c

6

a

1

, a

2

và (x) là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x

(x) = 0 ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính thuҫn nhҩt
(x) 0 ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính không thuҫn nhҩt

a

1

, a

2

const ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính có hӋ sӕ không đәi

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"! D))!C

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:

0

y

a

y

a

y

2

1

G

G

(2)

a

1

, a

2

là các hàm cӫa biӃn x

E)!B23

NӃu y

1

= y

1

(x) và y

2

= y

2

(x) là 2 nghiӋm cӫa (2) thì y = C

1

y

1

+ C

2

y

2

(trong đó C

1

, C

2

là 2 hҵng sӕ tuǤ ý) cũng là nghiӋm cӫa phương trình ҩy.

p

Œ

Œ

const

x

y

x

y

2

1

±

Ý

E)!B93

NӃu y

1

(x) và y

2

(x) là 2 nghiӋm đӝc lұp tuyӃn tính cӫa phương trình vi

phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt (2) thì y = C

1

y

1

+ C

2

y

2

(trong đó C

1

, C

2

là 2

hҵng sӕ tuǤ ý) là nghiӋm tәng quát cӫa phương trình ҩy.

E)! B 63

NӃu đã biӃt mӝt nghiӋm riêng y

1

(x) cӫa phương trình vi phân tӯ

trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt (2) thì có thӇ tìm đưӧc mӝt nghiӋm riêng y

2

(x) cӫa

phương trình đó, đӝc lұp tuyӃn tính vӟi y

1

(x) bҵng cách đһt y

2

(x) = y

1

(x).u(x)

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"$!F)*! D))!C

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai là phương trình bұc nhҩt đӕi vӟi

hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:

)

x

(

y

a

y

a

y

2

1

^

(3)

Trong đó:

a

1

và a

2

là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x; (x) 0

E)! B 23

NghiӋm tәng quát cӫa phương trì nh không thuҫn nhҩt (3) bҵng

nghiӋm tәng quát cӫa phương trình thuҫn nhҩt (2) tương ӭng và mӝt nghiӋm

riêng nào đó cӫa phương trình không thuҫn nhҩt (3).

c

c

(

E)!B93

Cho phương trình không thuҫn nhҩt

)

x

(

f

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

2

1

G

G

G

(4)

NӃu y

1

(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình

)

x

(

y

a

y

a

y

1

2

1

G

G

(5)

và y

2

(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình

)

x

(

y

a

y

a

y

2

2

1

G

G

(6)

thì y(x) = y

1

(x) + y

2

(x) cũng là nghiӋm riêng cӫa phương trình (4)

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"6G!H$!F)*IJ

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:

0

qy

y

p

y

G

G

(7)

p, q là các hҵng sӕ

Giҧ sӱ nghiӋm riêng cӫa (7) có dҥng

kx

e

y

(8)

Trong đó: k là hҵng sӕ sӁ đưӧc xác đӏnh

Suy ra

kx

ke

y

,

kx

2

e

k

y

(9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

Œ

0

q

pk

k

e

2

kx

G

G

(10)

Vì e

kx

0 nên

0

q

pk

k

2

G

G

(11)

NӃu k thoҧ mãn (11) thì y = e

kx

là mӝt nghiӋm riêng cӫa phương trình vi

phân (7). Phương trình (11) gӑi là ! cӫa phương trình vi

phân (7)

Nhұn xét: " ! (7) là phương trình bұc 2 có 2 nghiӋm k

1

và k

2

như sau

$

2

<$

9

9H!K6$!86)!"

, khi đó 2 nghiӋm riêng cӫa phương trình

vi phân (7) là

c

c

?

x

k

1

1

e

y

,

x

k

2

2

e

y

(12)

Hai nghiӋm riêng (12) là đӝc lұp tӯ trưӡng vì

Œ

const

e

y

y

x

k

k

2

1

2

1

(13)

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là

x

k

2

x

k

1

2

1

2

1

e

e

y

y

y

G

G

(14)

$

2

<$

9

9H!K67L)*)!" $

2

M$

9

Hai nghiӋm riêng đӝc lұp tӯ trưӡng:

x

k

1

1

e

y

,

x

k

2

1

xe

y

NghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là

Œ

x

k

2

1

x

k

2

x

k

1

1

1

1

e

x

xe

e

y

G

G

(15)

$

2

<$

9

9H>!?6N)!O>$

2

M¸P <$

9

M¸

Hai nghiӋm riêng cӫa phương trình vi phân (7) là

Œ

Œ

x

i

x

x

i

2

x

i

x

x

i

1

e

e

e

y

e

e

e

y

º

º

M

G

M

(16)

Theo công thӭc Euler ta có

x

sin

i

x

cos

e

x

sin

i

x

cos

e

x

i

x

i

º

G

º

(17)

Suy ra

Œ

Œ

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

x

i

x

2

x

x

i

x

1

º

G

º

M

M

(18)

NӃu

M

1

y

và

M

2

y

là 2 nghiӋm cӫa phương trình vi phân (7) thì các hàm

x

sin

e

i

2

y

y

y

x

cos

e

2

y

y

y

x

2

1

2

x

2

1

1

G

G

M

M

M

M

(19)

cũng là nghiӋm cӫa phương trình vi phân (7) và đӝc lұp tӯ trưӡng vì

c

c

g

const

x

tg

y

y

2

1

^

(20)

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là

Œ

x

sin

x

cos

e

x

sin

e

x

cos

e

y

2

1

x

x

2

x

1

G

^

G

^

(21)

c

c

×

!'()*2

0QRS»

4TRUVWXYZ» »

232386I['O)*I\67')*6!&7'])*I)^

232323456&76'])*I_I)7'])*

M ĐiӋn trưӡng đưӧc đһc trưng bӣi lӵc tác dөng lên điӋn tích đһt trong điӋn

trưӡng

q

F

»

»

(1.1)

Hay:

q

F

»

»

(1.2)

M Cđđt

E

»

tҥi mӝt điӇm bҩt kì trong điӋn trưӡng là đҥi lưӧng vector có trӏ sӕ

bҵng lӵc tác dөng lên mӝt đơn vӏ điӋn tích điӇm dương đһt tҥi điӇm đó

M Lӵc tác dөng giӳa 2 đt điӇm Q và q

2

0

0

r

r

4

Qq

F

»

»

»

(1.3)

-

m

/

F

10

.

854

,

8

12

0

º

- hҵng sӕ điӋn

- - đӝ điӋn thҭm tương đӕi

-

0

r

»

- vector đơn vӏ chӍ phương

M HӋ đt điӇm

n

2

1

q

,...,

q

,

q

í

í

»

n

1

i

2

i

i

0

i

0

n

1

i

i

r

r

q

4

1

»

»

»

(1.4)

i

0

r

»

- các vector đơn vӏ chӍ phương

M Trong thӵc tӃ hӋ thưӡng là dây mҧnh, mһt phҷng hay khӕi hình hӑc, do đó:

»

l

2

l

0

l

r

r

dl

4

1

»

»

(1.5)

c

c

î

^

S

2

S

0

S

r

r

dS

4

1

E

»

»

(1.6)

»

x

2

x

0

x

r

r

dx

4

1

»

»

(1.7)

232393456&7I)6%#

M ĐӇ đơn giҧn khi tính toán đӕi vӟi các môi trưӡng khác nhau, ngưӡi ta sӱ

dөng vector điӋn cҧm

»

0

»

»

(1.8)

232363456&7^6%#

M Tӯ trưӡng đưӧc đһc trưng bӣi tác dөng lӵc cӫa tӯ trưӡng lên điӋn tích chuyӇn

đӝng hay dòng điӋn theo đӏnh luұt Lorentë

v

q

F

»

»

»

(1.9)

M Tӯ trưӡng do phҫn tӱ dòng điӋn

l

Id

»

tҥo ra đưӧc xác đӏnh bӣi đӏnh luұt thӵc

nghiӋm BVL

Œ

r

l

Id

r

4

d

2

0

»

»

»

»

(1.10)

-

m

/

10

.

257

,

1

10

.

4

6

7

0

º

º

»

- hҵng sӕ tӯ

- - đӝ tӯ thҭm tương đӕi

M Tӯ trưӡng cӫa dây dүn có chiӅu dài l

^

l

2

0

r

r

l

Id

4

B

»

»

»

(1.11)

23233456&76'])*I_^7'])*

M ĐӇ đơn giҧn khi tính toán đӕi vӟi các môi trưӡng khác nhau, ngưӡi ta sӱ

dөng vector cưӡng đӝ tӯ trưӡng

»

c

c

0

»

»

(1.12)

2393E)! `!#<IE)! `:%&&)I)B6!

239323E)! `!#;[)*<>!A)

M Cưӡng đӝ dòng điӋn I chҥy qua mһt S đһt vuông góc vӟi nó bҵng lưӧng điӋn

tích q chuyӇn qua mһt S trong mӝt đơn vӏ thӡi gian

dt

dq

I

º

(1.13)

Dҩu trӯ chӍ dòng điӋn I đưӧc xem là dương khi q giҧm

M ĐӇ mô tҧ đҫy đӫ sӵ chuyӇn đӝng cӫa các hҥt mang điӋn trong môi trưӡng dүn

điӋn, ngưӡi ta đưa ra khái niӋ m mұt đӝ dòng điӋn

E

v

v

e

n

J

0

»

»

»

»

w

^

^

^

(1.14)

dҥng vi phân cӫa đӏnh luұt Ohm

- n

0

- mұt đӝ hҥt điӋn có điӋn tích e

- - mұt đӝ điӋn khӕi

-

v

»

- vұn tӕc dӏch chuyӇn cӫa các hҥt điӋn

- w - điӋn dүn suҩt

M Dòng điӋn qua mһt S đưӧc tính theo

ž

ž

ž

ž

d

ž

d

J

dI

I

»

»

»

»

(1.15)

M Mӝt vұt dүn dҥng khӕi lұp phương cҥnh L, 2 mһt đӕi diӋn nӕi vӟi nguӗn áp

U, ta có

#$%&'()*

L

ž

L

R

U

LU

)

EL

)(

L

(

ES

EdS

I

S

^

w

^

w

^

w

^

w

^

(1.16)

dҥng thông thưӡng cӫa đӏnh luұt Ohm

Vì

E

»

và

ž

d

»

cùng chiӅu, đһt

c

c

Ò

1

(1.17)

- điӋn dүn suҩt có đơn vӏ là 1/m

239393E)! `:%&&)I)B6!

M ĐiӋn tích có thӇ phân bӕ liên tөc hay gián đoҥn, không tӵ sinh ra và cũng

không tӵ mҩt đi, dӏch chuyӇn tӯ vùng này sang vùng khác và tҥo nên dòng

điӋn.

M Lưӧng điӋn tích đi ra khӓi mһt kín S bao quanh thӇ tích V bҵng lưӧng điӋn

tích giҧm đi tӯ thӇ tích V đó.

M Giҧ sӱ trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi mһt S, ta có

^

V

dV

Q

(1.18)

sau thӡi gian dt lưӧng điӋn tích trong V giҧm đi dQ

^

^

V

dV

dt

d

dt

dQ

I

(1.19)

Mһt khác

^

ž

ž

J

I

»

»

(1.20)

Suy ra

^

V

S

V

t

S

J

»

»

(1.21)

»!5&IE)!a

Œ

^

^

V

V

S

V

t

V

J

.

S

J

¼

»

»

(1.22)

Suy ra

0

t

J

.

G

¼

(1.23)

Đây là ҥng vi phân cӫa đӏnh luұt bҧo toàn điӋn tích hay Î

.

236386I\67')*6(:%)6b"#F7'])*

c

c

M Các đһc trưng cơ bҧn cӫa môi trưӡng: , , w

M Các phương trình:

E

D

0

»

»

^

(1.24)

0

»

»

(1.25)

gӑi là các phương trình vұt chҩt

M

, , w cưӡng đӝ trưӡng : môi trưӡng tuyӃn tính

M

, , w const : môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng

M

, , w theo các hưӟng khác nhau có giá trӏ không đәi khác nhau: môi trưӡng

không đҷng hưӟng. Khi đó , biӇu iӉn bҵng các tensor có ҥng như bҧng

sӕ. Chҷng hҥn errite bӏ tӯ hoá hoһc plasma bӏ tӯ hoá là các môi trưӡng

không đҷng hưӟng khi truyӅn sóng điӋn tӯ

M

, , w vӏ trí : môi trưӡng không đӗng nhҩt

Trong tӵ nhiên đa sӕ các chҩt có > 1 và là môi trưӡng tuyӃn tính.

Xecnhec có >> 1 : môi trưӡng phi tuyӃn

> 1 : chҩt thuұn tӯ : các kim loҥi kiӅm, Al, NO, Phương trình, O, N,

không khí, ebonic, các nguyên tӕ đҩt hiӃm

< 1 : chҩt nghӏch tӯ : các khí hiӃm, các ion như Na

+

, Cl

-

có các lӟp

electron giӕng như khí hiӃm, và các chҩt khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO

2

, H

2

O,

thuӹ tinh, đa sӕ các hӧp chҩt hӳu cơ

>> 1 : chҩt sҳt tӯ : môi trưӡng phi tuyӃn : e, Ni, Co, G, hӧp kim các

nguyên tӕ sҳt tӯ hoһc không sҳt tӯ e-Ni, e-Ni-Al. Đӝ tӯ hoá cӫa chҩt sҳt tӯ

lӟn hơn đӝ tӯ hoá cӫa chҩt nghӏch tӯ và thuұn tӯ hàng trăm triӋu lҫn.

M Căn cӭ vào đӝ үn điӋn riêng w: chҩt үn điӋn, chҩt bán үn và chҩt cách

điӋn hay điӋn môi

Chҩt үn điӋn: w > 10

4

1/m, w = : chҩt үn điӋn lý tưӣng

Chҩt bán үn: 10

-10

< w < 10

4

c

c

9

Chҩt cách điӋn: w < 10

-10

, w = 0 : điӋn môi lý tưӣng

Không khí là điӋn môi lý tưӣng: = = 1, w = 0

233E)!BH7&*7";H$" HHI<cI)7'])*

M Đưӧc tìm ra bҵng thӵc nghiӋm, là cơ sӣ cӫa các phương trình Maxwell

M Thông lưӧng cӫa vector điӋn cҧm

»

qua mһt S là đҥi lưӧng vô hưӟng đưӧc

xác đӏnh bӣi tích phân

^

S

E

S

D

»

»

(1.26)

ž

d

»

: vi phân diӋn tích theo hưӟng pháp tuyӃn ngoài

dž.cos(

»

,

ž

d

»

) : hình chiӃu cӫa ž lên phương

»

M Xét mӝt mһt kín S bao quanh điӋn tích điӇm q, tính thông lưӧng cӫa

»

o q

tҥo ra qua mһt kín S, ta có

Œ

»

»

d

4

q

r

4

ž

d

,

cos

.

dž

.

q

ž

d

d

2

»

»

»

»

(1.27)

là vi phân góc khӕi tӯ điӋn tích q nh ìn toàn bӝ iӋn tích S

Thông lưӧng cӫa

»

qua toàn mһt kín S là

q

d

4

q

S

d

S

»

»

»

(1.28)

M Xét trưӡng hӧp điӋn tích điӇm q nҵm ngoài mһt kín S. Tӯ điӋn tích q nhìn

toàn mһt S ưӟi mӝt góc khӕi nào đó. Mһt S có thӇ chia thành 2 n ӱa S và S'

D

»

S

»

S

r

»

q

c

c

6

(có giao tuyӃn là AB). Pháp tuyӃn ngoài cӫa S và S' sӁ có chiӅu ngưӧc nhau.

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trӏ nhưng trái ҩu. Khi đó thông

lưӧng cӫa

D

»

qua toàn mһt kín S bҵng 0.

M Xét hӋ điӋn tích điӇm q

1

, q

2

, ..., q

n

đһt trong mһt kín S, ta có

í

n

1

i

i

»

»

(1.29)

Thông lưӧng cӫa

D

»

o hӋ q

1

, q

2

, ..., q

n

gây ra qua toàn mһt kín S

Q

q

S

D

S

D

n

1

i

i

n

1

i

S

i

S

^

^

^

^

^

^

»

»

»

»

(1.30)

Vұy: Thông lưӧng cӫa vector điӋn cҧm

»

qua mһt kín S bҩt kǤ bҵng tәng

đҥi sӕ các điӋn tích nҵm trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi S

Lưu ý: Vì Q là tәng đҥi sӕ các điӋn tích q

1

, q

2

, ..., q

n

, o đó có thӇ âm

hoһc ương

M NӃu trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi S có mұt đӝ điӋn k hӕi thì đưӧc

tính theo

Q

V

S

D

V

S

E

^

^

^

»

»

(1.31)

Các công thӭc (1.30) và (1.31) là ҥng toán hӑc cӫa đӏnh lí Ostrograski -

Gauss đӕi vӟi điӋn trưӡng.

Nguyên lý liên tөc cӫa tӯ thông

M Thӵc nghiӋm đã chӭng tӓ đưӡng sӭc tӯ là khép kín ù nguӗn tҥo ra nó là

òng điӋn hay nam châm. Tìm biӇu thӭc toán hӑc biӇu iӉn cho tính chҩt này

D

»

S

»

A

B

q

c

c

(

M Giҧ sӱ có mһt kín S tuǤ ý nҵm trong tӯ trưӡng vӟi vector tӯ cҧm

B

»

. Thông

lưӧng cӫa

B

»

qua mһt kín S bҵng tәng sӕ các đưӡng sӭc tӯ đi qua mһt S này.

Do đưӡng sӭc tӯ khép kín nên sӕ đưӡng sӭc tӯ đi vào thӇ tích V bҵng sӕ

đưӡng sӭc tӯ đi ra khӓi thӇ tích V đó. Vì vұy thông lưӧng cӫa

B

»

đưӧc tính

theo

0

S

B

S

M

^

^

»

»

(1.32)

Công thӭc (1.32) gӑi là nguyên lý liên tөc cӫa tӯ thông. Đây là mӝt phương

trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ

233 `)Id#!?)!C!'()*7@)!"ef5"7";"=

Khi đһt vòng ây kín trong mӝt tӯ trưӡng biӃn thiên thì trong vòng ây này

xh òng điӋn cҧm ӭng. Chӭng tӓ trong vòng ây có mӝt điӋn trưӡng

»

có chiӅu

là chiӅu cӫa òng điӋn cҧm ӭng đó.

Thí nghiӋm vӟi các vòng ây làm bҵng các chҩt khác nhau, trong điӅu kiӋn

nhiӋt đӝ khác nhau đӅu có kӃt quҧ tương tӵ. Chӭng tӓ vòng ây үn không phҧi

là nguyên nhân gây ra điӋn trưӡng mà chӍ là phương tiӋn giúp chӍ ra sӵ có mһt

cӫa điӋn trưӡng đó. ĐiӋn trưӡng này cũng không phҧi là điӋn trưӡng tĩnh vì

đưӡng sӭc cӫa điӋn trưӡng tĩnh là đưӡng cong hӣ. ĐiӋn trưӡng tĩnh không làm

cho hҥt điӋn ӏch chuyӇn theo đưӡng cong kín đӇ tҥo thành òng điӋn đưӧc (vì

hoá ra trong điӋn trưӡng tĩnh không cҫn tӕn công mà vүn sinh ra năng lưӧng

điӋn !).

Muӕn cho các hҥt điӋn ӏch chuyӇn theo đưӡng cong kín đӇ tҥo thành òng

điӋn thì công phҧi khác 0, có nghĩa là

0

l

E

q

l

»

»

(1.33)

và đ.sӭc cӫa điӋn trưӡng này phҧi là các đ.cong kín và gӑi là điӋn trưӡng xoáy.

Phát biӇu luұn điӇm I: Bҩt kì mӝt tӯ trưӡng nào biӃn đәi theo thӡi gian

cũng tҥo ra mӝt điӋn trưӡng xoáy.

c

c

?

ThiӃt lұp phương trình Maxwell- araay:

Theo đӏnh luұt cҧm ӭng điӋn tӯ cӫa araay, sӭc điӋn đӝng cҧm ӭng xh

trong mӝt vòng ây kim loҥi kín vӅ trӏ sӕ bҵng tӕc đӝ biӃn thiên cӫa tӯ thông đi

qua iӋn tích cӫa vòng ây

t

e

c

º

(1.34)

Dҩu (-) phҧn ҧnh sӭc điӋn đӝng cҧm ӭng trong vòng ây tҥo ra òng điӋn

cҧm ӭng có chiӅu sao cho chӕng lҥi sӵ biӃn thiên cӫa tӯ thông

ž

ž

»

»

(1.35)

là thông lưӧng cӫa vector tӯ cҧm

B

»

qua S đưӧc bao bӣi vòng ây. Suy ra

ÊÊ

º

ÊÊ

º

º

º

ž

ž

ž

c

ž

d

t

ž

d

dt

d

ž

d

dt

d

dt

d

e

»

»

»

»

»

»

(1.36)

Hoһc biӇu iӉn sӭc điӋn đӝng cҧm ӭng e

c

theo lưu sӕ cӫa vector cưӡng đӝ

điӋn trưӡng

»

l

c

l

d

e

»

»

(1.37)

ChiӅu cӫa vòng ây kín l lҩy ngưӧc chiӅu kim đӗng hӗ khi nhìn nó tӯ ngӑn

cӫa

B

»

Vì vòng ây kín l đӭng yên nên theo các công thӭc (1.35), (1.36), (1.37) ta

có

ž

»

B

»

l

»

ž

c

c

g

ÊÊ

º

ž

l

ž

d

t

l

d

»

»

»

»

(1.38)

Đây là phương trình Maxwell- araay ưӟi ҥng tích phân, cũng là mӝt

phương trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ.

Vұy: Lưu sӕ cӫa vector cưӡng đӝ điӋn trưӡng xoáy ӑc theo mӝt đưӡng

cong kín bҩt kì bҵng vӅ giá trӏ tuyӋt đӕi nhưng trái ҩu vӟi tӕc đӝ biӃn thiên theo

thӡi gian cӫa tӯ thông gӱi qua iӋn tích giӟi hҥn bӣi đưӡng cong kín đó.

Theo giҧi tích vector (công thӭc Green -Stock)

Œ

^

S

l

S

E

l

E

»

»

»

»

(1.39)

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)

t

B

E

^

»

»

(1.40)

Đây là phương trình Maxwell- araay ưӟi ҥng vi phân, có thӇ áp өng

đӕi vӟi tӯng điӇm mӝt trong không gian có tӯ trưӡng biӃn thiên.

23g3 `)Id#!?!"!'()*7@)!"ef5#>575

Theo luұn điӇm I, tӯ trưӡng biӃn thiên theo thӡi gian sinh ra điӋn trưӡng

xoáy. Vұy ngưӧc lҥi điӋn trưӡng biӃn thiên có sinh ra tӯ trưӡng không ? ĐӇ

đҧm bҧo tính đӕi xӭng trong mӕi liӋn hӋ giӳa điӋn trưӡng và tӯ trưӡng, Maxwell

đưa ra luұn điӇm II:

Bҩt kì mӝt điӋn trưӡng nào biӃn thiên theo thӡi gian cũng tҥo ra mӝt tӯ

trưӡng.

(Đã chӭng minh bҵng thӵc nghiӋm)

Lưu ý: điӋn trưӡng nói chung có thӇ không p.bӕ đӗng đӅu trong không

gian, có nghĩa là thay đәi tӯ điӇm này sang điӇm khác, nhưng theo luұn điӇm II

è

è

.

ThiӃt lұp phương trình Maxwell-Ampere:

c

c

×

Theo nguyên lí tác өng tӯ cӫa òng điӋn và đӏnh luұt Biot -Savart-Laplace,

Ampere phát biӇu đӏnh luұt òng điӋn toàn phҫn:

*+,- ./010

H

»

&2./0/34

356+,%&789 &83 /3:0/

I

I

l

d

n

1

i

i

l

í

»

¼

(1.41)

Dòng điӋn I đi qua iӋn tích S có thӇ phân bӕ liên tөc hoһc gián đoҥn.

NӃu òng điӋn qua mһt S có phân bӕ liên tөc vӟi mұt đӝ òng điӋn

J

»

thì

ž

l

ž

d

J

l

d

»

»

»

¼

(1.42)

Đӏnh luұt òng điӋn toàn phҫn cũng là mӝt phương trình c ơ bҧn cӫa trưӡng

điӋn tӯ

j

!"#$#%

Căn cӭ vào đӏnh luұt cҧm ӭng điӋn tӯ cӫa araay và đӏnh luұt òng điӋn

toàn phҫn cӫa Ampere, Maxwell bҵng lý thuyӃt đã chӍ ra sӵ tác өng tương hӛ

giӳa đt và tӯ trưӡng cùng vӟi viӋc đưa ra khái niӋm mӟi vӅ òng điӋn ӏch.

Dòng điӋn ӏch có mұt đӝ đưӧc tính theo công thӭc

0

0

J

J

t

t

t

D

J

»

»

¼

»

»

»

G

G

(1.43)

Trong đó:

J

»

l

»

S

»

I

i

S

c

c

î

t

J

d

¼

»

- mұt đӝ òng điӋn p.cӵc trong điӋn môi o sӵ xê ӏch cӫa các

điӋn tích

t

J

0

0

»

»

- điӋn trưӡng biӃn thiên trong chân không và gӑi là mұt đӝ òng

điӋn ӏch

ĐӇ chӭng minh sӵ tӗn tҥi cӫa òng điӋn ӏch, xét thí ө sau: có mӝt mһt

kín S bao quanh 1 trong 2 bҧn cӫa tө điӋn. Do có điӋn áp xoay chiӅu đһt vào tө

điӋn nên giӳa 2 bҧn tө có điӋn trưӡng biӃn thiên

»

và òng điӋn biӃn thiên chҥy

qua tө. Dòng điӋn này chính là òng điӋn #% & vì giӳa 2 bҧn

tө không tӗn tҥi điӋn tích chuyӇn đӝng và có giá trӏ:

t

E

S

I

0

0

^

»

(1.44)

Theo đӏnh luұt Gauss

ž

ž

d

q

0

ž

0

»

»

(1.45)

S

S

S

^

»

vì điӋn trưӡng chӍ tӗn tҥi giӳa 2 bҧn tө

Đӕi vӟi môi trưӡng chân không, ta có: = 1

Dòng điӋn үn chҥy trong ây үn nӕi vӟi tө có giá trӏ bҵng

S

S'

+q

-q

E

»

~

c

c

t

E

S

S

E

t

t

q

I

0

S

0

^

^

^

»

»

»

(1.46)

Suy ra

I = I

0

(1.47)

Vұy: òng điӋn ӏch chҥy giӳa 2 bҧn tө bҵng òng điӋn үn chҥy ӣ mҥch

ngoài tө điӋn.

Bҵng cách bә sung òng điӋn ӏch vào vӃ phҧi cӫa phương trình (1.42), ta

có

36 + ; / 1 0 &7 8 &<

&78&=

^

S

S

l

S

t

D

S

J

l

H

»

»

»

»

»

¼

(1.48)

Hay

ÊÊ

^

S

l

S

t

D

J

l

H

»

»

»

»

¼

(1.49)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere ưӟi ҥng tích phân

Theo giҧi tích vector (công thӭc Green -Stock)

Œ

^

S

l

S

H

l

H

»

»

»

¼

(1.50)

Suy ra

J

J

t

D

J

H

»

»

»

»

»

^

^

(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere ưӟi ҥng vi phân, cũng là mӝt

phương trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ

NӃu môi trưӡng có điӋn үn suҩt w = 0 (điӋn môi lí tưӣng và chân không)

thì o

0

E

J

^

w

^

»

»

, ta có:

0

0

J

t

E

H

»

»

»

^

^

(1.52)

c

c

9

Vұy: òng điӋn ӏch hay điӋn trưӡng biӃn thiên theo thӡi gian cũng tҥo ra

tӯ trưӡng như òng điӋn үn.

23h3»7'])*I)^<!>!'()*7@)!"ef5

Theo các luұn điӇm cӫa Maxwell, tӯ trưӡng biӃn thiên theo thӡi gian tҥo ra

điӋn trưӡng xoáy, và ngưӧc lҥi điӋn trưӡng biӃn thiên th eo thӡi gian tҥo ra tӯ

trưӡng. Vұy trong không gian điӋn trưӡng và tӯ trưӡng có thӇ đӗng thӡi tӗn tҥi

và có liên hӋ chһt chӁ vӟi nhau

ĐiӋn trưӡng và tӯ trưӡng đӗng thӡi tӗn tҥi trong không gian tҥo thành mӝt

trưӡng thӕng nhҩt gӑi là trưӡng điӋn tӯ.

Trưӡng điӋn tӯ là mӝt ҥng vұt chҩt đһc trưng cho sӵ tương tác giӳa các

hҥt mang điӋn.

!'()*7@)!"ef5"7";"=

Dҥng tích phân

ÊÊ

^

S

l

S

t

B

l

E

»

»

»

»

(1.53)

Dҥng vi phân

t

B

E

^

»

»

(1.54)

Y

>?@A4- B C.;,D8 E 103

D80/%F

!'()*7@)!"ef5#>575

Dҥng tích phân

ÊÊ

^

S

l

S

t

D

J

l

H

»

»

»

»

¼

(1.55)

Dҥng vi phân

t

D

J

G

»

»

»

(1.56)

c

c

9

Y

>?@A - B C.$803DG+

10&78&=F

E)!BI<cI)7'])*

Dҥng tích phân

q

ž

d

D

ž

»

»

(1.57)

Theo giҧi tích vector:

^

V

S

V

D

.

S

D

»

»

»

và

^

V

V

q

, ta có

Dҥng vi phân

^

D

.

»

(1.58)

Y

> ? H I - % 0 +A 8 0 J H 1

%8& /%8K$0LM

E)!BI<c^7'])*

Dҥng tích phân

0

ž

d

ž

»

»

(1.59)

Dҥng vi phân

0

.

»

(1.60)

Y

>?I- %0+A10$0HLM

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gӑi là hӋ phương trình

Maxwell

t

B

E

^

»

»

t

J

G

»

»

»

(1.61)

Y

.

»

0

.

»

>!'()*7@)!"ef5<c)* i))*&

c

c

99

Trong lí thuyӃt anten bӭc xҥ điӋn tӯ phát ra tӯ nguӗn và đi vào không gian.

Dòng điӋn trong anten là nguӗn bӭc xҥ điӋn tӯ. Nguӗn òng điӋn này đӝc lұp

vӟi môi trưӡng và không chӏu ҧnh hưӣng cӫa trưӡng o nó tҥo ra, gӑi là nguӗn

ngoài. Các nguӗn ngoài có bҧn chҩt điӋn hoһc không điӋn. ĐӇ đһc trưng cho

nguӗn ngoài cӫa trưӡng điӋn tӯ ta có khái niӋm mұt đӝ òng điӋn ngoài

J

»

.

Đ.luұt hm ҥng vi phân:

Œ

ý

ý

J

J

»

»

»

»

G

G

(1.62)

Nhұn xét: hӋ phương trình Maxwell (1.61) chӍ mô tҧ trưӡng điӋn tӯ tҥi

nhӳng điӇm trong không gian không tӗn tҥi nguӗn ngoài cӫa trưӡng hay

#. Khi có nguӗn ngoài hӋ phương trình Maxwell đưӧc viӃt lҥi

t

º

»

»

t

Y

J

J

ý

G

G

»

»

»

»

(1.63)

Y

.

»

0

.

»

Trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng có , và w, tӭc là

môi trưӡng điӋn môi:

E

D

0

»

»

^

môi trưӡng үn điӋn:

E

J

»

»

w

^

môi trưӡng tӯ hoá:

0

»

»

, ta có

t

0

º

»

»

t

J

0

ý

G

G

»

»

»

»

(1.64)

0

E

.

^

»

0

H

. ^

»

* =N)BIJj)6b"!>!'()*7@)!"ef5

c

c

96

M Xét trưӡng hӧp môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, không òng điӋn

үn, không điӋn tích tӵ o và nguӗn ngoài

0

J

J

ý

»

»

t

H

E

0

^

»

»

t

0

»

»

(1.65)

0

E

.

^

»

0

H

. ^

»

Nhұn xét:

»

và

»

đӕi xӭng và có thӇ đәi lүn cho nhau

M ĐӇ hӋ phương trình Maxwell trong trưӡng hӧp có nguӗn ngoài vүn đӕi

xӭng, cҫn phҧi đưa thêm 2 đҥi lưӧng hình thӭc

M

J

»

- mұt đӝ òng tӯ ngoài

M

- mұt đӝ tӯ khӕi

Trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, không òng điӋn үn, không

điӋn tích tӵ o, vӟi nguӗn điӋn và tӯ ngoài

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

t

J

0

G

»

»

»

, ` È`

(1.66)

0

E

.

^

»

0

.

»

Ӭng өng: nӃu kӃt quҧ bài toán cho mӝt nguӗn điӋn (nguӗn tӯ) đã biӃt, thì

sӱ өng nguyên lý đәi lүn đӇ xác đӏnh kӃt quҧ bài toán c ho mӝt nguӗn tӯ (nguӗn

điӋn), mà không cҫn phҧi giҧi cҧ hai.

>!'()*7@)!"ef5I<c7'])*I)^Ik !&

c

c

9(

Trưӡng điӋn tӯ và nguӗn biӃn thiên điӅu hoà vӟi tҫn sӕ góc Ç nên có thӇ

biӇu iӉn ưӟi ҥng phӭc, ta có

M

^

E

re

E

»

»

M

re

»

»

(1.67)

M

^

J

re

J

»

»

M

^

re

Vӟi:

Trong đó:

Œ

ë

y

x

i

më

i

my

i

mx

m

m

e

k

e

j

e

i

ë

,

y

,

x

M

M

G

G

^

»

»

»

»

»

gӑi là biên đӝ phӭc

cӫa

M

E

»

;

x

,

y

,

ë

là các pha ban đҫu

Khi đó

m

0

m

H

i

E

M

M

Ç

^

»

»

m

m

0

m

J

i

M

M

M

M

G

G

»

»

»

»

(1.69)

0

m

m

.

M

M

»

0

.

M

»

23l3k $):N)I<c686<56&76b"7'])*I)^

Xét hai môi trưӡng 1 và 2 có mһt phân cách S, xét tính liên tөc hoһc gián

đoҥn cӫa cácvector cӫa trưӡng điӋn tӯ và đã xác đӏnh đưӧc

- đӕi vӟi thành phҫn pháp tuyӃn cӫa điӋn trưӡng

D

1n

- D

2n

=

S

S

8!

(1.70)

t

i

m

e

M

M

;

t

i

m

e

M

M

»

»

;

t

i

m

e

M

M

»

»

;

t

i

m

e

J

J

M

M

»

»

(1.68)

c

c

9?

Khi

S

= 0 ta có: D

1n

= D

2n

hay

1

2

n

2

n

1

E

E

^

- đӕi vӟi thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa điӋn trưӡng

E

1

= E

2

,

1

2

2

1

D

D

^

(1.71)

- đӕi vӟi thành phҫn pháp tuyӃn cӫa tӯ trưӡng

B

1n

= B

2n

,

1

2

n

2

n

1

^

(1.72)

- đӕi vӟi thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa tӯ trưӡng

1

-

2

= I

S

I

S

&78!

Khi I

S

= 0 ta có: H

1

= H

2

hay

1

2

2

1

B

B

^

(1.73)

- Trưӡng hӧp đһc biӋt môi trưӡng 1 là điӋn môi và môi trưӡng 2 là vұt үn

lí tưӣng có w

2

= . Trong vұt үn lí tưӣng trưӡng điӋn tӯ không tӗn tҥi, có nghĩa

là

0

H

2

2

^

^

»

»

.

Thӵc vұy, nӃu vұt үn lí tưӣng tӗn tҥi trưӡng điӋn tӯ

0

;

2

2

±

»

»

thì ưӟi tác

өng cӫa trưӡng các điӋn tích tӵ o sӁ phân bӕ lҥi điӋn tích trên bӅ mһt cӫa nó

cho đӃn khi trưӡng phө o chúng tҥo ra triӋt tiêu vӟi trưӡng ban đҫu và kӃt quҧ

trưӡng tәng hӧp trong vұt үn lý tưӣng bҵng 0. Trên bӅ mһt S cӫa vұt үn lí

tưӣng có òng điӋn mһt và điӋn tích mһt tӗn tҥi trong mӝt lӟp mӓng vô hҥn.

Khi đó ta đưӧc

E

1n

=

1

S

E

1

= 0

H

1n

= 0

H

1

= I

S

(1.74)

c

c

9g

Vұy: trưӡng điӋn tӯ trong điӋn môi sát mһt vұt үn lí tưӣng chӍ có thành

phҫn pháp tuyӃn cӫa

»

và thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa

»

23m3n)*'O)*7'])*I)^E)!BR#&<&=))*

- Năng lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ

W = W

E

+ W

M

=

Œ

Ç

Ç

V

M

E

V

=

ÊÊ

V

2

0

2

0

V

2

2

E

- Đӏnh lí Umov Poynting

Đã chӭng minh đưӧc

O

t

S

P

P

t

W

S

^

»

»

(1.75)

Trong đó

H

E

»

»

»

^

(W/m

2

) vector Poynting

Phương trình =

^

x

2

x

dx

dx

J

»

»

»

công suҩt tiêu hao nhiӋt o òng điӋn үn

J

»

gây ra trong V

P

O

=

x

dx

J

»

»

công suҩt cӫa nguӗn ngoài trong thӇ tích V

(1.75) gӑi là đӏnh lí Umov Poynting mô tҧ sӵ cân bҵng cӫa trưӡng điӋn tӯ

trong thӇ tích V

Phát biӇu: Tәng các đӝ biӃn đәi năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ, công suҩt tәn

hao nhiӋt và công suҩt nguӗn ngoài trong thӇ tích V bҵng thông lưӧng cӫa

vector Poynting qua mһt kín S bao thӇ tích V đó.

Vector Poynting

(

»

biӇu thӏ sӵ ӏch chuyӇn năng lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ.

232+3E)!B)*!#; =)!C

HӋ phương trình Maxwell có nghiӋm uy nhҩt khi trưӡng điӋn tӯ thoҧ mãn

các điӅu kiӋn sau

c

c

9×

1. BiӃt các vector cđ điӋn trưӡng và tӯ trưӡng tҥi thӡi điӇm t

0

= 0 ӣ tҥi bҩt

kì điӇm nào trong vùng không gian khҧo sát hay còn gӑi là điӅu kiӋn ban đҫu,

tӭc là

Œ

0

,

ë

,

y

,

x

E

E

0

»

»

^

khi t = 0

Œ

0

,

ë

,

y

,

x

H

H

0

»

»

^

(1.76)

2. BiӃt thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa

E

»

và thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa

H

»

tҥi mһt

giӟi hҥn S bao miӅn không gian khҧo sát trong khoҧng thӡi gian 0 < t < hay

còn gӑi là điӅu kiӋn biên

E = E

|S

hoһc H = H

|S

vӟi 0 < t <

(1.77)

Nhұn xét: Đӏnh lí nghiӋm uy nhҩt có ý nghĩa quan trӑng vì bҵng cách nào

đó ta nhұn đưӧc nghiӋm cӫa hӋ phương trình Maxwell và nӃu nó thoҧ mãn các

điӅu kiӋn trên thì nghiӋm nhұn đưӧc là uy nhҩt.

23223* =N)B'()*!o

Nguyên lí tương hӛ phҧn ҧnh mӕi quan hӋ tương hӛ giӳa trưӡng điӋn tӯ và

các nguӗn tҥo ra nó tҥi hai điӇm khác nhau trong không gian.

'(")*

Dҥng vi phân

ÊÊ

º

º

º

º

ÊÊ

º

ÊÊ

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

J

J

J

J

.

.

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

(1.78)

Dҥng tích phân

ÊÊ

ÊÊ

^

^

ÊÊ

ÊÊ

ÊÊ

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

S

m

1

m

2

m

2

m

1

V

H

J

H

J

E

J

E

J

S

H

E

H

E

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

(1.79)

V Î , ta có

c

c

9î

0

dx

J

J

J

J

x

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

ÊÊ

º

º

ÊÊ

º

M

M

M

M

M

M

M

M

»

»

»

»

»

»

»

»

(1.80)

9 +,-. /
Giҧ sӱ trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, nguӗn điӋn và tӯ 1 phân

bӕ trong V

1

, nguӗn điӋn và tӯ 2 phân bӕ trong V

2

và 2 thӇ tích này không có

miӅn chung. Do đó vӃ trái cӫa phương trình (1.80) tích phân trong miӅn V Î

chia thành 3 miӅn V

1

, V

2

và miӅn còn lҥi. Tuy nhiên tích phân trong miӅn còn

lҥi bҵng 0 vì miӅn này không tӗn tҥi nguӗn cho nên phương trình (1.80) đưӧc

viӃt lҥi

ÊÊ

º

ÊÊ

º

M

M

M

M

M

M

M

M

2

V

m

1

m

2

m

1

m

2

1

V

m

2

m

1

m

2

m

1

dV

J

J

dV

J

J

»

»

»

»

»

»

»

»

(1.81)

gӑi là nguyên lí tương hӛ cӫa trưӡng điӋn tӯ và nguӗn cӫa chúng ӣ 2 miӅn khác

nhau.

23293* =N)BIi)*;[)*I)I_)*

Nguyên lí đӗng ҥng điӋn đӝng hay còn gӑi là nguyên lí mүu hoá xác đӏnh

mӕi quan hӋ giӳa trưӡng điӋn tӯ. Các tham sӕ điӋn và hình hӑc cӫa h Ӌ điӋn tӯ và

môi trưӡng đӕi vӟi 2 hӋ điӋn tӯ đӗng ҥng điӋn đӝng vӟi nhau.

Tham sӕ hoá các đҥi lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

a

t

;

a

l

;

a

J

;

a

J

;

a

;

a

»

»

»

»

»

»

»

»

(1.82)

4

3

2

1

a

;

a

;

a

;

a

»

»

»

»

là các vector đơn vӏ không có thӭ nguyên chӍ sӵ phө thuӝc cӫa

cưӡng đӝ trưӡng và nguӗn vào các toҥ đӝ không gian và thӡi gian

6

5

a

;

a

là các đơn vӏ vô hưӟng xác đӏnh toҥ đӝ không gian và thӡi gian

Các hӋ sӕ tӍ lӋ ¸

i

có thӭ nguyên tương ӭng là

¸

1

[A/m], ¸

2

[V/m], ¸

3

[A/m

2

], ¸

4

[V/m

2

], ¸

5

[m], ¸

6

[s]

Thay các đҥi lưӧng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây

t

J

0

G

G

»

»

»

»

, ` È`

(1.83)

c

c

9

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

Ta đưӧc

3

3

6

2

2

1

1

a

c

a

a

c

c

a

»

»

»

^

(1.84)

6

1

5

4

4

2

a

a

c

a

c

a

^

»

»

»

Các hӋ sӕ tӍ lӋ c

i

không có thӭ nguyên tương ӭng vӟi các biӇu thӭc sau

1

5

2

1

c

¸

¸

w

¸

^

;

6

5

2

2

c

¸

¸

¸

^

;

1

5

3

3

c

¸

¸

¸

^

;

2

5

4

4

c

¸

¸

¸

^

;

6

2

5

1

5

c

¸

¸

¸

¸

^

HӋ phương trình (1.84) là ҥng không có thӭ nguyên, mô tҧ các hӋ điӋn tӯ

khác nhau qua hӋ sӕ c

i

. Hai hӋ điӋn tӯ có các hӋ sӕ c

i

tương ӭng bҵng nhau gӑi

là 2 hӋ đӗng ҥng điӋn đӝng vӟi nhau.

23263»7'])*p)!I)

Trưӡng tĩnh điӋn đưӧc tҥo ra bӣi các điӋn tích đӭng yên và không biӃn đәi

theo thӡi gian, ta có hӋ phương trình Maxwell như sau

0

»

Y

.

»

(1.85)

Y

0

»

»

2323»^7'])*6b";q)*I)$!F)*IJ

0

»

Y

.

»

(1.86)

E

D

0

»

»

^

J

H

»

»

^

0

.

»

(1.87)

H

B

0

»

»

^

c

c

6

Nhұn xét: ĐiӋn trưӡng cӫa òng điӋn không đәi cũng tương tӵ như điӋn

trưӡng tĩnh và là mӝt trưӡng thӃ, chӍ khác nhau là điӋn trưӡng cӫa òng điӋn

không đәi tӗn tҥi ngay cҧ trong vұt үn

J

»

»

, còn điӋn trưӡng tĩnh thì không

tӗn tҥi bên trong vұt үn.

c

c

6

!'()*9

»Vr0W» stu

9

323!'()*7@)!HG)*I<c686<56&76'])*I_7'])*

Lưu ý:

- là đӝ điӋn thҭm tӍ đӕi đӕi vӟi môi trưӡng

- là đӝ tӯ thҭm tӍ đӕi đӕi vӟi môi trưӡng

Đһt ¶ =

0

và ¶ =

0

- ¶ là đӝ điӋn thҭm tuyӋt đӕi

- ¶ là đӝ tӯ thҭm tuyӋt đӕi

HӋ phương trình Maxwell trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng có cҧ

nguӗn điӋn và tӯ ngoài

t

J

H

0

G

G

»

»

»

»

(1)

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

(2)

(2.1)

0

.

»

(3)

0

M

H

.

^

»

(4)

Nhұn xét: Các phương trình (1) và (2) bao gӗm

E

»

,

H

»

và các nguӗn điӋn và

tӯ nên khó giҧi. Vì vұy cҫn đưa chúng vӅ ҥng đơn giҧn hơn.

Lҩy rot 2 vӃ cӫa các phương trình (1) và (2)

Œ

Œ

Œ

Œ

t

J

.

0

2

»

»

»

»

»

»

G

G

º

(1)

Œ

Œ

Œ

t

J

.

0

2

»

»

»

»

»

º

º

º

(2)

(2.2)

Suy ra

c

c

69

0

0

0

2

2

0

0

2

J

t

J

1

J

t

t

»

»

»

»

»

»

G

G

G

º

º

º

(1)

t

J

1

J

t

t

0

0

0

2

2

0

0

2

G

G

º

º

»

»

»

»

»

(2)

Nhұn xét: VӃ trái cӫa các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chӍ còn

»

hoһc

»

. Đây là các phương trình vi phân cҩp 2 có vӃ phҧi. Rҩt khó giҧi vì vӃ

phҧi là các hàm rҩt phӭc tҥp. Thưӡng chӍ giҧi trong trưӡng hӧp không có nguӗn

và điӋn môi lí tưӣng w = 0, ta có

0

t

H

H

2

2

0

0

2

^

»

»

(1)

0

t

E

E

2

2

0

0

2

^

»

»

(2)

(2.4)

9

393!'()*7@)!6!&686!I)I_)*

Nhұn xét: hӋ phương trình Maxwell (2.1) là tuyӃn tính, các nguӗn điӋn và

tӯ thưӡng đưӧc kích thích riêng rӁ và đӝc lұp vӟi nhau.

9

39323<c)* i)I)

ĐӇ đơn giҧn xét trưӡng trong điӋn môi lí tưӣng w = 0 hӋ phương trình

Maxwell (2.1) đưӧc viӃt lҥi

t

E

J

H

0

E

^

»

»

»

(1)

t

0

º

»

»

(2)

(2.5)

0

E

.

^

»

(3)

0

.

»

(4)

Đһt:

Œ

0

1

»

»

(2.6)

c

c

66

»

gӑi là thӃ vector điӋn

DӉ thҩy rҵng:

Œ

0

.

1

.

0

»

»

Đưa (2.6) vào (2) cӫa hӋ phương trình (2.5) ta đưӧc

0

t

Ê

Ê

G

»

»

(2.7)

Suy ra

t

º

º

»

»

(2.8)

Lưu ý

0

E

^

(2.9)

E

là thӃ vô hưӟng điӋn

E

»

và

E

đưӧc gӑi chung là các thӃ điӋn đӝng cӫa nguӗn điӋn

Như vұy:

H

»

và

E

»

đưӧc biӇu iӉn qua

E

»

và

E

theo các công thӭc (2.6) và

(2.8) tương ӭng.

Tìm

E

A

»

và

E

?

Tӯ các công thӭc (2.6) và (2.8) thay

»

và

»

vào (1) cӫa (2.5) ta có

0

0

0

2

2

0

0

2

J

t

A

.

t

A

A

»

»

»

»

^

Ê

(2.10)

E

A

»

và

E

đưӧc chӑn tuǤ ý. Vì vұy đӇ đơn giҧn ta có thӇ chӑn điӅu kiӋn phө

0

t

.

E

0

0

E

G

»

(2.11)

(2.11) còn gӑi là hӋ thӭc chuҭn

Phương trình sóng (2.10) đưӧc viӃt lҥi

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

A

»

»

»

^

(2.12)

Tӯ công thӭc (2.8) thay

»

vào (3) cӫa (2.5) và áp өng (2.11) ta có

c

c

6(

0

2

E

2

0

0

E

2

t

^

(2.13)

Các phương trình (2.12) và (2.13) gӑi là các phương trình sóng không

thuҫn nhҩt hay các phương trình ¶Alambert cho các thӃ điӋn đӝng cӫa trưӡng

điӋn tӯ đӕi vӟi nguӗn điӋn.

E

A

»

và

E

9

39393<c)* i)^

HӋ phương trình Maxwell (2.1) đӕi vӟi nguӗn tӯ trong điӋn môi lí tưӣng w

= 0 có ҥng

t

E

H

0

^

»

»

(1)

t

J

0

º

º

»

»

»

(2)

(2.14)

0

E

.

^

»

(3)

0

M

H

.

^

»

(4)

Cách làm tương tӵ như đӕi vӟi nguӗn điӋn ta có

Œ

M

0

A

1

E

»

»

^

M

M

t

A

H

^

»

»

(2.15)

0

2

2

0

0

2

J

t

»

»

»

º

º

0

M

2

M

2

0

0

M

2

t

º

º

(2.16)

0

t

.

M

0

0

M

G

»

(2.17)

M

A

»

và

M

là các thӃ điӋn đӝng đӕi vӟi nguӗn tӯ

c

c

6?

NӃu trong môi trưӡng điӋn môi lí tưӣng tӗn tҥi đӗng thӡi cҧ nguӗn điӋn và

nguӗn tӯ thì trưӡng điӋn tӯ tәng hӧp bҵng chӗng chҩt trưӡng cӫa nguӗn điӋn và

nguӗn tӯ, có nghĩa là

Œ

E

M

0

E

A

1

t

A

E

^

»

»

»

Œ

M

M

E

0

t

A

A

1

H

^

»

»

»

(2.18)

Nhұn xét:

»

và

»

đưӧc biӇu iӉn qua

»

và

E

hoһc

»

và

M

làm cho hӋ

phương trình Maxwell đơn giҧn hơn. Đây chính là ưu điӇm cӫa phương pháp

ùng các thӃ điӋn đӝng.

9

39363<c7'])*Ik !&

NӃu các nguӗn cӫa trưӡng biӃn thiên điӅu hoà theo thӡi gian vӟi tҫn sӕ góc

Ç thì các phương trình sóng ¶Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viӃt ưӟi ҥng

biên đӝ phӭc như sau

m

0

2

m

2

2

m

2

J

t

A

k

A

M

M

M

º

º

»

»

»

0

m

2

m

2

2

m

2

t

k

º

º

M

M

Mm

0

2

Mm

2

2

Mm

2

J

t

A

k

A

M

M

M

º

º

»

»

»

(2.19)

0

m

2

m

2

2

m

2

t

k

º

º

M

M

Trong đó:

0

0

k

là sӕ sóng trong môi trưӡng

(2.19) là các phương trình không thuҫn nhҩt, còn gӑi là phương trình

Hemholtë

BiӇu thӭc cӫa

»

và

»

có ҥng

c

c

6g

m

m

0

m

1

i

M

M

M

º

ÊÊ

º

º

»

»

»

(2.20)

m

m

m

0

t

1

M

M

M

º

º

ÊÊ

»

»

»

Giӳa thӃ vector và thӃ vô hưӟng có mӕi quan hӋ sau

Em

0

0

Em

A

.

1

M

M

Ç

^

»

(2.21)

Mm

0

0

Mm

A

.

1

M

M

Ç

^

»

Nhұn xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thҩy rҵng đӕi vӟi trưӡng điӋn tӯ điӅu

hoà chӍ cҫn tìm nghiӋm cӫa hai phương trình Hemholtë đӕi vӟi các thӃ vector

Em

A

M

»

và

Mm

A

M

»

9

363!'()*7@)!HG)*6!&686<56&757v

9

3632456&757vI)

Đһt

t

A

E

0

0

E

^

»

»

(2.22)

Trong đó:

†

»

gӑi là vector Hertë điӋn

Thay (2.22) vào (2.6) ta đưӧc

Œ

Œ

E

0

E

0

t

A

1

H

^

^

»

»

»

(2.23)

Thay (2.22) vào hӋ thӭc chuҭn (2.11) ta đưӧc

Œ

0

.

t

G

†

»

(2.24)

Suy ra

.†

º

»

(2.25)

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta đưӧc

c

c

6×

Œ

2

E

2

0

0

E

E

E

t

.

t

A

E

^

^

»

»

»

»

(2.26)

Nhұn xét:

E

»

và

H

»

đươc biӇu iӉn qua vector Hertë điӋn

E

†

»

Tìm

†

»

?

Thay (2.22) vào (2.12) ta đưӧc

0

2

2

0

0

2

0

0

2

2

0

0

2

J

t

t

t

»

»

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

º

(2.27)

Hay

0

2

2

0

0

2

J

1

t

t

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

(2.28)

Lҩy tích phân 2 vӃ cӫa (2.28) tӯ 0 đӃn t ta đưӧc

^

t

0

E

0

2

E

2

0

0

E

2

t

J

1

t

»

»

»

(2.29)

Đһt

^

t

0

E

E

t

J

P

»

»

(2.30)

»

gӑi là vector phân cӵc cӫa nguӗn đ iӋn

hương trình (2.29) đưӧc viӃt lҥi

0

2

2

0

0

2

t

^

»

»

»

(2.31)

Như vұy: vector phân cӵc

E

P

»

là nguӗn tҥo ra vector Hertë điӋn

E

†

»

. Do đó

†

»

còn gӑi là thӃ vector phân cӵc điӋn.

9

3639456&757v^

Tương tӵ cách làm cӫa vector Hertë điӋn hoһc áp өng nguyên lí đӕi lүn

cӫa hӋ phương trình Maxwell ta có

t

A

M

0

0

M

^

»

»

(2.32)

c

c

6î

Trong đó:

†

»

gӑi là vector Hertë tӯ

.†

º

»

(2.33)

Œ

0

t

†

º

»

»

(2.34)

Œ

2

M

2

0

0

M

t

.

H

^

»

»

»

(2.35)

Nhұn xét:

E

»

và

H

»

đươc biӇu iӉn qua vector Hertë tӯ

†

»

Tìm

†

»

?

0

2

2

0

0

2

J

1

t

t

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

(2.36)

Lҩy tích phân 2 vӃ cӫa (2.28) tӯ 0 đӃn t ta đưӧc

º

†

º

†

t

0

M

0

2

M

2

0

0

M

2

t

J

1

t

»

»

»

(2.37)

Đһt

^

t

0

M

M

t

J

P

»

»

(2.38)

»

gӑi là vector tӯ hoá cӫa nguӗn tӯ

(2.37) đưӧc viӃt lҥi

0

2

2

0

0

2

t

^

»

»

»

(2.39)

Như vұy: vector tӯ hoá

M

P

»

là nguӗn tҥo ra vector Hertë tӯ

M

†

»

. Do đó

†

»

còn gӑi là thӃ vector tӯ hoá.

Nhұn xét:

E

»

và

H

»

đưӧc biӇu iӉn qua vector Hertë điӋn

E

»

hoһc vector

Hertë tӯ

†

»

đơn giҧn hơn phương pháp ùng các thӃ điӋn đӝng.

9

3639»7'])*&[I)<7'])*&[^

c

c

6

Trưӡng hӧp các vector Hertë điӋn

†

»

và vector Hertë tӯ

†

»

chӍ có mӝt

thành phҫn. Trong hӋ toҥ đӝ Decac các vector Hertë điӋn

†

»

và vector Hertë tӯ

†

»

theo phương ë là

k†

†

»

»

(2.40)

M

M

k

^

»

»

(2.41)

- Trưӡng cӫa nguӗn điӋn (ӭng vӟi vector Hertë điӋn

E

»

mӝt thành phҫn) sӁ

có

H

»

theo phương ë bҵng 0 (H

ë

= 0), còn các thành phҫn khác cӫa

H

»

nói chung

khác 0. Trưӡng điӋn tӯ loҥi này gӑi là trưӡng loҥi điӋn ӑc E hay tӯ ngang TM

- Trưӡng cӫa nguӗn tӯ (ӭng vӟi vector Hertë tӯ

M

»

mӝt thành phҫn) sӁ có

»

theo phương ë bҵng 0 (

ë

= 0), còn các thành phҫn khác cӫa

»

nói chung khác

0. Trưӡng điӋn tӯ loҥi này gӑi là trưӡng loҥi tӯ ӑc H hay điӋn ngang T

Như vұy: trong trưӡng hӧp tәng quát và điӅu kiӋn biên nhҩt đӏnh, trưӡng

điӋn tӯ có thӇ xem như tәng hӧp cӫa 2 loҥi trưӡng: loҥi điӋn và loҥi tӯ

9

33»@#)*!#6b">!'()*7@)!HG)*

Nhұn xét: áp өng nguyên lí đӕi lүn, viӋc tìm nghiӋm cӫa các phương trình

¶ Alambert chӍ cҫn xác đӏnh

E

»

hoһc

H

»

. Do đó có thӇ sӱ өng mӝt hàm vô

hưӟng đӇ đҥi iӋn cho

E

và

M

hoһc bҩt cӭ thành phҫn nào trong hӋ toҥ đӝ

Decac cӫa

E

†

»

,

†

»

,

»

và

»

, phương trình ¶ lambert đưӧc viӃt lҥi

g

t

2

2

0

0

2

^

(2.42)

g - hàm nguӗn cӫa trưӡng phân bӕ trong thӇ tích V

NghiӋm cӫa (2.42) bҵng tәng nghiӋm cӫa phương trình sóng thuҫn nhҩt

không vӃ phҧi và nghiӋm riêng cӫa phương trì nh sóng thuҫn nhҩt có vӃ phҧi, tӭc

là tìm nghiӋm cӫa phương trình sau

0

t

2

2

0

0

2

^

(2.43)

c

c

(

Đӕi vӟi trưӡng hӧp nguӗn điӇm đһt ӣ gӕc toҥ đӝ. Vì nguӗn điӇm có tính

đӕi xӭng cҫu nên hàm chӍ phө thuӝc r và t. Trong hӋ toҥ đӝ cҫu ta có

Œ

G

r

r

r

r

1

r

r

2

r

2

2

2

2

2

(2.44)

Đһt = r ta có

0

t

r

2

2

0

0

2

2

º

(2.45)

NghiӋm cӫa phương trình vi phân (2.45) là

Ê

G

G

Ê

º

v

r

t

v

r

t

2

1

(2.46)

Suy ra

r

v

r

t

r

v

r

t

2

1

Ê

G

G

Ê

º

(2.47)

Trong đó:

0

0

1

v

là vұn tӕc truyӅn sóng trong môi trưӡng;

1

và

2

là

các hàm tuǤ ý

r

v

r

t

1

Ê

º

mô tҧ sóng cҫu phân kì truyӅn tӯ nguӗn Î vô cùng

r

v

r

t

2

Ê

G

mô tҧ sóng cҫu hӝi tө truyӅn tӯ vô cùng Î nguӗn

E;83AHN$

0

E

ik

t

E

r

lim

r

^

ÊÊ

Î

»

»

0

ik

t

r

lim

r

ÊÊ

G

»

»

(2.48)

Trong đó:

0

0

k

là sӕ sóng

c

c

(

Nhұn xét: vì là nguӗn điӇm đһt tҥi gӕc toҥ đӝ và không gian là vô hҥn nên

theo điӅu kiӋn bӭc xҥ tҥi vô cùng ta chӑn nghiӋm cӫa phương trình sóng (2.43)

cho nguӗn điӇm là hàm

1

và loҥi bӓ hàm

2

Vұy

r

v

r

t

1

Ê

º

(2.49)

NӃu r Î 0 (tҥi gӕc toҥ đӝ) thì nghiӋm (2.49) không thoҧ mãn phương trình

sóng thuҫn nhҩt mà phҧi thoҧ mãn phương trình sóng ¶ Alambert vì thӃ ta phҧi

chӑn ҥng cӫa

1

sao cho là nghiӋm cӫa phương trình sóng ¶ Alambert và

phҧi thoҧ mãn trưӡng ӣ trҥng thái ӯng.

Ӣ trҥng thái ӯng, phương trình sóng ¶ Alambert đưӧc viӃt lҥi

g

2

º

(2.50)

gӑi là phương trình sóng Poisson và có nghiӋm là

V

V

r

g

4

1

(2.51)

Lưu ý :

r là khoҧng cách tӯ vӏ trí quan sát trưӡng đӃn yӃu tӕ vi phân gV. Theo

(2.49) và (2.51) ta chӑn ҥng hàm cӫa

1

như sau

Ê

º

Ê

º

v

r

t

g

4

1

v

r

t

1

(2.52)

Như vұy, nghiӋm cӫa phương trình sóng ¶ Alambert là

Œ

Ê

º

V

V

r

v

r

t

,

r

g

4

1

t

,

r

(2.53)

Nhұn xét: trưӡng ӣ thӡi điӇm t tҥi vӏ trí quan sát bҵng giá trӏ cӫa nguӗn ӣ

thӡi điӇm t¶ sӟm hơn t mӝt khoҧng thӡi gian là

v

r

t

(2.54)

c

c

(9

Như vұy, trưӡng tҥi vӏ trí quan sát chұm pha so vӟi nguӗn mӝt khoҧng thӡi

gian t¶ nên (2.53) gӑi là thӃ chұm cӫa trưӡng điӋn tӯ.

Tương tӵ như nghiӋm (2.53) ta có

Œ

Ê

º

»

x

0

dx

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

»

»

(2.55)

Œ

Ê

^

V

M

0

M

V

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

»

»

(2.56)

Đӕi vӟi trưӡng điӅu hoà ta có

ikr

t

i

ikr

m

v

r

t

i

m

e

g

e

e

g

e

g

v

r

t

g

M

Ç

M

Ê

Ç

M

M

^

^

^

Ê

(2.57)

Œ

ikr

v

r

t

i

m

e

t

e

v

r

t

M

Ê

Ç

M

M

^

^

Ê

»

»

»

(2.58)

Œ

ikr

v

r

t

i

m

e

t

e

v

r

t

º

M

Ê

º

M

M

Ê

º

»

»

»

(2.59)

Các thӃ chұm

,

,

M

M

M

»

»

đưӧc tính là

Œ

Œ

º

M

M

»

x

ikr

dx

r

e

t

,

r

g

4

1

t

,

r

(2.60)

Œ

Œ

º

M

M

»

x

ikr

0

dx

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

»

»

(2.61)

c

c

(6

Œ

Œ

M

M

^

V

ikr

M

0

M

V

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

A

»

»

(2.62)

9

33»7'])*I)^6b"'w)*6K6I)

Lưӥng cӵc điӋn là yӃu tӕ bӭc xҥ sóng điӋn tӯ, là thành phҫn cơ bҧn cӫa

anten.

» .#!"0 mӝt đoҥn ây үn ngҳn mҧnh bên trong có òng

điӋn biӃn đәi o nguӗn cung cҩp bên ngoài

ĐӇ đơn giҧn ta có giҧ thiӃt như sau

- đһt trong điӋn môi lí tưӣng: w = 0; , = const

- << , là chiӅu ài cӫa lưӥng cӵc điӋn và là bưӟc sóng cӫa trưӡng

điӋn tӯ o nó phát ra

- Dòng điӋn cung cҩp cho lưӥng cӵc điӋn biӃn thiên điӅu hoà vӟi tҫn sӕ góc

Ç

- r >> , r là khoҧng cách r tӯ vӏ trí quan sát trưӡng điӋn tӯ đӃn lưӥng cӵc

điӋn

O&%@0

9

3323»7'])*I)^6b"= 'w)*6K6I)

Chӑn hӋ toҥ đӝ cҫu có gӕc O nҵm tҥi trӑng tâm cӫa lưӥng cӵc điӋn, trөc

lưӥng cӵc điӋn hưӟng theo Oë và òng điӋn cung cҩp cho lưӥng cӵc điӋn có

ҥng

t

i

m

t

i

m

že

J

k

e

I

k

I

M

M

M

»

»

»

»

(2.63)

Trong đó: S là tiӃt iӋn cӫa lưӥng cӵc điӋn

Vì òng điӋn cung cҩp hưӟng theo trөc Oë và tӗn tҥi trong thӇ tích V = Sl

nên tҥi vӏ trí quan sát trưӡng M chӍ có mӝt thành phҫn hưӟng theo trөc Oë. ThӃ

chұm cӫa lưӥng cӵc điӋn là

ikr

m

0

l

ikr

m

0

V

ikr

m

0

Em

Em

e

r

4

l

I

k

l

r

e

I

4

k

V

r

e

J

4

k

A

k

A

M

M

M

M

M

^

^

^

^

»

»

»

»

»

(2.64)

c

c

((

Lưu ý: Sӣ ĩ tính đưӧc tích phân (2.64) là o giҧ thiӃt biên đӝ và pha cӫa

òng điӋn cung cҩp là không đәi trên toàn lưӥng cӵc điӋn và o r >> nên

khoҧng cách tӯ bҩt cӭ điӇm nào trên lưӥng cӵc điӋn đӃn vӏ trí xác đӏnh trưӡng

đӅu bҵng r.

Trong hӋ toҥ đӝ cҫu ta có công thӭc

º

sin

cos

r

k

0

0

»

»

»

(2.65)

0

r

»

và

0

»

là các vector đơn vӏ trong hӋ toҥ đӝ cҫu

Khi đó (2.64) đưӧc viӃt lҥi

Œ

º

»

º

M

M

sin

cos

r

r

4

le

I

0

0

ikr

m

0

m

»

»

»

(2.66)

Cưӡng đӝ tӯ trưӡng cӫa lưӥng cӵc điӋn là

Œ

ÊÊ

º

»

ÊÊ

º

M

M

M

sin

cos

r

r

e

4

l

I

1

0

0

ikr

m

m

0

m

»

»

»

»

(2.67)

Suy ra

r

e

sin

ik

r

1

4

l

I

ikr

m

0

m

º

M

M

Ê

G

»

»

»

(2.68)

0

»

là vector đơn vӏ trong hӋ toҥ đӝ cҫu

Tӯ hӋ phương trình Maxwell không nguӗn điӋn tích ta có

m

0

m

E

i

H

M

M

Ç

^

»

»

(2.69)

Khi đó cưӡng đӝ điӋn trưӡng cӫa lưӥng cӵc điӋn đưӧc tính là

Ê

Ê

Ê

Ç

^

ÊÊ

Ç

^

M

M

M

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

.

.

r

e

i

4

l

I

H

i

1

E

2

2

0

2

0

ikr

0

m

m

0

m

»

»

»

»

(2.70)

c

c

(?

Nhұn xét: Các biӇu thӭc tính

M

E

»

và

M

H

»

trong (2.68) và (2.70) cӫa bӭc xҥ

lưӥng cӵc điӋn đӅu có thӯa sӕ

r

e

ikr

và biên đӝ tӍ lӋ nghӏch vӟi r, có mһt đҷng

pha là mһt cҫu bán kính r.

Như vұy trưӡng bӭc xҥ lưӥng cӵc điӋn có tính chҩt cӫa sóng cҫu. Vұn tӕc

ӏch chuyӇn cӫa mһt đҷng pha gӑi là vұn tӕc pha v

ph

Ta có phương trình cӫa mһt đҷng pha là

= Çt ± kr = const

= Çt ± kr = 0

(2.72)

Và

k

t

r

v

ph

Ç

(2.73)

NӃu nhân các biӇu thӭc cӫa (2.68) và (2.70) vӟi e

iÇt

và lҩy phҫn thӵc cӫa

M

E

»

và

M

H

»

ta có giá trӏ tӭc thӡi cӫa chúng là

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

0

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

1

r

k

1

sin

r

4

lk

I

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

r

k

1

cos

r

2

lk

I

kr

t

sin

kr

t

cos

kr

1

sin

r

4

lk

I

r

2

2

0

2

m

2

2

0

2

m

r

m

Ê

º

º

º

Ê

º

»

Ê

º

º

º

»

Ê

º

º

º

»

(2.74)

9

3393»7'])*x<L)**D)

Khi r << nhưng vүn đҧm bҧo giҧ thiӃt r >> thì gӑi là trưӡng ӣ vùng gҫn

Do r << nên kr =

r

2

»

<< 1 và trong (2.74) nӃu bӓ qua các vô cùng bé

bұc cao so vӟi

kr

1

và đӝ lӋch pha kr ta có

c

c

(g

t

sin

sin

r

4

l

I

E

t

sin

cos

r

2

l

I

E

t

cos

sin

r

4

l

I

H

3

0

m

3

0

m

r

2

m

Ç

Ç

^

Ç

Ç

^

Ç

^

(2.75)

Nhұn xét: H

lӋch pha so vӟi E

r

và E

mӝt góc

2

nên vector Poynting

trung bình

tb

(

»

= re

M

(

»

= 0, có nghĩa là năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ cӫa lưӥng cӵc

điӋn ӣ vùng gҫn chӫ yӃu là cӫa ao đӝng xung quanh nguӗn, không mang tính

chҩt sóng, gӑi là N?A . Hình 2.1 trình bày cҩu trúc đưӡng sӭc cӫa

E

»

và

»

9

3363»7'])*x<L)*e"

Khi r >> thì thì gӑi là trưӡng ӣ vùng xa

Do r >> nên kr =

r

2

»

>> 1 và trong (2.74) nӃu bӓ qua các vô cùng bé

bұc cao so vӟi

kr

1

ta có

Œ

Œ

Œ

Œ

kr

t

sin

sin

r

2

l

I

kr

t

sin

sin

r

4

lk

I

kr

t

sin

sin

r

2

l

I

kr

t

sin

sin

r

4

lk

I

0

0

m

0

2

m

m

m

º

º

º

»

º

º

º

»

(2.76)

Nhұn xét:

I

»

»

H

»

»

»

»

c

c

(×

- Trưӡng ӣ vùng xa cӫa lưӥng cӵc điӋn chӍ gӗm 2 thành phҫn H

và E

đӗng pha, vuông góc vӟi nhau và vuông góc vӟi phương truyӅn sóng r, vector

Poynting phӭc chӍ có phҫn thӵc

tb

(

»

= re

M

(

»

0, năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ bӭc

xҥ vào trong không gian. Vì vұy vùng xa gӑi là vùng bӭc xҥ

- Biên đӝ cӫa H

và E

tӍ lӋ vӟi Ç, tӍ lӋ nghӏch vӟi . NӃu có cùng giá trӏ

òng điӋn I

m

, ӣ cùng khoҧng cách và tҫn sӕ càng cao thì H

và E

càng lӟn

- Biên đӝ cӫa H

và E

tӍ lӋ vӟi sin nên trưӡng bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn

có tính đӏnh hưӟng trong không gian. Chúng đҥt cӵc đҥi tҥi mһt phҷng

2

»

và

bҵng 0 theo phương cӫa lưӥng cӵc điӋn = 0.

- Trưӡng bӭc xҥ có tính đӏnh hưӟng, thưӡng đưӧc mô tҧ bҵng giҧn đӗ

hưӟng. Giҧn đӗ hưӟng cӫa lưӥng cӵc điӋn, kí hiӋu (, ), là hàm đưӧc xác

đӏnh bӣi biӇu thӭc:

Œ

sin

E

E

,

max

(2.77)

9

333F)*H C:?6e[y7x:?6e[

Công suҩt bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn đưӧc tính theo công thӭc

ž

d

ž

tb

bx

»

»

(

(2.78)

=

0

0

= 90

0

E

=

0

E = E

max

Mһt phҷng kinh tuyӃn

Mһt phҷng vĩ tuyӃn

Z

c

c

(î

Trong đó

Ç

^

2

0

3

2

3

2

2
m

tb

sin

r

32

k

l

I

r

»

»

(2.79)

Vi phân mһt cҫu

S = r

2

sin

Suy ra

bx

2
m

0

0

2

2

2
m

0

3

2

0

0

3

2

3

2

2
m

bx

R

2

I

12

k

l

I

sin

r

32

k

l

I

P

^

^

Ç

^

(2.80)

Trong đó

2

0

0

0

0

2

bx

1

3

2

6

lk

R

Ê

^

^

(2.81)

R

bx

- trӣ bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn

Đһt

0

0

c

ë

^

[]

(2.82)

ë

c

- trӣ sóng cӫa môi trưӡng

Trong chân không hoһc không khí, ta có = = 1, o đó

^

^

^

377

120

ë

0

0

0

c

H

»

»

S

»

I

r

c

c

(

Ê

Ê

»

2

2

2

0

bx

1

790

1

80

Ò

W

1

I

395

2

2
m

0

bx

Ê

9

3g3»7'])*I)^6b"'w)*6K6^

Lưӥng cӵc tӯ là yӃu tӕ bӭc xҥ sóng điӋn tӯ, là thành phҫn cơ bҧn cӫa anten

» .#!"0 mӝt đoҥn ây үn ngҳn mҧnh bên trong có òng tӯ

biӃn đәi o nguӗn cung cҩp bên ngoài. Cách làm tương tӵ như đӕi vӟi lưӥng cӵc

điӋn hoһc áp өng nguyên lí đӕi lүn và trong các công thӭc (2.68) và (2.70) thay

H

»

bҵng E

»

, thay E

»

bҵng H

»

, thay bҵng - và thay

m

I

M

bҵng

m

I

M

º

r

e

sin

ik

r

1

4

l

I

ikr

m

0

m

º

M

M

Ê

G

»

º

»

»

(2.83)

Ê

Ê

G

º

G

Ê

G

»

º

M

M

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

r

e

i

4

l

I

2

2

0

2

0

ikr

0

m

m

»

»

»

(2.84)

Theo (2.83) và (2.84) cho thҩy trưӡng bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc tӯ cũng là

sóng cҫu,

»

,

»

~ r, Ç

E

»

, H

»

có tính đӏnh hưӟng trong không gian

I

E

»
E

»

E

»

E

»
E

»

H

»

c

c

?

Vai trò cӫa điӋn trưӡng và tӯ trưӡng lưӥng cӵc tӯ so vӟi cӫa lưӥng cӵc

điӋn thay thӃ cho nhau. Vì vұy cҩu trúc đưӡng sӭc cӫa chúng là giӕng nhau vӟi

E

»

và H

»

đәi chӛ cho nhau

9

3g32»7'])*I)^6b"<q)*;A=

Nhұn xét: trong thӵc tӃ, ngưӡi ta có thӇ tҥo ra trưӡng điӋn tӯ xung quanh 1

vòng ây nhӓ mҧnh có òng điӋn biӃn đәi I

m

chҥy qua tương tӵ như lưӥng cӵc

tӯ. Vòng ây үn này gӑi là .D,.

Giҧ sӱ:

- mһt phҷng vòng ây nҵm trùng vӟi mһt phҷng vĩ tuyӃn cӫa hӋ toҥ đӝ cҫu

- kích thưӟc vòng ây rҩt nhӓ so vӟi bưӟc sóng cӫa trưӡng điӋn tӯ o nó

phát ra

- òng điӋn biӃn đәi điӅu hoà theo thӡi gian vӟi tҫn sӕ góc Ç:

t

i

m

e

I

I

Ç

M

M

vӟi

biên đӝ và pha ӑc theo đưӡng ây có giá trӏ như nhau

Theo (2.61) thӃ chұm tҥi điӇm Q thuӝc trưӡng điӋn tӯ o vòng ây phát ra

M

M

V

ikr

m

0

Em

V

e

r

J

4

A

»

»

(2.85)

Trong đó: r¶ là khoҧng cách tӯ điӇm Q đӃn yӃu tӕ vi phân

l

d

»

Ta có:

l

žd

dx

»

,

l

d

I

l

žd

J

dx

J

m

m

m

»

»

»

»

M

(2.86)

Suy ra

»

º

M

M

l

ikr

m

0

m

l

d

r

e

4

I

»

»

(2.87)

Vì òng điӋn chҥy trong ây үn chӍ theo phương vĩ tuyӃn nên thӃ chұm

m

M

»

cӫa nó cũng chӍ có 1 thành phҫn hưӟng theo phương vĩ tuyӃn

Thí ө:

c

c

?

Xét 2 yӃu tӕ vi phân

l

»

cӫa vòng ây đһt đӕi xӭng vӟi nhau qua mһt phҷng

P đi qua điӇm tính trưӡng Q và vuông góc vӟi mһt phҷng vòng ây (mһt phҷng

P gӑi là mһt phҷng kinh tuyӃn). Mӛi mӝt yӃu tӕ vi phân

l

»

lҥi phân tích thành 2

yӃu tӕ vi phân:

l

»

// (P) và

l

»

ñ (P).

Nhұn xét:

- thӃ vector o các yӃu tӕ vi phân

l

»

tҥo ra tҥi Q có cùng giá trӏ nhưng

hưӟng ngưӧc nhau nên bӏ triӋt tiêu

- thӃ vector o các yӃu tӕ vi phân

l

»

tҥo ra tҥi Q có cùng giá trӏ và cùng

hưӟng vӟi nhau nên tăng gҩp đôi.

Do đó tích phân trong (2.87) chӍ cҫn lҩy theo yӃu tӕ vi phân

l

»

. Hơn nӳa

o tính đӕi xӭng cӫa

l

»

đӕi vӟi mһt phҷng P nên tích phân trên chӍ cҫn lҩy theo

nӱa vòng ây và nhân đôi

Ta có:

l¶ = l cos = Rcos

(2.88)

Trong đó: R là bán kính cӫa vòng ây

Suy ra:

»

º

M

M

x

ikr

m

0

0

m

r

cos

e

2

R

I

»

»

(2.89)

P

r

r¶

O

a

a¶

b

R

I

Q

O

a¶

R

I

l

l¶¶

l¶

l¶

l¶¶

l

c

c

?9

Trong đó:

0

»

là vector đơn vӏ hưӟng theo phương vĩ tuyӃn, theo hình vӁ

trên ta có các hӋ thӭc sau

2

2

2

ab

aQ

r

^

,

^

cos

ROa

2

R

Oa

ab

2

2

2

(2.90)

Hay

^

^

cos

sin

Rr

2

R

r

cos

ROa

2

R

Oa

aQ

r

2

2

2

2

2

2

(2.91)

Trong đó: r là khoҧng cách tӯ O đӃn Q

Theo giҧ thiӃt r¶ >> R nên cho R

2

= 0 và tӯ (2.91) ta có

^

^

cos

sin

R

r

cos

sin

r

R

2

1

r

cos

sin

Rr

2

r

r

2

Suy ra

^

Ê

^

^

cos

sin

r

R

r

1

cos

sin

r

R

1

r

1

cos

sin

r

R

1

1

r

1

cos

sin

R

r

1

r

1

2

Và

Œ

Œ

Œ

Œ

^

^

^

cos

sin

kR

sin

i

cos

sin

kR

cos

e

e

e

e

e

ikr

cos

sin

ikR

ikr

cos

sin

R

r

ik

r

ik

Khi >> R thì kR << 1, o đó có thӇ xem

Œ

1

cos

sin

kR

cos

Œ

cos

sin

kR

cos

sin

kR

sin

Suy ra

Œ

cos

sin

ikR

1

e

e

ikr

r

ik

Thay vào tích phân trong (2.89) ta có

Ê

^

ik

r

1

sin

r

e

2

cos

r

e

ikr

V

ikr

(2.92)

Và

c

c

?6

2

ikr

m

0

0

m

Ò

ik

r

1

sin

r

4

e

I

Ê

G

º

M

M

»

»

(2.93)

Ê

Ê

G

º

G

Ê

G

º

M

M

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

r

e

4

Ò

I

2

2

0

2

0

ikr

2

m

m

»

»

»

(2.94)

Ê

G

ÊÊ

º

M

M

M

ik

r

1

sin

r

i

4

le

k

Ò

I

i

1

0

ikr

2

2

m

0

m

0

m

»

»

»

(2.95)

DӉ thҩy rҵng trưӡng bӭc xҥ cӫa vòng ây үn có tính chҩt tương tӵ như

trưӡng bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc tӯ và sӁ hoàn toàn giӕng nhau nӃu thoҧ mãn điӅu

kiӋn sau

2

m

0

m

Ò

I

i

l

I

»

M

M

(2.96)

Đһt

M

M

M

i

l

I

l

q

P

Mm

Mm

M

»

»

»

(2.97)

M

P

M

»

gӑi là moment lưӥng cӵc tӯ

Đһt

2

m

0

0

m

0

0

Mv

R

I

S

S

I

S

P

^

^

M

M

M

»

»

»

(2.98)

Mv

P

M

»

gӑi là moment tӯ cӫa vòng ây үn có òng điӋn

m

I

M

và iӋn tích S

Khi đó trưӡng bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc tӯ và vòng ây үn là tương đương

nhau

Mv

M

P

P

M

M

^

»

»

(2.99)

Tӯ các biӇu thӭc (2.94) và (2.95) ta tính đưӧc thành phҫn trưӡng bӭc xҥ

cӫa vòng ây ӣ vùng xa là

c

c

?(

Œ

Œ

kr

t

cos

sin

r

4

k

R

I

E

kr

t

cos

sin

r

4

k

R

I

H

0

0

2

2

m

2

2

m

Ç

^

^

Ç

^

(2.100)

Công suҩt bӭc xҥ và trӣ bӭc xҥ cӫa vòng ây đưӧc tính là

bxv

2
m

bxv

R

2

I

P

^

(2.101)

c

2

3

bx

ë

ž

3

8

R

Ê

»

^

(2.102)

9

3h3»7'])*I)^6b"= ;)B6!#\

Xét trưӡng bӭc xҥ cӫa yӃu tӕ vi phân iӋn tích mà trên đó có òng điӋn và

tӯ mһt chҧy vuông góc vӟi nhau.

Giҧ sӱ yӃu tӕ vi phân iӋn tích nҵm trong mһt phҷng xOy có ҥng hình chӳ

nhұt kích thưӟc a, b

Dòng điӋn mһt hưӟng theo trөc x: I

ESx

bthiên điӅu hoà theo thӡi gian

Dòng tӯ mһt hưӟng theo trөc y: I

MSy

bthiên điӅu hoà theo thӡi gian

S << nên biên đӝ và pha cӫa òng điӋn và tӯ mһt là giӕng nhau trên toàn

bӝ yӃu tӕ vi phân iӋn tích S, còn gӑi là nguyên tӕ Huyghens

Áp өng các nghiӋm thӃ chұm cho trưӡng bӭc xҥ cӫa yӃu tӕ vi phân iӋn

tích vӟi òng điӋn mһt I

ESx

và òng tӯ mһt I

MSy

ta có

I

ESx

I

MSy

O

a

b

x

ë

y

c

c

??

º

M

M

»

ž

ikr

žxm

0

xm

dž

r

e

I

4

(2.103)

º

M

M

»

ž

ikr

Mžym

0

Mym

dž

r

e

I

4

(2.104)

Vì dòng điӋn mһt I

žx

hưӟng theo trөc x nên

xm

M

cũng chӍ có thành phҫn

này, tương tӵ dòng tӯ mһt I

Mžy

hưӟng theo trөc y nên

Mym

M

cũng chӍ có thành

phҫn này

Theo giҧ thiӃt, biên đӝ và pha cӫa dòng điӋn và tӯ mһt là không đәi trên

toàn yӃu tӕ vi phân diӋn tích, khoҧng cách tӯ điӇm quan sát trưӡng đӃn yӃu tӕ

diӋn tích lӟn hơn rҩt nhiӅu so vӟi kích thưӟc cӫa yӃu tӕ diӋn tích, do đó có thӇ

đưa các biӇu thӭc trong dҩu tích phân cӫa (2.103) và (2.104) ra ngoài

r

4

e

I

ž

ikr

žxm

0

xm

»

º

M

M

(2.105)

r

4

e

I

ž

ikr

Mžym

0

Mym

»

º

M

M

(2.106)

Trong đó:

r là khoҧng cách tӯ điӇm quan sát trưӡng đӃn gӕc toҥ đӝ

ž = ab là diӋn tích cӫa yӃu tӕ mһt

Các thành phҫn cӫa thӃ vector trong hӋ toҥ đӝ cҫu và hӋ toҥ đӝ Decac liên

hӋ vӟi nhau như sau

cos

sin

sin

cos

sin

ë

y

x

r

sin

sin

cos

cos

cos

ë

y

x

(2.107)

º

cos

sin

y

x

Do chӍ có

xm

M

và

Mym

M

khác 0, ta có

M

M

cos

sin

xm

rm

c

c

?g

M

M

cos

cos

xm

m

(2.108)

M

M

sin

xm

m

M

M

sin

sin

ym

rm

M

M

sin

cos

ym

m

(2.109)

M

M

cos

ym

m

Áp өng các công thӭc (2.6 ) và công thӭc 1 cӫa (2.15) cho (2.108) và

(2.109), ta đưӧc

ÊÊ

M

M

m

0

1

»

»

ÊÊ

º

M

M

m

0

1

»

»

j?/+%03A- ,&8:N

Khi tính trưӡng ta chӍ quan tâm đӃn sӕ hҥng suy giҧm

r

1

, bӓ qua các sӕ

hҥng bұc cao hơn

n

r

1

Ê

. Do đó khi tính rot trong hӋ toҥ đӝ cҫu cӫa (2.108) và

(2.109) ta chӍ giӳ lҥi các thành phҫn vӟi đҥo hàm

r

A

m

0

M

»

và

r

A

m

0

M

»

đưӧc giӳ

lҥi, còn các sӕ hҥng bұc cao hơn đưӧc bӓ qua v à ta có

ikr

žxm

m

e

r

4

cos

cos

I

ikž

º

M

M

»

ikr

žxm

m

e

r

4

sin

I

ikž

º

M

M

»

º

(2.110)

ikr

Mžym

m

M

e

r

4

sin

cos

I

ikž

º

M

M

»

c

c

?×

ikr

žym

m

e

r

4

cos

I

ikž

º

M

M

»

º

žӱ өng các phương trình axwell thӭ nhҩt và thӭ hai

ÊÊ

º

M

M

m

0

m

i

1

»

»

ÊÊ

º

M

M

m

0

m

i

1

»

»

cho các biӇu thӭc (2.110) ta có

ikr

ESxm

0

0

m

E

e

r

4

sin

I

S

ik

E

M

M

^

ikr

ESxm

0

0

m

M

e

r

4

cos

cos

I

S

ik

E

M

M

^

(2.111)

ikr

0

0

MSym

m

M

e

r

4

cos

I

ikS

M

M

^

ikr

0

0

MSym

m

M

e

r

4

sin

cos

I

ikS

M

M

^

Lҩy tәng các biӇu thӭc cӫa (2.110) và (2.111) theo các thành phҫn cӫa E

và E

ta đưӧc

Œ

¸

^

^

M

M

M

M

cos

1

e

r

4

sin

I

ikS

E

E

E

ikr

ESxm

0

0

m

M

m

E

m

(2.112)

Trong đó:

0

0

ESxm

MSym

I

I

^

¸

Tương tӵ, theo các thành phҫn cӫa

và

ta đưӧc

Ê

¸

^

^

M

M

M

M

cos

1

1

e

r

4

cos

I

ikS

ikr

0

0

MSym

m

M

m

E

m

c

c

?î

Œ

G

»

º

G

º

M

M

M

M

cos

1

e

r

4

sin

I

ikž

ikr

žxm

m

m

m

(2.113)

Nhұn xét:

- Các công thӭc (2.112) và (2.113) cho thҩy rҵng trưӡng bӭc xҥ ӣ vùng xa

cӫa yӃu tӕ vi phân iӋn tích trong mһt phҷng kinh tuyӃn có đһc trưng hưӟng

ҥng đưӡng cong carioi

- Trưӡng bӭc xҥ cӫa nguyên tӕ uyghens cũng tương tӵ như trưӡng bӭc xҥ

cӫa lưӥng cӵc điӋn và lưӥng cӵc tӯ đһt vuông góc và cùng chung điӇm giӳa

mһt
phҷng

C(1+cos)

ë

c

c

?

!'()*6

z»{

M Sóng phҷng: mһt đӗng pha là mһt phҷng

M Sóng trө: mһt đӗng pha là mһt trө

M Sóng cҫu: mһt đӗng pha là mһt cҫu

M Trong thӵc tӃ, sóng điӋn tӯ đưӧc tҥo ra tӯ các nguӗn nhân tҥo đӅu là sóng

trө và sóng cҫu. Sóng phҷng chӍ là mүu lí tưӣng cӫa sóng điӋn tӯ.

M Mөc tiêu: khҧo sát các tính chҩt cӫa sóng điӋn tӯ phҷng lan truyӅn trong

môi trưӡng đӗng nhҩt đҷng hưӟng và không đҷng hưӟng, sӵ phҧn xҥ và

khúc xҥ tҥi các mһt phân cách, sӵ phân cӵc và các hiӋu ӭng khác. Nguӗn

sóng điӋn tӯ là điӅu hoà vӟi Ç và rҩt xa vӟi điӇm khҧo sát.

6

323*!#>!'()*7@)!HG)*I<cHG)*>!|)*

6

32323G)*>!|)*Ii)*)!C»}7")H<57H55567&#"*)56f"<5~

- NӃu trong mһt đӗng pha cӫa sóng điӋn tӯ có biên đӝ cӫa

»

và

»

bҵng

nhau tương ӭng tҥi mӑi điӇm thì sóng phҷng đưӧc gӑi là đӗng nhҩt

- Phương trình Maxwell cӫa sóng phҷng điӅu hoà trong môi trưӡng đӗng

nhҩt và đҷng hưӟng vӟi các biên đӝ phӭc cӫa

E

»

và

»

trong hӋ toҥ đӝ Decac có

ҥng

xm

P

ym

ë

m

E

i

ë

y

M

M

M

º

(1)

ym

ë

m

xm

i

x

ë

M

M

M

º

(2)

ë

m

xm

ym

i

y

x

M

M

M

º

(3)

xm

0

ym

ë

m

i

ë

y

M

M

M

º

º

(4)

c

c

g

ym

0

ë

m

xm

i

x

ë

M

M

M

º

º

(5)

ë

m

0

xm

ym

i

y

x

M

M

M

º

º

(6)

Trong đó:

M Oë phương truyӅn sóng

M mһt phҷng đӗng pha và đӗng biên cӫ a sóng phҷng chính là mһt phҷng P //

mһt phҷng xOy và có phương trình ë = l

ÊÊ

º

0

0

i

1

E

»

và

H

»

có giá trӏ như nhau trên toàn mһt phҷng P và x, y; chӍ ë, t. Khi

đó:

0

y

x

y

x

(3.1)

0

ë

m

ë

m

M

M

(3.2)

Vұy: sóng phҷng đӗng nhҩt lan truyӅn trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng

hưӟng không có các thành phҫn ӑc theo phương truyӅn sóng ë cӫa

»

và

»

.

Các

»

và

»

nҵm trong mһt phҷng vuông góc vӟi phương truyӅn sóng. Sóng

phҷng đӗng nhҩt có tính chҩt như vұy gӑi là sóng điӋn tӯ ngang, kí hiӋu là sóng

TM.

6

32393*!#>!'()*7@)!HG)*

Tӯ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có:

P

O

l

y

ë

c

c

g

0

k

ë

xm

2

2

xm

2

G

M

M

(7)

0

k

ë

ym

2

2

ym

2

G

M

M

(8)

0

H

k

ë

H

xm

2

2

xm

2

G

M

M

(9)

0

H

k

ë

H

ym

2

2

ym

2

G

M

M

(10)

Trong đó:

0

0

0

0

i

1

k

ÊÊ

º

- sӕ sóng phӭc

Nhұn xét:

- vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giӕng nhau nên chӍ cҫn tìm

nghiӋm cӫa mӝt trong sӕ các phương trình sóng này.

- đây là các phương trình vi phân cҩp 2 tuyӃn tính thuҫn nhҩt có hӋ sӕ

không đәi, o đó nghiӋm cӫa phương trình sóng (7), chҷng hҥn, có ҥng là

ë

ik

xmpx

ë

ik

xmt

xm

e

e

M

º

M

M

G

(3.3)

Trong đó:

-

ë

ik

xmt

e

º

M

biӇu thӏ sóng phҷng truyӅn theo trөc ë > 0: sóng tӟi tҥi mһt

phҷng

O

l

y

ë

c

c

g9

-

ë

ik

xmpx

P

e

E

M

biӇu thӏ sóng phҷng truyӅn theo trөc ë < 0: sóng phҧn xҥ tҥi mһt

phҷng P

-

xmt

E

M

,

xmpx

E

M

là các biên đӝ phӭc cӫa sóng tӟi và sóng phҧn xҥ tương ӭng

Tương tӵ ta có nghiӋm cӫa các phương trình sóng (8), (9) và (10) là

ë

ik

ympx

ë

ik

ymt

ym

ë

ik

xmpx

ë

ik

xmt

xm

ë

ik

ympx

ë

ik

ymt

ym

P

P

P

P

P

P

e

e

e

e

e

E

e

E

E

M

º

M

M

M

º

M

M

M

º

M

M

G

G

G

(3.4)

Suy ra

Ê

G

G

Ê

G

G

Ê

G

G

Ê

G

G

M

º

M

M

º

M

M

M

M

M

º

M

M

º

M

M

M

M

ë

ik

ympx

ë

ik

ymt

ë

ik

xmpx

ë

ik

xmt

ym

xm

m

ë

ik

ympx

ë

ik

ymt

ë

ik

xmpx

ë

ik

xmt

ym

xm

m

P

P

P

P

P

P

P

P

e

e

j

e

e

i

j

i

e

E

e

E

j

e

E

e

E

i

E

j

E

i

E

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

(3.5)

ĐӇ tìm mӕi liên hӋ giӳa

m

E

M

»

và

m

H

M

»

cho sóng tӟi và sóng phҧn xҥ, bҵng cách

quay hӋ toҥ đӝ Decac sao cho trөc x //

E

»

, o đó trөc y //

H

»

, ta có

m

xm

ym

xm

m

E

i

E

i

E

j

E

i

E

M

M

M

M

M

G

»

»

»

»

»

vì

0

ym

M

m

ym

ym

xm

m

j

j

j

i

M

M

M

M

M

G

»

»

»

»

»

vì

0

xm

M

(3.6)

Tӯ phương trình Maxwell (1), điӅu kiӋn (3.6) và các nghiӋm (3.3), (3.4) ta

có mӕi liên hӋ giӳa

m

E

M

»

và

m

H

M

»

cho sóng tӟi và sóng phҧn xҥ như sau

x

y

m

H

M

»

m

M

»

ym

H

M

xm

M

O

c

c

g6

mpx

ympx

0

ympx

xmpx

mpx

mt

ymt

0

ymt

xmt

mt

ë

i

1

ë

i

1

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

º

º

º

º

(3.7)

Trong đó:

Œ

0

0

0

itg

1

1

itg

1

º

º

(3.8)

Tӯ (3.7) ҥng cӫa

m

M

»

và

m

M

»

cho sóng phҷng TEM đưӧc viӃt lҥi

ë

ik

mpx

ë

ik

mt

m

ë

ik

mpx

ë

ik

mt

m

e

e

e

k

e

k

E

M

º

M

M

M

º

M

M

G

ÊÊ

ÊÊ

º

ÊÊ

»

»

»

»

»

»

»

»

(3.9)

Hoһc

Œ

Œ

Œ

Œ

ë

k

t

i

mpx

ë

k

t

i

mt

t

i

m

ë

k

t

i

mpx

ë

k

t

i

mt

t

i

m

e

e

e

e

k

e

k

e

G

M

º

M

M

M

G

M

º

M

M

M

G

ÊÊ

ÊÊ

º

ÊÊ

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

(3.10)

ĐӇ đơn giҧn trong nhӳng phҫn sau ta chӍ xét đӕi vӟi è lan truyӅn

trong môi trưӡng rӝng vô hҥn.

¸

O

x

y

ë

c

c

g(

Dҥng cӫa

m

M

»

và

m

M

»

cӫa sóng phҷng TEM lan truyӅn ӑc theo phương ë

đưӧc biӇu iӉn trong (3.9) hoһc (3.10). Tương tӵ theo phương bҩt kǤ hӧp vӟi

Ox, Oy và Oë tҥo thành các góc ¸, và . Ta có:

Œ

l

k

t

i

mt

t

e

º

M

M

»

»

(3.11)

mt

M

»

nҵm trong mһt phҷng vuông góc vӟi phương .

Và

Œ

l

k

t

i

mt

t

e

l

º

M

M

ÊÊ

»

»

»

(3.12)

l

»

là vector đơn vӏ cӫa phương truyӅn sóng .

Sӕ sóng phӭc k

P

và trӣ sóng phӭc Z

P

có thӇ viӃt lҥi

º

i

e

i

k

(3.13)

Trong đó

, và là các sӕ thӵc

là hӋ sӕ tәn hao cӫa môi trưӡng

là hӋ sӕ pha cӫa sóng

argument cӫa trӣ sóng phӭc

Khi đó , ,

và biӇu iӉn qua Ç, , và thӡi gian

E

như sau

E

2

0

0

tg

1

2

1

2

1

º

Ç

(3.14)

E

2

0

0

tg

1

2

1

2

1

Ç

(3.15)

4

E

2

tg

1

(3.16)

c

c

g?

E

2

E

2

tg

1

1

tg

1

1

arctg

arctg

^

¸

^

(3.17)

Vұn tӕc pha v

ph

cӫa sóng phҷng chính là vұn tӕc ӏch chuyӇn mһt đӗng pha

cӫa nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giҧ sӱ môi trưӡng không tәn hao ¸ = 0,

mһt đӗng pha cӫa sóng tӟi có ҥng

const

ë

t

^

^

(3.18)

Suy ra

0

ë

t

^

^

(3.19)

Cho nên vұn tӕc pha v

ph

đưӧc xác đӏnh bӣi

E

2

E

2

0

0

ph

tg

1

2

1

2

1

v

tg

1

2

1

2

1

1

.

1

t

ë

v

^

^

^

^

(3.20)

Trong đó

v là vұn tӕc truyӅn sóng phҷng trong môi trưӡng rӝng vô hҥn

Vector Poynting trung bình cӫa sóng tӟi hưӟng theo phương truyӅn ë đưӧc

tính là

P

2

mt

2

mt

P

mt

*

mt

tb

E

2

1

k

2

1

k

E

re

2

1

re

»

»

»

»

»

»

ÊÊ

(

(

M

M

M

(3.21)

Lưu ý: Vì

M

»

và

M

»

đӗng pha nên = 0 ƒ

1

e

i

6

39G)*>!|)*Ii)*)!C7&)*686#F7'])*Ii)*)!C<I|)*!'c)*

6

39323G)*>!|)*Ii)*)!C7&)*I)#FB'x)*

M Xét sóng điӋn tӯ phҷng đӗng nhҩt truyӅn ӑc theo trөc ë > 0 (sóng tӟi)

trong điӋn môi lí tưӣng đӗng nhҩt, đҷng hư ӟng và rӝng vô hҥn.

c

c

gg

M Vì môi trưӡng truyӅn sóng điӋn tӯ là điӋn môi lí tưӣng nên w = 0,

0

0

0

i

1

ÊÊ

w

º

, k

= k và Z

= Z. Tӯ các biӇu thӭc (3.14) ±

(3.21) ta có

Z

2

1

Z

2

1

v

1

v

Z

Z

k

0

,

0

2

mt

2

mt

tb

0

0

ph

0

0

0

0

(

»

(3.22)

m

E

M

»

và

m

H

M

»

có ҥng là

ë

i

mt

m

ë

i

mt

m

e

k

e

º

M

M

º

M

M

ÊÊ

»

»

»

»

»

(3.23)

Hoһc

Œ

Œ

ë

t

i

mt

t

i

m

ë

t

i

mt

t

i

m

e

k

H

e

e

H

e

H

H

º

M

M

M

º

M

M

M

ÊÊ

»

»

»

»

»

»

»

(3.24)

Nhұn xét:

M

E

»

và

H

»

vuông góc vӟi nhau và cùng vuông góc vӟi phương truyӅn sóng

M

E

»

và

H

»

luôn đӗng pha và có biên đӝ không đәi ӑc theo phương truyӅn

sóng

M Vұn tӕc pha v

ph

là hҵng sӕ bҵng vұn tӕc truyӅn sóng trong môi trưӡng

M Môi trưӡng không tәn hao năng lưӧng, không tán sҳc sóng điӋn tӯ, trӣ

sóng Z là mӝt sӕ thӵc

c

c

g×

6

39393G)*>!|)*Ii)*)!C7&)*#F7'])*;j)I)

M Trong môi trưӡng үn điӋn w 0, sӕ sóng và trӣ sóng là các đҥi lưӧng

phӭc,

º

ÊÊ

w

º

i

i

1

k

0

0

0

0

ÊÊ

w

º

i

0

0

0

0

e

i

1

Như đã nói ӣ trên chӍ xét đӕi vӟi sóng tӟi, o đó theo (3.10) và (3.13)

M

E

»

và

M

H

»

có ҥng

Œ

Œ

Œ

ë

ë

t

i

mt

ë

i

ë

t

i

mt

ë

k

t

i

mt

e

e

H

e

H

e

H

H

P

¸

Ç

M

¸

Ç

M

Ç

M

M

^

^

^

»

»

»

»

.......

Œ

Œ

Œ

ë

ë

t

i

mt

P

ë

i

ë

t

i

mt

i

P

ë

k

t

i

mt

P

e

e

k

H

Z

e

k

H

e

Z

e

k

H

Z

E

P

¸

Ç

M

¸

Ç

M

Ç

M

M

ÊÊ

^

^

ÊÊ

^

ÊÊ

^

»

»

»

»

»

»

»

(3.25)

H

»

E

»

c

c

gî

NӃu môi trưӡng có điӋn үn suҩt w rҩt lӟn, chҷng hҥn như kim loҥi, mӝt

cách gҫn đúng xem w Î , o đó thӡi gian

E

>> 1 nên theo các biӇu thӭc

(3.14) ± (3.21) ta có

0

E

E

2

tg

tg

1

w

G

2

tg

1

2

1

2

1

0

E

2

0

0

w

G

G

¸

2

tg

1

2

1

2

1

0

E

2

0

0

w

G

G

w

0

0

E

2

0

0

ph

2

tg

1

2

1

2

1

v

w

G

G

Œ

4

1

arctg

tg

1

1

tg

1

1

arctg

arctg

E

2

E

2

G

G

G

G

¸

(3.26)

M góc tәn hao ¸ 0 nên sóng điӋn tӯ bӏ tәn hao năng lưӧng, b iên đӝ cӫa

M

»

và

M

H

»

suy giҧm theo quy luұt hàm mũ e

-¸ë

ӑc theo phương truyӅn sóng ë.

M

M

»

và

M

»

lӋch pha nhau mӝt góc = argZ

P

0

m

ë

0

m

m

e

º

ë

x

y

c

c

g

M v

ph

là hàm sӕ phө thuӝc tҫn sӕ Ç, có nghĩa là Ç thay đәi trong quá trình

lan truyӅn sóng điӋn tӯ ƒ sóng phҷng trong môi trưӡng үn điӋn bӏ tán
sҳc. Do đó môi trưӡng үn điӋn là môi trưӡng tán sҳc.

6

363 ?)*:k#\7&)*<`;j)

Nhұn xét:

Theo công thӭc

2

0

nhұn thҩy rҵng

M Trong vұt үn điӋn tӕt w rҩt lӟn và nӃu tҫn sӕ sóng điӋn tӯ Ç càng cao thì

¸

càng lӟn. Do đó biên đӝ cӫa

E

»

và

H

»

suy giҧm rҩt nhanh khi truyӅn vào

bên trong vұt үn, có nghĩa là sóng điӋn tӯ chӍ tӗn tҥi mӝt lӟp rҩt m ӓng

sát bӅ mһt cӫa vұt үn điӋn tӕt.

M Dòng điӋn cao tҫn chҥy trong vұt үn cũng chӍ chҥy ӣ lӟp mһt ngoài.

Chҷng hҥn = 1 kHë thì = 2 mm và = 100 kHë thì = 0,2mm.

Ӭ: lưӥng kim thép ± Cu làm ây үn òng điӋn cao tҫn

M HiӋn tưӧng sóng điӋn tӯ hoһc òng điӋn cao tҫn khi truyӅn trong vұt үn

điӋn tӕt chӍ tұp trung ӣ mӝt lӟp mӓng bӅ mһt gӑi là hiӋu ӭng bӅ mһt hay

hiӋu ӭng skin

M Đҥi lưӧng đһc trưng cho hiӋu ӭng bӅ mһt là đӝ thҩm sâu cӫa trưӡng hay

đӝ ày lӟp skin , đó là khoҧng cách sóng điӋn tӯ đi tӯ bӅ mһt vào sâu

»

»

c

»

c

»

Thép

Cu

c

c

×

bên trong vұt үn mà tҥi đó biӋn đӝ cӫa

E

»

và

H

»

giҧm đi e = 2,718... lҫn

so vӟi giá trӏ tҥi bӅ mһt.

Theo (3.25) và (3.26) ta có

ë

0

m

m

ë

0

m

m

e

H

H

e

E

E

º

º

(3.27)

Trong đó:

E

m0

và H

m0

là biên đӝ cӫa

E

»

và

H

»

tҥi bӅ mһt vұt үn (ë = 0). Theo đӏnh

nghĩa đӝ thҩm sâu cӫa trưӡng ta có

e

e

E

E

m

0

m

^

^

¸

(3.28)

Suy ra

^

^

¸

^

0

0

2

2

1

1

(3.29)

Nhұn xét:

M Trong công thӭc (3.29), w và là các tham sӕ điӋn cӫa vұt үn điӋn. Đӝ

thҩm sâu cӫa trưӡng tӍ lӋ nghӏch vӟi căn bұc hai cӫa tҫn sӕ Ç và điӋn

үn suҩt w cӫa vұt үn. Chҷng hҥn Ag, Cu, Al ... có đӝ thҩm sâu cӫa

trưӡng rҩt bé cӥ = 0,5 m ӣ ҧi sóng vô tuyӃn = 10

6

Hë. Do đó các

kim loҥi này ùng làm màn chҳn sóng điӋn tӯ rҩt tӕt.

M Do có h/ӭ bm nên òng điӋn cao tҫn có cưӡng đӝ phân bӕ không đӅu

trong cùng mӝt tiӃt iӋn ngang cӫa ây үn, o đó trӣ kháng cũng không

đӅu nhau tương ӭng. ĐӇ tiӋn tính toán ngưӡi ta đưa ra khái niӋm :

%!D- &=

M Trӣ kháng mһt riêng cӫa vұt үn, kí hiӋu Z

S

, là tӍ sӕ điӋn áp cӫa trưӡng rơi

trên mӝt đơn vӏ chiӅu ài theo chiӅu òng điӋn và giá trӏ òng điӋn chҥy

qua mӝt đơn vӏ chiӅu rӝng đһt vuông góc vӟi nó

c

c

×

Xét vұt үn phҷng, rӝng vô hҥn và bӅ ày đӫ lӟn. Chӑn hӋ toҥ đӝ Decac có

trөc ë trùng vӟi phương truyӅn sóng, mһt phҷng vұt үn trùng vӟi mһt phҷng

xOy.

Giҧ sӱ

E

»

Ox. Theo đӏnh luұt Ohm ta có:

Œ

¸

w

^

w

^

^

^

¸

i

E

ë

e

E

ë

J

S

J

I

0

m

ë

i

0

0

m

0

x

S

»

»

(3.30)

Lưu ý: Tích phân (3.30) đưӧc lҩy tӯ 0 Î , mһt ù bӅ ày vұt үn là hӳu

hҥn nhưng òng điӋn cao tҫn chӍ chҥy trên lӟp bӅ mһt rҩt mӓng nên bӅ ày vұt

үn có thӇ xem là vô hҥn.

Cưӡng đӝ điӋn trưӡng

»

tҥi bӅ mһt vұt үn bҵng điӋn áp rơi trên mӝt đơn

vӏ chiӅu ài ӑc theo chiӅu òng điӋn nên ta có

Œ

Œ

ž

ž

0

0

m

0

m

ž

i

Ò

i

1

2

i

1

i

1

I

G

G

G

Ê

G

o =

(3.31)

Trong đó:

2

Ò

0

ž

là điӋn trưӡngӣ mһt riêng cӫa vұt үn.

(3.32)

x

y

ë

»

J

»

O

»

c

c

×9

R

S

chính là nguyên nhân làm tәn hao sóng điӋn tӯ trong vұt үn. Năng

lưӧng sóng điӋn tӯ biӃn thành nhiӋt năng đӕt nóng vұt үn.

.

S

là phҫn kháng cӫa trӣ kháng mһt riêng cӫa vұt үn Z

S

.

Nhұn xét: BiӇu thӭc (3.32) cho thҩy rҵng muӕn giҧm tәn hao năng lưӧng

sóng điӋn tӯ truyӅn ӑc vұt үn cҫn phҧi sӱ өng các kim loҥi үn điӋn tӕt như

Au, Ag, Cu ...

6

33K>!A)6K66b"HG)*>!|)*

Sóng điӋn tӯ có các vector

E

»

và

H

»

ao đӝng theo phương xác đӏnh gӑi là

sóng phân cӵc. Ngưӧc lҥi nӃu các vector

E

»

và

H

»

ao đӝng theo mӑi phương

ngүu nhiên gӑi là sóng không phân cӵc.

Sóng điӋn tӯ phҷng có nhiӅu ҥng phân cӵc như: phân cӵc elip, phân cӵc

tròn và phân cӵc thҷng.

6

3323!A)6K65>

Trong quá trình truyӅn sóng nӃu ngӑn cӫa vector

»

vҥch mӝt hình elip

trong không gian gӑi là sóng phân cӵc elip. Sóng phân cӵc elip chính là tәng

hӧp cӫa 2 sóng thành phҫn cùng tҫn sӕ, cùng phương truyӅn, nhưng phương cӫa

E

»

vuông góc nhau.

Giҧ sӱ có 2 sóng phҷng như sau:

Œ

Œ

G

º

º

ë

t

cos

j

ë

t

cos

i

my

2

mx

1

»

»

»

»

(3.33)

Sóng tәng hӧp có ҥng

^

Ê

Ê

ÊÊ

2

my

mx

2

1

2

my

2

2

mx

1

sin

E

E

E

E

cos

2

E

E

E

E

(3.34)

Đây là phương trình mô tҧ đưӡng elip trong mһt phҷng toҥ đӝ (E

1

, E

2

). Trөc

lӟn cӫa elip hӧp vӟi trөc Ox mӝt góc đưӧc tính theo:

^

cos

E

E

E

E

2

2

tg

2
my

2
mx

my

mx

(3.35)

c

c

×6

Trong đó: E

mx

> E

my

Trong quá trình truyӅn sóng theo trөc ë, ngӑn cӫa vector

E

»

tәng hӧp vҥch

nên mӝt đưӡng elip xoҳn trong không gian

6

3393!A)6K67q)

NӃu 2 sóng thành phҫn có biên đӝ bҵng nhau: E

mx

= E

my

= E

m

và lӋch pha

nhau mӝt góc

2

^

. Suy ra

1

sin

2

^

,

0

cos

^

và phương trình (3.34) trӣ

thành

2
m

2
2

2

1

^

G

(3.36)

Đây là phương trình mô tҧ đưӡng tròn trong mһt phҷng toҥ đӝ (

1

,

2

).

Trong quá trình truyӅn sóng theo trөc ë, ngӑn cӫa vector

»

tәng hӧp vҥch nên

mӝt đưӡng tròn xoҳn trong không gian, gӑi là sóng phân cӵc tròn.

NӃu nhìn theo chiӅu truyӅn sóng vector

»

tәng hӧp quay thuұn chiӅu kim

đӗng hӗ, ta có sóng phân cӵc tròn quay phҧi. NӃu nhìn th eo chiӅu truyӅn sóng

vector

»

tәng hӧp quay ngưӧc chiӅu kim đӗng hӗ, ta có sóng phân cӵc tròn

quay trái. ChiӅu quay cӫa vector

»

tәng hӧp phө thuӝc vào ҩu cӫa góc lӋch

pha

2

6

3363!A)6K6!|)*} =)B)!~

Trong quá trình truyӅn sóng theo trөc ë, vector

E

»

luôn hưӟng song song

theo mӝt đưӡng thҷng gӑi là sóng phân cӵc thҷng hay sóng phân cӵc tuyӃn tính.

trưӡng hӧp này góc lӋch pha cӫa 2 sóng thành phҫn có giá trӏ = 0, , 2, ...

Suy ra sin = 0, cos = 1 và phương trình (3.34) trӣ thành

0

E

E

E

E

2

my

2

mx

1

^

Ê

Ê

(3.37)

Hay

c

c

×(

1

mx

my

2

E

E

E

E

^

(3.38)

Đây là phương trình mô tҧ đưӡng thҷng đi qua gӕc toҥ đӝ hӧp vӟi trөc Ox

mӝt góc ¶ đưӧc tính theo

mx

my

E

E

tg

^

(3.39)

Nhұn xét: TuǤ thuӝc vào hưӟng cӫa vector

E

»

ngưӡi ta còn phân thành 2

trưӡng hӧp phân cӵc ngang và phân cӵc đӭng.

6

33K>!%)e[<$!6e[6b"HG)*>!|)*

Mөc tiêu phҫn này nghiên cӭu qui luұt cӫa sóng phҧn xҥ và khúc xҥ tҥi mһt

phҷng phân cách rӝng vô hҥn giӳa 2 môi trưӡng có tham sӕ điӋn khác nhau. ĐӇ

đơn giҧn ta chӍ xét đӕi vӟi sóng phҷng tӟi phân cӵc thҷng ngang và đӭng.

6

3323G)*c>!A)6K6)*")*

NӃu vector

E

»

cӫa sóng tӟi vuông góc vӟi mһt phҷng tӟi, gӑi là sóng phân

cӵc ngang. Trong trưӡng hӧp này vector

E

»

cӫa sóng tӟi sӁ song song vӟi mһt

phҷng phân cách 2 môi trưӡng. Tìm qui luұt cӫa sóng phҧn xҥ và khúc xҥ ?

Chӑn hӋ toҥ đӝ Decac có mһt xOy mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng,

trөc ë trùng vӟi pháp tuyӃn cӫa mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng. Hai môi

trưӡng là điӋn môi có các tham sӕ điӋn

1

,

1

,

2

,

2

tương ӭng.

Vì sóng tӟi là sóng phҷng truyӅn theo phương ë

t

, lұp vӟi pháp tuyӃn ë mӝt

góc

t

nên có thӇ quay trөc toҥ đӝ quanh trөc ë đӇ cho trөc x cӫa nó chӍ phương

cӫa vector

E

»

cӫa sóng tӟi. Tҥi mһt phҷng phân cách sӁ có sóng phҧn xҥ lҥi môi

x

y

¶

E

»

E

mx

E

my

O

c

c

×?

trưӡng 1 vӟi góc phҧn xҥ

phҧn xҥ

truyӅn theo hưӟng ë

px

, còn sóng khúc xҥ tҥi mһt

phҷng phân cách vӟi góc khúc xҥ đi vào môi trưӡng 2 theo phương ë

kx

. Theo

h.vӁ nhұn thҩy rҵng

E

»

cӫa sóng tӟi, sóng phҧn xҥ và sóng khúc xҥ chӍ có 1

thành phҫn theo trөc x, còn

»

cӫa các sóng trên có 2 thành phҫn theo trөc y và

ë

. Áp өng các biӇu thӭc (3.4) và (3.5) ta có:

Sóng tӟi

t

1

t

1

ë

ik

më

1

my

1

1

ë

ik

mx

1

1

e

k

j

e

i

º

M

M

M

º

M

M

Ê

G

»

»

»

»

»

(3.40)

Sóng phҧn xҥ

px

1

px

1

ë

ik

më

1

my

1

1

ë

ik

mx

1

1

e

H

k

H

H

e

E

i

E

M

M

M

M

M

Ê

^

^

»

»

»

»

»

(3.41)

Sóng khúc xҥ

kx

2

kx

2

ë

ik

më

2

my

2

2

ë

ik

mx

2

2

e

H

k

H

H

e

E

i

E

M

M

M

M

M

Ê

^

^

»

»

»

»

»

(3.42)

Trong đó:

0

1

0

1

1

k

và

0

2

0

2

2

k

là sӕ sóng cӫa môi trưӡng 1 và 2 tương

ӭng. Các phương truyӅn sóng ë

t

, ë

px

và ë

kx

biӇu iӉn qua x, y, ë như sau:

cos

ë

sin

y

ë

cos

ë

sin

y

ë

cos

ë

sin

y

ë

kx

px

px

px

t

t

t

(3.43)

c

c

×g

Vì các môi trưӡng đӅu là điӋn môi nên áp өng điӅu kiӋn biên cho

E

»

và

H

»

tҥi mһt phҷng phân cách xOy (ë = 0) ta có:

my

2

2

my

1

my

1

1

mx

2

2

mx

1

mx

1

1

H

H

H

H

H

E

E

E

E

E

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

^

^

^

^

^

^

(3.44)

Thay các biӇu thӭc (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho ë = 0 ta có:

M

M

M

M

M

M

^

º

^

sin

y

ik

my

2

sin

y

ik

my

1

sin

y

ik

my

1

sin

y

ik

mx

2

sin

y

ik

mx

1

sin

y

ik

mx

1

2

px

1

t

1

2

px

1

t

1

e

e

e

e

e

e

(3.45)

(3.45) luôn thoҧ mãn y ta lҥi có:

M

M

M

M

M

M

^

^

^

º

^

sin

y

ik

sin

y

ik

sin

y

ik

my

2

my

1

my

1

mx

2

mx

1

mx

1

2

px

1

t

1

e

e

e

(3.46)

Tӯ biӇu thӭc cuӕi cӫa (3.46) suy ra:

px

t

^

(3.47)

^

sin

k

sin

k

2

t

1

(3.48)

Nhұn xét:

(3.47) mô tҧ đӏnh luұt phҧn xҥ sóng điӋn tӯ tҥi mһt phҷng phân cách.

(3.48) mô tҧ đӏnh luұt khúc xҥ sóng điӋn tӯ.

Đһt

px

t

1

»

1

E

»

1

»

1

»

ë

px

ë

t

ë

kx

y

ë

2

»

2

»

O

c

c

××

0

1

1

n

và

0

2

2

n

(3.49)

lҫn lưӧt là chiӃt suҩt cӫa môi trưӡng 1 và 2. Giҧ sӱ

1

=

2

= thì đӏnh luұt khúc

xҥ cӫa sóng điӋn tӯ phҷng có ҥng giӕng như trong quang hӑc

sin

n

sin

n

2

t

1

(3.50)

ĐӇ mô tҧ giӳa các biên đӝ phӭc cӫa sóng tӟi, sóng phҧn xҥ và sóng khúc xҥ

ngưӡi ta đưa ra khái niӋm hӋ sӕ phҧn xҥ và hӋ sӕ khúc xҥ.

H >!%) e[

(re lective moulus) là tӍ sӕ giӳa biên đӝ phӭc cӫa sóng

phҧn xҥ và sóng tӟi tính cho

»

, kí hiӋu R. H$!6e[ (re ractive moulus)

là tӍ sӕ giӳa biên đӝ phӭc cӫa sóng khúc xҥ và sóng tӟi tính cho

E

»

, kí hiӋu T.

Đӕi vӟi sóng phân cӵc ngang ta có:

m

1

m

1

ng

Ò

M

M

và

m

1

m

2

ng

T

M

M

(3.51)

Theo hvӁ đӕi vӟi sóng phân cӵc ngang ta có:

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

cos

H

H

,

cos

H

H

cos

H

H

,

,

m

2

my

2

t

m

1

my

1

t

m

1

my

1

mx

2

m

2

mx

1

m

1

mx

1

m

1

(3.52)

và

2

m

2

m

2

1

m

1

m

1

1

m

1

m

1

H

H

H

M

M

M

M

M

M

(3.53)

c

c

×î

Trong đó:

0

1

0

1

1

và

0

2

0

2

2

là trӣ sóng cӫa môi trưӡng 1 và 2

tương ӭng. Thay các biӇu thӭc (3.52) và (3.53) vào (3.46) rӗi chia cҧ 2 vӃ cӫa

chúng cho

m

1

M

ta có

Œ

2

ng

1

t

ng

ng

ng

cos

T

cos

Ò

1

T

Ò

1

º

G

(3.54)

Suy ra:

G

G

º

cos

cos

cos

2

T

cos

cos

cos

cos

Ò

1

t

2

t

2

ng

1

t

2

1

t

2

ng

(3.55)

(3.55) gӑi là công thӭc resnel

Góc khúc xҥ có thӇ tính đưӧc qua góc tӟi

t

theo đӏnh luұt khúc xҥ (3.48)

như sau:

t

2

2

1

2

t

2

1

sin

1

sin

k

k

1

cos

º

ÊÊ

º

(3.56)

NӃu 2 môi trưӡng là điӋn môi có

1

=

2

= thì (3.55) đưӧc viӃt lҥi

t

2

2

1

2

t

1

t

1

ng

t

2

2

1

2

t

1

t

2

2

1

2

t

1

ng

sin

1

cos

cos

2

T

sin

1

cos

sin

1

cos

Ò

º

G

º

G

º

º

(3.57)

6

3393G)*c>!A)6K6I?)*

NӃu vector

E

»

cӫa sóng tӟi nҵm trong mһt phҷng tӟi, gӑi là sóng phân cӵc

đӭng. Trong trưӡng hӧp này vector

H

»

cӫa sóng tӟi sӁ song song vӟi mһt phҷng

phân cách 2 môi trưӡng. Tìm qui luұt cӫa sóng phҧn xҥ và khúc xҥ ?

c

c

×

Chӑn hӋ toҥ đӝ Decac có mһt xOy mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng,

trөc ë trùng vӟi pháp tuyӃn cӫa mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng và trөc x chӍ

phương cӫa vector

»

cӫa sóng tӟi.

Theo h.vӁ nhұn thҩy rҵng

H

»

cӫa sóng tӟi, sóng phҧn xҥ và sóng khúc xҥ

chӍ có 1 thành phҫn theo trөc x, còn

E

»

cӫa các sóng trên có 2 thành phҫn theo

trөc y và ë. TiӃn hành tương tӵ như đӕi vӟi sóng phân cӵc ngang ta có:

^

^

cos

Z

cos

Z

cos

Z

2

T

cos

Z

cos

Z

cos

Z

cos

Z

R

2

t

1

t

2

đ

2

t

1

2

t

1

đ

(3.58)

T

đ

và R

đ

liên hӋ vӟi nhau theo công thӭc:

2

1

đ

đ

Z

Z

T

R

1

^

(3.59)

NӃu 2 môi trưӡng là điӋn môi có

1

=

2

= thì (3.58) đưӧc viӃt lҥi

t

2

2

1

1

t

2

t

1

đ

t

2

2

1

1

t

2

t

2

2

1

1

t

2

đ

sin

1

cos

cos

2

T

sin

1

cos

sin

1

cos

R

^

^

(3.60)

px

t

1

E

»

1

»

1

H

»

1

H

»

ë

px

ë

t

ë

kx

y

ë

2

E

»

2

»

O

c

c

î

6

3363G)*c< F)**G6<c#\>!|)*>!A)686!

Khi sóng tӟi vuông góc vӟi mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng, tӭc là

t

=

0, theo đӏnh luұt khúc xҥ ta có cos = 1 và o đó góc khúc xҥ = 0. HӋ sӕ khúc

xҥ và hӋ sӕ phҧn xҥ trong các biӇu thӭc cӫa (3.55) và (3.58) có ҥng đơn giҧn

như sau:

2

1

2

đ

2

1

2

1

đ

1

2

2

ng

1

2

1

2

ng

Z

Z

Z

2

T

,

Z

Z

Z

Z

R

Z

Z

Z

2

T

,

Z

Z

Z

Z

R

^

^

^

^

(3.61)

6

333K>!%)e[&)>!D)

NӃu môi trưӡng 1 có chiӃt suҩt lӟn hơn môi trưӡng 2 n

1

> n

2

, theo (3.50) ta

có:

t

2

1

sin

n

n

sin

(3.62)

có nghĩa là >

t

. Khi đó ta sӁ có góc tӟi giӟi hҥn 0 <

0

<

2

»

đӇ đҥt đưӧc điӅu

kiӋn:

1

sin

n

n

sin

0

2

1

(3.63)

và =

2

»

. Khi đó sóng khúc xҥ sӁ truyӅn sát mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡ ng.

NӃu tiӃp tөc tăng

t

>

0

thì sóng khúc xҥ không đi vào môi trưӡng 2 mà quay

trӣ lҥi môi trưӡng 1 (ӭng vӟi >

2

»

), gӑi là hiӋn tưӧng phҧn xҥ toàn phҫn. Góc

0

gӑi là góc giӟi hҥn đưӧc xác đӏnh theo công thӭc:

1

2

0

n

n

arcsin

(3.64)

HiӋn tưӧng phҧn xҥ toàn phҫn đưӧc ӭng өng đӇ truyӅn ánh sáng trong sӧi

quang.

c

c

î

6

333K$!6e[&)>!D)

NӃu sóng tӟi truyӅn đӃn mһt phҷng phân cách vào môi trưӡng 2 mà không

phҧn xҥ trӣ lҥi môi trưӡng 1 gӑi là sӵ khúc xҥ toàn phҫn. Trong trưӡ ng hӧp này

hӋ sӕ phҧn xҥ bҵng 0. Góc tӟi ӭng vӟi hiӋn tưӧng khúc xҥ toàn phҫn gӑi là góc

Brewster, kí hiӋu là

b

. Tӯ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đӕi vӟi 2 trưӡng

hӧp phân cӵc ngang và đӭng cӫa sóng tӟi như sau:

0

sin

1

cos

0

Ò

0

sin

1

cos

0

Ò

b

2

2

1

2

b

1

đ

b

2

2

1

1

b

2

ng

º

º

º

º

(3.65)

Nhұn xét:

- 2 phương trình trong (3.65) không thӇ có nghiӋm đӗng thӡi, tӭc là chӍ có

1 trong 2 trưӡng hӧp xҧy ra hiӋn tưӧng khúc xҥ toàn phҫn. LT và TN đã chӍ ra

rҵng chӍ có sóng phân cӵc đӭng mӟi có hiӋn tưӧng khúc xҥ toàn phҫn và góc

Brewster

b

đưӧc xác đӏnh như sau:

2

1

b

tg

(3.66)

- Các kӃt quҧ đã nhұn đưӧc đӕi vӟi sóng phҧn xҥ và khúc xҥ tҥi mһt phҷng

phân cách 2 môi trưӡng là điӋn môi cũng đúng đӕi vӟi các môi trưӡng bҩt kì có

điӋn үn suҩt w 0. Khi đó các công thӭc resnel trong (3.55) và (3.58) chӍ cҫn

thay =

P

và =

P

.

6

3g3k $):N)*D)I)*5&)&<6

Xét sóng phҷng khúc xҥ tҥi mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng tӯ điӋn môi

(môi trưӡng 1) vào môi trưӡng có điӋn үn suҩt lӟn w

2

(môi trưӡng 2), ta có:

2

2

1

2

1

tg

hay

k

k

(3.67)

Theo đӏnh luұt khúc xҥ (3.48) ta có:

c

c

î9

t

2

2

1

sin

tg

sin

(3.68)

Như vұy: vӟi mӑi góc tӟi

t

khi thoҧ mãn điӅu kiӋn (3.67) thì góc khúc xҥ

0, có nghĩa là sóng khúc xҥ truyӅn vào môi trưӡng có điӋn үn suҩt lӟn theo

phương pháp tuyӃn vӟi mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng không phө thuӝc vào

góc tӟi

t

.

NӃu chӑn trөc ë trùng vӟi phương pháp tuyӃn cӫa mһt phҷng phân cách thì

»

và

H

»

cӫa sóng khúc xҥ trong môi trưӡng 2 có ҥng:

Œ

Œ

2

0

2

2

0

2

2

0

2

k

k

»

»

»

»

»

»

»

(3.69)

Trong đó:

-

0

»

là vector đơn vӏ tiӃp tuyӃn vӟi mһt phҷng phân cách 2 môi trưӡng

- H

2

, E

2

là các thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa

H

»

và

E

»

cӫa sóng khúc xҥ ӣ sát

mһt phҷng phân cách

Theo điӅu kiӋn biên tәng quát tҥi mһt phҷng phân cách ta có:

^

^

2

1

2

1

H

H

E

E

(3.70)

Suy ra:

^

1

2

P

1

H

Z

E

(3.71)

(3.71) mô tҧ quan hӋ giӳa các thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa

H

»

và

E

»

cӫa sóng điӋn

tӯ phҷng truyӅn tӯ môi trưӡng điӋn môi qua môi trưӡng үn điӋn có điӋn үn

suҩt lӟn, gӑi là Ik $) :N) *D) I)* 5&)&<6. Trong thӵc tӃ điӅu kiӋn

biên gҫn đúng Leontovic đưӧc ӭng өng đӇ tính tәn hao cӫa sóng điӋn tӯ truyӅn

ӑc bӅ mһt các kim loҥi үn điӋn tӕt.

6

3h3G)*>!|)*7&)*#F7'])*$!F)*I|)*!'c)*

6

3h323F7'])*$!F)*I|)*!'c)*

c

c

î6

Môi trưӡng đҷng hưӟng có các tham sӕ điӋn tӯ , , w là các hҵng sӕ;

»

//

Y

»

;

»

//

»

theo các phương trình vұt chҩt:

Y

0

»

»

,

0

»

»

(3.72)

Trong tn ngoài các môi trưӡng đҷng hưӟng còn có các môi trưӡng không

đҷng hưӟng, ӣ đó theo các hưӟng khác nhau các tham sӕ điӋn tӯ , có giá trӏ

khác nhau. , đưӧc biӇu iӉn ưӟi ҥng tensor đӝ tӯ thҭm

7

và tensor đӝ điӋn

thҭm

7

như sau:

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ëë

ë

y

ë

x

yë

yy

yx

xë

xy

xx

ëë

ë

y

ë

x

yë

yy

yx

xë

xy

xx

,

7

7

(3.73)

Các phương trình vұt chҩt trong môi trưӡng không đҷng hưӟng sӁ là:

Y

»

7

»

,

»

7

»

(3.74)

Hay:

ë

ëë

y

ë

y

x

ë

x

ë

ë

yë

y

yy

x

yx

y

ë

xë

y

xy

x

xx

x

ë

ëë

y

ë

y

x

ë

x

ë

ë

yë

y

yy

x

yx

y

ë

xë

y

xy

x

xx

x

H

H

H

B

H

H

H

B

H

H

H

B

E

E

E

D

E

E

E

D

E

E

E

D

^

^

^

^

^

^

(3.75)

Nhұn xét:

- (3.75) cho thҩy rҵng

E

»

N

D

»

;

B

»

N

H

»

- Trong thӵc tӃ không tӗn tҥi các môi trưӡng mà cҧ , đӅu là tensor, chӍ

có các môi trưӡng không đҷng hưӟng như sau:

Môi trưӡng có , w là hҵng sӕ và đӝ tӯ thҭm là tensor

7

, gӑi là môi trưӡng

không đҷng hưӟng tӯ quay. Thí ө: errite bӏ tӯ hoá bӣi tӯ trưӡng không đәi là

môi trưӡng tӯ quay đӕi vӟi sóng điӋn tӯ, đưӧc ӭng өng trong kӻ thuұt siêu cao

tҫn làm các tbӏ điӅu khiӇn sӵ truyӅn sóng.

c

c

î(

Môi trưӡng có , w là hҵng sӕ và đӝ điӋn thҭm là tensor

7

, gӑi là môi

trưӡng không đҷng hưӟng điӋn quay. Thí ө: chҩt khí bӏ ion hoá (plasma) ưӟi

tác өng cӫa tӯ trưӡng không đәi là môi trưӡng điӋn quay đӕi vӟi sóng điӋn tӯ.

Tҫng ion cӫa khí quyӇn trái đҩt cũng là môi trưӡng điӋn quay đӕi vӟi sóng điӋn

tӯ, khi truyӅn sóng vô tuyӃn trong tҫng ion cҫn xét đӃn tính không đҷng hưӟng

cӫa nó.

6

3h393»5)H&7I_^!€#<5)H&7I_I)!€#

B

errite chính là hӧp chҩt Be

3

O

4

và mӝt sӕ oxie kim loҥi khác như MnO,

MgO, NiO ... vӯa có tính chҩt điӋn môi vӯa có tính chҩt sҳt tӯ, = 5 ± 20, w =

10

-4

± 10

-6

(m)

-1

. Khi không có tӯ trưӡng không đәi ,

0

H

»

= 0, errite biӇu hiӋn

như mӝt môi trưӡng đҷng hưӟng đӕi vӟi sӵ truyӅn sóng điӋn tӯ. Khi có tӯ

trưӡng không đәi,

0

H

»

0, errite biӇu hiӋn tính chҩt cӫa môi trưӡng không đҷng

hưӟng tӯ quay đӕi vӟi sӵ truyӅn sóng điӋn tӯ. Tensor đӝ tӯ thҭm có ҥng như

sau:

Ê

Ê

Ê

º

0

x

x

0

0

0

ia

0

ia

7

(3.76)

Trong đó:

M

m

e

H

m

e

a

ia

1

0

0

0

0

0

M

2
M

2

0

0

yx

xy

2
M

2

0

M

0

yy

xx

x

^

Ç

^

Ç

Ç

Ç

ÇÇ

^

^

^

ÊÊ

Ç

Ç

Ç

Ç

^

^

^

(3.77)

Vӟi:

- e là điӋn tích cӫa electron

c

c

î?

- m

0

là khӕi lưӧng cӫa electron

- M là đӝ lӟn cӫa vector tӯ hoá cӫa errite

- Ç là tҫn sӕ cӫa sóng điӋn tӯ

- Ç

M

là tҫn sӕ cӝng hưӣng tӯ quay

-

0

là hҵng sӕ tӯ

Khí bӏ ion hoá có mӝt sӕ lưӧng lӟn các đ/tích tӵ o gӗm electron và ion,

gӑi là môi trưӡng plasma, có w rҩt lӟn. Khi không có tӯ trưӡng không đәi ,

0

H

»

=

0, plasma biӇu hiӋn như mӝt môi trưӡng đҷ ng hưӟng đӕi vӟi sӵ truyӅn sóng điӋn

tӯ. Khi có tӯ trưӡng không đәi,

0

»

0, plasma biӇu hiӋn tính chҩt cӫa môi

trưӡng không đҷng hưӟng điӋn quay đӕi vӟi sӵ truyӅn sóng điӋn tӯ. Tensor đӝ

điӋn thҭm có ҥng như sau:

Ê

Ê

Ê

º

ë

x

x

0

0

0

ib

0

ib

7

(3.78)

Trong đó:

0

0

2

2
0

0

0

0

M

2

2
0

0

ëë

ë

2
M

2

0

M

0

yx

xy

2
M

2

2
0

0

yy

xx

x

m

Ne

H

m

e

1

b

ib

1

^

Ç

^

Ç

ÊÊ

Ç

Ç

^

^

Ç

Ç

Ç

Ç

^

^

^

ÊÊ

Ç

Ç

Ç

^

^

^

(3.79)

Vӟi:

- Ç

M

là tҫn sӕ cӝng hưӣng tӯ quay

- e là điӋn tích cӫa electron

c

c

îg

- m

0

là khӕi lưӧng cӫa electron

- N là sӕ electron trong 1 đơn vӏ thӇ tích

-

0

là hҵng sӕ điӋn

-

0

là hҵng sӕ tӯ

- Ç là tҫn sӕ cӫa sóng điӋn tӯ

6

3h363G)*>!|)*7&)*5775:E^!&8

Xét sóng phҷng điӅu hoà truyӅn ӑc theo phương cӫa vector tӯ trưӡng

không đәi tӯ hoá vұt liӋu errite rӝng vô hҥn. Chӑn trөc ë trùng vӟi phương

truyӅn sóng và vector

0

»

, sӱ өng tensor đӝ tӯ thҭm (3.76) và điӅu kiӋn ngang

cӫa sóng phҷng TEM (3.1) cho các phương trình Maxwell ta có:

0

E

ia

i

ë

E

ia

i

ë

E

0

E

i

ë

E

i

ë

ë

x

y

x

x

y

x

x

y

ë

y

x

x

y

Ê

G

º

Ê

º

º

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

(3.80)

NghiӋm cӫa (3.80) có ҥng:

ikë

my

mx

ikë

my

mx

e

H

H

i

H

e

E

E

i

E

º

M

M

M

º

M

M

M

Ê

G

Ê

G

»

»

»

»

»

»

(3.81)

Thay (3.81) vào (3.80) ta có:

a

k

2

x

2

2

º

(3.82)

Suy ra:

c

c

î×

Œ
Œ

a

k

a

k

x

x

Ç

^

Ç

^

(3.83)

Khi đó vұn tӕc pha và trӣ sóng đưӧc tính theo công thӭc:

Œ

Œ

^

^

^

Ç

^

^

Ç

^

a

Z

a

Z

a

1

k

v

a

1

k

v

x

P

x

P

x

ph

x

ph

(3.84)

Các thành phҫn cӫa

»

và

»

cӫa sóng phҷng trong errite bӏ tӯ hoá:

G

M

G

G

M

G

M

G

G

M

G

M

G

M

º

x

y

y

x

x

y

i

(3.85)

Và

º

M

º

º

M

º

M

º

º

M

º

M

º

M

º

º

x

y

y

x

x

y

i

(3.86)

ay ưӟi ҥng vector:

Œ

Œ

G

M

G

M

G

M

G

G

M

º

Ç

G

M

G

M

Ê

Ê

G

G

mx

m

ë

k

t

i

m

k

e

i

i

»

»

»

»

»

»

(3.87)

Và

c

c

îî

Œ

Œ

M

M

M

M

Ç

M

M

^

Ê

Ê

^

^

mx

m

P

ë

k

t

i

m

H

H

k

H

Z

E

e

i

i

H

H

»

»

»

»

»

»

(3.88)

Nhұn xét:

- (3.85) và (3.87) mô tҧ sóng phân cӵc tròn quay phҧi

- (3.86) và (3.88) mô tҧ sóng phân cӵc tròn quay trái

Như vұy: khi sóng phҷng truyӅn trong môi trưӡng errite bӏ tӯ hoá bӣi tӯ

trưӡng không đәi, môi trưӡng này thӇ hiӋn các tham sӕ điӋn tӯ khác nhau đӕi

vӟi sóng phân cӵc tròn quay phҧi và quay trái ӭng vӟi các sӕ sóng k

+

và k

-

; vұn

tӕc pha v

ph

+

, v

ph

-

và trӣ sóng Z

P

+

, Z

P

-

khác nhau. Do đó đӝ tӯ thҭm cӫa môi

trưӡng errite bӏ tӯ hoá có giá trӏ khác nhau đӕi vӟi sóng phân cӵc tròn quay

phҧi và quay trái như sau:

a

a

x

x

º

G

º

G

(3.89)

Nhұn xét: khi sóng phân cӵc thҷng truyӅn trong môi trưӡng errite bӏ t ӯ hoá

ӑc theo tӯ trưӡng không đәi

0

H

»

hưӟng theo trөc ë thì vector

H

»

cӫa sóng điӋn

tӯ sӁ quay đi mӝt góc . HiӋn tưӧng quay mһt phҷng phân cӵc cӫa sóng phân

cӵc thҷng truyӅn trong môi trưӡng errite bӏ tӯ hoá gӑi là h/ӭng Baraay. Góc

quay mһt phҷng phân cӵc cӫa

H

»

trong 1 đơn vӏ chiӅu ài trong errite gӑi là

hҵng sӕ Baraay, kí hiӋu là ¶ và đưӧc tính theo công thӭc:

Œ

a

a

2

2

k

k

x

x

Ç

^

^

(3.90)

c

c

î

!'()*

‚Rtƒz»

323„!8)#

M NӃu trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng có mӝt hay mӝt nhóm vұt

thӇ mà các kích thưӟc cӫa chúng cӥ bưӟc sóng cӫa sóng điӋn tӯ thì tҥi đó

có thӇ xҧy ra hiӋn tưӧng sóng phҧn xҥ lҥi môi trưӡng, sóng khúc xҥ truyӅn

vào các vұt thӇ và sӵ đi vòng cӫa sóng tӟi qua các vұt thӇ làm cho cҩu

trúc cӫa trưӡng sóng tӟi thay đәi. HiӋn tưӧng trên gӑi là sӵ nhiӉu xҥ sóng

điӋn tӯ tҥi các vӏ trí bҩt đӗng nhҩt cӫa môi trưӡng. Các vұt thӇ này gӑi là

vұt chưӟng ngҥi, sóng tӟi gӑi là sóng sơ cҩp, sóng phҧn xҥ gӑi là sóng thӭ

cҩp. Trưӡng điӋn tӯ nhiӉu xҥ toàn phҫn là trưӡng tәng hӧp cӫa các sóng

sơ cҩp, sóng thӭ cҩp và sóng khúc xҥ

M Mөc tiêu: xác đӏnh trưӡng thӭ cҩp hoһc trưӡng toàn phҫn tҥi mӝt điӇm bҩt

kì trong không gian môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng tҥi thӡi đi Ӈm t

bҩt kì khi đã biӃt các tham sӕ điӋn và ҥng hình hӑc cӫa vұt chưӟng ngҥi,

và cҩu trúc cӫa trưӡng sóng sơ cҩp.

M Vì vұt chưӟng ngҥi có ҥng hhӑc rҩt phӭc tҥp và ӣ nhӳng vӏ trí khác nhau

so vӟi nguӗn sơ cҩp, o đó bài toán nhiӉu xҥ sóng điӋn tӯ chӍ có th Ӈ giҧi

gҫn đúng. Trong thӵc tӃ ngưӡi ta thưӡng ùng các đҥi lưӧng vұt lí như tiӃt

iӋn phҧn xҥ tương đương, tiӃt iӋn hҩp thө toàn phҫn ... đһc trưng cho sӵ

nhiӉu xҥ sóng điӋn tӯ.

M ViӋc giҧi chính xác bài toán nhiӉu xҥ sóng điӋn tӯ chӍ có thӇ thӵc hiӋn đӕi

vӟi vұt chưӟng ngҥi có ҥng hhӑc đơn giҧn như htrө tròn nhӓ ài vô hҥn,

hcҫu đһt rҩt xa nguӗn sóng sơ cҩp, có nghĩa là cҩu trúc cӫa nguӗn và

trưӡng sóng sơ cҩp không phө thuӝc vào vұt chưӟng ngҥi.

393!… e[6b"HG)*>!|)*7N)<`;j)7†7q);<F! [)

39323X&8)

c

c

- Giҧ sӱ có mӝt vұt үn điӋn tӕt ҥng trө tròn bán kính a ài vô hҥn đһt

trong kk và có sóng phҷng điӅu hoà truyӅn tӟi vuông góc vӟi trөc cӫa vұt үn.

Xác đӏnh trưӡng thӭ cҩp phҧn xҥ tӯ vұt үn.

- Chӑn hӋ toҥ đӝ trө có trөc ë trùng vӟi trөc cӫa vұt үn và sóng phҷng điӅu

hoà truyӅn ӑc theo trөc Ox và vuông góc vӟi trөc cӫa vұt үn. Khi đó sӵ phân

cӵc cӫa sóng tӟi có thӇ xҧy ra 2 trưӡng hӧp:

t

»

// Oë và

t

»

ñ Oë. NӃu sóng tӟi là

sóng phân cӵc thҷng bҩt kì cӫa

t

»

thì nó đưӧc xem như là tәng hӧp cӫa 2 trưӡng

hӧp trên. Do đó viӋc giҧi bài toán nhiӉu xҥ sóng điӋn tӯ phҷng chӍ cҫn xét đӕi

vӟi ҥng sóng phҷng phân cӵc đã nêu.

- Vì sóng tӟi vuông góc vӟi ë nên đӕi vӟi trưӡng sóng phҧn xҥ ta có:

Œ

0

,

ë

và các phương trình Maxwell có ҥng:

më

0

mr

m

m

0

më

mr

0

më

i

r

r

r

1

i

r

r

i

M

M

M

M

M

M

M

Ç

Ê

Ê

Ê

Ç

Ç

(4.1)

t

»

t

»

t

»

t

»

t

»

t

»

ýë

//

t

»

ýë

t

ñ

»

ë

x

a

2

c

c

và:

më

0

0

mr

m

m

0

më

mr

0

më

i

r

r

r

1

i

r

r

i

M

M

M

M

M

M

M

º

Ê

Ê

º

Ê

º

(4.2)

Nhұn xét:

- Ӌ phương trình (4.1) chӍ gӗm các thành phҫn

më

M

,

mr

M

,

M

m

và

mr

M

= 0

(phương truyӅn sóng thӭ cҩp). Đây gӑi là trưӡng thӭ cҩp điӋn ngang hay tӯ ӑc,

kí hiӋu là T hoһc , ӭng vӟi trưӡng hӧp sóng tӟi phân cӵc

mt

M

// Oë.

- Ӌ phương trình (4.2) chӍ gӗm các thành phҫn

më

M

,

mr

M

,

M

m

và

mr

M

= 0

(phương truyӅn sóng thӭ cҩp). Đây gӑi là trưӡng thӭ cҩp tӯ ngang hay điӋn ӑc,

kí hiӋu là T hoһc , ӭng vӟi trưӡng hӧp sóng tӟi phân cӵc

mt

M

ñ Oë.

- ai hӋ phương trình (4.1) và (4.2) có ҥng tương tӵ nhau nên chӍ cҫn xét

mӝt trong 2 hӋ phương trình trên là đưӧc, cө thӇ là hӋ phương trình (4.1). Vì vұt

үn điӋn tӕt có w rҩt lӟn nên trưӡng sóng khúc xҥ hҫu n hư không tӗn tҥi trong

vұt үn. ĐӇ đơn giҧn, xem vұt үn có w Î . Đӕi vӟi sóng tӟi phân cӵc có

mt

M

//

Oë thì điӅu kiӋn biên cӫa phương trình (4.1) như sau:

0

ë

ë

t

G

M

M

(4.3)

tҥi:

r = a ; 0 2 ; - < ë <

- Sóng phҧn xҥ tӯ bӅ mһt vұt үn truyӅn ra xa vô hҥn theo phương r phҧi có

đһc trưng sóng tҥi vô cùng, có nghĩa là phҧi thoҧ mãn điӅu kiӋn bӭc xҥ tҥi vô

cùng:

c

c

9

0

H

ik

r

H

lim

0

E

ik

r

E

lim

r

r

^

ÊÊ

^

ÊÊ

Î

Î

»

»

»

»

(4.4)

Vұy: bài toán nhiӉu xҥ sóng phҷng trên vұt үn trө tròn ài vô hҥn qui vӅ

viӋc xác đӏnh nghiӋm cӫa phương trình (4.1) và các điӅu kiӋn (4.3) và (4.4).

39393»7'])*!?6C>

ĐӇ tìm nghiӋm cӫa phương trình (4.1) vӟi các điӅu kiӋn (4.3) và (4.4), ta

chuyӇn (4.1) sang ҥng phương trình sóng. Đһt các giá trӏ cӫa

mr

M

,

M

m

H

tӯ 2

phương trình đҫu vào phương trình cuӕi cӫa hӋ (4.1) ta có:

0

k

r

1

r

r

1

r

më

2

2

më

2

2

më

2

më

2

G

G

G

M

M

M

M

(4.5)

NghiӋm cӫa (4.5) có ҥng:

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

M

M

M

M

M

M

Ç

Ç

m

im

2

m

2

m

m

m

0

mët

m

m

im

2

m

2

m

m

m

0

mët

mr

m

im

2

m

2

m

m

m

mët

më

e

r

kr

H

ka

H

ka

J

i

r

H

e

kr

H

ka

H

ka

mJ

i

r

H

e

kr

H

ka

H

ka

J

i

(4.6)

Trong đó:

J

m

(kr) là hàm Bessel cҩp m

Œ

Œ

kr

H

2

m

là hàm Hanken cҩp m loҥi 2

39363%)Ii!'c)*

Trưӡng thӭ cҩp phҧn xҥ tӯ vұt үn trө tròn ài vô hҥn có thӇ biӇu iӉn trӵc

quan bҵng giҧn đӗ hưӟng như sau:

c

c

6

- Tìm cưӡng đӝ trưӡng thӭ cҩp ӣ vùng xa thoҧ mãn kr >> 1. Áp өng ҥng

tiӋm cұn cӫa hàm Hanken cҩp m loҥi 2 khi kr Î và bӓ qua sӕ hҥng nhӓ bұc

cao

2

/

3

r

1

so vӟi

2

/

1

r

1

cӫa (4.6) ta có:

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

0

H

e

ka

H

ka

J

e

kr

2

E

H

e

ka

H

ka

J

e

kr

2

E

E

mr

m

im

2

m

m

4

kr

i

0

0

mët

m

m

im

2

m

m

4

kr

i

mët

më

M

^

Ê

M

M

^

Ê

M

M

(4.7)

Nhұn xét:

- Trưӡng thӭ cҩp phҧn xҥ tӯ vұt үn trө tròn ài vô hҥn chӍ có 2 thành phҫn

më

E

M

,

M

m

H

vuông góc vӟi nhau và vuông góc vӟi phương truyӅn sóng r.

- Theo (4.7) giҧn đӗ hưӟng cӫa trưӡng thӭ cҩp phҧn xҥ tӯ vұt үn trө tròn

ài vô hҥn như hvӁ (xem tài liӋu KKL, trang 97, hình 4.2) vӟi các tham sӕ

khác nhau.

- Tӯ giҧn đӗ hưӟng nhұn thҩy rҵng khi ka 1, a << thì trưӡng thӭ cҩp có

cưӡng đӝ gҫn đӅu theo mӑi phương, o đó nó làm méo đӅu trưӡng sơ cҩp theo

mӑi phương. Khi ka >> 1, a >> thì trưӡng thӭ cҩp bҳt đҫu xh các cӵc đҥi ӣ

phía đӕi iӋn vӟi nguӗn sóng tӟi và làm méo trưӡng só ng tӟi ӣ phía này mҥnh

hơn. Khi ka Î , a Î thì trưӡng thӭ cҩp có cӵc đҥi quay vӅ phía sóng tӟi và

có mӝt vùng tӕi ӣ phía đӕi iӋn, cưӡng đӝ trưӡng ӣ vùng này bҵng 0.

ĐӇ đánh giá tính chҩt cӫa trưӡng bӭc xҥ thӭ cҩp khi trưӡng sơ cҩp truyӅn

qua vұt chưӟng ngҥi, ngưӡi ta đưa ra đҥi lưӧng iӋn tích phҧn xҥ tương đương.

Đӕi vӟi vұt үn trө tròn ài vô hҥn thì iӋn tích phҧn xҥ tương đương tính theo 1

đơn vӏ chiӅu ài cӫa htrө là w

0

đưӧc xác đӏnh theo công thӭc:

tbt

0

bx

(

w

(4.8)

Trong đó:

c

c

(

P

bx

là công suҩt bӭc xҥ cӫa trưӡng thӭ cҩp tính theo 1 đơn vӏ chiӅu ài

tbt

là mұt đӝ công suҩt bӭc xҥ trung bình cӫa sóng tӟi

2

mët

0

0

tbt

2

1

M

(4.9)

2

0

tb

S

tb

bx

r

S

P

(4.10)

2

më

0

0

2

m

0

0

m

më

tb

1

2

1

H

2

1

H

.

re

2

1

M

M

M

M

Ê

(4.11)

Tӯ các biӇu thӭc (4.7) ± (4.11), iӋn tích phҧn xҥ tương đương w

0

đưӧc tính

theo:

Œ

Œ

Œ

2

m

2

m

m

0

ka

H

ka

J

ka

4

a

4

í

º

w

(4.12)

363* =N)B =*!5)H„76!!&

Tìm nghiӋm cӫa phương trình sóng thuҫn nhҩt đӕi vӟi hàm vô hưӟng sau

đây:

0

k

2

2

^

(4.13)

tҥi điӇm P bҩt kì trong thӇ tích V đưӧc giӟi hҥn bӣi mһt kín S. Giҧ thiӃt rҵng

hàm , đҥo hàm bұc 1 và bұc 2 cӫa nó liên tөc trong V và trên S.

Áp өng đӏnh lí Green ta có:

Œ

Ê

^

S

V

2

2

S

n

n

V

(4.14)

Trong đó hàm , đҥo hàm bұc 1 và bұc 2 cӫa nó cũng liên tөc trong V và

trên S. Chӑn hàm có ҥng:

r

e

ikr

^

(4.15)

Trong đó: r là khoҧng cách tӯ điӇm P đӃn mӝt điӇm bҩt kì trong thӇ tích V.

c

c

?

Nhұn xét:

- Hàm ҥng (4.15) thoҧ mãn đӏnh lí Green tҥi mӑi vӏ trí trӯ điӇm P, vì tҥi

điӇm P: Î khi r Î 0. ĐӇ áp өng đӏnh lí Green đӕi vӟi điӇm P, bao điӇm P

bҵng mһt cҫu đӫ nhӓ S

0

bán kính R

0

. Khi đó miӅn V đưӧc giӟi hҥn bӣi các mһt S

và S

0

. Vì hàm ҥng (4.15) cũng thoҧ mãn phương trình sóng (4.13) nên vӃ trái

cӫa (4.14) bҵng 0 và ta có:

Ê

º

º

Ê

º

S

S

S

n

n

S

n

n

0

(4.16)

- Các đҥo hàm theo pháp tuyӃn

n

trên S và S

0

lҩy theo pháp tuyӃn

0

n

»

hưӟng ra ngoài thӇ tích V. Do đó trên mһt cҫu S

0

ta có:

r

n

;

r

n

º

º

(4.17)

nên:

r

e

r

1

ik

r

e

r

n

ikr

ikr

º

º

Ê

G

ÊÊ

º

(4.18)

Suy ra:

2
0

tb

0

ikÒ

tb

0

ikÒ

0

S

0

Ò

4

r

Ò

e

Ò

e

Ò

1

ik

dS

n

n

I

0

0

0

»

Ê

Ê

Ê

G

ÊÊ

G

Ê

º

º

º

(4.19)

Trong đó:

tb

và

tb

r

Ê

là các gtӯ trưӡngb cӫa hàm và đҥo hàm riêng cӫa nó trên

mһt cҫu S

0

có giá trӏ hӳu hҥn. Do đó xét trưӡng hӧp giӟi hҥn cho mһt cҫu S

0

thu

nhӓ thành 1 điӇm ta có:

Œ

Œ

0

Ò

khi

P

4

I

P

0

0

tb

Î

»

Î

(4.20)

Theo (4.16) suy ra:

c

c

g

Œ

Ê

Ê

º

ÊÊ

»

º

º

º

ž

ikr

ikr

dž

n

r

e

r

e

n

4

1

(4.21)

Nhұn xét:

- (4.21) là biӇu thӭc cӫa nguyên lí Huyghens-Kirchho . Tӯ biӇu thӭc

(4.21) có thӇ tìm đưӧc hàm tҥi mӝt điӇm bҩt kì trong thӇ tích V. NӃu các giá

trӏ cӫa và

n

trên mһt ž đưӧc coi là phân bӕ cӫa các nguӗn nguyên tӕ, thì giá

trӏ cӫa tҥi mӝt điӇm bҩt kì trong thӇ tích V là chӗng chҩt cӫa các sóng cҫu

nguyên tӕ bӭc xҥ ӣ trên mһt ž bao quanh thӇ tích V.

- (4.21) cũng áp dөng đưӧc đӕi vӟi trưӡng hӧp mһt ž là giӟi hҥn trong cӫa

miӅn V¶ bên ngoài, thӵc vұy:

MiӅn V¶ đưӧc xem như giӟi hҥn bӣi mһt kín ž và mһt cҫu ž¶ có tâm nҵm

trong V vӟi bán kính R

Î , khi đó:

0

dž

n

n

I

ž

Î

Ê

º

(4.22)

Vì R

>> r¶, r¶ là khoҧng cách tӯ tâm hình cҫu ž¶ đӃn điӇm , nên có thӇ

xem R

// r, r là khoҧng cách tӯ điӇm đӃn điӇm bҩt kì cӫa mһt cҫu ž¶ rӝng vô

hҥn, ta có:

¸

º

cos

r

R

r

,

r

1

R

1

(4.23)

Nên:

R

0

ž

0

ž

ž

R

¸

r¶

r

V¶

ž¶

V

V

c

c

×

¸

^

cos

r

ik

ikR

ikr

e

e

R

1

r

e

(4.24)

Trong đó: ¸ là góc giӳa R

và r¶.

Đӕi vӟi mһt cҫu S¶ ta có:

r

n

^

Do đó:

¸

Ê

Ê

Ê

Ê

G

ÊÊ

G

^

S

cos

r

ik

ikR

dS

e

R

e

R

R

1

ik

I

(4.25)

Trong trưӡng hӧp giӟi hҥn, khi R

Î thì I

Î 0 nӃu thoҧ mãn điӅu kiӋn sau:

0

R

1

ik

R

lim

R

^

Ê

Ê

ÊÊ

G

G

Î

(4.26)

hay:

Î

Î

ÊÊ

G

^

R

R

R

1

ik

R

(4.27)

Nhұn xét:

- ĐiӅu kiӋn (4.26) hoһc (4.27) dӉ dàng đưӧc thoҧ mãn nӃu thoҧ mãn điӅu

kiӋn bӭc xҥ tҥi vô cùng, tӭc là hàm tҥi vô cùng có dҥng:

Œ

Î

^

R

e

,

f

ikR

R

(4.28)

Vì hàm dҥng (4.15) thoҧ mãn phương trình (4.13) nên cũng đúng đӕi vӟi

miӅn ngoài V¶.

- Phương trình (4.13) có dҥng tương tӵ như dҥng cӫa phương trình sóng

thuҫn nhҩt cho

»

và

»

trong hӋ toҥ đӝ Decac. Do đó có thӇ áp өng nguyên lí

uyghens-Kirchho đӇ giҧi các bài toán nhiӉu xҥ.

- Nguyên lí uyghens-Kirchho đӕi vӟi hàm vô hưӟng có thӇ xem như là

trưӡng hӧp riêng cӫa nguyên lí òng tương đương.

33* =N)B;q)*'()*I'()*

c

c

î

Giҧ sӱ có các nguӗn q

1

, q

2

, ..., q

n

đһt trong miӅn V trong mһt kín S, xác

đӏnh trưӡng tҥi điӇm P bҩt kì trong không gian V¶ ngoài mһt S. Theo nguyên lí

H-K có thӇ xác đӏnh trưӡng tҥi P trong V¶ cӫa các nguӗn đã cho qua các nguӗn

bӭc xҥ nguyên tӕ phân bӕ trên mһt S đưӧc gӑi là các nguӗn òng tương đương

(òng điӋn mһt và òng tӯ mһt). Trưӡng o các nguӗn òng tương đương tҥo ra

tҥi điӇm P bҩt kì trong V¶ trùng vӟi trưӡng o các ngu ӗn đã cho trong V tҥo ra

cũng tҥi điӇm P. Còn trưӡng o nguӗn òng tương đương tҥo ra trong miӅn V

bҵng 0. Do đó điӅu kiӋn biên cho trưӡng cӫa nguӗn òng tương đương là

0

H

E

S

in

S

in

^

^

(4.29)

Theo đӏnh lí nghiӋm uy nhҩt, muӕn đӇ trưӡng cӫa nguӗn đã cho và trưӡng

cӫa nguӗn òng tương đương tҥo ra ӣ điӇm P bҩt kì trong V¶ trùng nhau phҧi có

điӅu kiӋn là:

0

H

H

0

E

E

S

out

S

out

S

out

S

out

^

^

(4.30)

Nhұn xét: Theo (4.29) và (4.30) nhұn thҩy rҵng các thành phҫn tiӃp tuyӃn

cӫa

E

»

và

H

»

cӫa nguӗn òng tương đương biӃn đәi nhҧy vӑt tӯ 0 sang khác 0

khi qua mһt S. Theo điӅu kiӋn biên tәng quát, sӵ biӃn đәi nhҧy vӑt cӫa các thành

phҫn tiӃp tuyӃn

E

,

H

cӫa trưӡng trên mһt S tương đương vӟi sӵ tӗn tҥi cӫa

òng điӋn mһt I

S

và òng tӯ mһt I

SM

chҥy trên mһt S. Sӵ phө thuӝc cӫa òng

điӋn mһt và òng tӯ mһt vào

E

»

và

»

như sau:

q

1

M

0

n

»

V

V¶

q

2

M

q

n

M

P M

,

»

»

S

c

c

Œ

Œ

ž

out

0

ž

ž

out

0

ž

n

I

n

I

»

»

»

»

»

»

º

(4.31)

Trong đó:

0

n

»

là vector đơn vӏ pháp tuyӃn ngoài cӫa mһt S.

Áp өng phương pháp thӃ điӋn đӝng ta xác đӏnh đưӧc biӇu thӭc cho các thӃ

chұm cӫa vector điӋn và tӯ o các nguӗn òng tương đương

S

I

»

và

S

I

»

trên S tҥo

ra tҥi điӇm P trong V¶ theo (2.61), (2.62) và (4.31) ta có:

Œ

Œ

M

M

M

M

^

^

^

^

S

ikr

out

0

0

S

ikr

SM

0

M

S

ikr

out

0

0

S

S

0

E

S

r

e

E

n

4

S

r

e

I

4

A

S

r

e

H

n

4

S

r

I

4

A

»

»

»

»

»

»

»

»

(4.32)

Nhұn xét:

- Trong (4.32) các tham sӕ điӋn tӯ , và sӕ sóng k phҧi tính đӕi vӟi môi

trưӡng ngoài miӅn V¶.

- Các biӇu thӭc (4.31) và (4.32) là biӇu thӭc cӫa nguyên lí òng tương

đương cӫa trưӡng điӋn tӯ. Nguyên lí này ӭ đӇ giҧi các bài toán nhiӉu xҥ sóng

điӋn tӯ rҩt tiӋn lӧi.

- Trưӡng nhiӉu xҥ đưӧc tính ӵa trên các biӇu thӭc cӫa nguyên lí H -K và

nguyên lí òng tương đương có chính xác hay không tuǤ thuӝc vào gi á trӏ cӫa

nguӗn thӭ cҩp nguyên tӕ hay nguӗn òng tương đương phân bӕ trên bӅ mһt S.

Nói chung chӍ có thӇ giҧi gҫn đúng bài toán nhiӉu xҥ sóng điӋn tӯ.

33!… e[6b"HG)*>!|)*‡ "o7N)#)6!ˆ)>!|)*7_)*<F![)

Giҧ sӱ có sóng phҷng truyӅn theo phương cӫa trөc ë đi tӟi vuông góc vӟi

mӝt lӛ trên mһt phҷng үn điӋn lí tưӣng rӝng vô hҥn, xác đӏnh trưӡng nhiӉu xҥ

cӫa sóng phҷng qua lӛ tҥi vùng bên kia cӫa màn chҳn trong môi trưӡng đӗng

nhҩt đҷng hưӟng.

c

c

Chӑn hӋ toҥ đӝ Decac vӟi trөc ë trùng vӟi phương truyӅn cӫa sóng tӟi, mһt

phҷng màn chҳn trùng vӟi mһt xOy và

t

E

»

cӫa sóng tӟi hưӟng theo trөc x. BiӇu

thӭc cӫa cưӡng đӝ trưӡng sóng tӟi có ҥng:

ikë

mt

mt

ikë

mt

c

mt

mt

e

j

e

ë

i

E

i

E

º

M

º

M

M

»

»

»

»

»

(4.33)

Chia màn chҳn phҷng ra làm 2 phҫn là phҫn lӛ S

0

và phҫn mһt kim loҥi S

1

.

Áp өng nguyên lí òng tương đương đӇ tính trưӡng nhiӉu xҥ qua lӛ S

0

, tӭc là

phҧi xác đӏnh các òng điӋn và òng tӯ mһt chҥy trên S

0

và S

1

. Mӝt cách gҫn

đúng xem màn chҳn S trùng vӟi mһt sóng cӫa sóng tӟi. Khi đó trê n lӛ S

0

cưӡng

đӝ các vector

»

và

»

cӫa nguӗn òng tương đương đưӧc xem bҵng cưӡng đӝ

trưӡng cӫa sóng tӟi cũng tҥi mһt lӛ này (ë = 0) nên:

mt

S

out

mt

c

mt

S

out

ë

i

i

0

0

M

M

M

^

^

^

»

»

»

»

»

(4.34)

Còn trên phҫn S

1

cӫa màn chҳn үn điӋn lí tưӣng (w Î ) vӅ phía bên kia

cӫa sóng tӟi thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa điӋn trưӡng và tӯ trưӡng nguӗn òng

tương đương bҵng 0.

t

»

t

E

»

t

(

»

S

S

0

O

y

x

ë

S

1

c

c

0

0

1

1

ž

out

ž

out

»

»

(4.35)

Chӑn

0

n

»

Oë và áp өng các biӇu thӭc (4.32) cӫa nguyên lí òng tương

đương ta đưӧc các thӃ chұm cӫa trưӡng nhiӉu xҥ ӣ nӱa không gian ë > 0 qua lӛ

trên màn chҳn như sau:

M

M

M

M

M

M

^

Ê

^

^

Ê

^

S

ikr

mt

c

0

S

ikr

mt

c

0

Mm

S

ikr

mt

0

S

ikr

mt

0

Em

S

r

e

4

H

ë

S

r

e

H

ë

i

k

4

A

S

r

e

H

4

i

S

r

e

H

k

4

A

0

0

»

»

»

»

»

»

»

»

(4.36)

Trong đó:

Œ

Œ

2

2

2

ë

y

y

x

x

r

G

º

G

º

là khoҧng cách tӯ điӇm tính trưӡng

P(x, y, ë) tӟi mӝt điӇm bҩt kì trên lӛ S

0

có toҥ đӝ (x¶, y¶, 0).

Gӑi khoҧng cách tӯ tâm O cӫa lӛ S

0

đӃn điӇm tính trưӡng P là R, ta có:

Œ

2

2

2

y

x

y

y

xx

2

R

r

G

G

G

º

vӟi

2

2

2

2

ë

y

x

R

G

G

Trong trưӡng hӧp xét trưӡng nhiӉu xҥ ӣ vùng xa, tӭc là khoҧng cách r, R

lӟn hơn nhiӅu so vӟi bưӟc sóng và kích thưӟc lӛ S

0

tương ӭng vӟi điӅu kiӋn

y

,

x

R

R

(4.37)

và

Œ

y

y

x

x

R

1

R

r

R

1

r

1

G

º

(4.38)

Áp өng (4.38) tích phân theo mһt lӛ S

0

trong các biӇu thӭc cӫa thӃ chұm

(4.36) có ҥng:

G

º

º

0

0

S

R

y

y

x

x

ik

S

ikR

ikr

S

e

R

e

S

r

e

(4.39)

Nhұn xét: nӃu tích phân (4.39) xác đӏnh đưӧc thì trưӡng điӋn tӯ nhiӉu xҥ

qua lӛ S

0

sӁ là

c

c

9

Mm

Mm

0

0

Em

0

m

Mm

0

Em

Em

0

0

m

A

i

A

.

i

1

A

1

H

A

1

A

i

A

.

i

1

E

M

M

M

M

M

M

M

M

Ç

ÊÊ

Ç

ÊÊ

^

ÊÊ

Ç

ÊÊ

Ç

^

»

»

»

»

»

»

»

»

(4.40)

Xét trưӡng hӧp lӛ S

0

có ҥng chӳ nhұt kích thưӟc a, b trên màn chҳn phҷng

rӝng vô hҥn үn điӋn lí tưӣng. Đӕi vӟi trưӡng nhiӉu xҥ ӣ vùng xa trong trưӡng

hӧp này điӅu kiӋn (4.37) viӃt lҥi :

R >> a, b >>

(4.41)

Tích phân (4.39) đӕi vӟi lӛ ҥng chӳ nhұt có ҥng là:

y

R

2

kb

y

R

2

kb

sin

x

R

2

ka

x

R

2

ka

sin

R

e

ab

e

iky

R

e

ikx

R

R

e

y

x

e

R

e

ikR

2

/

b

2

/

b

R

y

ky

i

2

/

a

2

/

a

R

x

kx

i

ikR

2

/

a

2

/

a

2

/

b

2

/

b

R

y

y

x

x

ik

ikR

Ê

Ê

^

^

^

^

(4.42)

Các thӃ chұm vector điӋn và tӯ có ҥng

mt

0

mt

0

m

mt

0

mt

0

m

4

4

j

4

4

i

»

^

»

^

»

^

»

^

M

M

M

M

M

M

»

»

»

»

»

»

(4.43)

Trong đó:

j

,

i

»

»

»

»

(4.44)

ChuyӇn sang hӋ toҥ đӝ cҫu ta có:

^

^

^

^

cos

sin

cos

sin

sin

r

sin

cos

cos

cos

sin

r

i

sin

sin

r

y

cos

sin

r

x

0

0

0

0

0

0

»

»

»

»

»

»

»

»

(4.45)

Khi đó:

c

c

6

Ê

Ê

º

sin

sin

Ò

2

kb

sin

sin

Ò

2

kb

sin

cos

sin

Ò

2

ka

cos

sin

Ò

2

ka

sin

Ò

e

ab

ikÒ

(4.46)

Nhұn xét: vì hàm chӭa thӯa sӕ ҥng

Ò

e

ikÒ

º

nên tӯ các biӇu thӭc (4.40),

(4.43), (4.44) và (4.46) cho thҩy trưӡng nhiӉu xҥ qua lӛ chӳ nhұt ӣ vùng xa có

ҥng sóng cҫu. Khi bӓ qua các sӕ hҥng nhӓ bұc cao so vӟi

r

1

và đӕi vӟi trưӡng ӣ

vùng xa (r Î ) thì các biӇu thӭc (4.43), (4.44) và (4.46) biӇu iӉn theo các

toán tӱ gra, iv và rot trong hӋ toҥ đӝ cҫu ta có:

Œ

Œ

º

º

,

0

,

0

,

r

,

2

0

,

ik

k

r

.

»

»

»

»

»

»

»

»

(4.47)

Trong đó:

r

,

»

,

,

»

và

,

»

là các thành phҫn cӫa các vector

E

»

và

»

theo phương bán kính, kinh tuyӃn và vĩ tuyӃn trong hӋ toҥ đӝ cҫu.

Trưӡng nhiӉu xҥ qua lӛ chӳ nhұt ӣ vùng xa theo (4.40), (4.43), (4.44), (4.46) và

(4.47) như sau:

Œ

Œ

Œ

Œ

^

^

M

M

cos

sin

cos

1

4

H

ik

H

sin

cos

cos

1

4

H

ë

ik

E

0

0

mt

m

0

0

mt

c

m

»

»

»

»

»

»

(4.48)

Tӯ biӇu thӭc (4.48) chúng ta thҩy rҵng trưӡng nhiӉu xҥ qua lӛ chӳ nhұt có

tính đӏnh hưӟng trong không gian theo các toҥ đӝ và .

x

y

S

0

a

b

0

ë

x

y

r

M

c

c

(

Giҧn đӗ hưӟng cӫa trưӡng nhiӉu xҥ: ӣ vùng xa và kích thưӟc lӛ lӟn hơn

nhiӅu so vӟi bưӟc sóng thì hàm biӃn đәi nhanh hơn hàm cos nên mӝt cách

gҫn đúng giҧn đӗ hưӟng cӫa trưӡng đưӧc xác đӏnh chӫ yӃu qua hàm . Xác đӏnh

hàm đһc trưng hưӟng cӫa trưӡng tҥi 2 mһt phҷng đһc biӋt:

- Tҥi mһt phҷng = 0 (mһt phҷng E) giҧn đӗ hưӟng có ҥng

Œ

Ê

^

sin

2

ka

sin

2

ka

sin

B

E

(4.49)

- Tҥi mһt phҷng =

2

»

(mһt phҷng H) giҧn đӗ hưӟng có ҥng

Œ

Ê

^

sin

2

kb

sin

2

kb

sin

B

H

(4.50)

Nhұn xét: Vì giҧn đӗ hưӟng B

E

() và B

H

() có ҥng hoàn toàn giӕng nhau

nên chӍ cҫn vӁ đӗ thӏ cho B

E

() hoһc B

H

(). Đӗ thӏ cӫa giҧn đӗ hưӟng ҥng B

H

()

đưӧc vӁ trong hӋ toҥ đӝ Decac và hӋ toҥ đӝ cӵc như hình vӁ

Tӯ giҧn đӗ hưӟng trên cho thҩy rҵng trưӡng nhiӉu xҥ qua lӛ chӳ nhұt có 1

búp sóng chính và nhiӅu búp phө nhӓ khác. ĐiӅu này có thӇ giҧi thích bҵng sӵ

2*

0

B

()

2

sin

kb

»

c

c

?

giao thoa cӫa sóng bӭc xҥ tӯ các iӋn tích nguyên tӕ trên mһt S

0

. Đӝ rӝng cӫa

búp sóng chính là góc 2* đưӧc xác đӏnh tӯ điӅu kiӋn:

0

2

sin

kb

sin

^

ÊÊ

(4.51)

NӃu lҩy không điӇm đҫu tiên ta có:

»

^

2

sin

kb

(4.52)

Vӟi góc * nhӓ thì * sin* và đӝ rӝng cӫa búp sóng chính là

b

2

sin

2

2

^

(4.53)

NӃu kích thưӟc lӛ b tăng so vӟi bưӟc sóng hoһc khi Î 0 thì búp sóng

chính sӁ hҽp lҥi thành mӝt tia giӕng như trong quang hình.