Zestaw 2.
Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna.
Elementarne równania i nierówności.
x-a-2
Przykład 1. Wykonać działanie , podając założenia, przy jakich jest ono wyko-
x-a-1
nywalne.
x-a-2 1
Rozwiązanie. Niech x = 0, a " R. Wówczas = x-a-2-(-a-1) = x-1 = .

x-a-1 x
3
1
Przykład 2. Rozwiązać równanie x- 4
= .
8
Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę równania: x " R+.
Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy je podnieś do potęgi:
"
3 4 4 4
3
(x- 4 3
)- = (1)- 3
. StÄ…d x = (1)- 3
, czyli x = 84 = 16. Liczba 16 " R+, więc jest
8 8
rozwiązaniem równania.
Przykład 3. Rozwiązać nierówność x3 + 2x2 - 16x - 32 > 0.
Rozwiązanie. Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki liniowe
(wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów i wzór skróconego mnożenia): x3+2x2-
16x - 32 = x2(x + 2) - 16(x + 2) = (x2 - 16)(x + 2) = (x - 4)(x + 4)(x + 2). Obliczamy
miejsca zerowe tego wielomianu, z uwzględnieniem ich krotności: x = -4, x = -2, x =
4, jednokrotne. Szkicujemy wykres tego wielomianu i odczytujemy z niego rozwiÄ…zania
nierówności: x " (-4, -2) *" (4, +").
"
3
Przykład 4. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ") należy a, gdy a < a1,1?
"
Rozwiązanie. Zaważmy, że 3 > 1, 1. Zatem a " (0, 1) ( bo funkcja f(x) = ax jest
funkcją malejącą jeżeli a " (0, 1)).
Przykład 5. Rozwiązać równanie 22x-4 = 45-3x.
Rozwiązanie. Równanie 22x-4 = 45-3x jest równoważne równaniu 22x-4 = (22)5-3x.
Korzystając z praw działań na potęgach ((ax)y = axy, a > 0, x, x " R) mamy 22x-4 =
210-6x. Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy 2x-4 = 10-6x, czyli
7
8x = 14. StÄ…d x = .
4
26
Przykład 6. Rozwiązać równanie 3x+3 - 3x-2 = .
9
ax
Rozwiązanie. Korzystając z praw działań na potęgach (axay = ax+y, = ax-y, a >
ay
26 1 26
0, x, y " R) zapisujemy równanie 3x+3 - 3x-2 = w postaci: 3 · 3x - · 3x = i
9 9 9
1 26 26 26
równoważnie 3x(3 - ) = . StÄ…d 3x · = , czyli 3x = 1 i równoważnie 3x = 30. Z
9 9 9 9
różnowartości funkcji wykładniczej otrzymujemy x = 0.
1
Przykład 7. Rozwiązać nierówność 32x-1 > (1)5x-1.
3
Rozwiązanie. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej: (1)-2x+1 > (1)5x-1. Z
3 3
uwagi na monotoniczność funkcji y = (1)x (a dokładniej z faktu, że funkcja ta jest
3
2
funkcjÄ… malejÄ…cÄ…), mamy: -2x + 1 < 5x - 1, czyli x > .
7
Przykład 8. Obliczyć log2 32.
RozwiÄ…zanie. Zgodnie z definicjÄ…, loga b = c Ô! ac = b, a > 0, a = 1, b > 0. KÅ‚adÄ…c

zatem log2 32 = x, mamy 2x = 32, stÄ…d log2 32 = 5.
Przykład 9. Rozwiązać równanie log2(x - 4) = 0.
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Logarytm po lewej stronie równania ist-
nieje dla x spełniających nierówność x - 4 > 0, czyli dla x > 4. Korzystając z definicji
logarytmu otrzymujemy x - 4 = 20, czyli x - 4 = 1. Stąd x = 5. Ponieważ 5 " (4, "),
więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 10. Rozwiązać równanie 2 log(2 - x) - log x = log(x + 5).
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Powyższe logarytmy istnieją, gdy :
2 - x > 0 '" x > 0 '" x + 5 > 0, czyli x < 2 '" x > 0 '" x < -5. StÄ…d x " (0, 2). KorzystajÄ…c
z podstawowych praw działań na logarytmach (dla a, b, c > 0, a = 1 mamy

loga b + loga c = loga bc, loga b - loga c = loga b, k loga b = loga (bk)) otrzymujemy
c
równanie równoważne: log(2 - x)2 = log(x(x + 5)). Z różnowartościowości funkcji lo-
4
garytmicznej mamy (2 - x)2 = x(x + 5) Ô! 4 - 4x + x2 = x2 + 5x Ô! 9x = 4 Ô! x = .
9
4
Ponieważ " (0, 2), więc jest rozwiązaniem tego równania.
9
Przykład 11. Rozwiązać nierówność log4(2x + 3) < 1.
RozwiÄ…zanie. Logarytm istnieje, o ile 2x + 3 > 0 Ô! x > -3. Zauważmy, że 1 = log4 4,
2
więc nierówność można zapisać w postaci równoważnej log4(2x + 3) < log4 4. Ponieważ
1
funkcja y = log4 x jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…, wiÄ™c 2x + 3 < 4 Ô! x > . Zbiór rozwiÄ…zaÅ„
2
nierówności jest częścią wspólną zbiorów (-3, ") oraz (1, "), więc ostatecznie
2 2
x " (1, ").
2
Przykład 12. Znalez
ć dziedzinę funkcji f(x) = log2(4x - x2 + 5).
Rozwiązanie. Funkcja f istnieje dla x takich, że -x2 + 4x + 5 > 0. Liczymy
"
-4-6 -4+6
" = 42 - 4 · (-1) · 5 = 36, wiÄ™c " = 6; x1 = = 5 (" x2 = = -1. SzkicujÄ…c
2·(-1) -2
parabolę odczytujemy rozwiązania nierówności kwadratowej: x " (-1, 5). Ostatecznie
Df = (-1, 5).
2
Zadanie 2.1. Wykonać poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wy-
konywalne.
u-6w2x-5 w-5x6
a) · ;
v-2 u-5v-1
x4y-7 x6y-1
b) : ;
x-2z y7z-1
-1 -4
c) (a b4 )-2 : (c b3 )-3.
c2d-3 ad-6
Zadanie 2.2. Podać dziedziny i naszkicować wykresy funkcji:
a) y = x, y = x3, y = x5;
b) y = x2, y = x4, y = x6;
c) y = x-2, y = x-4, y = x-6;
d) y = x-1, y = x-3, y = x-5;
1 1 1
2 3 4
e) y = x , y = x , y = x ;
1 1
2 3
f) y = x- , y = x- .
Zadanie 2.3. Rozwiązać równania i nierówności:
"
4
3
3
a) x = 3 3;
b) x-1,5 = 33;
8
2 1
5 5
c) x + 3x = 28;
"
"
1
2
d) (2 x)-3 = [(x x)-1]- ;
x2
e) x6 + 3x3 - 4 = 0;
f) x-1 x-2;
1 1
4 2
g) x < x ;
h) -x4 - x2 + 6 > 0;
i) (x - 3)7(x + 2)2(x + 7)19 < 0;
j) x4 - 4x3 + x2 - 4x < 0;
k) 2x3 + x2 - 18x - 9 0.
3
Zadanie 2.4. Przekształcając wykres funkcji y = 3x naszkicować wykresy funkcji:
a) y = 3x-1 + 2;
b) y = 3x+2 - 1;
c) y = 3-x;
d) y = (1)x-3 - 1.
3
Zadanie 2.5. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ") należy a, gdy:
a) a2 < a3;
"
2
b) a < a0,8;
c) a3,4 < aĄ;
"
3
d) a < a1,9.
Zadanie 2.6. Rozwiązać równania i nierówności:
a) 2x+3 = 4x-1;
b) (0, 5)x-4 = 165x-4;
"
c) ( 27)3x-2 = 95x-3;
2
d) 2x = 42x-2;
2
e) 36x +x = 9-3x+0,5;
2
f) (0, 04)-2 = 511x +7x;
"
2
g) 0, 125 · 42x-1 = ( )-x-1;
8
h) 2x+2 + 2x = 20;
i) 3 · 9x + 9x-1 - 9x-2 = 251;
j) 32x+2 + 32x = 30;
k) 2 · 16x - 17 · 4x + 8 = 0;
l) 72x + 7x = 36 · 7x + 686;
m) 3x+2 + 9x+1 = 810;
n) 2x+1 > 8x-1;
2 2
o) (5)3-x-x < (0, 8)x -2x+2;
4
"
p) ( 3)2-x < 9x-4;
4
2
r) 3x < 94x-6;
2
s) 42x+3 (0, 5)x .
Zadanie 2.7. Obliczyć poniższe logarytmy:
a) log2 16;
b) log2 1;
4
c) log 0, 01;
d) log"2 2;
"
e) log5 5 5;
f) log6 1;
"
g) log 8.
2
2
Zadanie 2.8.
1) Przekształcając wykres funkcji y = log2 x naszkicować wykresy funkcji
y = log2(x - 1) + 3 oraz y = -log2x + 3.
1
2) Przekształcając wykres funkcji y = log x naszkicować wykresy funkcji
3
1 1
y = log (x + 2) - 1 oraz y = | log (x - 1)| + 1
3 3
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:
a) log2 (x - 4) = 0;
b) log5 (1 - x) = log5 6 - log5 (2 - x);
c) log2 (x2 - 2) - log2 (6 - x) + 1 = 0;
d) log3 x - 4 log x = 0;
1 1
e) log (x + 3) = 1 - log (x + 24);
2 2
f) log2 (8 - 2x) - 2 log2 (2 - x) = 1;
g) log3 (3x - 8) = 2 - x;
h) log7 (6 + 7-x) = x + 1;
i) (log2 x)2 + 3 = 4 log2 x;
j) log3 (2x + 7) < 1;
k) log1 (x - 4) > -2;
2
l) log3 (2x - 1) - 1 < log3 (x - 2).
5
Zadanie 2.10. Znalez
ć dziedziny funkcji:
a) f(x) = log (x2 - x + 2);
b) f(x) = log (4x - x2 + 5);
c) f(x) = log6 (5x - 52x-3);

d) f(x) = x - (3x)2 - 3 · 3x;
"
e) f(x) = 1 - 2x + 3;
"
"
f) f(x) = 1 - 2x + x;
2
1
g) f(x) = x2 + 5x + log (3x - 81);
3
x
h) f(x) = ;
1-log x

i) f(x) = log2 (x + 2);

j) f(x) = 4 - log1 x;
2

k) f(x) = 2 log x - log2 x;
l) f(x) = 5 log3+x (-x - 1).
ODPOWIEDZI:
Zadanie 2.1.
xv3
a) , u, w, v, x = 0;

uw3
y
b) , x, y, z = 0;

z2
bd12
c) , a, b, c, d = 0.

ac8
Zadanie 2.3.
a) x = 3;
4
b) x = ;
9
c) x = 45;
4
5
d) x = 2 ;
"
3
e) x = -4 (" x = 1;
f) x " 1, +");
g) x " (1, +");
6
" "
h) x " (- 2, 2);
i) x " (-7, 3) \ {-2};
j) x " (0, 4);
k) x " -3, -1 *" 3, +").
2
Zadanie 2.4.
a) translacja o wektor [1,2];
b) translacja o wektor [-2,-1];
c) symetria względem osi OY;
d) symetria względem osi OY, a nastepnie translacja o wektor [3,-1].
Zadanie 2.5.
a) a " (1, +");
b) a " (0, 1);
c) a " (1, +");
d) a " (1, +").
Zadanie 2.6.
a) x = 5;
20
b) x = ;
21
6
c) x = ;
11
d) x = 2;
e) x = -1 (" x = 1;
6
4
f) x = -1 (" x = ;
11
g) x = 5;
h) x = 2;
i) x = 2;
1
j) x = ;
2
3
k) x = -1 (" x = ;
2 2
7
l) x = 2;
m) x = 2;
n) x < 2;
5
o) x > ;
3
18
p) x > ;
5
r) x " (2, 6);
s) nierówność nie ma rozwiązania.
Zadanie 2.7.
a) 4;
b) -2;
c) -2
d) 2;
3
e) ;
2
f) 0;
g) -6.
Zadanie 2.8.
1) a) translacja o wektor [1,3]; b) symetria względem osi OX, a następnie translacja
o wektor [0,3].
2) a) translacja o wektor [-2,-1]; b) translacja o wektor [1,0], przekształcenie części
wykresu leżącego pod osią OX w symetrii względem tej osi, a następnie translacja o
wektor [0,1].
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:
a) x = 5;
b) x = -1;
c) x = -5 (" x = 2;
2
d) x = 0, 01 (" x = 1 (" x = 100;
e) x = 1;
f) x = -3 (" x = 0;
g) x = 2;
8
h) x = 0;
i) x = 2 (" x = 8;
j) x " (-7, -2);
2
k) x " (4, 8);
l) x " (5, +").
Zadanie 2.10. Znalez
ć dziedziny funkcji:
a) Df = (-", -1) *" (2, +");
b) Df = (-1, 5);
c) Df = (-", 3);
d) Df = 1, +");
e) Df = R;
f) Df = {0};
g) Df = (-", -2) *" (2, +");
h) Df = (0, +") \ {10};
i) Df = -1, +");
1
j) Df = 16, +");
k) Df = 1, 100 ;
l) Df = (-3, -1) \ {-2}.
9