Wyznaczanie reakcji w ramie statycznie wyznaczalnej przy

użyciu zasady prac wirtualnych

Zadanie

Korzystając z zasady prac wirtualnych wyznacz reakcje w ramie podanej na rysunku 1.

Rys.1

Rama jest złożona z trzech tarcz połączonych przegubami D i C.

Wyznaczenie każdej reakcji oznacza rozwiązanie osobnego zadania.

1. Wyznaczanie reakcji V

A

Podporę przegubową w punkcie A zastępujemy podporą przegubowo przesuwną z przesuwem

pionowym. Do układu sił czynnych dodajemy reakcję V

A

(rys. 2)

Rys.2 Rys.3

Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.3).

•

Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III (najbardziej podpartej)
która jest nieruchoma.

• Nieruchomy przegub D jest

środkiem chwilowego obrotu tarczy II.

•

Przyjmujemy prędkość kątową tego obrotu jako

δ

ω

2

2

=

(jednostka









m

δ

- na rysunku

zaznaczona bez jednostek).

• Przy pomocy

2

ω

wyznaczamy przemieszczenia

wirtualne punktów bryły II (także

przegubu C).

•

Znając kierunek prędkości przegubu C oraz podpory A wyznaczamy środek chwilowego
obrotu tarczy I.

•

Wyznaczamy prędkość kątową

m

m

C

O

C

δ

δ

ω

3

2

6

v

1

1

=

=

=

zwrot przyjmujemy tak aby przy

obrocie wokół O

1

zgadzał się zwrot prędkości

C

v .

•

Prędkość kątowa

1

ω

pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy I.

Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:

(

)

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

+

+

+

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

=

∑

0

18

18

12

6

3

6

3

6

3

4

6

kN

kN

kN

V

kN

m

kNm

kN

V

F

L

A

A

i

i



kN

V

kN

kN

kN

V

A

A

8

0

18

18

12

6

=

→

=

+

+

+

−

2. Wyznaczanie reakcji H

A

Podporę przegubową w punkcie A zastępujemy podporą przegubowo przesuwną z przesuwem

poziomym. Do układu sił czynnych dodajemy reakcję H

A

(rys. 4).

Rys. 4 Rys.5

Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.5).

•

Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która jest nieruchoma.

•

Nieruchomy przegub D jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.

•

Przyjmujemy prędkość kątową tego obrotu jako

m

δ

ω

2

2

=

• Przy pomocy

2

ω

wyznaczamy przemieszczenia wirtualne punktów bryły II (także

przegubu C).

•

Znając kierunek prędkości przegubu C oraz podpory A wyznaczamy środek chwilowego

obrotu tarczy I ( leży on w nieskończoności – bryła I porusza się poprzez poziomą

translację).

•

Wszystkie punkty bryły I mają takie same przemieszczenia wirtualne jak punkt C.

Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:

(

)

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

+

+

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

=

∑

0

18

24

6

3

6

0

6

6

4

6

kN

kN

H

kN

m

kNm

kN

H

F

L

A

A

i

i



kN

H

kN

kN

H

A

A

7

0

18

24

6

=

→

=

+

+

−

3. Wyznaczanie reakcji H

B

Utwierdzenie w punkcie B zastępujemy utwierdzeniem z przesuwem poziomym. Do układu sił
czynnych dodajem

y reakcję H

B

(rys. 6).

Rys. 6 Rys.7

Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.7).

•

Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która porusza się przez

poziomą translację. Przyjmujemy przemieszczenia wirtualne wszystkich punktów tej tarczy
jako

δ

6

.

•

Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej pionowej przechodzącej przez
punkt D. Jedn

ocześnie, (ponieważ środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek

obrotu tarczy II musi

leżeć na prostej AC. Te dwie proste przecinają się w punkcie C który

jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.

•

Wyznaczamy prędkość kątową

m

m

D

O

D

δ

δ

ω

2

3

6

v

2

2

=

=

=

, zwrot przyjmujemy tak aby przy

obrocie wokół O

2

zgadzał się zwrot prędkości

D

v .

•

Prędkość kątowa

2

ω

pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II.

• Tarcza I jest nieruchoma pon

ieważ ma dwa nieruchome punkty A i C.

Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:

(

)

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

+

+

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

=

∑

0

18

24

6

3

6

6

4

6

kN

kN

H

kN

kN

H

F

L

B

B

i

i



kN

H

kN

kN

H

B

B

7

0

18

24

6

=

→

=

+

+

−

4. Wyznaczanie reakcji V

B

Utwierdzenie w punkcie B zastępujemy utwierdzeniem z przesuwem pionowym. Do układu sił

czynnych dodajemy reakcję V

B

(rys. 8).

Rys. 8 Rys.9

Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.9).

•

Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która porusza się przez

pionową translację. Przyjmujemy przemieszczenia wirtualne wszystkich punktów tej tarczy
jako

δ

6

.

•

Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej poziomej przechodzącej przez

punkt D. Jednocześnie, (ponieważ środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek
obrotu tarczy II musi

leżeć na prostej AC. Te dwie proste przecinają się w punkcie O

2

który

jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.

•

Wyznaczamy prędkość kątową

m

m

D

O

D

δ

δ

ω

2

3

6

v

2

2

=

=

=

, zwrot przyjmujemy tak aby przy

obrocie wokół O

2

zgadzał się zwrot prędkości

D

v .

•

Prędkość kątowa

2

ω

pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II ( w

tym przegubu C).

•

Tarcza I obraca się wokół punktu A. Wyznaczamy jej prędkość kątową

m

m

C

O

C

O

X

CY

C

δ

δ

ω

3

2

6

)

(

v

v

1

1

1

=

=

=

=

, zwrot przyjmujemy tak aby przy obrocie wokół O

1

zgadzał się zwrot prędkości

C

v .

Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:

(

)

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

−

−

−

−

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

=

=

∑

0

18

12

18

24

6

3

6

3

4

3

6

6

4

6

kN

kN

kN

kN

V

m

kNm

kN

kN

kN

V

F

L

B

B

i

i



kN

V

kN

kN

kN

kN

V

B

B

12

0

18

12

18

24

6

=

→

=

−

−

−

−

5. Wyznaczanie momentu M

B

Utwierdzenie w pun

kcie B zastępujemy podporą przegubową. Do układu sił czynnych dodajemy

moment utwierdzenia M

B

(rys. 10).

Rys. 10 Rys.11

Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.11).

•

Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która obraca się wokół

przegubu B. Przyjmujemy

prędkość kątową tej tarczy jako

m

δ

ω

6

3

=

.

•

Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej BD. Jednocześnie, (ponieważ

środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek obrotu tarczy II musi leżeć na prostej
AC. Te dwie proste przecina

ją się w punkcie O

2

który jest środkiem chwilowego obrotu

tarczy II.

•

Wyznaczamy prędkość kątową

m

m

D

O

D

O

Y

DX

D

δ

δ

ω

2

6

12

)

(

v

v

2

2

2

=

=

=

=

, zwrot przyjmujemy tak

aby przy obrocie wokół O

2

zgadzał się zwrot prędkości

D

v .

•

Prędkość kątowa

2

ω

pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II ( w

tym przegubu C).

•

Tarcza I obraca się wokół punktu A. Wyznaczamy jej prędkość kątową

m

m

C

O

C

O

Y

CX

C

δ

δ

ω

3

2

6

)

(

v

v

1

1

1

=

=

=

=

, zwrot przyjmujemy tak aby przy obrocie wokół O

1

zgadzał się zwrot prędkości

C

v .

Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=













+

+

+

+

+

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

∑

0

18

12

54

72

24

6

3

6

3

4

9

6

18

4

6

4

6

kN

kN

kN

kN

kN

m

M

m

kNm

kN

kN

kN

kN

m

M

F

L

B

B

i

i



kNm

M

kN

kN

kN

kN

kN

m

M

B

B

30

0

18

12

54

72

24

6

−

=

→

=

+

+

+

+

+

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Korzystając z zasady prac wirtualnych wyznacz reakcje podpór w zadaniach:
Zadanie 1 z pliku ‘zadania z reakcji 1.pdf’,
Zadania 1 i 2 z pliku ‘zadania z reakcji 2.pdf’.