(Microsoft PowerPoint Matematyka Farmacja [tryb zgodno 234ci])

background image

1. J. Chmaj: Rachunek różniczkowy i całkowy. Teoria, przykłady, ćwiczenia.
Podręcznik dla studentów.

2. T. Traczyk: Elementy matematyki wyższej. Podręcznik dla studentów farmacji.

3. W. Krysicki, W. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II.

PODRĘCZNIKI

WŁASNOŚCI POTĘGOWANIA

Jeśli a, b są liczbami dowolnymi, a n i m naturalnymi oraz a ≠ 0, b ≠ 0, to:

gdy n jest parzyste

gdy n jest nieparzyste

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

(

)

n

n

a

=

a

-

(

)

n

n

a

=

a

-

-

m

+

n

m

n

a

=

a

a *

mm-j

background image

gdy n > m

m

n

m

n

a

=

a

a

-

( )

nm

m

n

a

=

a

(

)

n

n

n

b

a

=

ab

n

n

n

b

a

=

)

b

a

(

Dla dowolnych liczb a, b > 0 oraz m, n całkowitych dodatnich zachodzą następujące
równości:

bo

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI PIERWIASTKOWANIA

(

)

m

n

n

m

a

=

a

nm

n m

a

=

a

=

a

n m

=

)

a

(

n

1

m

1

=

a

mn

1

mn

a

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

Niech a będzie liczbą dodatnią, a m i n liczbami naturalnymi:

n

n

n

b

a

=

ab

bo

=

b

a

n

1

n

1

=

)

ab

(

n

1

n

ab

n

n

n

b

a

=

b

a

n

m

n

m

a

=

a

1

=

a

0

Dla dowolnych m i a > 0:

m

m

a

1

=

a

-

PRZYKŁAD 1/12

=

10

2

3

=

10

2

3

10

10

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 2/12

=

10

1

-

=

10

1

1

,

0

PRZYKŁAD 3/12

=

10

3

-

=

1000

1

001

,

0

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ – WŁASNOŚCI (POWTÓRZENIE)

Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien – dokładnie

Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien – dokładnie
określony – element y zbioru Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona
funkcja o wartościach w zbiorze Y

( )

x

f

=

y

Y

X

:

f

f – określona na zbiorze X funkcja

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

element x ze zbioru X – argument funkcji

element y ze zbioru Y – wartość funkcji f w punkcie x

zbiór X – zbiór argumentów lub dziedzina funkcji

zbiór Y – zbiór wartości lub przeciwdziedzina funkcji

FUNKCJE ZŁOŻONE I ODWROTNE

Niech funkcja f: X

Y, g: Y

Z oraz h: X

Z. Odwzorowanie h nazywamy funkcją

złożoną z funkcji f i g i piszemy h = g ○ f lub h(x) = g(f(x)).

PRZYKŁAD 4/12

( )

1

+

x

2

=

x

f

( )

2

x

=

x

g

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

Funkcją odwrotną do funkcji f: X

Y jest funkcja f

-1

: Y

X

( )

(

)

( )

1

+

x

2

=

x

g

f

=

g

f

2

o

( )

(

)

(

)

2

1

+

x

2

=

x

f

g

=

f

g o

PRZYKŁAD 5/12

x

3

=

y

3

y

=

x

3

x

=

y

1

-

FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE

Funkcją parzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdegox

X: f(x) = f(-x)

Funkcją nieparzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdego x

X: f(-x) = -f(x)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a nieparzystej względem
początku układu współrzędnych.

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

FUNKCJE MONOTONICZNE

Mówimy, że funkcja f(x) jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeżeli jest w całym
przedziale (a, b) rosnąca, bądź w całym przedziale (a, b) malejąca

Funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze X, gdy dla każdych x

1

, x

2

X z faktu

x

1

< x

2

wynika, że f(x

1

) < f(x

2

) (f(x

1

) > f(x

2

))

FUNKCJE LINIOWE

Funkcję liniową nazywamy każdą funkcję określoną równaniem y = mx + b;
m, b, x

R

Równanie y = mx + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.

m – współczynnik kierunkowy prostej (m = tgα

α

α

α)

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

y = mx

x

y

α

α

α

α

x

y

x

0

y

0

0

l

FUNKCJE KWADRATOWE

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję określoną równaniem y = ax

2

+ bx + c,

a

0; b, c, x

R

-2

1

4

-3

0

3

x

y

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

FUNKCJE POTĘGOWE

Funkcją potęgową nazywamy funkcję f(x) = x

α

α

α

α

α

α

α

α – dowolna, różna od zera liczba rzeczywista

PRZYKŁAD 6/12

,

x

=

y

Narysuj wykres funkcji:

0

x

:

D

y

x

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

FUNKCJE WYKŁADNICZE

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję f(x) = a

x

a – dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a

R+ \ {1}, x

R

a>1

0<a<1

y

0<a<1

x

Logarytmem liczby b

R

+

przy podstawie a

R

+

\ {1} nazywamy wykładnik potęgi,

do której należy podnieść a, żeby otrzymać liczbę b.

c

=

b

log

a

b

=

a

c

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

b

=

a

b

log

a

Dla dowolnej liczby a > 0, a

0

= 1, więc:

0

=

1

log

a

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję:

a – dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a

R

+

\ {1}, x

R

+

( )

x

log

=

x

f

a

,

x

log

=

y

a

x

=

a

y

3

a>1

-3

-2

-1

0

1

2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

a>1
0<a<1

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 7/12

4

=

16

log

2

16

=

2

4

WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW

logarytm iloczynu dwu liczb równy jest sumie logarytmów tych liczb:

=

)

bc

(

log

a

c

log

+

b

log

a

a

Dowód:

m

=

b

log

a

b

=

a

m

n

=

c

log

a

c

=

a

n

=

bc

=

a

a

n

m

n

+

m

a

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

bo

(

) =

bc

log

a

(

)

=

a

a

log

n

m

a

=

a

log

n

+

m

a

n

+

m

b

=

a

log

b

a

logarytm ilorazu dwu liczb równy jest różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:

=

c

b

log

a

c

log

b

log

a

a

Dowód:

m

=

b

log

a

b

=

a

m

=

b

1

log

a

m

=

a

m

=

a

1

m

b

1

=

c

b

log

a

=

c

1

b

log

a

c

1

log

+

b

log

a

a

=

c

1

log

a

=

c

log

1

a

c

log

a

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

logarytm potęgi pewnej liczby jest równy iloczynowi jej logarytmu przez wykładnik
potęgi

=

c

1

log

+

b

log

a

a

b

log

a

c

log

a

=

c

b

log

a

b

log

a

c

log

a

=

b

log

n

a

=

b

...

bb

log

a

=

b

log

+

...

+

b

log

+

b

log

a

a

a

b

log

n

a

PRZYKŁAD 8/12

=

b

log

3

a

=

b

log

3

1

a

b

log

3

1

a

ZAMIANA PODSTAWY LOGARYTMU

Niech m = log

a

b, n = log

a

c. Ile wynosi log

c

b?

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

z def. logarytmu: c = a

n

, skąd a = c

1/n

b

log

=

m

a

m

a

=

b

=

a

=

b

m

=

)

c

(

m

n

1

n

m

c

n

m

c

=

b

n

m

=

b

log

c

=

n

m

=

b

log

c

c

log

b

log

a

a

Logarytm dziesiętny jest to logarytm o podstawie 10:

LOGARYTM DZIESIĘTNY

a

lg

=

a

log

10

LOGARYTM NATURALNY

Logarytm naturalny jest to logarytm o podstawie liczby e będącej granicą ciągu

o wyrazie ogólnym:

n

)

n

1

+

1

(

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

Korzystając z wzoru na zmianę podstaw logarytmów

otrzymujemy:

b

ln

=

b

log

e

n

n

)

n

1

+

1

(

lim

=

e

...

7182818285

,

2

=

a

lg

=

10

log

a

log

e

e

10

ln

a

ln

a

lg

a

ln

43

,

0

a

ln

a

lg

3

,

2

PRZYKŁAD 9/12

=

)

3

1

(

*

)

)

3

1

(

:

)

3

1

((

3

5

8

=

)

3

1

(

*

)

3

1

(

3

5

8

=

)

3

1

(

3

+

3

6

)

3

1

(

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 10/12

=

)

4

*

8

(

12

4

=

)

4

*

8

(

12

4

/

1

=

)

)

2

(

*

2

(

12

4

/

1

2

3

=

)

2

*

2

(

12

4

/

2

3

=

)

2

(

=

)

2

(

12

2

/

7

12

2

/

1

+

3

42

2

PRZYKŁAD 11/12

=

11

log

+

7

log

2

2

1

=

7

log

2

1

=

2

1

log

7

log

2

2

=

1

7

log

2

7

log

2

2

log

2

1

+

7

log

2

=

11

log

2

=

7

log

11

log

2

2

7

11

log

2

PRZYKŁAD 12/12

(

)

x

log

5

,

0

log

=

x

+

5

,

0

log

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

:

D

f

0

>

x

+

5

,

0

5

,

0

>

x

0

>

x

(

)

+

,

0

x

(

)

x

5

,

0

log

=

x

+

5

,

0

log

=

x

+

2

1

x

2

1

x

2

*

/

1

=

x

2

+

x

2

0

=

1

x

+

x

2

2

ac

4

b

=

2

;

9

=

3

=

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

a

2

b

=

x

1

1

=

4

3

1

=

x

1

nie należy do Df (∉

Df)

2

1

=

a

2

+

b

=

x

2

należy do Df (∈

Df)

MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)

mm-j

background image

Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x

0

dla przyrostu ∆

x zmiennej niezależnej:

lub

f – określona w pewnym otoczeniu U punktu x

0

x – przyrost zmiennej niezależnej (dowolna, różna od zera liczba rzeczywista);
x

0

+

x

U

ILORAZ RÓŻNICOWY

(

) ( )

x

x

f

x

+

x

f

=

x

f

0

0

-

(

) ( )

h

x

f

h

+

x

f

=

h

f

0

0

-

POCHODNA FUNKCJI - WPROWADZENIE

f – przyrost wartości funkcji f dla przyrostu ∆

x:

f = f(x

0

+

x) – f(x

0

)

Pochodną funkcji w punkcie x

0

nazywamy granicę:

DEFINICJA POCHODNEJ

RÓŻNICZKOWANIE – ODNAJDYWANIE POCHODNEJ

(

) ( )

( )

0

0

0

0

x

0

x

x

'

f

=

x

x

f

x

+

x

f

lim

=

x

f

lim

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

f – określona w pewnym otoczeniu U punktu x

0

istnieje skończona granica

gdzie α

α

α

α jest kątem nachylenia stycznej do wykresu funkcji do osi OX

funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

0

jeśli istnieje pochodna funkcji f w tym

punkcie

funkcja f różniczkowalna w punkcie x

0

jest w tym punkcie ciągła

( )

α

tg

=

x

'

f

0

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

Obliczyć f’(x

0

) jeśli f(x) = x

2

+ x

PRZYKŁAD 1/18

=

x

f

lim

0

x

(

)

x

)

x

+

x

x

+

x

+

x

+

x

lim

0

2

0

0

2

0

0

x

(

-

=

x

x

x

x

+

x

+

x

+

x

x

2

+

x

lim

0

2

0

0

2

0

2

0

0

x

-

-

x

x

+

x

+

x

x

2

lim

2

0

0

x

1

+

x

2

=

x

)

1

+

x

+

x

2

(

x

lim

0

0

0

x

POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH

=

'

x

,

1

R

x

( )

[

]

=

'

x

cf

( )

x

'

cf

Dowód:

=

)]'

x

(

cf

[

=

x

)

x

(

cf

)

x

+

x

(

cf

lim

0

x

-

=

x

)

x

(

f

)

x

+

x

(

f

c

lim

0

x

-

)

x

(

'

cf

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

- pochodna iloczynu funkcji

- pochodna ilorazu funkcji

( )

( )

[

]

=

'

x

g

±

x

f

( )

( )

x

'

g

±

x

'

f

- pochodna sumy (różnicy) funkcji

Dowód:

( )

=

)]'

x

(

g

±

x

f

[(

=

x

))

x

(

g

+

)

x

(

f

(

±

)

x

+

x

(

g

+

)

x

+

x

(

f

lim

0

x

=

x

)

x

(

g

)

x

+

x

(

g

±

x

)

x

(

f

)

x

+

x

(

f

lim

0

x

-

-

)

x

(

'

g

±

)

x

(

'

f

( ) ( )

[

]

=

'

x

g

x

f

( ) ( )

( ) ( )

x

'

g

x

f

+

x

g

x

'

f

( )

( )

=

]'

x

g

x

f

[

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

2

x

g

x

'

g

x

f

x

g

x

'

f

-

=

)'

x

(

a

1

a

ax

-

}

0

{

\

R

x

},

0

{

\

N

a

{

}

R

x

,

N

\

R

a

{

+

=

)'

c

(

,

0

R

c

=

)'

a

(

x

,

a

ln

a

x

+

R

a

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

(

)

=

'

e

x

x

e

=

)'

x

(log

a

,

a

ln

x

1

+

+

R

x

},

1

{

\

R

a

=

)'

x

(ln

,

x

1

+

R

x

=

)'

x

(

2

,

x

2

1

0

>

x

=

)'

x

a

(

,

x

a

2

-

}

0

{

\

R

x

=

)'

x

(sin

x

cos

=

)'

x

(cos

x

sin

-

=

)'

tgx

(

,

x

cos

1

2

0

x

cos

=

)'

ctgx

(

,

x

sin

1

2

-

0

x

sin

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

=

)'

x

(arcsin

,

x

1

1

2

-

)

1

,

1

(

x

=

)'

x

(arccos

,

x

1

1

2

-

-

)

1

,

1

(

x

=

)'

arctgx

(

2

x

+

1

1

=

)'

arcctgx

(

2

x

+

1

1

-

Pochodną funkcji pochodnej danej funkcji y = f(x) nazywamy pochodną drugiego rzędu

funkcji y = f(x) i oznaczamy symbolem Leibnitza:

lub y’’ = f’’(x)

Pochodną n-tego rzędu oznaczamy symbolem y

(n)

= f

(n)

(x) lub

f’(x), f’’(x), _

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

2

2

dx

y

d

n

n

dx

y

d

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

Oblicz y’(0), y’(1/2) funkcji y(x) = 2 + x – x

2

PRZYKŁAD 2/18

x

2

1

=

)

x

(

'

y

-

,

1

=

)

0

(

'

y

0

=

)

2

1

(

'

y

PRZYKŁAD 3/18

Ile wynosi zmienna x, gdy y’(x) = 0?

x

2

2

x

+

3

x

=

)

x

(

y

2

3

-

=

2

x

2

2

1

+

x

3

3

1

=

)

x

(

'

y

2

-

2

x

+

x

2

-

0

=

)

x

(

'

y

0

=

2

x

+

x

2

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 4/18

,

9

=

3

=

,

2

=

x

1

1

=

x

2

4

3

3

2

x

5

x

a

5

+

a

=

)

x

(

y

-

3

2

3

x

20

x

a

5

*

3

=

)

x

(

'

y

-

,

PRZYKŁAD 5/18

4

3

3

2

x

5

x

a

5

+

a

=

)

x

(

y

-

3

2

3

x

20

x

a

15

=

)

x

(

'

y

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 6/18

(

)

b

+

a

b

+

ax

=

)

x

(

y

(

) (

) (

)(

)

(

)

=

b

+

a

'

b

+

a

b

+

ax

b

+

a

'

b

+

ax

=

)

x

(

'

y

2

-

(

)

(

)

=

b

+

a

b

+

a

a

2

b

+

a

a

PRZYKŁAD 7/18

3

2

1

3

2

x

3

+

x

2

+

x

=

x

3

+

x

2

+

x

1

=

)

x

(

y

-

-

-

4

3

2

x

9

x

4

x

=

)

x

(

'

y

-

-

-

-

-

-

PRZYKŁAD 8/18

=

2

+

x

=

)

x

(

y

3

3

3

1

3

1

2

+

x

=

x

3

1

=

)

x

(

'

y

3

2

-

3

2

x

3

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 9/18

=

x

x

p

x

x

nx

+

x

mx

=

)

x

(

y

3

2

-

=

x

px

x

nxx

+

x

mx

1

2

1

3

1

2

1

2

1

2

-

-

-

-

2

1

-

- px

nx

+

mx

6

7

2

3

2

3

6

1

2

1

px

2

1

+

nx

6

7

+

mx

2

3

=

)

x

(

'

y

-

PRZYKŁAD 10/18

(

)

=

x

3

x

3

=

)

x

(

y

3

-

x

9

x

3

3

-

9

x

9

=

)

x

(

'

y

2

-

PRZYKŁAD 11/18

x

ln

+

x

log

+

3

log

=

)

x

(

y

4

x

1

+

4

ln

x

1

=

)

x

(

'

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 12/18

2

ln

x

=

)

x

(

y

2

(

)

(

)

=

'

2

ln

x

+

2

ln

'

x

=

)

x

(

'

y

2

2

2

ln

x

2

PRZYKŁAD 13/18

1

x

x

=

)

x

(

y

2

1

x

=

)

1

x

(

x

)

1

x

(

x

2

=

)

x

(

'

y

2

2

-

-

-

=

)

1

x

(

x

x

2

x

2

2

2

2

-

-

-

2

2

)

1

x

(

x

2

x

-

-

PRZYKŁAD 14/18

3

5

x

=

)

x

(

y

=

x

3

5

=

)

x

(

'

y

3

2

3

2

x

3

5

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 15/18

2

x

=

)

x

(

y

1

2

x

2

=

)

x

(

'

y

-

PRZYKŁAD 16/18

x

1

x

ln

=

)

x

(

y

-

=

)

x

1

(

)

1

(

x

ln

)

x

1

(

x

1

=

)

x

(

'

y

2

-

-

-

-

2

)

x

1

(

x

x

ln

x

+

x

1

-

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 17/18

x

ln

7

=

)

x

(

y

=

x

1

7

=

)

x

(

'

y

x

7

PRZYKŁAD 18/18

Oblicz y’’(x) funkcji:

1

x

1

=

)

x

(

y

-

(

)

2

1

x

1

=

)

x

(

'

y

-

-

=

)

1

x

(

)

1

x

(

2

*

1

=

)

x

(

'

'

y

4

-

-

3

)

1

x

(

2

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)

mm-j

background image

i nosi nazwę pochodnej logarytmicznej funkcji f(x).

Pochodna funkcji złożonej y = lnf(x) wyraża się wzorem:

POCHODNA LOGARYTMICZNA

[

]

)

x

(

f

)

x

(

'

f

=

'

)

x

(

f

ln

PRZYKŁAD 1/18

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

x

a

=

y

ln

/*

x

a

ln

=

y

ln

a

ln

x

=

y

ln

/'

)'

a

(ln

x

+

a

ln

'

x

=

y

'

y

mm-j

background image

a

ln

=

y

'

y

y

/*

a

ln

y

=

'

y

a

ln

a

=

'

y

x

PRZYKŁAD 2/18

x

x

=

y

ln

/*

x

x

ln

=

y

ln

x

ln

x

=

y

ln

/'

x

1

x

+

x

ln

=

y

'

y

y

/*

)

1

+

x

(ln

y

=

'

y

)

1

+

x

(ln

x

=

'

y

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 3/18

(

)

x

x

3

sin

=

y

ln

/*

(

)

x

x

3

sin

ln

=

y

ln

(

)

x

3

sin

ln

x

=

y

ln

/'

(

) +

x

3

sin

ln

x

2

1

=

y

'

y

(

)'

x

3

sin

x

3

sin

1

x

(

)

(

) =

3

x

3

cos

x

3

sin

1

x

+

x

3

sin

ln

x

2

1

=

y

'

y

(

)

x

3

sin

x

3

cos

3

x

+

x

3

sin

ln

x

2

1

(

)

x

3

ctg

x

3

+

x

2

x

3

sin

ln

=

y

'

y

y

/*

(

)

x

3

ctg

x

3

+

x

2

x

3

sin

ln

y

=

'

y

(

)

(

)

]

x

3

ctg

x

3

+

x

2

x

3

sin

ln

[

x

3

sin

=

'

y

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 4/18

x

x

2

sin

=

y

(

)

x

1

x

2

sin

=

y

ln

/*

(

)

x

1

x

2

sin

ln

=

y

ln

(

)

x

2

sin

ln

x

1

=

y

ln

/'

(

)

(

)

'

x

2

sin

x

2

sin

1

x

1

+

x

2

sin

ln

x

1

=

y

'

y

2

-

(

)

x

2

sin

x

2

cos

2

x

1

+

x

2

sin

ln

x

1

=

y

'

y

2

-

(

)

x

2

ctg

x

2

+

x

2

sin

ln

x

1

=

y

'

y

2

-

y

/*

(

)

)

x

2

ctg

x

2

+

x

2

sin

ln

x

1

(

y

=

'

y

2

-

(

)

)

x

2

ctg

x

2

+

x

2

sin

ln

x

1

(

x

2

sin

2

x

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

Jeżeli funkcja u = g(x) posiada pochodną w punkcie x

0

a funkcja y = f(u) posiada

pochodną w punkcie u

0

= g(x

0

), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x

0

pochodną wyrażoną wzorem:

gdzie:

f’(u

0

) – pochodna funkcji zewnętrznej

POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ

y’ = (f(g(x

0

)))’=f’(u

0

)g’(x

0

)

g’(x

0

) – pochodna funkcji wewnętrznej

PRZYKŁAD 5/18

2

/

1

2

2

)

1

+

x

(

=

1

+

x

=

y

=

)'

1

+

x

(

)

1

+

x

(

2

/

1

=

'

y

2

2

/

1

2

=

)

1

+

x

(

2

)'

1

+

x

(

2

/

1

2

2

1

+

x

2

)'

1

+

x

(

2

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

1

+

x

2

1

=

'

y

2

=

x

2

1

+

x

x

2

PRZYKŁAD 6/18

2

x

e

=

y

=

)'

x

(

e

=

'

y

2

x

2

=

x

2

e

2

x

2

x

xe

2

PRZYKŁAD 7/18

x

e

=

y

-

=

)'

x

(

e

=

'

y

x

=

)

1

(

e

x

x

e

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 8/18

bx

ae

=

y

-

=

)'

e

(

a

=

'

y

bx

=

)'

bx

)(

e

(

a

bx

=

'

x

)

b

)(

e

(

a

bx

bx

abe

PRZYKŁAD 9/18

(

)

1

x

2

sin

=

y

-

=

)'

1

x

2

)(

1

x

2

cos(

=

'

y

)

1

x

2

cos(

=

2

)

1

x

2

cos(

2

PRZYKŁAD 10/18

=

1

e

=

y

3

x

3

1

x

)

1

e

(

=

)'

1

e

(

)

1

e

(

3

1

=

'

y

x

3

2

x

-

-

-

(

)

=

e

1

e

3

1

x

3

2

x

-

-

3

2

x

x

)

1

e

(

3

e

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 11/18

=

1

+

x

5

x

2

log

=

y

2

3

=

)

1

+

x

5

x

2

(

log

2

1

2

3

)

1

+

x

5

x

2

(

log

2

1

2

3

=

)'

1

+

x

5

x

2

(

3

ln

)

1

+

x

5

x

2

(

1

2

1

=

'

y

2

2

3

ln

)

1

+

x

5

x

2

(

5

x

4

2

1

2

PRZYKŁAD 12/18

)

1

x

(

e

2

=

y

x

=

)]'

1

x

(

e

[

2

=

'

y

x

=

]

)'

1

x

(

e

+

)

1

x

(

)'

e

[(

2

x

x

+

)

1

x

(

)'

x

(

e

[

2

x

=

]

1

+

)

1

x

[(

x

2

e

2

=

)]

x

2

1

(

e

+

)

1

x

)(

x

2

1

(

e

[

2

x

x

x

=

)

x

(

x

e

x

x

e

=

)]

x

2

1

(

e

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 13/18

(

)

5

2

1

x

=

y

-

=

)'

1

x

(

)

1

x

(

5

=

'

y

2

4

2

=

x

2

)

1

x

(

5

4

2

4

2

)

1

x

(

x

10

PRZYKŁAD 14/18

(

)

b

+

ax

sin

=

y

=

)'

b

+

ax

)(

b

+

ax

cos(

=

'

y

)

b

+

ax

cos(

a

PRZYKŁAD 15/18

x

sin

ln

=

y

=

)'

x

(sin

x

sin

1

=

'

y

=

x

sin

x

cos

ctgx

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 16/18

Oblicz y’’’: y = x

2

+ sin5x

(

) =

'

x

5

x

5

cos

+

x

2

=

'

y

x

5

cos

5

+

x

2

(

)

=

)'

x

5

(

x

5

sin

5

+

2

=

'

'

y

-

=

)

5

(

x

5

sin

5

2 -

x

5

sin

25

2 -

(

)

=

'

x

5

x

5

cos

25

=

'

'

'

y

-

x

5

cos

125

-

PRZYKŁAD 17/18

Oblicz y’’’: y = xln2x

(

) =

'

x

2

x

2

1

x

+

x

2

ln

=

'

y

=

2

x

2

1

x

+

x

2

ln

1

+

x

2

ln

(

)

=

'

x

2

ln

=

'

'

y

(

) =

'

x

2

x

2

1

x

1

=

2

x

2

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

gdy f’(x) > 0, f(x) rośnie w przedziale (a, b)

gdy f’(x) < 0, f(x) maleje w przedziale (a, b)

Jeżeli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b), to:

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI RÓŻNICZKOWALNEJ

EKSTREMA FUNKCJI

Funkcja f(x) ma w punkcie x

0

maksimum lub minimum, jeśli spełniona jest nierówność:

f(x) < f(x

0

); x

x

0

(maksimum)

Maksima i minima noszą nazwę ekstremów funkcji

f(x) > f(x

0

); x

x

0

(minimum)

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

Jeżeli funkcja y = f(x) ma w punkcie x

0

ekstremum i pochodną f’(x

0

), to f’(x

0

) = 0

Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a, b) pochodną drugiego rzędu f’’(x) > 0
(f’’(x) < 0) to jest w tym przedziale wypukła (wklęsła)

Jeżeli w punkcie x

0

pochodna drugiego rzędu funkcji y = f(x) jest równa zeru (f’’(x

0

) = 0)

i rośnie (lub maleje) w jego otoczeniu, to punkt ten nazywamy punktem przegięcia
funkcji
.

WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ FUNKCJI. PUNKT PRZEGIĘCIA WYKRESU
FUNKCJI

PRZYKŁAD 18/18

Wyznacz dla funkcji f(x) = x

3

– 3x

2

+ 4

a) przedziały monotoniczności

b) ekstremum

c) przedziały wypukłości (wklęsłości)

d) punkty przegięcia

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

a) + b)

=

x

6

x

3

=

)

x

(

'

f

2

-

)

2

x

(

x

3

-

0

=

)

x

(

'

f

0

=

)

2

x

(

x

3

-

,

0

=

x

1

2

=

x

2

,

0

>

)

x

(

'

f

)

x

(

f

↑⇔

)

+

,

2

(

)

0

,

(

x

-∞

,

0

<

)

x

(

'

f

)

x

(

f

↓⇔

)

2

,

0

(

x

4

=

)

0

(

f

(maksimum funkcji – funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny)

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

0

=

)

2

(

f

(minimum funkcji – funkcja zmienia znak z ujemnego na dodatni)

c) + d)

=

6

x

6

=

)

x

(

'

'

f

-

)

1

x

(

6

-

0

=

)

1

x

(

6

0

=

)

x

(

'

'

f

-

1

=

x

,

0

<

)

x

(

'

'

f

)

x

(

f

wkl

)

1

,

(

x

-∞

,

0

>

)

x

(

'

'

f

)

x

(

f

wyp

)

+

,

1

(

x

)

2

,

1

(

P

=

))

x

(

f

,

x

(

P

współrzędne punktu przegięcia wykresu funkcji

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)

mm-j

background image

- definicja ilorazu różnicowego

- różniczka funkcji f(x) w punkcie x.

Różniczka funkcji jest iloczynem pochodnej funkcji i różniczki argumentu.

Funkcja y = f(x) ma pochodną f’(x) w punkcie x.

RÓŻNICZKA FUNKCJI

x

)

x

)

x

(

f

-

)

x

+

x

(

f

(

=

)

x

(

f

-

)

x

+

x

(

f

=

y

x

)

x

(

'

f

=

)

x

(

df

=

y

Niech y = x

Dowolny przyrost ∆

x nazywamy różniczką zmiennej niezależnej dx

- dla małych przyrostów argumentów

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

x

'

x

=

dy

x

=

dx

( )

x

f

=

y

dx

'

y

=

dy

( )

( )dx

x

'

f

=

x

df

mm-j

background image

PRZYKŁAD 1/21

x

sin

=

y

dx

)'

x

(sin

=

dy

(

) dx

'

x

sin

=

x

sin

d

xdx

cos

=

x

sin

d

PRZYKŁAD 2/21

m

x

=

y

(

)

dx

'

x

=

dy

m

(

)

dx

'

x

=

dx

m

m

dx

mx

=

dx

1

-

m

m

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Pochodna funkcji jest równa ilorazowi różniczki funkcji przez różniczkę argumentu:

( )

( )

dx

x

df

=

x

'

f

;

dx

dy

=

'

y

PRZYKŁAD 3/21

x

ln

=

y

dx

)'

x

(ln

=

dy

dx

x

1

=

x

ln

d

'

y

=

)'

x

(ln

=

x

1

=

dx

x

ln

d

PRZYKŁAD 4/21

)'

x

(sin

=

x

cos

=

dx

x

sin

d

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Różniczka sumy jest równa sumie różniczek

Różniczka stałej jest równa zero

PRZYKŁAD 5/21

)'

x

(

=

mx

=

dx

dx

m

1

-

m

m

WŁASNOŚCI RÓŻNICZKI

c

=

y

0

=

dx

'

c

=

dy

)

x

(

v

+

)

x

(

u

=

y

Stały czynnik wyłączamy przed znak różniczki

=

dx

)]'

x

(

v

+

)

x

(

u

[

=

dy

=

dx

)]

x

(

'

v

+

)

x

(

'

u

[

=

dx

)

x

(

'

v

+

dx

)

x

(

'

u

)

x

(

dv

+

)

x

(

du

)

x

(

cu

=

y

=

dx

)]'

x

(

cu

[

=

dy

=

dx

)]

x

(

'

u

[

c

)

x

(

cdu

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Różniczka ilorazu

Różniczka funkcji złożonej

Różniczka iloczynu

)

x

(

v

*

)

x

(

u

=

y

=

dx

)]'

x

(

v

*

)

x

(

u

[

=

dy

=

dx

)

x

(

u

)

x

(

'

v

+

dx

)

x

(

v

)

x

(

'

u

)

x

(

u

)

x

(

dv

+

)

x

(

v

)

x

(

du

)

x

(

v

)

x

(

u

=

y

=

dx

]'

)

x

(

v

)

x

(

u

[

=

dy

=

)]

x

(

v

[

dx

)

x

(

'

v

)

x

(

u

dx

)

x

(

'

u

)

x

(

v

2

-

2

)]

x

(

v

[

)

x

(

dv

)

x

(

u

)

x

(

du

)

x

(

v

-

))

t

(

g

(

f

=

y

gdzie

),

x

(

f

=

y

),

t

(

g

=

x

dt

)

t

(

'

g

=

dx

;

dt

'

y

=

dy

))

t

(

'

g

*

)

x

(

'

f

=

'

y

(

dt

)

t

(

'

g

*

)

x

(

'

f

=

dy

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Wyznacz różniczkę dy funkcji

PRZYKŁAD 6/21

x

2

sin

5

=

y

x

=

dx

)'

x

2

sin

5

(

=

dy

x

dx

)]

x

2

(

x

2

cos

5

+

x

2

sin

dx

5

ln

5

[

2

x

x

PRZYKŁAD 7/21

Wyznacz różniczkę dy funkcji

x

ln

x

=

y

=

dx

)

x

1

x

+

x

(ln

=

dy

dx

)

1

+

x

(ln

PRZYKŁAD 8/21

Wyznacz różniczkę trzeciego rzędu d

3

y funkcji

x

4

cos

=

y

=

dx

)'

x

4

(cos

=

dy

xdx

4

sin

4

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

=

dx

)'

dy

(

=

y

d

2

dx

)'

'

y

(

=

dx

)'

dx

'

y

(

=

dx

-4sin4x)'

(

=

y

d

2

2

=

x

4(4cos4x)d

-

2

2

16cos4xdx

-

=

dx

-16cos4x)'

(

=

y

d

3

3

3

-4sin4x)dx

(

16

dx

)

x

(

'

f

+

)

x

(

f

=

)

dx

+

x

(

f

0

0

0

ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZANIA
PRZYBLIŻONYCH WARTOŚCI FUNKCJI I WYRAŻENIA

PRZYKŁAD 9/21

Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:

2

x

=

)

x

(

f

,

1

=

x

0

0018

,

0

=

dx

(

)

0018

,

1

=

dx

+

x

0

( )

2

0

0

x

=

x

f

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

( )

0

0

x

2

=

x

'

f

( )

2

=

1

'

f

(

)

(

)

=

0018

,

1

f

=

dx

+

x

f

0

( )

( )

=

0018

,

0

*

1

'

f

+

1

f

0036

,

1

=

0018

,

0

*

2

+

1

PRZYKŁAD 10/21

Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:

( )

x

=

x

f

,

1

=

x

0

0025

,

0

=

dx

(

)

0025

,

1

=

dx

+

x

0

( )

0

0

x

=

x

f

( )

0

0

x

2

1

=

x

'

f

( )

2

1

=

1

'

f

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

(

)

(

)

=

0025

,

1

f

=

dx

+

x

f

0

( )

( )

=

0025

,

0

*

1

'

f

+

1

f

00125

,

1

=

0025

,

0

*

2

1

+

1

PRZYKŁAD 11/21

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

4

17

4

x

=

)

x

(

f

=

)

x

+

x

(

f

=

)

x

+

x

(

f

4

4

17

17

=

x

+

x

,

16

=

x

1

=

dx

=

x

=

17

4

dx

)

x

(

'

f

+

)

x

(

f

=

)

x

+

x

(

f

=

17

4

1

*

)

16

(

'

f

+

)

16

(

f

=

)

17

(

f

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

=

)

16

(

f

=

)

x

(

f

=

16

4

2

=

)'

x

(

=

)

x

(

'

f

4

=

)'

x

(

4

1

=

x

4

1

4

3

-

4

3

x

4

1

=

16

4

1

=

)

16

(

'

f

4

3

( )

=

)

2

(

4

1

4

3

4

32

1

=

2

*

4

1

3

=

17

4

=

1

*

32

1

+

2

031

,

2

32

65

=

32

1

2

PRZYKŁAD 12/21

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

01

,

1

ln

x

ln

=

)

x

(

f

=

)

x

+

x

ln(

=

)

x

+

x

(

f

01

,

1

ln

01

,

1

=

x

+

x

,

1

=

x

01

,

0

=

dx

=

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

01

,

1

ln

dx

)

x

(

'

f

+

)

x

(

f

01

,

1

ln

01

,

0

*

)

1

(

'

f

+

)

1

(

f

0

=

)

1

(

f

=

)

x

(

f

=

)'

x

(ln

=

)

x

(

'

f

x

1

1

=

)

1

(

'

f

01

,

0

01

,

0

*

1

+

0

01

,

1

ln

POCHODNE CZĄSTKOWE

'

x

f

,

x

f

(pochodna cząstkowa względem x)

'

y

f

,

y

f

(pochodna cząstkowa względem y)

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Jeśli z = f(x,y), to pochodne cząstkowe można oznaczać odpowiednio symbolami:

,

z

,

x

z

'

x

'

y

z

,

y

z

WZORY:

(

)

,

x

g

±

x

f

=

g

±

f

x

(

)

y

g

±

y

f

=

g

±

f

y

(

)

,

x

g

f

+

g

x

f

=

g

*

f

x

(

)

y

g

f

+

g

y

f

=

g

*

f

y

,

g

x

g

f

-

g

x

f

=

)

g

f

(

x

2

2

g

y

g

f

-

g

f

=

)

g

f

(

y

∂y

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)

PRZYKŁAD 13/21

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

5

2

2

5

y

2

-

y

x

+

x

=

)

y

,

x

(

f

,

xy

2

+

x

5

=

x

f

2

4

4

2

10y

-

y

x

2

=

y

f

PRZYKŁAD 14/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

y

x

=

)

y

,

x

(

f

,

yx

=

x

f

1

-

y

x

ln

x

=

y

f

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 15/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji u(x,y)

,

x

)

y

,

x

(

u

∂y

∂u

)

y

,

x

(

)

y

+

x

sin(

x

=

)

y

,

x

(

u

),

y

+

x

cos(

x

+

)

y

+

x

sin(

=

x

u

)

y

+

x

cos(

x

=

y

u

PRZYKŁAD 16/21

)

y

,

x

(

u

∂u

)

y

,

x

(

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji u(x,y)

,

x

)

y

,

x

(

u

∂y

∂u

)

y

,

x

(

y

x

cos

=

)

y

,

x

(

u

2

=

x

2

)

(-sinx

y

1

=

x

u

2

y

2xsinx

-

2

=

)

y

1

(-

x

cos

=

y

u

2

2

2

2

y

cosx

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 17/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

xy

sin

x

=

)

y

,

x

(

f

=

xy

sin

x

x

+

xy

sin

x

x

=

x

f

+

xy

sin

=

y

xy

2

1

xy

cos

x

+

xy

sin

=

xy

2

xy

cos

xy

xy

cos

xy

2

1

+

xy

sin

=

xy

sin

y

x

+

xy

sin

x

y

=

y

f

=

x

xy

2

1

xy

cos

x

+

0

xy

cos

xy

2

x

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 18/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

2

3

y

x

=

)

y

,

x

(

f

2

2

2

2

y

x

3

=

)

x

3

(

y

=

x

f

y

x

2

=

y

f

3

(y – stała)

PRZYKŁAD 19/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

x

ln

y

ln

=

y

log

=

)

y

,

x

(

f

x

=

)

x

(ln

x

ln

x

y

ln

-

x

ln

*

y

ln

x

=

x

f

2

=

(lnx)

x

1

lny

-

2

2

x(lnx)

lny

-

=

)

x

(ln

x

ln

y

y

ln

-

x

ln

*

y

ln

=

f

2

∂y

∂y

=

)

x

(ln

x

ln

y

1

2

)

x

(ln

y

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 20/21

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

x

y

x

y

x

=

x

=

)

y

,

x

(

f

METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ

=

)

y

,

x

(

f

ln

x

y

x

ln

=

)

y

,

x

(

f

ln

x

ln

x

y

=

=

x

)

y

,

x

(

f

)

y

,

x

(

f

1

=

x

ln

x

x

y

+

x

ln

*

x

y

x

)

x

y

+

x

ln

x

y

-

(

2

2

)

y

,

x

(

f

/*

=

x

)

y

,

x

(

f

)

y

,

x

(

f

)

x

y

+

x

ln

x

y

-

(

2

2

=

x

)

y

,

x

(

f

x

y

x

)

x

y

+

x

ln

x

y

-

(

2

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

=

y

)

y

,

x

(

f

)

y

,

x

(

f

1

=

x

ln

y

x

y

+

x

ln

*

x

y

y

)

x

ln

x

1

(

)

y

,

x

(

f

/*

=

y

)

y

,

x

(

f

)

y

,

x

(

f

x

ln

x

1

=

y

)

y

,

x

(

f

x

ln

x

1

x

x

y

PRZYKŁAD 21/21

y

Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji

,

x

)

y

,

x

(

f

∂y

)

y

,

x

(

f

)

x

y

(

arctg

=

)

y

,

x

(

f

=

)

x

y

(

x

*

)

x

y

(

+

1

1

=

x

f

2

=

)

x

y

-

(

)

x

y

(

+

1

1

2

2

2

2

y

+

x

y

-

=

)

x

y

(

y

*

)

x

y

(

+

1

1

=

y

f

2

=

)

x

1

(

)

x

y

(

+

1

1

2

=

x

y

+

x

1

2

=

x

y

+

x

1

2

2

2

2

y

+

x

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)

mm-j

background image

Błąd bezwzględny

Błąd względny

RACHUNEK BŁĘDÓW

PRZYKŁAD 1/12

)

r

(

V

=

V

r

)

r

(

'

V

=

V

%

100

*

V

V

=

V

δ

Znaleźć przybliżone wartości błędów bezwzględnego i względnego jakie popełnia się

obliczając objętość kuli V ze wzoru

3

r

π

3

4

=

V

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

obliczając objętość kuli V ze wzoru

r

π

3

=

V

jeżeli błąd pomiaru promienia r wynosi ∆

r. Założyć, że znana jest dokładna wartość π

π

π

π.

Oszacować błędy bezwzględny i względny przybliżenia objętości kuli, jeśli

r = 1,5 ± 0,05 cm, a π

π

π

π = 3,14.

r

)

r

(

'

V

V

r

r

π

4

r

r

π

3

4

3

2

2

|

V

|

|

V

|

V

δ

r

r

3

r

π

3

4

r

r

π

4

3

2

mm-j

background image

55

,

1

=

r

4025

,

2

=

55

,

1

=

r

2

2

05

,

0

=

|

r

|

3

3

cm

59

,

15

r

π

3

4

)

r

(

V

=

V

r

r

π

4

r

)

r

(

'

V

V

2

51

,

1

05

,

0

*

4025

,

2

*

14

,

3

*

4

V

błąd maksymalny (bezwzględny)

3

3

cm

51

,

1

±

cm

59

,

15

=

)

r

(

V

=

V

%

6

,

9

%

100

*

r

r

3

%

100

*

r

π

3

4

r

r

π

4

V

δ

3

2

błąd maksymalny (względny)

Odp. Błąd przybliżenia objętości kuli

3

cm

59

,

15

V

nie przekracza 9,6%.

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Oszacować błąd bezwzględny i względny tego obliczenia jeśli oszacowania błędów
bezwzględnych przybliżeń x, y wynoszą odpowiednio:

PRZYKŁAD 2/12

Obliczyć wartość funkcji

2

2

xy

-

y

x

=

)

y

,

x

(

f

dla

32

,

4

=

x

oraz

15

,

2

=

y

01

,

0

=

x

005

,

0

=

y

oraz

15

,

2

*

32

,

4

-

15

,

2

*

32

,

4

)

y

,

x

(

f

2

2

155

,

20

15496

,

20

(

)

(

)

y

y

,

x

y

f

+

x

y

,

x

x

f

f

2

y

-

xy

2

=

x

f

xy

2

-

x

=

y

f

2

(

)

15

,

2

-

15

,

2

*

32

,

4

*

2

15

,

2

;

32

,

4

x

f

2

(

)

15

,

2

*

32

,

4

*

2

-

32

,

4

15

,

2

;

32

,

4

y

f

2

09

,

0

0864

,

0

95

,

13

9535

,

13

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Odp. Błąd względny obliczenia wynosi w przybliżeniu 6,9%.

(

)

14

,

0

005

,

0

*

09

,

0

+

01

,

0

*

95

,

13

f

%

9

,

6

=

%

100

*

069

,

0

155

,

20

14

,

0

f

f

f

δ

14

,

0

±

155

,

20

=

f

±

f

=

f

PRZYKŁAD 3/12

Układ sercowo – naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń

Układ sercowo – naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń
równoległych. Kiedy krew płynie przez dwa układy równolegle, całkowity opór R wynosi:

2

1

R

1

+

R

1

=

R

1

Błędy % pomiaru oporu R

1

i R

2

wynoszą:

2

2

1

1

R

006

,

0

±

=

dR

R

006

,

0

±

=

dR

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Znajdź przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R:

2

1

2

1

R

+

R

R

R

=

R

)

R

,

R

(

R

=

R

2

1

|

dR

||

R

R

|

+

|

dR

||

R

R

|

R

2

2

1

1

%

100

*

|

R

|

|

R

|

R

δ

=

)

R

+

R

(

R

R

-

)

R

+

R

(

R

=

R

R

2

2

1

2

1

2

1

2

1

=

)

R

+

R

(

R

R

R

+

R

R

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

)

R

+

R

(

R

2

1

1

2

1

2

1

=

)

R

+

R

(

R

R

-

)

R

+

R

(

R

=

R

R

2

2

1

2

1

2

1

1

2

=

)

R

+

R

(

R

R

R

R

+

R

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

)

R

+

R

(

R

R

2

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

R

006

,

0

)

R

+

R

(

R

+

R

006

,

0

)

R

+

R

(

R

006

,

0

)

R

+

R

(

R

R

+

006

,

0

)

R

+

R

(

R

R

R

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

+

006

,

0

)

R

+

R

(

R

R

R

2

2

1

2

2

1

006

,

0

)

R

+

R

(

R

R

R

2

2

1

1

1

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

z wz.:

2

1

2

1

R

+

R

R

R

=

R

)

R

+

R

(

R

=

R

R

2

1

2

1

+

006

,

0

)

R

+

R

(

R

)

R

+

R

(

R

2

2

1

2

2

1

006

,

0

)

R

+

R

(

R

)

R

+

R

(

R

2

2

1

1

2

1

R

+

R

R

R

006

,

0

+

R

+

R

R

R

006

,

0

2

1

1

2

1

2

R

+

R

R

R

006

,

0

+

R

R

006

,

0

2

1

1

2

)

R

+

R

(

)

R

+

R

(

R

006

,

0

2

1

1

2

R

006

,

0

%

6

,

0

006

,

0

R

R

006

,

0

R

δ

Odp. Przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R wynosi 0,6%.

PRZYKŁAD 4/12

Załóżmy, że średnicę 2r = 0,66 cm pręta stalowego zmierzono z dokładnością do 0,01
cm
, jego długość h = 53 cm z dokładnością do 0,1 cm. Dla liczby π

π

π

π przyjęto wartość

przybliżoną 3,14 z dokładnością do 0,005. Wyznacz błąd bezwzględny i względny
obliczenia objętości pręta.

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

2r = 0,66 cm

d(2r) = 0,01 cm

h = 53 cm
dh = 0,1 cm

π = 3,14
dπ = 0,005

r = 0,33 cm

dr = 0,005 cm

V(π,r,h) = πr

2

h

objętość stalowego pręta

V(3,14;0,33;53) = 18,12 cm

3

|

dh

|

*

|

h

V

|

+

|

dr

|

*

|

r

V

|

+

|

π

d

|

*

|

π

V

|

=

V

77

,

5

h

r

=

π

V

)

53

;

33

,

0

(

2

84

,

109

rh

π

2

=

r

V

)

53

;

33

,

0

(

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

34

,

0

r

π

=

h

V

)

53

;

33

,

0

(

2

|

dh

||

r

π

|

+

|

dr

||

rh

π

2

|

+

|

π

d

||

h

r

|

=

|

V

|

2

2

1

,

0

*

34

,

0

+

005

,

0

*

84

,

109

+

005

,

0

*

77

,

5

|

V

|

3

cm

61

,

0

%

4

,

3

%

100

*

12

,

18

61

,

0

V

δ

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

Odp. Błąd bezwzględny pomiaru objętości wynosi ± 0,61 cm

3

; błąd względny

przybliżenia objętości V ≈ 18,12 cm

3

wynosi 3,4%.

PRZYKŁAD 5/12

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

(

)

2

02

,

0

03

,

2

+

e

5

02

,

0

=

x

+

x

02

,

0

=

x

;

0

=

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

03

,

2

=

y

+

y

03

,

0

=

y

;

2

=

y

dy

=

y

;

dx

=

x

(

)

2

x

+

x

)

y

+

y

(

+

e

5

y

+

y

,

x

+

x

f

(

)

3

=

y

+

e

5

=

y

,

x

f

)

2

,

0

(

2

x

dy

y

f

+

dx

x

f

+

)

y

,

x

(

f

)

y

+

y

,

x

+

x

(

f

03

,

0

y

f

+

02

,

0

x

f

+

)

2

,

0

(

f

)

03

,

2

;

02

,

0

(

f

)

2

,

0

(

)

2

,

0

(

(

)

6

5

=

2

,

0

x

f

;

e

5

*

y

+

e

5

2

1

=

x

f

x

2

x

(

)

3

2

=

2

,

0

y

f

;

y

2

*

y

+

e

5

2

1

=

y

f

2

x

(

)

03

,

0

*

3

2

+

02

,

0

*

6

5

+

3

03

,

2

;

02

,

0

f

037

,

3

02

,

0

+

10

*

6

10

+

3

2

-

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Odp. Przybliżona wartość wyrażenia

(

)

2

02

,

0

03

,

2

+

e

5

wynosi 3,037.

PRZYKŁAD 6/12

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

(

)

03

,

3

01

,

2

01

,

2

=

x

+

x

01

,

0

=

x

;

2

=

x

03

,

3

=

y

+

y

03

,

0

=

y

;

3

=

y

dy

=

y

;

dx

=

x

(

)

(

)

03

,

3

y

+

y

)

01

,

2

(

x

+

x

y

+

y

,

x

+

x

f

(

)

8

=

x

=

y

,

x

f

)

3

,

2

(

y

(

)

(

)

y

y

f

+

x

x

f

+

y

,

x

f

y

+

y

,

x

+

x

f

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

03

,

0

y

f

+

01

,

0

x

f

+

)

3

,

2

(

f

)

03

,

3

;

01

,

2

(

f

)

3

,

2

(

)

3

,

2

(

(

)

12

=

3

,

2

x

f

;

yx

=

x

f

1

-

y

(

)

545

,

5

=

3

,

2

y

f

;

x

ln

x

=

y

f

y

(

)

03

,

0

*

545

,

5

+

01

,

0

*

12

+

8

03

,

3

;

01

,

2

f

286

,

8

166

,

0

+

12

,

0

+

8

PRZYKŁAD 7/12

Odp. Przybliżona wartość wyrażenia

wynosi 8,286.

(

)

03

,

3

01

,

2

Obliczyć błąd bezwzględny i względny jaki popełnia się przy wyznaczaniu objętości
prostopadłościanu o krawędziach:

1

,

0

±

1

,

4

=

x

+

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

1

,

0

±

2

,

3

=

y

+

y

2

,

0

±

4

,

8

=

z

+

z

xyz

=

)

z

,

y

,

x

(

V

=

V

(

)

2

,

110

=

4

,

8

;

2

,

3

;

1

,

4

V

z

z

V

+

y

y

V

+

x

x

V

=

V

88

,

26

=

x

V

;

yz

=

x

V

)

4

,

8

;

2

,

3

;

1

,

4

(

44

,

34

=

y

V

;

xz

=

y

V

)

4

,

8

;

2

,

3

;

1

,

4

(

12

,

13

=

z

V

;

xy

=

z

V

)

4

,

8

;

2

,

3

;

1

,

4

(

=

2

,

0

*

12

,

13

+

1

,

0

*

44

,

34

+

1

,

0

*

88

,

26

=

V

)

4

,

8

;

2

,

3

;

1

,

4

(

3

j

756

,

8

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Odp. Błąd bezwzględny wyznaczenia objętości wynosi ±8,756j

3

; błąd względny

obliczenia objętości, która jest równa

wynosi w przybliżeniu 8%.

PRZYKŁAD 8/12

%

8

%

9

,

7

=

%

100

*

2

,

110

756

,

8

=

V

δ

756

,

8

±

2

,

110

V

756

,

8

±

2

,

110

V

Podczas badania pewnych procesów adiabatycznych ciśnienie p gazu jest związane

z objętością V tak, że

, gdzie C, γγγγ to stałe doświadczalne.

Wykaż, że przybliżony błąd względny ciśnienia

przybliżenia błędu względnego objętości

γ

V

C

=

p

p

p

=

p

δ

jest proporcjonalny do

V

V

=

V

δ

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

γ

V

C

=

)

V

(

p

=

p

dV

)'

V

C

(

=

p

p

=

p

δ

γ

=

V

C

dV

)'

V

C

(

γ

γ

=

V

C

dV

V

'

V

*

C

V

'*

C

γ

γ

2

γ

γ

-

=

V

C

dV

V

V

γ

C

-

γ

γ

2

1

-

γ

=

dV

C

V

V

V

γ

C

γ

γ

2

1

γ

=

dV

V

V

γ

γ

1

γ

=

dV

V

V

γ

γ

1

γ

=

dV

V

γ

γ

1

γ

=

V

dV

γ

=

dV

V

γ

1

V

=

dV

=

p

p

=

p

δ

V

γδ

=

V

V

γ

Odp. Przybliżony błąd względny ciśnienia jest proporcjonalny do

przybliżenia błędu względnego objętości

p

p

=

p

δ

V

V

=

V

δ

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

RÓŻNICZKA ZUPEŁNA

Niech

)

y

,

x

(

f

=

u

dy

y

u

+

dx

x

u

=

du

)

y

,

x

(

f

=

u

- funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, y jeśli w tym punkcie istnieje
różniczka zupełna funkcji

PRZYKŁAD 9/12

w punkcie (3, -4)

Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji

2

2

y

+

x

=

)

y

,

x

(

f

dy

y

f

+

dx

x

f

=

)

y

,

x

(

df

5

3

=

y

+

x

x

=

x

2

y

+

x

2

1

=

x

)

4

-

,

3

(

f

2

2

2

2

5

4

-

=

y

+

x

y

=

y

2

y

+

x

2

1

=

y

)

-4

,

3

(

f

2

2

2

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji

Odp. Różniczka zupełna funkcji

wynosi

2

2

y

+

x

=

)

y

,

x

(

f

dy

5

4

-

dx

5

3

=

)

y

,

x

(

df

PRZYKŁAD 10/12

x

xy

=

)

y

,

x

(

z

dy

y

z

+

dx

x

z

=

)

y

,

x

(

dz

)

y

ln

x

+

1

(

y

=

y

ln

xy

+

y

=

y

x

x

+

y

*

x

x

=

x

z

x

x

x

x

x

1

-

x

2

1

-

x

x

x

y

x

=

xy

*

x

=

y

y

x

+

y

*

x

y

=

y

z

Odp. Różniczka zupełna funkcji

wynosi

x

xy

=

)

y

,

x

(

z

=

)

y

,

x

(

dz

dy

y

x

+

dx

)

y

ln

x

+

1

(

y

1

-

x

2

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 11/12

Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji

2

1

2

-

3

4t

-

s

+

r

=

)

t

,

s

,

r

(

F

dt

t

F

+

ds

s

F

+

dr

r

F

=

)

t

,

s

,

r

(

dF

2

r

3

=

r

F

3

3

-

s

2

-

=

-2s

=

s

F

t

2

-

=

-2t

=

t

F

2

1

-

Odp. Różniczka zupełna funkcji

wynosi

2

1

2

-

3

4t

-

s

+

r

=

)

t

,

s

,

r

(

F

dt

t

2

-

ds

s

2

-

r

d

r

3

=

)

t

,

s

,

r

(

dF

3

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 12/12

Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji

x

ye

=

)

y

,

x

(

z

dy

y

z

+

dx

x

z

=

)

y

,

x

(

dz

x

x

ye

=

)

1

(

ye

=

x

z

x

e

=

y

z

Odp. Różniczka zupełna funkcji

wynosi

x

ye

=

)

y

,

x

(

z

)

dy

+

ydx

(

e

=

dy

e

+

dx

ye

=

)

y

,

x

(

dz

x

x

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)

mm-j

background image

CAŁKOWANIE

Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania. Polega na znalezieniu funkcji
pierwotnej F(x), której pochodna w pewnym przedziale jest równa funkcji f(x):

( )

( )

C

+

x

F

=

dx

x

f

( )

(

)

( )

x

f

=

C

+

x

F

dx

d

CAŁKI NIEOZNACZONE

PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO

C

=

dx

0

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

C

+

x

=

dx

}

1

-

/{

R

n

,

C

+

x

1

+

n

1

=

dx

x

1

+

n

n

C

+

e

=

dx

e

x

x

}

0

/{

R

x

,

C

+

x

ln

=

x

dx

mm-j

background image

1}

/{

R

a

,

C

+

a

ln

a

=

dx

a

+

x

x

C

+

x

sin

=

xdx

cos

C

+

-cosx

=

xdx

sin

0

x

cos

,

C

+

tgx

=

dx

x

cos

1

2

0

x

sin

,

C

+

ctgx

-

=

dx

x

sin

1

2

C

+

-arcctgx

=

C

+

arctgx

=

dx

x

+

1

1

2

(

)

1,1

-

x

C,

+

-arccosx

=

C

+

x

arcsin

=

dx

x

-

1

1

2

WŁANOŚCI CAŁEK NIEOZNACZONYCH

( )

( )

(

)

=

dx

x

g

±

x

f

dx

)

x

(

f

±

dx

)

x

(

g

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

R

a

,

dx

)

x

(

f

a

=

dx

)

x

(

af

PRZYKŁAD 1/28

=

dx

x

5

4

=

dx

x

5

4

=

C

+

5

9

x

5

9

=

C

+

x

9

5

5

9

C

+

x

9

5

5

9

PRZYKŁAD 2/28

=

dx

x

x

2

=

dx

x

2

3

-

=

C

+

2

1

-

x

2

1

-

=

C

+

2x

-

2

1

-

C

+

x

2

-

2

PRZYKŁAD 3/28

=

dx

e

-x

=

dx

)

e

1

(

x

=

C

+

e

1

ln

)

e

1

(

x

=

C

+

)

e

ln(

e

1

-

-x

=

C

+

lne

-

e

-x

C

+

e

-

-x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 4/28

(

)

=

dx

3

-

x

2

+

x

3

2

+

dx

x

3

2

-

xdx

2

=

dx

3

+

3

x

3

3

-

2

x

2

2

=

C

+

3x

+

x

3

-

x

2

C

+

x

3

PRZYKŁAD 5/28

=

dx

6

2

+

3

x

x

x

=

dx

)

6

2

+

6

3

(

x

x

x

x

=

dx

]

)

3

1

(

+

)

2

1

[(

x

x

+

)

2

1

ln(

)

2

1

(

x

=

C

+

)

3

1

ln(

)

3

1

(

x

-

2

ln

2

1

-

x

)

2

ln(

)

3

ln(

C

+

3

ln

3

1

x

PRZYKŁAD 6/28

=

xdx

5

=

xdx

5

C

+

2

x

5

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 7/28

=

dx

)

1

+

x

+

x

(

2

+

dx

x

2

+

xdx

=

dx

+

3

x

3

+

2

x

2

C

+

x

PRZYKŁAD 8/28

=

xdx

sin

3

=

xdx

sin

3

C

+

x

cos

3

-

PRZYKŁAD 9/28

=

x

2

dx

=

x

dx

2

1

C

+

|

x

|

ln

2

1

PRZYKŁAD 10/28

=

x

cos

dx

3

2

=

x

cos

dx

3

2

C

+

tgx

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 11/28

=

dx

3

+

x

9

-

x

=

dx

3

+

x

)

3

+

x

)(

3

-

x

(

=

3)dx

-

x

(

dx

x

2

1

=

dx

3

-

x

3

2

2

3

=

C

+

3x

2

3

x

3

2

C

+

x

3

PRZYKŁAD 12/28

=

dx

x

)

x

3

-

4

(

2

2

=

dx

x

x

9

+

x

24

-

16

2

-

dx

x

1

16

2

+

dx

x

24

2

3

-

=

dx

x

1

9

1

x

16

-

+

2

1

x

24

2

1

=

C

+

|

x

|

ln

9

+

x

16

-

+

48x

2

1

-

C

+

|

x

|

ln

9

PRZYKŁAD 13/28

=

dx

)

x

sin

3

-

x

cos

2

(

2

2

-

dx

x

cos

1

2

2

=

dx

x

sin

1

3

2

+

tgx

2

C

+

ctgx

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 14/28

=

dx

x

+

1

x

2

2

=

dx

x

+

1

1

-

1

+

x

2

2

dx

=

dx

x

+

1

1

2

x

C

+

arctgx

PRZYKŁAD 15/28

=

xdx

tg

2

=

dx

x

cos

x

sin

2

2

=

dx

x

cos

x

cos

-

1

2

2

=

dx

-

dx

x

cos

1

2

C

+

x

-

tgx

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

lub

Jeśli u, V są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:

[

]

dx

'

Vu

-

uV

=

dx

'

uV

lub

Vdu

]

uV

[

=

udV

lub

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 16/28

=

xdx

sin

x

x

=

u

1

=

'

u

x

sin

=

'

V

x

cos

-

=

xdx

sin

=

V

=

xdx

sin

x

-

xcosx

-

(

)

=

dx

cosx

-

+

xcosx

-

C

+

sinx

PRZYKŁAD 17/28

=

dx

5)e

-

x

2

(

x

5

-

x

2

=

u

2

=

'

u

x

e

=

'

V

x

x

e

=

dx

e

=

V

=

dx

5)e

-

x

2

(

x

-

5)e

-

(2x

x

=

dx

e

2

x

-

5)e

-

(2x

x

=

C

+

2e

x

C

+

7)

-

(2x

e

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 18/28

=

xdx

ln

x

ln

=

u

x

1

=

'

u

1

=

'

V

x

=

dx

1

=

V

=

xdx

ln

-

x

ln

x

=

dx

x

x

-

x

ln

x

=

C

+

x

C

+

)

1

-

x

(ln

x

PRZYKŁAD 19/28

=

x

xdx

ln

3

=

xdx

ln

x

3

x

ln

=

u

x

1

=

'

u

3

-

x

=

'

V

2

-

x

=

dx

x

=

V

-2

3

=

x

xdx

ln

3

x

ln

x

2

1

-

2

-

=

dx

)

2

x

(

x

1

2

+

x

ln

x

2

1

-

2

-

=

dx

x

1

2

1

3

+

x

ln

x

2

1

-

2

-

=

C

+

2

-

x

2

1

2

-

-

2x

lnx

-

2

C

+

4x

1

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 20/28

=

dx

)

2

-

x

)(

1

-

x

(

1

-

x

=

u

1

=

'

u

2)

-

x

(

=

'

V

x

2

-

2

x

=

dx

)

2

x

(

=

V

2

=

dx

)

2

-

x

)(

1

-

x

(

-

)

x

2

-

2

x

)(

1

-

x

(

2

=

dx

)

x

2

-

2

x

(

2

-

)

x

2

-

2

x

)(

1

-

x

(

2

=

C

+

)

2

x

2

3

x

2

1

(

2

3

-

)

x

2

-

2

x

)(

1

-

x

(

2

+

6

x

3

C

+

x

2

2

3

2

PRZYKŁAD 21/28

=

arctgxdx

arctgx

=

u

2

x

+

1

1

=

'

u

1

=

'

g

x

=

dx

1

=

g

=

arctgxdx

-

xarctgx

=

dx

x

+

1

x

2

-

xarctgx

=

dx

x

+

1

x

2

2

1

2

-

xarctgx

(

)

C

+

x

+

1

ln

2

1

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 22/28

=

xdx

cos

x

2

2

x

=

u

x

2

=

'

u

x

cos

=

'

V

x

sin

=

xdx

cos

=

V

=

xdx

cos

x

2

-

x

sin

x

2

=

xsinxdx

2

x

=

g

1

=

'

g

x

sin

=

'

f

cosx

-

=

xdx

sin

=

f

=

xdx

cos

x

2

-

x

sin

x

2

x

cos

x

(

2

=

)

dx

)

x

cos

(

-

x

sin

x

2

+

x

cos

x

(

2

=

)

xdx

cos

-

x

sin

x

2

+

x

cos

x

(

2

=

C

+

)

x

sin

x

cos

x

2

+

x

sin

x

2

C

+

x

sin

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE (CAŁKOWANIE PRZEZ ZAMIANĘ
ZMIENNYCH)

Jeżeli dla a

x

b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz A

g(x)

B,

a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale [A, B], to

du

)

u

(

f

=

dx

)

x

(

'

g

))

x

(

g

(

f

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić
u = g(x)

PRZYKŁAD 23/28

=

x

+

8

dx

x

3

2

3

x

+

8

=

u

2

x

3

=

dx

du

du

=

dx

x

3

2

3

:

/

du

3

1

=

dx

x

2

=

u

du

3

1

=

C

+

|

u

|

ln

3

1

C

+

|

x

+

8

|

ln

3

1

3

u

1

=

du

3

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 24/28

=

dx

)

2

+

x

(

100

2

+

x

=

t

1

=

dx

dt

dt

=

dx

=

C

+

t

101

1

101

C

+

)

2

+

x

(

101

1

101

PRZYKŁAD 25/28

100

t

=

dt

=

xdx

3

sin

x

3

=

u

3

=

dx

du

du

=

dx

3

3

:

/

du

3

1

=

dx

=

udu

sin

3

1

=

C

+

u

cos

3

1

-

C

+

x

3

cos

3

1

-

u

sin

=

)

du

3

1

(

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 26/28

=

dx

x

2

-

1

x

2x

-

1

=

t

2

=

dx

dt

dt

=

dx

2

)

2

(

:

/

2

dt

=

dx

2x

-

1

=

t

x

2

=

1

t

)

2

(

:

/

x

=

2

t

1

t

1

2

=

dx

x

2

-

1

x

=

dt

t

)

t

1

(

4

1

2

1

=

)

dt

t

dt

t

(

4

1

2

3

2

1

=

C

+

)

t

5

2

t

3

2

(

4

1

2

5

2

3

=

C

+

t

10

1

+

t

6

1

-

2

5

2

3

+

2x)

-

1

(

6

1

-

3

C

+

2x)

-

1

(

10

1

5

2

t

1

2

1

t

=

)

2

dt

(

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 27/28

=

)

3

-

x

(

dx

5

3

-

x

=

t

1

=

dx

dt

dt

=

dx

=

)

3

-

x

(

dx

5

=

dt

t

5

=

C

+

t

4

1

4

C

+

3)

-

x

(

4

1

-

4

-

CAŁKI OZNACZONE
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ

5

t

1

=

dt

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale <a, b>,
tzn. jeżeli F’(x) = f(x) to całka:

ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ

( )

( )

[

]

=

C

+

x

F

=

dx

x

f

b

a

b

a

( )

( )

(

)

( )

( )

a

F

-

b

F

=

C

+

a

F

-

C

+

b

F

-wzór Newtona – Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; <a, b> - przedział
całkowania

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 28/28

3

2

2

=

dx

x

3

=

]

C

+

3

x

3

[

3

2

3

=

]

C

+

x

[

3

2

3

-

C

+

3

3

19

=

)

C

+

2

(

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)

mm-j

background image

( )

( )

( )

(

)

( )

x

f

=

C

+

x

F

dx

d

C

+

x

F

=

dx

x

f

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale <a, b>,
tzn. jeżeli F’(x) = f(x) to całka:

CAŁKI OZNACZONE
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ

( )

( )

[

]

=

C

+

x

F

=

dx

x

f

b

a

b

a

( )

( )

(

)

( )

( )

a

F

-

b

F

=

C

+

a

F

-

C

+

b

F

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

WŁASNOŚCI:

( )

=

dx

x

kf

b

a

( )

b

a

dx

x

f

k

( )

( )

(

)

b

a

=

dx

x

g

±

x

f

( )

( )

b

a

b

a

dx

x

g

±

dx

x

f

-wzór Newtona – Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; <a, b> - przedział
całkowania

mm-j

background image

Dla trzech dowolnych liczb a, b, c (a < c < b) z przedziału ciągłości funkcji
podcałkowej
f(x) zachodzi związek:

( )

b

a

=

dx

x

f

( )

a

b

dx

x

f

-

( )

a

a

0

=

dx

x

f

( )

b

a

=

dx

x

f

( )

( )

c

a

b

c

dx

x

f

+

dx

x

f

PRZYKŁAD 1/15

=

dx

x

2

0

2

=

]

C

+

3

x

[

2

0

3

=

)

C

+

0

(

-

C

+

3

8

3

8

PRZYKŁAD 2/15

3

2

2

=

dx

x

3

=

]

3

x

3

[

3

2

3

=

]

C

+

x

[

3

2

3

19

=

)

C

2

(

-

C

+

3

3

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 3/15

2

π

0

=

xdx

cos

[

] =

C

+

x

sin

2

π

0

1

=

)

C

+

0

(

-

C

+

1

PRZYKŁAD 4/15

2

1

3

2

3

=

dx

)

x

1

+

x

(

=

dx

x

+

dx

x

2

1

3

/

2

2

1

3

=

]

C

+

3

1

x

+

4

x

[

2

1

3

1

4

=

)

C

+

3

+

4

1

(

-

C

+

2

3

+

4

3

3

2

3

+

4

3

=

PRZYKŁAD 5/15

1

1

2

=

dx

)

x

1

(

=

]

C

+

3

x

x

[

1

1

3

=

)

C

+

3

)

1

(

1

(

C

+

3

1

1

3

3

4

=

)

3

2

(

3

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

Jeśli u(x) i V(X) mają pochodne w przedziale <a, b>, to:

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI:

b

a

=

dx

'

UV

[

]

b

a

b

a

dx

'

VU

-

UV

PRZYKŁAD 6/15

=

dx

x

ln

x

2

1

x

ln

=

)

x

(

f

x

1

=

)

x

(

'

f

x

=

)

x

(

'

g

2

x

=

dx

x

=

)

x

(

g

2

=

dx

x

ln

x

2

1

=

dx

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)]

x

(

g

)

x

(

f

[

2

1

2

1

]

x

ln

2

x

[

2

1

2

=

dx

x

x

1

2

1

2

1

2

=

dx

x

2

1

]

x

ln

2

x

[

2

1

2

1

2

=

]

2

x

2

1

-

x

ln

2

x

[

2

1

2

2

-

C

+

4

4

-

2

ln

2

4

=

)

4

1

-

1

ln

2

1

(

=

C

4

1

+

C

+

1

-

2

ln

2

4

3

-

4

ln

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 7/15

(

)

=

xdx

cos

5

-

x

2

π

0

5

-

x

=

)

x

(

f

1

=

)

x

(

'

f

x

cos

=

)

x

(

'

g

x

sin

=

xdx

cos

=

)

x

(

g

(

)

2

π

0

=

xdx

cos

5

-

x

2

π

0

2

π

0

=

dx

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)]

x

(

g

)

x

(

f

[

2

π

0

]

x

sin

)

5

x

[(

=

xdx

sin

2

π

0

π

π

π

(

)

[

]

=

C

+

x

cos

+

x

sin

5

-

x

2

π

0

C

+

2

π

cos

+

2

π

sin

)

5

-

2

π

(

=

)

C

+

0

cos

+

0

sin

5

(

6

2

π

=

1

5

2

π

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 8/15

=

dx

x

ln

e

1

x

ln

=

)

x

(

f

1

=

)

x

(

'

g

x

1

=

)

x

(

'

f

x

=

dx

1

=

)

x

(

g

=

dx

x

ln

e

1

e

1

e

1

=

dx

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)]

x

(

g

)

x

(

f

[

=

xdx

x

1

]

x

ln

x

[

e

1

e

1

=

]

C

+

x

x

ln

x

[

e

1

C

+

e

e

ln

e

=

)

C

+

1

1

ln

1

(

1

=

1

+

e

e

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:

Jeśli g’(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale <a, b>, a f(u) funkcją
ciągłą w przedziale <g(a), g(b)>, to zachodzi następujący związek:

=

dx

)

x

(

'

g

))

x

(

g

(

f

b

a

du

)

u

(

f

)

b

(

g

)

a

(

g

PRZYKŁAD 9/15

=

x

3

+

1

xdx

5

0

x

3

+

1

=

t

=

x

3

+

1

2

3

=

dx

dt

t

2

3

tdt

2

=

dx

3

3

tdt

2

=

dx

x

3

+

1

=

t

2

/

x

3

+

1

=

t

2

x

3

=

1

t

2

3

1

-

t

=

x

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

0

=

x

1

1

=

1

=

t

1

5

=

x

2

4

=

16

=

t

2

4

1

2

=

t

3

tdt

2

3

1

t

(

)

4

1

2

=

dt

1

-

t

9

2

=

=

]

C

+

t

3

t

[

9

2

4

1

3

=

)]

C

+

1

3

1

(

C

+

4

3

64

[

9

2

4

=

)

5

3

63

(

9

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 10/15

=

dx

1

+

e

2

e

1

0

x

x

1

+

e

2

=

t

x

x

e

2

=

dx

dt

dx

e

2

=

dt

x

2

dt

=

dx

e

x

0

=

x

1

3

=

t

1

1

=

x

2

1

+

e

2

=

t

2

=

dx

1

+

e

2

e

1

0

x

x

=

t

2

dt

1

+

e

2

3

=

t

dt

2

1

1

+

e

2

3

=

|]

t

|

[ln

2

1

1

+

e

2

3

=

)]

C

+

3

(ln

C

+

)

1

+

e

2

[ln(

2

1

3

ln

2

1

)

1

+

e

2

ln(

2

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 11/15

=

dx

x

1

1

3

x

1

=

t

1

=

dx

dt

dx

=

dt

)

1

(

/*

dt

=

dx

3

=

x

1

4

=

t

1

1

=

x

2

0

=

t

2

=

dx

x

1

1

3

0

4

=

)

dt

(

t

=

)

dt

(

t

4

0

=

dt

t

4

0

2

1

=

]

C

+

t

3

2

[

4

0

2

3

=

C

C

+

)

2

(

3

2

2

/

3

2

3

16

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 12/15

6

π

0

=

xdx

3

cos

x

3

=

t

3

=

dx

dt

dx

/*

dt

=

dx

3

3

:

/

3

dt

=

dx

0

=

x

1

0

=

t

1

6

π

=

x

2

2

π

=

t

2

6

π

0

=

xdx

3

cos

=

3

dt

t

cos

2

/

π

0

=

dt

t

cos

3

1

2

π

0

=

]

C

+

t

[sin

3

1

2

π

0

=

)]

C

+

0

(sin

C

+

2

π

[sin

3

1

3

1

=

)

0

1

(

3

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 13/15

π

3

0

=

dx

3

x

sin

x

3

1

=

t

3

1

=

dx

dt

dx

=

dt

3

π

3

0

=

dx

3

x

sin

=

tdt

sin

3

=

]

C

+

t

[cos

3

=

]

C

+

3

x

[cos

3

π

3

0

=

)]

C

+

0

(cos

)

C

+

π

[(cos

3

6

=

)

1

1

(

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 14/15

=

dx

)

x

2

1

(

1

2

1

4

x

2

1

=

t

2

=

dx

dt

dx

/*

dt

=

dx

2

dt

2

1

=

dx

3

=

dx

)

x

2

1

(

1

2

1

4

=

t

dt

2

1

4

=

dt

t

2

1

4

=

C

+

3

t

2

1

3

=

]

C

+

)

x

2

1

[(

6

1

2

1

3

=

]}

C

+

)

1

[(

C

+

)

3

{(

6

1

3

3

=

)

)

1

(

3

(

6

1

3

3

=

)

1

+

27

1

(

6

1

81

13

=

27

26

6

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 15/15

4

0

=

1

+

x

2

xdx

1

+

x

2

=

t

2

1

t

=

x

0

=

x

1

1

=

t

1

4

=

x

2

9

=

t

2

2

=

dx

dt

dt

=

dx

2

dt

2

1

=

dx

4

0

=

1

+

x

2

xdx

=

t

dt

2

1

2

1

t

9

1

2

/

1

=

dt

t

)

1

t

(

4

1

9

1

2

/

1

9

1

2

1

2

1

=

dt

)

t

t

(

4

1

=

)]

C

+

t

2

t

3

2

[(

4

1

9

1

2

1

2

3

C

+

)

3

(

2

)

3

(

3

2

[

4

1

2

1

2

2

3

2

=

)]

C

+

2

3

2

(

=

)

3

4

+

6

27

3

2

(

4

1

=

)

3

4

+

6

18

(

4

1

3

10

=

3

40

4

1

2

:

/

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)

mm-j

background image

CAŁKI OZNACZONE

GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA CAŁKI OZNACZONEJ

( )

( )

( )

(

)

( )

x

f

=

C

+

x

F

dx

d

C

+

x

F

=

dx

x

f

( )

( )

[

]

( )

( )

(

)

( )

( )

a

F

-

b

F

=

C

+

a

F

-

C

+

b

F

=

C

+

x

F

=

dx

x

f

b

a

b

a

Całka oznaczona z funkcji f(x) w przedziale <a, b> w interpretacji geometrycznej jest

polem figury S ograniczonej wykresem funkcji f(x), osią odciętych oraz prostymi a i b.

OBLICZANIE PÓL OBSZARÓW PŁASKICH

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

( )

(

)

( )

b

a

b

a

dx

x

f

=

dx

0

-

x

f

=

S

mm-j

background image

Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x

2

– 4x + 3, prostą x = 4 oraz

osiami OX i OY

PRZYKŁAD 1/6

Miejsca zerowe:

0

=

3

+

x

4

x

2

4

=

2

=

Wierzchołek:

3

=

x

,

1

=

x

2

1

)

a

4

,

a

2

b

(

=

W

)

1

,

2

(

=

W

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Współrzędne punktu przecięcia z OY:

3

=

)

0

(

y

)

3

,

0

(

A

3

2

1

S

+

S

+

S

=

S

=

)

x

3

+

2

x

4

3

x

(

=

dx

)

0

3

+

x

4

x

(

=

S

1

0

1

0

2

3

2

1

2

j

3

1

1

=

)

3

+

2

3

1

(

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

=

dx

)

3

x

4

+

x

(

=

dx

)]

3

+

x

4

x

(

0

[

=

S

3

1

3

1

2

2

2

=

)

x

3

2

x

4

+

3

x

(

3

1

2

3

=

)

3

2

+

3

1

(

)

9

18

+

9

(

2

2

j

3

1

1

=

j

3

4

=

)

3

4

(

4

3

4

3

2

3

2

3

3

64

(

=

)

x

3

+

2

x

4

3

x

(

=

dx

)

0

3

+

x

4

x

(

=

S

=

)

9

+

18

9

(

)

12

+

32

=

20

3

1

21

=

20

3

64

2

2

j

3

1

1

=

j

3

4

2

j

4

=

3

1

1

*

3

=

S

PRZYKŁAD 2/6

Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x

2

+1, prostymi x = -1, x = 1 oraz

OX

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

1

1

-

1

1

-

1

1

-

3

2

1

1

-

2

=

]

C

+

x

+

3

x

[

=

1dx

+

dx

x

=

0]dx

-

1)

+

[(x

=

)

C

+

1

-

3

1

(-

-

C

+

1

+

3

1

2

j

3

8

=

3

4

+

3

4

PRZYKŁAD 3/6

Obliczyć pole figury ograniczonej parabolą y

1

= x

2

– 1 i prostą y

2

= 2x + 2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Miejsca zerowe dla y

1

= x

2

- 1:

Wierzchołek:

0

=

1

x

2

1

=

x

2

1

=

x

;

1

=

x

2

1

)

a

4

,

a

2

b

(

=

W

1

)

1

,

0

(

Współrzędne punktu przecięcia z OY:

Miejsca zerowe dla y

2

= 2x + 2:

1

=

)

0

(

y

1

)

1

,

0

(

K

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Współrzędne punktu przecięcia z OY:

0

=

2

+

x

2

1

=

x

3

2

=

)

0

(

y

2

)

2

,

0

(

L

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Współrzędne punktów A i B:

2

1

y

=

y

2

+

x

2

=

1

x

2

0

=

3

x

2

x

2

16

=

12

+

4

=

4

=

3

=

x

;

1

=

x

2

1

0

=

1

)

x

(

=

y

2

1

1

)

0

,

1

(

A

8

=

2

+

x

2

=

y

2

2

)

8

,

3

(

B

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji y = lnx, prostymi x = e, y = 0

Pole obszaru ograniczonego parabolą y

1

i prostą y

2

:

3

1

2

3

1

2

=

dx

)

1

+

x

2

+

x

2

(

=

dx

)]

1

x

(

)

2

+

x

2

[(

=

P

3

1

2

=

dx

)

3

+

x

2

+

x

(

=

]

x

3

+

2

x

2

+

x

3

1

[

3

1

2

3

2

j

3

2

10

=

3

2

1

+

9

=

)

3

1

+

3

1

(

9

+

9

+

9

PRZYKŁAD 4/6

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

ZASTOSOWANIE CAŁEK DO OBLICZEŃ FIZYKO-CHEMICZNYCH

=

dx

)

0

x

(ln

=

S

e

1

e

1

=

xdx

ln

x

ln

=

)

x

(

u

x

1

=

)

x

(

'

u

dx

=

)

x

(

'

V

x

=

dx

=

V

e

1

|

x

ln

x

=

=

dx

x

1

x

e

1

=

|

)

1

x

(ln

x

=

|

)

x

x

ln

x

(

=

e

1

e

1

2

j

1

=

1

+

)

1

1

(

e

=

)

1

1

(ln

)

1

e

(ln

e

Oblicz ilość ciepła potrzebną do ogrzania masy m gazu od temperatury t

1

do t

2

. Ciepło

właściwe C = C

0

+ at + bt

2

PRZYKŁAD 5/6

Cm

=

dt

dQ

)

bt

+

at

+

C

(

m

=

dt

dQ

2

0

dt

/*

dt

)

bt

+

at

+

C

(

m

=

dQ

2

0

/*

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

K

mol

J

dt

)

bt

+

at

+

C

(

m

=

dQ

2

0

=

dt

)

bt

+

at

+

m(C

=

Q

2

1

t

t

2

0

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

2

0

)

dt

t

b

+

tdt

a

+

dt

C

(

m

=

]

C

)

C

+

t

3

b

+

t

2

a

+

t

C

[(

m

=

Q

3

2

2

0

2

1

t

t

3

2

0

)

C

+

3

t

b

+

2

t

a

+

t

C

(

m

=

Q

3

2

2

0

t

3

b

+

t

2

a

+

t

C

(

m

PRZYKŁAD 6/6

Oblicz zmianę entropii ∆

S. i entalpii ∆

H podczas ogrzewania m = 200 g pewnego

związku o masie molowej M = 72 g/mol od T

1

= 273 K do T

2

= 523 K, jeśli:

K

mol

J

T

11

,

0

T

3

,

14

+

10

*

02

,

46

=

C

2

3

p

2

1

T

T

p

T

dT

C

n

=

S

2

1

T

T

p

dT

C

n

=

H

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

Dane:

Szukane:

K

mol

J

T

11

,

0

T

3

,

14

+

10

*

02

,

46

=

C

2

3

p

2

1

T

T

p

T

dT

C

n

=

S

2

1

T

T

p

dT

C

n

=

H

8

,

2

=

72

200

=

M

m

=

n

]

mol

=

mol

g

g

[

mola

8

,

2

=

n

m = 200 g
T

1

= 273 K

T

2

= 523 K

M = 72 g/mol

mol

2

1

T

T

p

T

dT

C

n

=

S

=

T

dT

)

T

11

,

0

T

3

,

14

+

10

*

02

,

46

(

8

,

2

=

S

523

273

2

3

523

273

3

+

T

dT

10

*

02

,

46

[

8

,

2

=

]

T

dT

T

11

,

0

T

dT

T

3

,

14

523

273

523

273

2

=

]

2

T

11

,

0

T

3

,

14

+

|

T

|

ln

10

*

02

,

46

[

8

,

2

523

273

2

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

2

3

523

2

1

*

11

,

0

523

*

3

,

14

+

523

ln

10

*

02

,

46

[

8

,

2

=

+

273

ln

10

*

02

,

46

(

3

=

)]

273

2

1

*

11

,

0

273

*

3

,

14

2

+

)

273

ln

523

(ln

10

*

02

,

46

[

8

,

2

3

)

273

523

(

3

,

14

=

)]

273

523

(

2

1

11

,

0

2

2

250

*

3

,

14

+

273

523

ln

10

*

02

,

46

(

8

,

2

3

=

)

10

*

5

,

99

*

11

,

0

3

3

3

3

3

10

*

14

,

63

=

)

10

*

94

,

10

10

*

57

,

3

+

10

*

92

,

29

(

8

,

2

]

K

J

[

=

]

K

mol

J

mol

[

=

]

S

[

K

kJ

14

,

63

=

K

J

10

*

14

,

63

=

S

3

2

1

T

T

p

dT

C

n

=

H

=

dT

)

T

11

,

0

T

3

,

14

+

10

*

02

,

46

(

8

,

2

=

H

523

273

2

3

523

273

3

+

dT

10

*

02

,

46

(

8

,

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

523

273

523

273

2

=

)

dT

T

11

,

0

TdT

3

,

14

=

]

3

T

11

,

0

2

T

3

,

14

+

T

10

*

02

,

46

[

8

,

2

523

273

3

2

3

)

273

523

(

2

1

3

,

14

+

)

273

523

(

10

*

02

,

46

[

8

,

2

2

2

3

=

)]

273

523

(

3

1

11

,

0

3

3

=

)

10

*

50

,

4

10

*

42

,

1

+

10

*

5

,

11

(

8

,

2

6

6

6

6

10

*

58

,

23

]

J

[

=

]

K

K

mol

J

mol

[

=

]

H

[

kJ

10

*

58

,

23

=

J

10

*

58

,

23

=

H

3

6

MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)

mm-j

background image

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

DEFINICJA 1

Jeśli w danym równaniu występuje pochodna pierwszego rzędu niewiadomej funkcji,
a nie występują pochodne wyższych rzędów tej funkcji, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym pierwszego rzędu y’=f(x,y), gdzie f(x,y) jest pewną
funkcją dwóch zmiennych, a litera y oznacza funkcję niewiadomą.

DEFINICJA 2

Jeśli w danym równaniu występuje pochodna drugiego rzędu funkcji niewiadomej,
a nie występują pochodne wyższych rzędów, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym drugiego rzędu y’’=f(x,y,y’), gdzie f(x,y,y’) jest
pewną funkcją trzech zmiennych, a litera y oznacza funkcję niewiadomą.

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

DEFINICJA 3

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym występują
pochodne lub różniczki funkcji niewiadomej jednej zmiennej niezależnej.

mm-j

background image

Rzędem równania różniczkowego nazywamy liczbę równą rzędowi najwyższej
pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu.

Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu:

xy

2

=

'

y

xy

2

=

dx

dy

y

+

x

=

dx

dy

y

4

y

+

x

=

'

yy

4

Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu:

x

sin

=

y

+

'

'

y

x

sin

=

y

+

dx

y

d

2

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Wykres

funkcji

będącej

rozwiązaniem

równania

różniczkowego

równania

różniczkowego

zwyczajnego

nazywa

się

krzywą

całkową

równania

różniczkowego.

Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych trzeciego rzędu:

x

=

'

'

y

2

-

'

'

'

yy

x

=

dx

y

d

2

-

dx

y

d

y

2

2

3

3

różniczkowego.

Aby rozwiązać równanie różniczkowe y’ = 2x należy znaleźć wszystkie funkcje

różniczkowalne, które to równanie spełniają (o pochodnej równej 2x).

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego F(x, y, y’, _ , y

n

) = 0 w

przedziale I nazywamy każde rozwiązanie, które można otrzymać z rozwiązania
ogólnego danego równania przez odpowiedni wybór stałej dowolnej.

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego n – tego rzędu nazywamy
rozwiązanie zawierające n stałych dowolnych istotnych.

R. r I-go rzędu o zmiennych rozdzielonych

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

)

y

(

g

)

x

(

f

=

'

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 1/10

3

2

y

x

=

'

y

3

2

y

x

=

dx

dy

dx

/*

dx

y

x

=

dy

3

2

3

2

y

:

/

xdx

=

y

dy

3

2

/*

xdx

=

dy

y

3

2

-

y

3

1

rozwiązanie równania wyrażone w sposób uwikłany, rozwiązanie
ogólne

3

C

+

6

x

=

y

1

2

3

1

rozwiązanie równania wyrażone w sposób jawny (C = C

1

/3),

rozwiązanie ogólne

xdx

=

dy

3

1

y

3

1

1

2

3

1

C

+

2

x

=

y

3

3

:

/

1

2

3

1

C

+

2

x

=

y

3

3

2

)

C

+

6

x

(

=

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Znaleźć krzywą całkową równania:

przechodzącą przez punkt (3,2)

PRZYKŁAD 2/10

x

y

=

'

y

x

y

=

dx

dy

dx

/*

dx

x

y

=

dy

y

:

/

x

dx

=

y

dy

/*

x

dx

=

y

dy

=

|

y

|

ln

C

+

|

x

|

ln

lub

gdzie C = lnD

Krzywa całkowa przechodząca przez punkt (3,2) ma równanie:

=

|

y

|

ln

D

ln

+

|

x

|

ln

|

xD

|

ln

=

|

y

|

ln

xD

=

y

lub

D

-x

=

y

lub

lub

2 = 3D (D = 2/3)

lub

2 = - 3D (D = -2/3)

x

3

2

=

y

,

x

3

2

=

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

dm = -kmdt - równanie różniczkowe charakteryzujące rozpad pierwiastka
promieniotwórczego w czasie

(m – masa, t – czas, k – dodatni współczynnik

proporcjonalności charakteryzujący zdolność promieniotwórczą danego pierwiastka)

PRZYKŁAD 3/10

kmdt

-

=

dm

m

:

/

kdt

=

m

dm

/*

kdt

=

m

dm

dt

-k

=

m

dm

1

C

+

kt

=

m

ln

gdzie lnC = C

1

- rozwiązanie ogólne

lnC

+

-kt

=

m

ln

C

ln

+

kt

=

m

log

e

C

ln

+

kt

-

e

=

m

C

ln

-kt

e

e

=

m

C

=

e

=

e

C

log

C

ln

e

-kt

Ce

=

m

w chwili t = 0

m

0

= C

-kt

0

e

m

=

m

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 4/10

dt

/*

dt

kc

=

dc

2

2

c

:

/

2

kc

-

=

dt

dc

-kdt

=

c

dc

2

/*

kdt

=

c

dc

2

dt

-k

=

dc

c

-2

w chwili t = 0

zatem

=

c

1

-

1

C

+

kt

-

=

c

1

-

0

1

C

=

c

1

-

0

C

1

kt

-

)

1

(

/*

0

c

1

+

kt

=

c

1

kt

=

c

1

-

c

1

0

=

c

c

c

-

c

0

0

kt

=

k

c

c

c

-

c

t

1

0

0

C

C

/*

0

=

C

C

0

C

ktC

0

C

tC

:

/

0

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Całką ogólną równania różniczkowego x + yy’ = 0 jest całka x

2

+ y

2

= C. Znaleźć

całkę szczególną równania, które spełnia warunek y(-3) = 4 (warunek, aby krzywa
całkowa równania x + yy’ = 0 przechodziła przez pkt. A(-3, 4)).

PRZYKŁAD 5/10

C

=

4

+

)

3

(

2

2

C

=

y

+

x

2

2

4

=

y

;

3

=

x

25

=

y

+

x

2

2

Warunek, aby krzywa całkowa tego równania przechodząca przez pkt. A(-3, 4),
nazywamy warunkiem początkowym.

- całka szczególna

C

=

16

+

9

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Całka ogólna równania Vdu – tgudV = 0 ma postać V = csinu. Znaleźć całkę
szczególną wiedząc, że:

warunek początkowy

PRZYKŁAD 6/10

2

1

=

)

6

π

(

V

2

1

=

V

6

π

=

u

u

sin

c

=

V

6

π

sin

c

=

2

1

2

1

c

=

2

1

2

/*

1

=

c

Całka szczególna równania Vdu – tgudV = 0 ma postać V = - sinu

Znaleźć całkę szczególną równania y’e

-x

= x – 1 dla warunku początkowego:

PRZYKŁAD 7/10

e

=

)

1

(

y

1

=

x

e

=

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

1

x

=

e

'

y

x

1

x

=

e

dx

dy

x

dx

/*

dx

)

1

x

(

=

dye

x

x

e

:

/

x

e

dx

)

1

x

(

=

dy

dx

e

)

1

x

(

=

dy

x

/*

dx

e

)

1

x

(

=

dy

x

=

dx

e

)

1

x

(

x

1

x

=

u

1

=

'

u

x

e

=

'

V

dx

e

=

V

x

x

e

)

1

x

(

=

=

dx

e

x

=

C

+

e

e

)

1

x

(

x

x

C

+

)

2

x

(

e

x

dx

e

)

1

x

(

=

dy

x

C

+

)

2

x

(

e

=

y

x

e

=

)

1

(

y

C

+

e

=

e

C

=

e

+

e

0

=

C

)

2

x

(

e

=

y

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Wykazać, że funkcja y = e

– 5x

jest całką równania y’’ + 5y’ = 0

PRZYKŁAD 8/10

=

'

y

x

5

e

5

=

)'

x

5

(

e

x

5

=

)

5

(

e

x

5

x

5

x

5

x

5

x

5

e

25

=

)

e

5

(

5

=

)'

e

(

5

=

)'

e

5

(

=

'

'

y

0

=

)

e

5

(

5

+

e

25

x

5

x

5

Funkcja y = e

– 5x

jest całką równania y’’ + 5y’ = 0

PRZYKŁAD 9/10

0

=

kp

+

V

dV

dp

Dane jest równanie:

Wyznacz równanie adiabaty (związek między p a V).

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

kp

=

V

dV

dp

dV

/*

kpdV

=

dpV

p

:

/

kdV

=

p

dpV

V

:

/

V

dV

k

=

p

dp

/*

V

dV

k

=

p

dp

V

dV

k

=

p

dp

- równanie adiabaty

1

C

+

|

V

|

ln

k

=

|

p

|

ln

C

ln

+

|

V

|

ln

k

=

|

p

|

ln

gdzie C

1

= lnC

C

ln

=

|

V

|

ln

k

+

|

p

|

ln

C

ln

=

|

V

|

ln

+

|

p

|

ln

k

C

ln

=

pV

ln

k

C

=

pV

k

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Szybkość chłodzenia ciała w pewnych warunkach jest wprost proporcjonalne do
różnicy temperatur T – T

0

(T – temperatura ciała, T

0

– temperatura otoczenia).

Wyznaczyć przebieg zmian temperatury T jako funkcji czasu t, jeżeli współczynnik
proporcjonalności k jest stały w czasie.

PRZYKŁAD 10/10

Szybkość zmiany temperatury:

)

T

T

(

k

=

dt

dT

0

dt

/*

dt

)

T

T

(

k

=

dT

0

)

T

T

(

:

/

0

kdt

=

T

T

dT

0

/*

kdt

=

T

T

dT

0

dt

k

=

T

T

dT

0

=

T

T

dT

0

0

T

T

=

m

1

=

dT

dm

dT

/*

dT

=

dm

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

|

m

|

ln

=

m

dm

|

T

T

|

ln

0

C

+

kt

=

|

T

T

|

ln

0

C

+

kt

=

|

T

T

|

log

0

e

C

+

kt

0

e

=

T

T

C

+

kt

0

e

+

T

=

T

C

kt

0

e

e

+

T

=

T

kt

1

0

e

C

+

T

=

T

gdzie e

C

= C

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE

f jest funkcją ciągłą, zależną od stosunku:

Równanie różniczkowe jednorodne rozwiązuje się przez podstawienie:

)

x

y

(

f

=

'

y

x

y

=

u

u

=

x

y

x

/*

xu

=

y

u

dx

d

x

+

xu

dx

d

=

dx

dy

=

dx

dy

u

dx

d

x

+

u

PRZYKŁAD 1/6

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

x

y

+

2

=

dx

dy

mm-j

background image

u

=

x

y

x

/*

xu

=

y

u

dx

d

x

+

xu

dx

d

=

dx

dy

u

dx

d

x

+

u

=

dx

dy

x

y

+

2

=

dx

dy

x

xu

+

2

=

dx

du

x

+

u

u

+

2

=

dx

du

x

+

u

2

=

dx

du

x

dx

/*

dx

2

=

xdu

x

:

/

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

dx

x

2

=

du

/*

dx

x

1

2

=

du

=

u

C

+

x

ln

2

x

y

=

u

C

+

x

ln

2

=

x

y

x

/*

(

)

C

+

x

ln

2

x

=

y

PRZYKŁAD 2/6

Znaleźć całkę szczególną:

warunek początkowy:

x

y

e

x

+

y

=

'

xy

0

=

)

e

1

(

y

0

=

y

,

e

1

=

x

x

y

e

x

+

y

=

'

xy

x

:

/

x

y

e

+

x

y

=

'

y

x

y

e

+

x

y

=

'

y

x

y

e

+

x

y

=

dx

dy

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

u

=

x

y

x

/*

xu

=

y

u

dx

d

x

+

xu

dx

d

=

dx

dy

u

dx

d

x

+

u

x

y

e

+

x

y

=

dx

dy

u

e

+

u

=

dx

du

x

+

u

=

dx

dy

u

e

=

dx

du

x

dx

/*

dx

e

=

xdu

u

u

e

:

/

dx

=

e

xdu

u

x

:

/

x

dx

=

e

du

u

/*

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

x

dx

=

du

e

u

=

du

e

u

t

=

u

)

dt

(

/*

dt

=

du

=

dt

e

t

=

C

+

e

t

C

+

e

u

x

dx

=

du

e

u

u

e

=

du

t

e

=

)

dt

(

)

1

/(

*

t

=

u

1

=

dt

du

C

ln

+

|

x

|

ln

=

e

u

gdzie lnC = C

1

u

=

x

y

=

e

x

y

|

C

|

ln

+

|

x

|

ln

|

Cx

|

ln

=

e

x

y

0

=

)

e

1

(

y

|

C

e

1

|

ln

=

e

0

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Znaleźć całkę ogólną równania:

e

C

ln

=

1

e

C

log

=

e

log

e

1

e

e

C

=

e

1

1

=

C

|

Cx

|

ln

=

e

x

y

|

x

|

ln

=

e

x

y

PRZYKŁAD 3/6

x

+

y

5

=

'

xy

x

:

/

1

+

x

y

5

=

'

y

u

=

x

y

x

/*

xu

=

y

u

dx

d

x

+

xu

dx

d

=

dx

dy

u

dx

d

x

+

u

=

dx

dy

1

+

u

5

=

dx

dy

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

1

+

u

5

=

dx

dy

1

+

u

5

=

dx

du

x

+

u

1

+

u

4

=

dx

du

x

dx

/*

dx

)

1

+

u

4

(

=

xdu

x

:

/

dx

x

1

+

u

4

=

du

)

1

+

u

4

(

:

/

dx

x

1

=

)

1

+

u

4

(

du

/*

=

1

+

u

4

du

dx

x

1

4

4

1

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

=

|

1

+

u

4

|

ln

4

1

|

C

|

ln

+

|

x

|

ln

gdzie

1

C

=

|

C

|

ln

=

|

1

+

u

4

|

ln

4

1

|

C

|

ln

+

|

x

|

ln

4

/*

=

|

1

+

u

4

|

ln

C

ln

4

+

|

x

|

ln

4

=

|

1

+

u

4

|

ln

4

4

C

ln

+

|

x

|

ln

4

|

xC

|

ln

=

|

1

+

u

4

|

ln

gdzie

gdzie

gdzie

|

Dx

|

ln

=

|

1

+

u

4

|

ln

4

gdzie D = C

4

4

Dx

=

1

+

u

4

x

y

=

u

4

Dx

=

1

+

x

y

4

x

/*

1

Dx

=

x

y

4

4

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

4

:

/

)

1

Dx

(

x

=

y

4

4

)

1

Dx

(

x

4

1

=

y

4

RÓWNIANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE

( )

( )

x

f

=

y

x

p

+

'

y

PRZYKŁAD 4/6

dy

równanie uproszczone

x

cos

=

x

sin

y

-

x

cos

dx

dy

0

=

x

sin

y

-

x

cos

dx

dy

x

sin

y

=

x

cos

dx

dy

dx

/*

xdx

sin

y

=

x

cos

dy

y

:

/

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

xdx

sin

=

x

cos

y

dy

x

cos

:

/

dx

x

cos

x

sin

=

y

dy

/*

x

cos

xdx

sin

=

y

dy

=

y

ln

C

+

x

cos

ln

-

C

+

|

x

cos

|

ln

=

tgx

C

ln

+

|

x

cos

|

ln

=

|

y

|

ln

1

|

x

cos

C

|

ln

=

|

y

|

ln

x

cos

C

=

y

uzmiennienie stałej:

( )

x

cos

x

C

=

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

( )

( )

x

cos

x

sin

x

C

+

x

cos

x

'

C

=

'

y

2

x

cos

=

x

sin

y

-

x

cos

dx

dy

x

cos

=

x

sin

y

x

cos

'

y

( )

( )

x

cos

x

sin

x

C

+

x

cos

x

'

C

2

-

x

cos

( )

x

cos

x

C

x

sin

x

cos

=

( )

+

x

cos

x

cos

x

'

C

x

cos

x

sin

)

x

(

C

=

x

cos

x

sin

)

x

(

C

x

cos

( )

x

cos

=

x

'

C

( )

xdx

cos

=

x

C

( )

C

+

x

sin

=

x

C

( )

x

cos

x

C

=

y

x

cos

C

+

x

sin

=

y

x

cos

C

+

tgx

=

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

Znaleźć krzywą całkową równania

przechodzącą przez punkt: A(1, 1).

równanie uproszczone

PRZYKŁAD 5/6

x

=

x

y

+

'

y

x

=

x

y

+

'

y

x

=

x

y

+

dx

dy

0

=

x

y

+

dx

dy

x

y

=

dx

dy

dx

/*

dx

x

y

=

dy

y

:

/

dx

x

1

=

y

dy

/*

dx

x

1

=

y

dy

C

ln

+

|

x

|

ln

=

|

y

|

ln

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

uzmiennienie stałej

C

ln

+

x

ln

=

|

y

|

ln

1

1

Cx

ln

=

y

ln

1

Cx

=

y

x

C

=

y

x

)

x

(

C

=

y

2

x

'

x

)

x

(

C

x

)

x

(

'

C

=

'

y

2

x

)

x

(

C

x

)

x

(

'

C

=

x

x

x

=

x

1

y

+

'

y

2

x

)

x

(

C

x

)

x

(

'

C

x

)

x

(

C

+

x

1

x

=

x

=

x

)

x

(

C

+

x

)

x

(

C

x

)

x

(

'

C

2

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

x

=

x

)

x

(

'

C

x

/*

2

x

=

)

x

(

'

C

2

x

=

dx

)

x

(

dC

dx

/*

dx

x

=

)

x

(

dC

2

D

+

3

x

=

)

x

(

C

3

D

+

x

3

x

)

x

(

C

=

y

=

x

D

+

3

x

x

D

+

x

3

x

3

rozwiązanie ogólne równania

dla A(1,1)

Krzywa całkowa równania

ma postać:

D

+

3

1

=

1

3

3

2

=

D

x

=

x

y

+

'

y

x

3

2

+

x

=

y

3

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 6/6

Znaleźć krzywą całkową równania

x

ln

=

y

x

1

'

y

przechodzącą przez punkt: A(1, 1).

x

ln

=

y

x

1

'

y

x

ln

=

y

x

1

dx

dy

0

=

x

y

dx

dy

równanie uproszczone

x

y

=

dx

dy

dx

/*

dx

x

y

=

dy

y

:

/

x

dx

=

y

dy

/*

x

dx

=

y

dy

C

ln

+

|

x

|

ln

=

|

y

|

ln

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

|

Cx

|

ln

=

|

y

|

ln

Cx

=

y

x

)

x

(

C

=

y

uzmiennienie stałej

=

dx

dy

=

'

y

'

x

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

x

ln

=

y

x

1

dx

dy

'

x

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

x

1

x

)

x

(

C

x

ln

=

x

x

ln

=

x

)

x

(

C

x

1

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

x

ln

=

x

)

x

(

'

C

x

:

/

x

x

ln

=

)

x

(

'

C

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

dx

x

x

ln

=

)

x

(

C

=

dx

x

x

ln

x

ln

=

t

x

1

=

dx

dt

xdt

=

dx

x

:

/

dt

=

dx

x

1

D

+

2

t

2

t

=

dt

D

+

)

x

(ln

2

1

=

tdt

2

rozwiązanie ogólne równania

dx

x

x

ln

=

)

x

(

C

D

+

)

x

(ln

2

1

=

)

x

(

C

2

x

)

x

(

C

=

y

x

]

D

+

)

x

(ln

2

1

[

=

y

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

dla A(1,1)

]

D

+

)

1

(ln

2

1

[

=

1

2

D

=

1

x

]

D

+

)

x

(ln

2

1

[

=

y

2

=

x

]

1

+

)

x

(ln

2

1

[

=

y

2

x

+

)

x

(ln

x

2

1

2

Krzywa całkowa równania

ma postać:

x

ln

=

y

x

1

'

y

x

+

)

x

(ln

x

2

1

=

y

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)

mm-j

background image

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE

PRZYKŁAD

1/11

( )

( )

x

f

=

y

x

p

+

'

y

2

x

xe

=

xy

2

+

dx

dy

2

x

xe

=

xy

2

+

'

y

równanie uproszczone

0

=

xy

2

+

dx

dy

xy

2

=

dx

dy

dx

/*

xydx

2

=

dy

y

:

/

xdx

2

=

y

dy

/*

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

uzmiennienie stałej

xdx

2

=

y

dy

C

+

2

x

2

=

|

y

|

ln

2

C

+

x

=

|

y

|

log

2

e

C

+

x

2

e

=

y

C

x

e

e

=

y

2

2

x

Ce

=

y

2

x

e

)

x

(

C

=

y

=

dx

dy

=

'

y

+

e

)

x

(

'

C

2

x

2

x

e

)

x

(

C

)

x

2

(

2

x

xe

=

xy

2

+

dx

dy

+

)

x

2

(

e

)

x

(

C

+

e

)

x

(

'

C

2

2

x

x

x

2

=

e

)

x

(

C

2

x

2

x

xe

2

2

x

x

xe

=

e

)

x

(

'

C

x

=

)

x

(

'

C

x

=

dx

)

x

(

dC

dx

/*

xdx

=

)

x

(

dC

/*

2

x

e

:

/

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

rozwiązanie ogólne

xdx

=

)

x

(

C

d

D

+

2

x

=

)

x

(

C

2

2

x

e

)

x

(

C

=

y

2

x

2

e

)

D

+

2

x

(

=

y

PRZYKŁAD 2/11

x

cos

1

=

tgxy

'

y

równanie uproszczone

x

cos

1

=

tgxy

dx

dy

0

=

tgxy

dx

dy

tgxy

=

dx

dy

tgxydx

=

dy

y

:

/

dx

/*

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

tgxdx

=

y

dy

/*

tgxdx

=

y

dy

0

C

+

|

x

cos

|

ln

=

|

y

|

ln

0

e

C

+

|

x

cos

|

ln

=

|

y

|

log

gdzie

gdzie

uzmiennienie stałej

C

+

|

x

cos

|

ln

e

=

y

0

C

|

x

cos

|

ln

e

e

=

y

C

e

=

y

1

|

x

cos

|

ln

C

e

=

C

C

x

cos

1

=

y

1

|

x

cos

|

ln

e

=

x

cos

1

x

cos

C

=

y

x

cos

)

x

(

C

=

y

gdzie

gdzie

gdzie

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

=

dx

dy

=

'

y

x

cos

)

x

sin

)(

x

(

C

x

cos

)

x

(

'

C

2

x

cos

1

=

tgxy

dx

dy

x

cos

)

x

sin

)(

x

(

C

x

cos

)

x

(

'

C

2

tgx

=

x

cos

)

x

(

C

x

cos

1

x

cos

x

sin

)

x

(

C

+

x

cos

)

x

(

'

C

2

x

cos

x

sin

=

x

cos

)

x

(

C

x

cos

1

x

cos

1

=

x

cos

)

x

(

'

C

x

cos

/*

1

=

)

x

(

'

C

1

=

dx

)

x

(

dC

dx

/*

dx

=

)

x

(

dC

/*

dx

=

)

x

(

dC

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

Znaleźć całkę ogólną równania:

rozwiązanie ogólne

D

+

x

=

)

x

(

C

x

cos

)

x

(

C

=

y

=

x

cos

D

+

x

x

cos

D

+

x

cos

x

PRZYKŁAD 3/11

y

x

5

=

x

ln

'

xy

y

x

5

=

x

ln

dx

dy

x

x

:

/

równanie uproszczone

x

y

5

=

x

ln

dx

dy

x

ln

:

/

x

ln

x

y

5

=

dx

dy

x

ln

x

y

x

ln

5

=

dx

dy

x

ln

5

=

x

ln

x

y

+

dx

dy

0

=

x

ln

x

y

+

dx

dy

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

x

ln

x

y

=

dx

dy

dx

/*

x

ln

x

ydx

=

dy

y

:

/

x

ln

x

dx

=

y

dy

/*

x

ln

x

dx

=

y

dy

=

x

ln

x

dx

t

=

x

ln

dx

dt

=

x

1

xdt

=

dx

x

:

/

t

1

=

dt

C

+

|

t

|

ln

C

+

|

x

ln

|

ln

dx

=

x

dt

=

x

dx

x

ln

x

dx

=

y

dy

0

C

+

|

x

ln

|

ln

=

|

y

|

ln

0

1

e

C

+

|

x

ln

|

ln

=

y

log

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

uzmiennienie stałej

C

+

|

x

ln

|

ln

1

e

=

y

0

1

C

|

x

ln

|

ln

e

e

=

y

C

|

x

ln

|

=

y

1

|

x

ln

|

ln

1

1

e

=

x

ln

0

C

e

=

C

gdzie

oraz

x

ln

C

=

y

x

ln

)

x

(

C

=

y

=

dx

dy

=

'

y

2

)

x

(ln

x

1

)

x

(

C

x

ln

)

x

(

'

C

y

x

5

=

x

ln

'

xy

1

)

x

(

C

x

ln

)

x

(

'

C

gdzie

oraz

x

2

)

x

(ln

x

1

)

x

(

C

x

ln

)

x

(

'

C

=

x

ln

x

5

x

ln

)

x

(

C

x

ln

x

1

)

x

(

C

x

ln

)

x

(

'

C

x

=

x

ln

)

x

(

C

+

x

5

x

5

=

x

ln

)

x

(

C

+

x

ln

x

)

x

(

C

x

ln

x

ln

)

x

(

'

C

x

x

5

=

)

x

(

'

xC

x

:

/

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

5

=

)

x

(

'

C

5

=

dx

)

x

(

dC

dx

/*

dx

5

=

)

x

(

dC

/*

dx

5

=

)

x

(

dC

D

+

x

5

=

)

x

(

C

x

ln

)

x

(

C

=

y

x

ln

D

+

x

5

Znaleźć całkę szczególną równania:

PRZYKŁAD 4/11

x

sin

x

=

y

dx

dy

x

2

warunek początkowy:

π

=

)

2

π

(

y

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

równanie uproszczone

x

sin

x

=

y

dx

dy

x

2

x

:

/

x

sin

x

=

x

y

dx

dy

0

=

x

y

dx

dy

x

y

=

dx

dy

dx

/*

dx

x

y

=

dy

y

:

/

x

dx

=

y

dy

/*

x

dx

=

y

dy

0

C

+

|

x

|

ln

=

|

y

|

ln

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

uzmiennienie stałej

0

e

e

C

+

x

log

=

y

log

0

e

C

+

x

log

e

=

y

0

e

C

x

log

e

e

=

y

Cx

=

y

gdzie

x

log

e

e

=

x

oraz

0

C

e

=

C

x

)

x

(

C

=

y

=

dx

dy

=

'

y

'

x

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

=

dx

dy

x

sin

x

=

x

y

dx

dy

)

x

(

C

+

x

)

x

(

'

C

x

1

=

x

)

x

(

C

x

sin

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

x

sin

x

=

x

)

x

(

'

C

x

:

/

x

sin

=

)

x

(

'

C

x

sin

=

dx

)

x

(

dC

dx

/*

xdx

sin

=

)

x

(

dC

/*

xdx

sin

=

)

x

(

dC

D

+

x

cos

=

)

x

(

C

x

)

x

(

C

=

y

x

)

D

+

x

cos

(

=

y

π

=

)

2

π

(

y

π

=

y

,

2

π

=

x

2

π

)

D

+

2

π

cos

(

=

π

2

π

)

D

+

0

(

=

π

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

całka szczególna

2

π

D

=

π

2

=

D

x

)

D

+

x

cos

(

=

y

x

)

2

+

x

cos

(

=

y

PRZYKŁAD 5/11

PODSUMOWANIE

Oblicz:

(

)

1

=

1

+

x

log

x

log

Dziedzina funkcji:

0

>

x

(

)

0

1

+

x

log

(

)

0

10

log

1

+

x

log

1

1

+

x

0

x

0

>

1

+

x

1

>

x

∞)

(0

,

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

(

)

1

=

1

+

x

log

x

log

)

1

+

x

log(

/*

(

)

1

+

x

log

=

x

log

(

)

1

1

+

x

log

=

x

log

1

+

x

1

=

x

(

)

1

=

1

+

x

x

rozwiązanie równania (x

1

∈D

f

)

0

=

1

x

+

x

2

5

=

,

5

=

2

5

+

1

=

x

1

,

2

5

1

=

x

2

D

f

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 6/11

Oblicz:

x

4

+

x

81

=

3

2

x

4

4

+

x

3

=

3

2

x

4

=

4

+

x

2

0

=

4

+

x

4

x

2

0

=

2

=

2

4

=

x

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

PRZYKŁAD 7/11

( )

x

1

+

)

x

1

1

ln(

=

x

y

Wyznacz y’(x):

( )

)

x

1

(

+

)'

x

1

1

x

1

1

1

(

=

x

'

y

2

)(

( )

=

x

1

x

1

x

1

x

1

=

x

'

y

2

2

)

(

)

1

1

x

x

(

x

1

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

Wyznacz y’ korzystając z metody pochodnej logarytmicznej

PRZYKŁAD 8/11

x

x

=

y

x

x

=

y

x

1

x

=

y

ln

/*

x

1

x

ln

=

y

ln

x

ln

x

1

=

y

ln

)'

x

(ln

x

1

+

x

ln

)'

x

1

(

=

)'

y

(ln

x

1

x

1

+

x

ln

x

1

=

y

'

y

2

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

)

1

+

x

ln

(

x

1

=

y

'

y

2

y

/*

)]

1

+

x

ln

(

x

1

[

y

=

'

y

2

)]

1

+

x

ln

(

x

1

[

x

=

'

y

2

x

)

1

+

x

ln

(

x

x

=

'

y

2

x

PRZYKŁAD 9/11

(

)

y

4

sin

x

=

y

,

x

u

2

Wyznacz różniczkę zupełną du(x,y):

=

x

u

=

'

u

x

y

4

sin

x

x

+

y

4

sin

x

x

2

2

y – const.

y

4

sin

x

2

=

x

u

=

y

u

=

'

u

y

y

4

sin

y

x

+

y

4

sin

x

y

2

2

x – const.

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

y

4

cos

x

4

=

4

*

y

4

cos

x

=

y

u

2

2

dy

'

u

+

dx

'

u

=

)

y

,

x

(

du

y

x

=

)

y

,

x

(

du

y

4

sin

x

2

+

dx

y

4

cos

x

4

2

dy

=

)

y

,

x

(

du

(

)

ydy

4

cos

x

2

+

ydx

4

sin

x

2

PRZYKŁAD 10/11

Oblicz

=

dx

x

cos

x

sin

5

1

t

=

x

sin

5

1

dx

dt

=

x

cos

5

dx

/*

dt

=

xdx

cos

5

)

5

(

:

/

5

dt

=

xdx

cos

t

=

=

)

5

dt

(

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

=

C

+

2

3

t

5

1

=

dt

t

5

1

2

3

2

1

=

C

+

t

15

2

2

3

=

C

+

)

x

sin

5

1

(

15

2

2

3

C

+

x

sin

5

1

)

x

sin

5

1

(

15

2

=

C

+

)

x

sin

5

1

(

15

2

3

PRZYKŁAD 11/11

Rozwiązać równanie różniczkowe

T

C

=

dT

dS

T

5

+

4000

=

C

200

=

T

1

300

=

T

2

T

C

=

dT

dS

dt

/*

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

dT

T

C

=

dS

/*

2

1

T

T

dT

T

C

=

dS

dT

T

)

T

5

+

4000

(

=

dS

2

1

T

T

2

1

T

T

dT

T

T

5

+

4000

=

S

2

1

T

T

dT

)

5

+

T

4000

(

=

S

dT

5

+

T

dT

4000

=

S

2

1

2

1

T

T

T

T

=

|

)

C

+

T

5

+

T

ln

4000

(

=

S

300

200

C

+

300

*

5

+

300

ln

4000

=

)

C

+

200

5

+

200

ln

4000

(

1500

+

300

ln

4000

=

1000

+

200

ln

4000

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j

background image

+

)

200

ln

300

(ln

4000

=

2500

2500

+

2

3

ln

4000

MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)

mm-j


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(Microsoft PowerPoint Matematyka Farmacja [tryb zgodn
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnoscib
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych [tryb zgodnosci]
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP3 patenty [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP5 znaki tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP3 patenty tryb zgodności
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodności
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje [tryb zgodnosc
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnoscib
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodności

więcej podobnych podstron