Egzamin z Algebry, 3 IX 2007 godz. 9.00

1. Wyznaczyć pole figury, której wierzchołkami są punkty płaszczyzny Oxy odpowiada-

jace pierwiastkom równania:

z

3

+ 8 = 0

Rozwiązanie:

Są trzy pierwiastki równania:

z =

3

√

−8

Szukaną figurą jest trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu R =

3

√

8 = 2

Jego pole jest równe (pole to liczymy dzieląc trójkąt na 3 trójkąty równoramienne o
bokach długości R i kącie miedzy nimi

2π

3

):

S = 3 ∗

1
2

R

2

sin

2π

3

= 3

√

3

2. Dla jakich a, b, c, d równe są macierze:

"

a 0 −1

3 1

b

#

·







1 c d

−1 1 3

1 0 2







=

"

1 4 0
5 7 d

#

Rozwiązanie:

Mnożąc macierze dostajemy:

"

a − 1

ac

ad − 2

b + 2 3c + 1 3d + 2b + 3

#

=

"

1 4 0
5 7 d

#

Rozwiązujemy układ równań:







































a − 1

= 1

ac

= 4

ad − 2

= 0

b + 2

= 5

3c + 1

= 7

3d + 2b + 3 = d

Z równania 1: a = 2, z równania 4: b = 3, z równania 5: c = 2, z równania 3: d = 1.

Sprawdzamy, czy są spełnione równania 2 i 6. Równanie 6 nie jest spełnione, a więc
układ równań jest sprzeczny.

Odpowiedź: Nie ma takich a, b, c, d , dla których zachodzi równość macierzy.

3. Wyznaczyć k tak, aby układ równań :











−2x + 6y − 4z = −2

3x + 2y − 5z =

3

2x − 6y + kz =

2

miał nieskończenie wiele rozwiązań, Dla wyznaczonego k rozwiązać ten układ.

Rozwiazanie:

Badamy rząd macierzy współczynników:

A =







−2

6 −4

3

2 −5

2 −6

k







|A| = −4k − 60 + 72 + 16 + 60 − 18k = −22k + 88

Rozwiązaniem równania:

|A| = 0

jest

k = 4

Wniosek: Dla k 6= 4, rząd macierzy A jest równy 3; wtedy rząd A

R

też jest rółny 3 i

układ ma jedno rozwiązanie.

Dla k = 4 rzad macierzy A jest mniejszy od 3. Ponieważ

−2 6

3 2

= −22 6= 0

Więc rząd macierzy A jest równy 2. Rząd macierzy rozszerzonej jest też równy 2,
ponieważ kolumna wyrazów wolnych jest równa pierwszej kolumnie macierzy A. Układ
ma więc nieskończenie wiele rozwiazań zaleznych od jednego parametru.

Szukamy rozwiązań wyrzucając trzecie równanie i podstawiając parametr z = t (pozby-
wamy się trzeciej kolumny).

Rozwiązujemy zredukowany układ równań:

(

−2x + 6y = 4t − 2

3x + 2y = 5t + 3

|A| = −22

|A

x

| = −22t − 22

|A

y

| = −22t

x = t + 1 , y = t.

Odpowiedź:

x = t + 1 , y = t , z = t , t ∈ R.

4. Dane są punkty A = (1, 0, 1) , B = (3, 2, 2) , C = (2, 4, 0). Obliczyć pole ∆ABC i

miarę kąta α ≡

6

A

Rozwiązanie:

Pole trójkąta jest równe:

S =

1
2

|

−→

AB ×

−→

AC|

−→

AB = [2, 2, 1] ,

−→

AC = [1, 4, −1]

−→

AB ×

−→

AC = [−6, 3, 6]

S =

1
2

√

81 =

9
2

Kąt α znajdujemy z zależności:

|

−→

AB ×

−→

AC| = |

−→

AB| · |

−→

AC| sin α

9 = 3 · 3

√

2 sin α

sin α =

1

√

2

α =

π

4

5. Podać współrzędne biegunowe punktów A = (1, 1) , B = (−1,

√

3) , C = (−

√

3, −1).

Narysować łuk krzywej K : r = 2 cos φ , 0 ¬ φ ¬

π

2

Rozwiązanie:

Równania łaczące współrzędne biegurnowe (r, φ) i współrzędne prostokątne (x, y):

r =

√

x

2

+ y

2

cos φ =

x

r

sin φ =

y

r

Z tych wzorów obliczamy (lub odczytujemy z rysunku):

A(1, 1): r =

√

2 , φ =

π

4

B(−1,

√

3): r = 2 , φ =

2π

3

C(−

√

3, −1): r = 2 , φ =

13π

6

Równanie krzywej K przekształcamy do współrzędnych prostokątnych:

r = 2 ·

x

r

r

2

= 2x

x

2

+ y

2

= 2x

(x − 1)

2

+ y

2

= 1

Jest to okrąg o środku w punkcie (1, 0) i o promieniu 1.

Z warunku 0 ¬ φ ¬

π

2

wynika, że krzywa K to górna połowa okręgu. (Zbiór 0 ¬ φ ¬

π

2

we współrzędnych biegunowych to pierwsza ćwiartka układu współrzędnych).

6. Dla jakich p i q prosta

x − 3

4

=

y − 1

−4

=

z + 1

3

leży całkowicie w płaszczyźnie α : px + 2y − 4z + q = 0

Rozwiązanie:

Prosta będzie leżała w płaszczyżnie α, gdy dwa rózne punkty tej prostej będą leżały
na płaszczyźnie.

Wybieramy dwa dowolne punkty prostej, np:

A = (3, 1, −1) i B(7, −3, 2)

Podstawiamy do równania płaszczyzny:

3p + 2 + 4 + q = 0

7p − 6 − 8 + q = 0

Rozwiązujemy układ równań:

p = 5 , q = −21