STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Statystyka opisowa, a
statystyka matematyczna.
Metody statystyki matematycznej,
wywodzÄ… siÄ™ z rachunku
prawdopodobieństwa będącego bazą
teoretycznÄ… dla statystyki
matematycznej.
Analogia pojęć
Stat.Opisowa Stat. Matematyczna
Cecha statystyczna ->Zmienna losowa
(waga, długość ...)
Częstość występowania->
Prawdopodobieństwo
Klasyczna definicja
prawdopodobieństwa
P.Laplace w 1812 r
Jeżeli N zdarzeń jest jednakowo
możliwych, przy czym n z nich
posiada cechę A, to dla każdego
pojedyńczego zdarzenia
prawdopodobieństwo wystąpienia A
wynosi
P(A) = nA/n.
Definicja statystyczna
prawdopodobieństwa
R. von Mises 1931 r.
Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy
granicę częstości tego zdarzenia, gdy liczba
doświadczeń rośnie nieograniczenie
P(A) = lim n->oo nA/n
Aksjomatyczna definicja
prawdopodobieństwa 1
A. Kołmogorow w 1933 r. korzystając z
teorii miary zaksjomatyzował teorię
prawdopodobieństwa.
MiarÄ… probabilistycznÄ… lub
prawdopodobieństwem nazwał funkcję
rzeczywistą określoną na rodzinie zbiorów
S, spełniającą następujący układ
aksjomatów:
dla każdego AÎð S, P(A) >=0,
P(E)=1,
P(A1ÈðA2Èð& .) = P(A1)+ P(A2)+& dla
zdarzeń parami rozłącznych.
Prawdopodobieństwo
Wartość liczbową tej funkcji na
jednym zdarzeniu A, czyli liczbÄ™ P(A),
nazywamy prawdopodobieństwem
zajścia zdarzenia A w danym
doświadczeniu losowym.
Przestrzeń probabilistyczna
Trójkę (E,S,P), tzn przestrzeń E
zdarzeń elementarnych danego
zdarzenia losowego wraz z ciałem S
zdarzeń oraz określonym na tych
zdarzeniach prawdopodobieństwem
P, nazywamy przestrzeniÄ…
probabilistycznÄ… zwiÄ…zanÄ… z danym
doświadczeniem losowym.
Przykład przestrzeni
probalilistycznej
Doświadczenie losowe  jednokrotny rzut monetą.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych E 
dwuelementowy zbiór {O,R} (wypadł orzeł,
wypadła reszka),
Ciało zdarzeń S  ciałem zdarzeń jest taki zbiór
zdarzeń, w którym możliwe jest tworzenie sum,
iloczynów, różnic, zdarzeń przeciwnych, pewnych i
niemożliwych dla wszystkich zdarzeń należących
do tego zbioru.
Ciało zdarzeń tworzą 4 zdarzenia {0,E,O,R},
gdzie 0 -zdarzenie niemożliwe, E  zdarzenie
pewne (orzeł lub reszka), O  orzeł, R  reszka.
Prawdopodobieństwo: P(O)=P(R)=1/2.
Własności prawdopodobieństwa
Dla każdego zdarzenia A prawdziwe jest
1. P(A-) = 1-P(A)
2. P(0)=0,
3. 0<=P(A)<=1.
Znając prawdopodobieństwa jednych zdarzeń
losowych możemy obliczać prawdopodobieństwa
innych zdarzeń korzystając z podstawowych
twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa o
prawdopodobieństwie sumy i iloczynu zdarzeń
losowych.
P(AÈðB) = P(A)+P(B)-P(AÇð B)
P(A|B)= P(AÇð B)/P(B)
P(AÇð B)=P(A)*P(B)
ROZKA
ADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH 1
Zmienna losowa jest odpowiednikiem
używanego w statystyce opisowej pojęcia
cechy statystycznej.
Zmienne losowe oznaczamy zazwyczaj
dużymi literami X,Y,Z,.., a wartości
przybierane przez zmienne (realizacje)
oznaczane są odpowiednimi małymi
literami x,y,z...
Liczby rzeczywiste x będące realizacjami
zmiennej losowej X mogą tworzyć
skończony lub nieskończony podzbiór
zbioru R.
ROZKA
ADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH 2
Analogią rozkładu empirycznego
badanej cechy statystycznej jest
rozkład prawdopodobieństwa, który
jest funkcjÄ… przyporzÄ…dkowujÄ…cÄ…
realizacjom zmiennej losowej X
odpowiadajÄ…ce im
prawdopodobieństwa.
P(X=x)=p
ROZKA
ADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH 3
Pojęciu wartość średnia zbiorowości
(populacji) odpowiada pojęcie wartości
oczekiwanej zmiennej losowej X
E(X)=åð x i p i
Wartość wariancji obliczana jest ze wzoru
D2(X) = åð [x i - E(X)] 2 p i = E [X - E(X)] 2
D2(X) = E(X2)  [E(X)] 2
Odchylenie standardowe
D(X) = sqr(D2(X))
ROZKA
ADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH SKOKOWYCH
W teorii statystyki, jak i w
zastosowaniach praktycznych,
szczególnie często występują
następujące rozkłady zmiennej
losowej skokowej :
Zero-jedynkowy (dwupunktowy),
Dwumianowy,
Poissona.
Rozkład dwupunktowy
Określamy dla doświadczeń, w których rezultatem
mogą być dwa wzajemnie wykluczające się
zdarzenia losowe:
A i (nie)A.
Niech prawdopodobieństwo realizacji zdarzenia A
wynosi p, a zdarzenia (nie)A q=1-p.
PrzyporzÄ…dkowujÄ…c zdarzeniu A liczbÄ™ 1, zdarzeniu
(nie)A liczbÄ™ 0, otrzymujemy zmiennÄ… losowÄ… X,
której rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje
postać:
P(X=1) = p
P(X=0) = 1- p = q
E(X) = p
D2(X) = pq
Rozkład dwumianowy
Definicja rozkładu dwumianowego opiera
siÄ™ na eksperymencie przeprowadzonym
zgodnie ze schematem Bernoulliego.
Eksperyment polega na przeprowadzeniu n
(n>=2) niezależnych doświadczeń, w
wyniku których można otrzymać jeden z
dwóch wyników: sukces lub porażkę.
Prawdopodobieństwo sukcesu p w każdym
doświadczeniu jest takie samo. Porażki
q=1-p także.
Rozkład dwumianowy 2
Zakłada się, że doświadczenia są
niezależne (wynik poprzedniego
doświadczenia nie ma wpływu na wynik
następnego). Liczba sukcesów, jaką
zaobserwujemy w wyniku n-krotnego
powtórzenia doświadczenia może być
równa k = 0,1,2,3,& ,n.
prawdopodobieństwo dla jednej
kombinacji, w której zaobserwowano k
sukcesów jest iloczynem p i q wyrażonym
wzorem
k
p q n-k
Rozkład dwumianowy 3
Prawdopodobieństwo dla wszystkich
kombinacji, w których
zaobserwowano k sukcesów jest
sumą prawdopodobieństw dla
poszczególnych kombinacji, czyli
k
P(X =ð k) =ð Cn pkqn-k
E(X) = np
D2(X) = npq
Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy dla n=5 p=03 q=0,7
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2 P
0,15
0,1
0,05
0
1 2 3 4 5 6
Rozkład dwumianowy dla n=5 p=q=0,5
0,35
0,3
0,25
0,2
P
0,15
0,1
0,05
0
1 2 3 4 5 6
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest szczególnym
przypadkiem rozkładu
dwumianowego, zachodzÄ…cym wtedy,
gdy prawdopodobieństwo sukcesu p
jest małe, a liczba realizacji n na tyle
duża, że iloczyn n*p jest wielkością
staÅ‚Ä… oznaczanÄ… przez lð.
Przyjęto, że rozkład Poissona stosuje
się wówczas, gdy n>100, a p<0,2.
Rozkład Poissona 2
Funkcja prawdopodobieństwa
rozkładu Poissona wyraża się
wzorem:
k
P(X=k) = lð /k! * e -lð
Wartość oczekiwana i wariancja
zmiennej losowej X o rozkładzie
Poissona wynoszÄ… :
E(X) = D2(X) = lð.
Rozkład Poissona 3
Rozkład Poissona jest stosowany w
teorii:
obsługi masowej (natężenie ruchu,
telefony, obsługa kolejek),
kontroli jakości (liczba braków),
teorii niezawodności (liczba awarii),
czyli wszędzie tam, gdzie liczba
możliwych zdarzeń jest duża, a ilość
zdarzeń sprzyjających mała.
Rozkład Poissona
ZMIENNA LOSOWA CI
GA
A
Dla zmiennej losowej ciągłej niemożliwe
jest przypisanie wszystkim jej wartościom
dodatnich prawdopodobieństw. Możliwe
jest przypisanie tych prawdopodobieństw
przedziaÅ‚om liczbowym o dÅ‚ugoÅ›ci Dðx.
Jeżeli Dðx ->0, to istnieje granica f(x)
nazwana funkcją gęstości
prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
P(x <ð X <ð x +ð Dðx)
limDðx->ð0 =ð f (x)
Dðx
ROZKA
ADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH CI
GA
YCH
Prawdopodobieństwo tego, że zmienna
losowa X typu ciągłego przyjmuje
wartości z przedziału (a,b) jest całką
funkcji prawdopodobieństwa w tym
przedziale
b
P(a <ð X <ð b) =ð f (x)dx
òð
a
Dystrybuanta jest opisana funkcjÄ…
x
F(x) =ð f (u)du
òð
-Ä„ð
Rozkład jednostajny
Rozkład jednostajny (zwany też
równomiernym lub prostokątnym) to
ciągły rozkład prawdopodobieństwa,
dla którego gęstość
prawdopodobieństwa w przedziale od
a do b jest stała i różna od zera, a
poza nim równa zeru.
Charakterystyki rozkładu
jednostajnego
wartość oczekiwana: (a+b)/2
wariancja: (b-a)2/12
dsytrybuanta:
dla ad"xd"b
Funkcja gęstości rozkładu
normalnego
Funkcja gęstości dla rozkładu
normalnego
ze średnią ź i
odchyleniem standardowym Ã
(równoważnie: wariancjÄ… Ã2)
jest przykładem funkcji Gaussa.
Funkcja gęstości rozkładu
normalnego
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0,05
Funkcja gęstości
We wszystkich rozkładach normalnych
funkcja gęstości jest symetryczna
względem wartości średniej rozkładu.
Około 68% pola pod wykresem krzywej
znajduje się w odległości jednego
odchylenia standardowego od średniej,
około 95,5% w odległości dwóch odchyleń
standardowych i około 99,7% w odległości
trzech (reguła trzech sigm). Punkt
przegięcia krzywej znajduje się w
odległości jednego odchylenia
standardowego od średniej.
Dystrybuanta rozkładu
normalnego
Dystrybuanta
jest definiowana jako
prawdopodobieństwo tego, że
zmienna X ma wartości mniejsze od x
i dla rozkładu normalnego wzorem:
Dystrybuanta rozkładu
standardowego
DystrybuantÄ™ standardowego
rozkładu normalnego, tradycyjnie
oznaczanÄ… jako Åš, otrzymujemy
podstawiając pod ogólny wzór
wartoÅ›ci ź = 0 i à = 1,
Wykres Dystrybuanty
Ten wykres pokazuje dystrybuantÄ™
rozkładu normalnego dla wartości
zmiennej z od -4 do +4.
Rozkład normalny
Przykład obliczenia
prawdopodobieństwa rozkładu
Badany parametr ma rozkład
N(100;1,9). Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że
parametr przypadkowo wybranego
elementu będzie zawarty w przedziale
<105;110>.
Prawdopodobieństwo będzie różnicą
zmiennej losowej standaryzowanej o
wartościach x1=105 i x2=110.