Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony

background image




KOD ZDAJĄCEGO





MMA-R2D1P-021

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

Arkusz II

Czas pracy 150 minut


Instrukcja dla zdającego

1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.

Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu

na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.

3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać

ołówkiem.

4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania

prowadzący do ostatecznego wyniku.

5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,

którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.

9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.

10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,

którą wypełnia egzaminator.

Życzymy powodzenia!





ARKUSZ II


STYCZEŃ

ROK 2003




















Za rozwiązanie

wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie 60 punktów

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

(Wpisuje zdający przed

rozpoczęciem pracy)

Miejsce

na naklejkę

z kodem

background image

2

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

)

Zadanie 11. (4 pkt)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

, określonej wzorem:

, w przedziale

R

R

f

:

(

) (

x

x

x

f

=

5

1

)

(

7

;

0

.




















Odpowiedź: ...........................................................................................................


Zadanie 12. (4 pkt)

Dane jest równanie postaci

, w którym niewiadomą jest .

a

x

x

a

+

=

1

2

x

Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru .

a






















Odpowiedź: .............................................................................................................................

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

3

Zadanie 13. (4 pkt)

Wyznacz te wartości parametrów oraz b , przy których funkcja

, określona

wzorem

a

R

R

g

:



+

=

2

2

2

)

(

2

x

dla

b

x

dla

x

a

x

x

g

=

jest ciągła w punkcie

.

2

=

x


















Odpowiedź: .............................................................................................................................


Zadanie 14. (5 pkt)

Suma

początkowych, kolejnych wyrazów ciągu

, jest obliczana według wzoru

,

(

. Wyznacz

. Wykaż, że ciąg

(

jest ciągiem arytmetycznym.

n

2

+

(

n

a

)

n

a

)

n

n

S

n

3

=

)

+

N

n

n

a



















Odpowiedź: .............................................................................................................................

background image

4

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

Zadanie 15. (5 pkt)

Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10 . Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.



















Zadanie 16. (4 pkt)

Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.






















Odpowiedź: .............................................................................................................................

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

5

Zadanie 17. (5 pkt)

W układzie współrzędnych są dane punkty:

oraz . Wyznacz współrzędne

punktu

C leżącego na osi

tak że kąt

jest kątem prostym.

)

2

,

9

(

A

ACB

)

2

,

4

(

B

,

,

OY






















Odpowiedź: .............................................................................................................................


Zadanie 18. (4 pkt)

Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź
odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.



















Odpowiedź: .............................................................................................................................

background image

6

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

Zadanie 19. (5 pkt)

Trapez równoramienny, o obwodzie równym

, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że

przekątna trapezu ma długość

cm

20

cm

41

, oblicz pole tego trapezu.












































Odpowiedź: .............................................................................................................................

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

7

Zadanie 20. (10 pkt)

Funkcja h jest określona wzorem

. Wyznacz wszystkie

wartości parametru dla których równanie

ma dwa różne pierwiastki.

)

5

(

log

)

4

(

log

)

(

2

2

2

=

x

x

x

h

0

log

)

(

2

=

k

x

h

,

k














































background image

8

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II































Odpowiedź: .............................................................................................................................


Zadanie 21. (10 pkt)

Na kuli o promieniu

opisujemy stożki o promieniu i wysokości

. Spośród

wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.

cm

4

=

R

r

H

Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.














background image

Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.

SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ

ARKUSZ II – POZIOM ROZSZERZONY

Nr

zadania

Etapy rozwiązania zadania

Maksymalna

liczba

punktów za

dany etap

1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: W

.

)

4

,

3

(

1p.

2. Obliczenie wartości

.

5

)

0

(

=

f

1p.

3. Obliczenie wartości

.

12

)

7

(

=

f

1p.

11.

(4 pkt)

4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja w przedziale

f

7

;

0

osiąga największą

wartość równą , zaś najmniejszą równą (

.

4

)

12

1p.

5. Przekształcenie danego równania do postaci np.
równania:

1

)

1

)(

1

(

+

=

+

a

a

a

x

1p.

6. Zapisanie, że dla a

dane równanie nie ma żadnego rozwiązania.

1

=

1p.

7. Zapisanie, że dla a

dane równanie ma nieskończenie wiele

rozwiązań.

1

=

1p.

12.

(4 pkt)

8. Zapisanie, że dla a

i

dane równanie ma dokładnie jedno

rozwiązanie.

1

1

a

1p.

9. Zapisanie, że warunkiem koniecznym ciągłości danej funkcji w punkcie

jest istnienie skończonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, że

dwumian

jest podzielnikiem dwumianu

, zatem parametr

przyjmuje wartość: . (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi

bez uzasadnienia)

2

=

x

4

a

= −

)

2

( −

x

)

(

2

a

x

+

a

4

=

a

2p.

10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie

:

2

=

x

4

2

4

2

2

=

x

x

x

lim

.

1p.

13.

(4 pkt)

11. Porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji w punkcie

:

oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja jest ciągła w

punkcie gdy a

oraz

.

g

2

=

x

b

g

x

g

x

=

=

=

)

2

(

4

)

(

lim

2

2

=

x

=

g

4

4

=

b

1p.

12. Zapisanie, że

1

1

2

4

n

n

n

a

S

S

n

+

+

=

=

+

2p.

13. Obliczenie n - tego wyrazu ciągu: .

2

2

+

= n

a

n

1p.

14. Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:

1

n

n

r a

a

+

=

1p.

14.

(5 pkt)

15. Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.

1p.

16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciągu, np. przez oraz ilorazu, np.
przez q i zapisanie, że

.

1

a

10

9

1

=

q

a

1p.

17. Doprowadzenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci

.

18

...

2

1

19

1

+

+

+

q

a

1p.

18. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci

.

9

19

19

1

q

a

1p.

19. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci

19

9

1

)

(

q

a

1p.

15.

(5 pkt)

20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów tego ciągu jest równy 10 .

19

1p.

Strona 1 z 3

background image

Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.

21. Zauważenie i zapisanie, że dane doświadczenie losowe można opisać

schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu

6

1

=

p

,

prawdopodobieństwo porażki

6

5

=

q

, liczba prób

, liczba sukcesów

.

5

=

N

4

k

1p.

22. Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci:

.

)

5

(

)

4

(

)

4

(

5

5

5

=

+

=

=

k

P

k

P

k

P

1p.

23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego

zdarzenia w postaci:

0

5

4

5

6

5

6

1

5

5

6

5

6

1

4

5

)

4

(





+





=

k

P

.

1p.

16.

(4 pkt)

24. Poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:

00334

,

0

3888

13

7776

26

7776

1

7776

25

)

4

(

5

=

=

+

=

k

P

.

1p.

25. Zapisanie warunku (1)

, gdzie

.

0

=

CB

CAD

)

,

0

( y

C

1p.

26. Obliczenie współrzędnych wektora CA

[

]

y

=

2

,

9

.

1p.

27. Obliczenie współrzędnych wektora CB

[

]

y

=

2

,

4

.

1p.

28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów

i

:

CA

JJJG

JJJG

CB

36 (2

) (2

)

y

y

− − − ⋅ +

1p.

17.

(5 pkt)

29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
punkty:

)

10

2

,

0

(

C

lub

)

10

2

,

0

(

C

.

1p.

30. Sporządzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kąta.

1p.

31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.

α

cos

4

3

2

4

3

4

3

2

2

2

2

+

=

a

a

a

a

α

, gdzie a - długość krawędzi sześcianu,

zaś - miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu

2p.

18.

(4 pkt)

32. Obliczenie wartości cosinusa kąta ostrego:

3

1

=

α

cos

. (Albo:

3

1

cos

=

β

gdzie jest katem rozwartym).

β

1p.

33. Wykorzystanie faktu istnienia okręgu wpisanego w dany trapez i
zapisanie, że suma długości podstaw i trapezu jest równa 10

.

a b

cm

2p.

34. Zauważenie i zapisanie, że wysokość trapezu, opuszczona z wierzchołka
kąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach:

2

a b

+

oraz

2

b

a

.

1p.

)

35. Obliczenie długości wysokości trapezu:

.

cm

h 4

=

1p.

19.

(5 pkt)

36. Obliczenie pola danego trapezu:

.

2

20

P

cm

=

1p.

37. Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania

: i

.

0

log

)

(

2

=

k

x

h

5

>

x

0

>

k

2p.

38. Przekształcenie równania

do postaci:

0

log

)

(

2

=

k

x

h

k

x

x

=

5

4

2

1p.

20.

(10 pkt)

39. Przekształcenie równania do postaci:

.

0

4

5

2

=

+

k

kx

x

1p.

Strona 2 z 3

background image

Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.

40. Zapisanie układu warunków

, gdzie

oznacza odciętą

wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji

, przy

pewnej wartości .

>

>

>

0

)

5

(

5

0

f

x

w

w

x

f

x

2

5

kx

k

=

+

− 4

k

1p.

41. Obliczenie wyróżnika trójmianu:

.

16

20

2

+

=

k

k

1p.

42. Rozwiązanie nierówności

:

0

>

(

) (

)

>

;

21

2

21

2

10

;

0

k

+

∪ 10

.

1p.

43. Rozwiązanie nierówności : k

.

5

>

w

x

(

)

;

10

1p.

44. Sprawdzenie, że warunek

zachodzi dla każdej rzeczywistej

wartości parametru .

0

)

5

(

>

f

k

1p.

44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu
nierówności z p.40 oraz warunku

: Dla wszystkich

0

k

>

(

)

+

;

21

2

10

k

równanie ma dwa różne pierwiastki.

0

log

)

(

2

=

k

x

h

1p.

45. Zapisanie zależności między zmiennymi:

2

2

r

H

r

R

H

R

+

=

.

1p.

46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np.

8

16

2

=

H

H

r

.

1p.

47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:

8

16

3

)

(

2

=

H

H

H

V

π

.

1p.

48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V

:

.

)

(H

(

)

= ;

8

V

D

1p.

49. Obliczenie pochodnej funkcji objętości:

(

)

2

8

)

16

(

3

16

)

(

'

=

H

H

H

H

π

V

,

.

V

V

D

D

=

'

1p.

50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości:

.

16

=

H

1p.

51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości:

V

oraz

V

.

)

;

16

(

0

)

(

'

>

H

H

)

16

;

8

(

0

)

(

'

<

H

H

1p.

52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla

funkcja V osiąga lokalne

minimum równe

16

=

H

3

512

)

16

(

π

=

V

.

1p.

53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest
wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:

oraz

.

+∞

=

+

)

(

lim

8

H

V

H

+∞

=

)

(

lim

H

V

H

1p.

21.

(10 pkt)

54. Podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o
promieniu

: wysokość stożka,

, promień podstawy

stożka

cm

R 4

=

cm

H

16

=

cm

2

4

=

.

r

1p.


Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od
przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Strona 3 z 3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom podstawowy(1)
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom podstawowy
2003 probna matura styczen 2003 Chemia rozszerzona arkusz2 id 6 (2)
2003, próbna matura styczeń 2003 Chemia rozszerzona arkusz2 odpowiedzi
fizyka matura styczen 2003 arkusz 1 YNEIP4Z27B573GY22RTYTQ
chemia matura styczen 2003 arkusz 1 7NL7HMDRBPQUD5O26HUGWX
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2
2003 probna matura styczen 2003 Chemia podstawowa arkusz1 id 60 (2)
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matura Język Angielski poziom rozszerzony transkrypcja maj 2013
2015 matura język polski poziom rozszerzony TEST
chemia matura styczen 2003 arkusz 2 DOOLNKVR7PUVYFDVTTSM5B
2003 próbna matura styczeń 2003, Chemia podstawowa arkusz1-odpowiedzi
2015 matura język polski poziom rozszerzony KLUCZ
Matura próbna z fizyki poziom rozszerzony wer 2
2015 matura JĘZYK FRANCUSKI poziom rozszerzony TEST

więcej podobnych podstron