FIZYKA
Wykład 6
Elementy hydromechaniki:
Właściwości substancji w stanie ciekłym. Ciśnienie w cieczy, prawo Pascala i
paradoks hydrostatyczny. Prawo Archimedesa, pływanie ciał.
Przepływ cieczy, równanie ciągłości strugi, prawo Bernoulliego.
Statyka płynów
PÅ‚yn
Płyn to substancja zdolna do przepływu, przyjmująca kształt naczynia, w którym się
znajduje. PÅ‚yny nie majÄ… sprÄ™\
ystości kształtu, a mają sprę\
ystość objętości.
Do opisu płynów posługujemy się wielkościami, które mogą mieć ró\
ne wartości w ró\
nych
punktach ciała: gęstość
ciśnienie
Gęstość
masa na jednostkę objętości
kg
îÅ‚ Å‚Å‚
m
3
ïÅ‚m śł
Á =
Mała gęstość
Du\
a gęstość
ðÅ‚ ûÅ‚
V
(ciało jednorodne)
Ciecze  mała zale\
ność gęstości od temperatury i
ciśnienia (płyn nieściśliwy)
Gazy  gęstość silnie zale\
y od temperatury i
"m dm
ciśnienia (płyn ściśliwy)
Á = lim0 =
"V
"V dV
Statyka płynów
v
Ciśnienie
F
s
siła działająca na powierzchnię
N
îÅ‚Pa = Å‚Å‚
F
(równomierny nacisk,
p =
ïÅ‚
m2 śł płaska powierzchnia) cię\
ar
ðÅ‚ ûÅ‚
S
"F dF
p = lim0 =
"S
"S dS
Ciśnienie gazu rozumiemy jako
efekt sprÄ™\
ystych zderzeń cząstek
tworzących gaz pomiędzy sobą jak
i ze ściankami naczynia.
[ ]
1atm = 1,01325Å"105 Pa = 760mmHg(1Tr)
atmosfera  przybli\
ona wartość
ciśnienia atmosferycznego na
poziomie morza.
zderzenie
milimetr słupa rtęci (Tor)
Statyka płynów
Ciśnienie panujące wewnątrz płynu
v
Zachowanie równowagi w kierunku
pionowym wymaga aby:
F1
F2 = p2S
F2 = F1 + mg
v
F1 = p1S v
mg
F2
p2S = p1S + ÁSg(h2 - h1)
m = ÁV
dla h1 = 0
p2 = p1 + Ágh2
Paradoks hydrostatyczny
Ciśnienie w pewnym punkcie w płynie
ciśnienie
znajdującym się w równowadze statycznej zale\
y
hydrostatyczne
od głębokości tego punktu pod powierzchnią
p = p0 + Ágh
płynu, a nie zale\
y od poziomych rozmiarów płynu
ani zbiornika, w którym znajduje się płyn.
Ciśnienie atmosferyczne
W cieczy jednorodnej w
Na ka\
dy metr kwadratowy powierzchni
naczyniach połączonych
Ziemi działa siła 105 N (11 ton). Jest to
ciśnienia na ustalonym
ciÄ™\
ar powietrza nad ZiemiÄ…. CiÄ™\
ar
poziomie są równe. Poziomy
powietrza dzielony przez powierzchniÄ™
cieczy w naczyniach sÄ…
na którą powietrze działa nazywamy
jednakowe.
ciśnieniem atmosferycznym.
Statyka płynów
p = p0 + Ágh
Dla wody Áwody = ~103 kg/m3
Wzrost ciśnienia o jedną atmosferę w zbiorniku wodnym nastąpi na głębokości:
2,02Å"105 Pa = 1,01Å"105 Pa +103kg / m3 Å"9,81m / s2 Å"d
d =10,3m
Pomiar ciśnienia (barometr)
Rurka wypeÅ‚niona rtÄ™ciÄ… (ÁHg = 13,6·103 kg/m3), którÄ… odwracamy nad
naczyniem z rtęcią.
pA = Ágh pB = patm.
Ciśnienia w punktach A i B są jednakowe gdy\
punkty te
są na jednakowej wysokości więc:
rtęć
patm.
h =
Ágh = patm.
Ág
Mierząc więc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość
ciśnienia atmosferycznego.
Barometr Torricellego 1643 r.
Statyka płynów
Wzór barometryczny
(Zale\
ność ciśnienia w zale\
ności od zmian wysokości w atmosferze ziemskiej)
Ró\
nica ciśnień dp związana
- dp = Á Å" g Å" dh
ze wzrostem wysokości dh:
Gazy  gęstość silnie zale\
y od temperatury i ciśnienia (płyn ściśliwy)
Á p
=
p0V0 = pV
gdy T= const.
Á0 p0
mÅ" p
Dla gazu doskonałego
Á =
R Å"T
dp mg
= - dh
p RT
Po scałkowaniu powy\
szego
równania i skorzystaniu z
własności logarytmu, otrzymamy:
µgh
-
RT
p = p0 Å"e
Statyka płynów
Z tego równania mo\
emy odczytać, \
e jeśli
p = p0 + Ágh
zmieni się ciśnienie na powierzchni cieczy o
wartości np. "p0, to zmieni się ono o tyle
samo na ka\
dej głębokości.
"p = "p0 + Ágh
Prawo Pascala
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane
niezmienione na ka\
dą część płynu oraz na ścianki naczynia.
Prawo to jest słuszne równie\
dla cieczy
ściśliwych oraz gazów (w stanie równowagi).
Ciśnienie w cieczy jednorodnej
(zewnętrzne, hydrostatyczne) rozchodzi
się równomiernie we wszystkie strony,
działając prostopadle na ka\
dÄ…
powierzchniÄ™
Statyka płynów
Na prawie Pascala opiera się m.in. działanie pras i podnośników hydraulicznych.
v
Fwej Fwyj
Fwyj
Zmiana ciśnienia
"p = =
cieczy
Swej Swyj
v
Swej
Fwej
dwyj
Swyj
Fwyj = Fwej
Swej
dwej Swyj
Fwyj > Fwej Swyj > Swej
gdy
V = Swejdwej = Swyjdwyj
Swej
Gdy Swyj > Swej to dwyj < dwej
dwyj = dwej
Swyj
Prasa hydrauliczna umo\
liwia działanie mniejszą siłą na dłu\
szej drodze zamiast
działania większą siłą na krótszej drodze.
Statyka płynów
Blok o wysokości d (h2-h1) i polu podstawy S zanurzony
jest w cieczy o gÄ™stoÅ›ci Ác na gÅ‚Ä™bokoÅ›ci h2.
v
F1
Fwyp = F2 - F1
d
Fwyp = ( p0 + Ácgh2)S - ( p0 + Ácgh1)S
v
F2
gdzie
Fwyp = ÁcgV V = S(h2 - h1)
Prawo Archimedesa
Na ka\
de ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie działa
skierowana pionowo ku górze siła wyporu o wartości równej cię\
arowi
płynu wypartego przez to ciało.
Siła wypory jest konsekwencją
Fwyp = mpg = ÁpgV
faktu, \
e ciśnienie zmienia się
wraz z głębokością.
objętość części
zanurzonej ciała
masa płynu
gęstość płynu
Statyka płynów
Warunki pływania ciał
1. Pływanie ciał po powierzchni cieczy
- siła wyporu jest większa od siły cię\
kości
ciało wypływa unosząc się do góry.
ÁpÅ‚Å‚yn > ÁciaÅ‚i
Fwyp > Fg
2. Pływanie ciał całkowicie zanurzonych:
(Å‚odzie podwodne, zatopione obiekty, tonÄ…ce
przedmioty itd.)
Tutaj mamy dwie mo\
liwości:
- siła wyporu jest mniejsza od siły cię\
kości  ciało tonie
ÁpÅ‚Å‚yn < ÁciaÅ‚i
Fwyp < Fg
- siły wyporu i cię\
kości są sobie równe  wtedy ciało
pozostaje w bezruchu unosząc się w płynie.
Fwyp = Fg
Á = ÁciaÅ‚i
płłyn
Statyka płynów
Warunki pływania ciał
Jaka część góry lodowej pływa po powierzchni wody?
Áwody =1024kg / m3
Álodu = 917kg / m3
Fwyp = Fg
Áwody gVwody = Álodu gVlodu
Vwody
Álodu 917kg / m3
= = = 89%
Vlodu Áwody 1024kg / m3
Dynamika płynów
Przepływ  ruch płynu
opisu ruchu płynu
opis gęstości płynu i jego prędkości
opis ruchu poszczególnych
w ka\
dym punkcie przestrzeni w
cząsteczek płynu
funkcji czasu Á(x,y,z,t) oraz v(x,y,z,t)
" Przepływ mo\
e być ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony, gdy
prędkość płynu v w dowolnie wybranym punkcie jest stała w czasie (stacjonarny) tzn. ka\
da
czÄ…steczka przechodzÄ…ca przez dany punkt zachowuje siÄ™ tak samo. Warunki takie osiÄ…ga
się przy niskich prędkościach przepływu; Dla ka\
dego układu (przewodu, rury, koryta rzeki)
mo\
na określić graniczną prędkość, powy\
ej której przepływ będzie zawsze turbulentny.
" Przepływ mo\
e być wirowy lub bezwirowy . Przepływ jest bezwirowy, gdy w \
adnym punkcie
cząsteczka nie ma wypadkowej prędkości kątowej;
" Przepływ mo\
e być ściśliwy lub nieściśliwy. Przepływ jest nieściśliwy gdy gęstość płynu jest
stała. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy. Równie\
przepływ gazu mo\
e być w
pewnych warunkach nieściśliwy (np. ruch powietrza względem skrzydeł samolotu podczas
lotu z prędkością mniejszą od prędkości dz
więku).
" Przepływ mo\
e być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w
ruchu ciał stałych. Charakteryzuje opór płynów przeciw płynięciu pod działaniem sił
zewnętrznych. . Powodowana jest przez siły styczne działające pomiędzy warstwami cieczy
przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie
(dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. Lepkość jest istotną cechą wielu produktów na
przykład smarów.
Ograniczymy się do opisu przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich.
Dynamika płynów
Przepływ ustalony  ka\
da czÄ…stka przechodzÄ…ca przez dowolny punkt ma w tym punkcie takÄ…
samą prędkość np. v1.
Wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor ka\
dej czÄ…stki przechodzÄ…cej
przez dany punkt.
Tor cząstki  linia prądu Pewna skończona liczba linii prądu (wiązka) struga prądu
W czasie "t cząstka płynu przebywa odległość równą v.t.
"m1 = ÁS1v1"t
Masa płynu przechodzącego przez S1 w czasie "t wynosi
Masa płynu przechodzącego przez S2 w czasie "t wynosi
"m2 = ÁS2v2"t
Strumienie mas przepływające przez obie powierzchnie muszą być sobie równe
S1v1 = S2v2
strumień objętościowy:
Równanie ciągłości
Sv = const.
Prawo ciągłości
Prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola
przekroju strugi.
Dynamika płynów
Rura o zmiennym przekroju
S1v1 = S2v2
v2
v1 S2 S1 > S2 v1 < v2
S1 Skoro to
Prędkość przepływu wzrasta, gdy maleje pole
przekroju poprzecznego, przez który płyn przepływa.
Przykład
W strudze wody wypływającej z kranu
prędkość rośnie w miarę spływania wody:
2
v2 = v0 + 2gh
Wartość strumienia objÄ™toÅ›ciowego (S·v) nie
mo\
e się zmieniać, wobec czego struga musi
siÄ™ zwÄ™\
ać ku dołowi.
Dynamika płynów
Równanie Bernoulliego
W czasie "t powierzchnia S1 przemieszcza siÄ™ o
odcinek v1"t
W czasie "t powierzchnia S2 przemieszcza siÄ™ o
odcinek v2"t
F1 = p1S1
W1 = F1v1"t
F2 = p2S2 W2 = F2v2"t
W = F1v1"t - F2v2"t = p1S1v1"t - p2S2v2"t
S1v1"t = S2v2"t = V W = ( p1 - p2)V
Twierdzenia o pracy i energii:
praca wykonana przez wypadkową siłę zewnętrzną jest równa zmianie energii układu
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ m
mv2 mv1
ìÅ‚ ÷Å‚
( p1 - p2)V = + mgh2 ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ V =
+ mgh1 ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
Á
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
masa przemieszczonej objętości V płynu
Dynamika płynów
2 2
Áv1 Áv2
p1 + + Ágh1 = p2 + + Ágh2
2 2
Równanie Bernoulliego
Áv2
p + + Ágh = const.
2
W stacjonarnym strumieniu idealnej i nieściśliwej cieczy całkowite ciśnienie, zło\
one z
ciśnienia statycznego (zewnętrznego) (1 człon równania), dynamicznego (2 człon) oraz
hydrostatycznego (3 człon) jest stałe w dowolnym przekroju poprzecznym strumienia.
Wynika z niego, \
e przepływ cieczy w strudze mo\
e być wywołany ró\
nicą ciśnień na
końcach strugi lub ró\
nicą poziomów tych końców.
Równanie Bernoulliego wyjaśnia np.:
" Działanie spryskiwaczy, rozpylaczy, palników
" Powstawanie siły nośnej latawca, skrzydeł samolotu, ptaków i owadów
" Poruszanie się ruchem typu szybowania niektórych owoców i nasion
" Zrywanie dachów przez wiatr
Dynamika płynów
Przypadek szczególny
Rura ustawiona poziomo
Áv2
(h = const.) p + = const.
v2 S1 > S2
2
v1 S2
S1
v1 < v2
p1 > p2
Paradoks hydrodynamiczny
Na przewÄ™\
eniach prędkość cieczy v
jest większa i tam ciśnienie
dynamiczne pdyn= Áv2/2 jest wiÄ™ksze,
ciśnienie statyczne ulega osłabieniu -
Pompka wodna
pojawia się podciśnienie.
Ciała znajdujące się w strumieniu
cieczy są więc  wciągane do
obszarów, gdzie prędkość strumienia
cieczy jest większa.
Dynamika płynów
Równanie Bernoulliego mo\
e być stosowane do wyznaczenia prędkości płynu na
podstawie pomiarów ciśnienia (rurka Venturiego, rurka Pitota).
Mo\
na te\
w oparciu o nie wyznaczyć dynamiczną siłę nośną.
ZwÄ™\
ka Venturiego (dysza Venturiego)
2
2A2 "p
v1 =
2
Á(A2 - A12)
W pewnym miejscu rury o stałej powierzchni przekroju poprzecznego (A1), w której z
prędkością v1 przemieszcza się płyn (gaz lub ciecz), znajduje się przewę\
enie o
znacznie mniejszej powierzchni przekroju poprzecznego (A2).
Z prawa Bernoulliego oraz warunku ciągłości przepływu wynika, \
e kwadrat prędkości
płynu przed zwę\
ką jest wprost proporcjonalny do ró\
nicy ciśnień przed zwę\
kÄ… i na niej
"p (której miarą jest ró\
nica h poziomów cieczy).
Dynamika płynów
Rurka Pitota
Rurkę z wygiętym końcem wkładamy do płynącej wody. Woda
napiera tym większą siłą im szybciej płynie. Wobec tego słup
wody w rurce będzie tym większy im woda popłynie szybciej.
2Ágh
v =
Prędkościomierz lotniczy mierzy ró\
nicę między ciśnieniem
Á
pow
dynamicznym z rurki Pitota a ciśnieniem statycznym.
Dynamika płynów
Dynamiczna siła nośna
Dynamiczna siła nośna jest to siła jaka działa na np. skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło
helikoptera, i wywołana jest ruchem tych ciał w płynie w odró\
nieniu od statycznej siły
nośnej, która jest siła wyporu działającą np. na balon czy statek zgodnie z prawem
Archimedesa.
v1 > v2
p1 < p2
Linie prądu nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej ni\
pod skrzydłem - ró\
nica
prędkości powoduje ró\
nicę ciśnień  ciśnienie powietrza pod skrzydłem jest większe od
ciśnienia powietrza nad skrzydłem  stąd wypadkowa siła nośna F skierowana ku górze.