WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

1

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 17

Z5/17.1. Zadanie 17

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku

Z5/17.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

16,0 kN/m

8,0 kN

6,0

3,0

[m]

Rys. Z5/17.1. Belka prosta

Z5/17.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z5/17.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną.

1

2

3

I

A

B

C

Rys. Z5/17.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Jak widać na rysunku Z5/17.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta

trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej nie-
zmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z5/17.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.

Rysunek Z5/17.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na

belkę na oś poziomą X.



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z5/17.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

2

A

B

C

16,0 kN/m

8,0 kN

6,0

3,0

[m]

H

A

V

A

V

B

X

Y

Rys. Z5/17.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu B.



M

B

=

V

A

⋅

6,0−

1
2

⋅

16,0⋅6,0⋅

1

3

⋅

6,08,0⋅3,0=0

V

A

=

12,0 kN

.

(Z5/17.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu A.



M

A

=−

V

B

⋅

6,0

1
2

⋅

16,0⋅6,0⋅

2

3

⋅

6,08,0⋅9,0=0

V

B

=

44,0 kN

.

(Z5/17.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

B

−

1
2

⋅

16,0⋅6,0−8,0=12,044,0−48,0−8,0=0

.

(Z5/17.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.

Rysunek Z5/17.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej

belki.

Z5/17.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z5/17.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

3

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

A

B

C

16,0 kN/m

8,0 kN

6,0

3,0

[m]

12,0 kN

44,0 kN

Rys. Z5/17.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

A

x

12,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

q(x)

Rys. Z5/17.5. Siły działające w przedziale AB

Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem

(5.3), postać

q



x



=

16,0

6,0

⋅

x=

8
3

⋅

x

.

(Z5/17.5)

Jak widać na rysunku Z5/17.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy

z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta
ma postać

T



x



=

12,0−

1

2

⋅

q



x



⋅

x=12,0−

1
2

⋅

8
3

⋅

x⋅x=12,0−

4
3

⋅

x

2

.

(Z5/17.6)

Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą

T



0,0



=

12,0 kN

T



6,0



=

12,0−

4
3

⋅

6,0

2

=−

36,0 kN

.

(Z5/17.7)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

4

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w prze-
dziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości

12,0−

4
3

⋅

x

0

2

=

0

x

0

=

3,0 m

(Z5/17.8)

od początku przedziału czyli od punktu A. Współczynnik przy x

2

jest ujemny więc parabola siły poprzecznej

będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie A, w którym obciążenie
trójkątne ma wartość zero.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.

M



x



=

12,0⋅x−

1
2

⋅

q



x



⋅

x⋅

1
3

⋅

x=12,0⋅x−

1
2

⋅

8
3

⋅

x⋅x⋅

1
3

⋅

x=12,0⋅x−

4
9

⋅

x

3

.

(Z5/17.9)

Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować
potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu
ekstremum wynoszą

M



0,0



=

0,0 kNm

M



3,0



=

12,0⋅3,0−

4
9

⋅

3,0

3

=

24,0 kNm

M



6,0



=

12,0⋅6,0−

4
9

⋅

6,0

3

=−

24,0 kNm

.

(Z5/17.10)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze, dodatnie zaś na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany
w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać

dT



x



dx

=−

8
3

⋅

x=−q



x



,

(Z5/17.11)

dM



x



dx

=

12,0−

4
3

⋅

x

2

=

T



x



.

(Z5/17.12)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z5/17.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z5/17.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

5

N(x)

T(x)

M(x)

C

x

8,0 kN

X

Rys. Z5/17.6. Siły działające w przedziale BC

A

B

C

16,0 kN/m

8,0 kN

6,0

3,0

[m]

12,0 kN

44,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

3,0

3,0

3,0

3,0

12

,0

36

,0

8,0

0,

0

24

,0

0,0

24

,0

Rys. Z5/17.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z5/17.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

T



x



=

8,0 kN

.

(Z5/17.13)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=−

8,0⋅x

.

(Z5/17.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



3,0



=−

8,0⋅3,0=−24,0 kNm

.

(Z5/17.15)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -

ZADANIE 17

6

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

8,0=−T



x



.

(Z5/17.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński