Strumień ciepła doprowadzonego do elementu płynu może być skutkiem reakcji
chemicznych, przewodnictwa cieplnego, promieniowania, jonizacji i innych
procesów. Uwzględnimy tylko strumień ciepła dostarczony drogą przewodnictwa
cieplnego; jego zmiana w kierunku osi x (rys. 8.5) wynosi



Składowa gęstości strumienia ciepła jest określona zgodnie z prawem Fouriera
wzorem

(8.23)

gdzie jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, zależnym - w ogólnym przypadku
- od temperatury i ciśnienia.
Analogicznie otrzymuje się zmiany strumienia ciepła w pozostałych kierunkach
osi współrzędnych, co pozwala na zapisanie strumienia ciepła w postaci
równania

(8.24)

Wynikiem połączenia wszystkich uzyskanych rezultatów jest równanie zachowania
energii



(8.25)

które - po podstawieniu zależności dla naprężeń (8.4), (8.5), (8.11) i
wykorzystaniu oznaczeń (3.25) - można przedstawić następująco





(8.26)

Równanie (8.26) możemy przekształcić w sposób czysto formalny i wprowadzić
entalpię (7.7). Po wykorzystaniu tożsamości

(8.27)

oraz równania ciągłości (3.18)

(8.28)

mamy



(8.29)

Mnożąc kolejne równania ruchu (8.13) przez składowe prędkości oraz dodając je
stronami uzyskamy równanie określające zmianę energii wewnętrznej płynu Jeśli
równanie to odejmiemy następnie stronami od równania energii (8.25), to
otrzymamy równanie

, (8.30)

w którym jest składnikiem reprezentującym dyssypację energii mechanicznej








(8.31)

tzn. tę część pracy sił powierzchniowych, która nie ulega przekształceniu na
energię kinetyczną płynu, ale na jego energię wewnętrzną, powodując
podwyższenie temperatury płynu.
Równanie (8.30), przy wykorzystaniu zależności (8.28) i (7.7), można zapisać
również w postaci

(8.32)

Z kolei zajmiemy siÄ™ zmianami entropii zachodzÄ…cymi w elemencie gazu.
OpierajÄ…c siÄ™ na zwiÄ…zkach (7.8) i (7.11) mamy

(8.33)

Z porównania zależności (8.32) i (8.33) otrzymamy wzór

(8.34)

z którego wynika, że zmiany energii płynu zależą wyłącznie od efektów
dyssypatywnych, tzn. od lepkości i przewodności cieplnej. Oznacza to, że
entropia poruszającego się elementu płynu jest stała, jeśli płyn jest nielepki
i nie przewodzi ciepła.


8.4. Podstawowe zagadnienie mechaniki płynów

Podstawowe zagadnienie mechaniki płynów polega na wyznaczeniu ruchu płynu w
sąsiedztwie zadanego ciała i sprowadza się do rozwiązania układu równań
różniczkowych wynikających z praw zachowania, z odpowiednimi warunkami
brzegowymi i poczÄ…tkowymi.
Układ równań dla płynu lepkiego i ściśliwego, doskonałego w sensie
termodynamicznym, składa się z równania ciągłości (3.18), trzech równań ruchu
(8.13), równania zachowania energii (8.26) i ukÅ‚adu równaÅ„ (1.13) ¸ (1.15).
Możliwe jest zatem wyznaczenie sześciu niewiadomych funkcji: - przy założeniu,
że znane są zależności wyznaczające lepkość płynu m i przewodność cieplną l -
przykładem takiej zależności jest wzór (1.8).
Warunki początkowe , formułowane tylko dla niestacjonarnych ruchów płynu,
charakteryzują stan ruchu płynu oraz jego stan fizyczny w pewnej chwili uznanej
umownie za chwilę początkową badanego zjawiska. Dla musimy więc określić
wartości każdej spośród funkcji niewiadomych, np.:

(8.35)

Warunki brzegowe odnoszą się natomiast do brzegu obszaru przepływu i określają
wartość każdej funkcji niewiadomej lub pochodnej tej funkcji w każdym punkcie
brzegu obszaru, w dowolnej chwili
W odniesieniu do prędkości płynu warunki brzegowe postulują zazwyczaj
"przyklejanie się" płynu do powierzchni ciał stałych (rozdz. 1.3); jeśli
powierzchnia brzegowa jest nieruchoma wtedy

(8.36)

Warunki brzegowe dla temperatury T mogą dotyczyć albo samej temperatury, albo
jej gradientu, zależnie od tego czy powierzchnia ciała stałego ma zadaną
temperaturę, czy też znany jest strumień ciepła transportowanego przez
rozważaną powierzchnię. Oprócz tego zwykle zakładamy jednorodność przepływu w
nieskończoności; prędkość, ciśnienie, gęstość i temperatura w nieskończoności
powinny więc spełniać następujące warunki:

(8.37)



8.5. Formy opisu ruchu cieczy lepkiej

Cieczą lepką nazywać będziemy płyn newtonowski o stałej gęstości, stałej
lepkości m oraz stałej przewodności cieplnej l. Przy tych założeniach układ
równań, składający się z równania ciągłości (3.20) i równania Naviera-Stokesa
(8.17):

(8.38)

można rozwiązać niezależnie od równania energii (8.26). Oznacza to, że pole
temperatury T jest wyznaczane dopiero po określeniu pola prędkości i pola
ciśnienia p. Temperatura odgrywa więc rolę podrzędną w ruchu cieczy lepkiej,
nie wpływa bowiem na prędkość i ciśnienie, co jest konsekwencją przyjęcia
stałości m oraz l.
Rozwiązywanie układu równań (8.38) dla zmiennych fizycznych: napotyka na
szereg trudności, gdyż równanie ciągłości ma istotnie odmienną budowę od
równania Naviera-Stokesa. Z tego też względu układ równań (8.38) jest
zastępowany często innymi równaniami równoważnymi albo też stosowane są metody
obliczeniowe oparte na wykorzystaniu zmiennych Lagrangeła.
Działając operatorem rotacji na wirowość (3.29)



i wykorzystując równanie ciągłości otrzymamy równanie

(8.39)

które może być użyte zamiast równania ciągłości. Jeśli pole sił masowych
jednostkowych jest potencjalne, to taka sama operacja zastosowana do równania
Naviera-Stokesa zezwala na uzyskanie równania Helmholtza

(8.40)

którego lewa strona wynika z przekształcenia zależności (4.4) za pomocą
operatora rotacji, po podstawieniu: (przykł. 4.8)



Równania (8.39) i (8.40) tworzą układ równań, który musi być uzupełniony
nieznanymi warunkami brzegowymi dla wektora wirowości - wyznaczanymi w trakcie
obliczeń. Ponadto, w otrzymanym układzie równań, przybliżone wartości
składowych prędkości mogą nie spełniać równania ciągłości. Tę niedogodność
ukÅ‚adu (8.39) ¸ (8.40) można usunąć wprowadzajÄ…c potencjaÅ‚ wektorowy
zdefiniowany wzorem

(8.41)

równanie ciągłości jest w tym przypadku spełnione tożsamościowo, ponieważ



Istniejąca pewna dowolność w określaniu - wzór (12.31) - pozwala na przyjęcie
założenia, że tworzy pole solenoidalne

(8.42)

i wtedy z (8.41) mamy

(8.43)

Równania (8.40) i (8.43) tworzą zamknięty układ równań dla wektorów i po
uprzednim wykorzystaniu zależności (8.41).
Inne możliwości zmodyfikowania układu równań (8.38) mogą polegać na
wykorzystaniu zamiast równania ciągłości równania Poissona dla ciśnienia,
otrzymanego jako wynik działania operatora diwergencji na obie strony równania
Naviera-Stokesa, lub też na przyjęciu koncepcji sztucznej ściśliwości, która
może być zastosowana przy wyznaczaniu stacjonarnych przepływów cieczy lepkiej.
Zakładając zmienność gęstości według zależności

(8.44)

gdzie jest gęstością cieczy nieściśliwej, - małym parametrem, możemy równanie
ciągłości (3.18) zapisać następująco

(8.45)

przy pominięciu członów Biorąc pod uwagę dodatkowo związek (7.18), mały
parametr e możemy zastąpić również prędkością c rozchodzenia się nieskończenie
słabych zaburzeń; otrzymamy

(8.46)



*

Wielkie trudności matematyczne związane z wyznaczaniem rozwiązań pełnego
układu (8.38) lub też układów równoważnych, zachęcały do badania szczególnych
klas przepływów, dla których pewne składniki równania Naviera-Stokesa stają się
pomijalnie małe, tak że można je odrzucić i uzyskać tą drogą równania
zlinearyzowane, Å‚atwiejsze do rozwiÄ…zania.
Jedna z takich uproszczonych form została zaproponowana przez Stokesa dla
przypadku powolnego ruchu ciała w cieczy o dużej lepkości, gdy siły spowodowane
lepkością są znacznie większe od sił bezwładności - wobec czego te ostatnie
można pominąć. Zakładając i ruch stacjonarny otrzymamy równanie Stokesa

(8.47)

W zagadnieniu opisywanym układem równań (8.38a) i (8.47) tkwi jednak swego
rodzaju wewnętrzna sprzeczność. Okazuje się bowiem, że odrzucone z założenia
siły masowe w równaniu rządzącym przepływem, stają się - w dostatecznie dużej
odległości od ciała opływanego - większe od sił lepkości; ich odrzucenie jest
więc usprawiedliwione tylko w obszarach bliskich ścianek ciała stałego. Ponadto
okazuje się (przykł. 8.6), że zagadnienie to dla płaskiego opływu ciała w ogóle
nie ma rozwiązania - paradoks Stokesa (przy założeniu, że w obszarze
rozwiązania nie ma żadnych osobliwości).
Paradoks Stokesa nie wystąpi, jeśli w równaniach wyjściowych zachowane będą
pewne składniki całkowitej siły masowej, które w dużej odległości od ciała są
porównywalne z siłami lepkości. Tego typu linearyzację równania Naviera-Stokesa
zaproponował Oseen postulując alternatywne równanie, nazywane równaniem Oseena
, rządzące przepływem cieczy o dużej lepkości

(8.48)

gdzie jest prędkością strumienia jednorodnego, równoległego do osi x.
Przybliżenie nieliniowe równań Naviera-Stokesa, oparte na koncepcji tzw.
warstwy przyściennej, jest omawiane w rozdziale dziewiątym.


*

Postać przedstawionych równań opisujących przestrzenny ruch cieczy lepkiej
ulega znacznemu uproszczeniu przy ograniczeniu się do rozwiązania płaskiego
ruchu cieczy lepkiej
Stosunkowo najmniejszemu uproszczeniu ulega układ (8.38), który w formie
rozwiniętej - po pominięciu pola sił masowych jednostkowych - przedstawia się
następująco:

(8.49)
Równanie Poissona dla ciśnienia otrzymamy po zróżniczkowaniu równania (8.49b)
względem x oraz równania (8.49c) względem y, dodaniu ich stronami i odpowiednim
wykorzystaniu równania ciągłości (8.49a)



(8.50)

Dzięki znikaniu składowych potencjału wektorowego i składowych rotacji
prędkości w kierunku osi x i w kierunku osi y, bardzo dużemu uproszczeniu
ulegają równania (8.40) i (8.43)
otrzymujemy:

(8.51)

gdzie a jest funkcjÄ… prÄ…du (6.7).
Płaski, stacjonarny ruch cieczy lepkiej może być więc opisany - w
szczególności - układem równań:

(8.52)

lub też równoważnym quasi-liniowym równaniem czwartego rzędu dla funkcji prądu

(8.53)



8.6. Hydrodynamiczna teoria smarowania

Hydrodynamiczna teoria smarowania objaśnia zjawiska występujące w cienkiej
warstwie oleju - zwanej filmem olejowym - wypełniającej szczelinę pomiędzy
dwiema gładkimi, poruszającymi się względem siebie powierzchniami. Zjawiska
takie obserwowane są w łożyskach ślizgowych maszyn wirnikowych i tłokowych,
w przekładniach zębatych i wielu innych węzłach tarcia różnych maszyn -
pracujÄ…cych w mgle olejowej.




Rys. 8.6

W celu wyprowadzenia podstawowych równań hydrodynamicznej teorii smarowania
obieramy układ współrzędnych - w taki sposób, żeby powierzchnie ograniczające
przepływ ( na rys. 8.6) mogły być opisane równaniami:

(8.54)

Opis taki umożliwia określenie wielkości szczeliny między powierzchniami za
pomocą różnicy tych funkcji

(8.55)

oraz wprowadzenie pomocniczego układu współrzędnych

(8.56)

Niech powierzchnie ograniczające przepływ: poruszają się z prędkościami,
odpowiednio, i .
Ze względu na małą grubość warstwy smarnej (rzędu mikrometrów) występuje
w niej laminarny ruch oleju, ale panujące w obszarze styku ciał bardzo wysokie
ciśnienia (rzędu megapascali) powodują konieczność uwzględnienia zarówno
ściśliwości oleju, jak i silnej zależności jego lepkości od ciśnienia. Przepływ
oleju w szczelinie między współpracującymi elementami maszyn musi więc być
opisany najogólniejszymi równaniami mechaniki płynów: równaniem ciągłości
(3.16), równaniami Naviera-Stokesa (8.13) i równaniem energii (8.26). Ponieważ
jednak grubość filmu olejowego jest bardzo mała w porównaniu z powierzchniami
węzłów tarcia, możemy wprowadzić założenia upraszczające - wynikające z faktu,
że zmiany parametrów hydrodynamicznych w kierunku normalnym do powierzchni i
powierzchni są dużo większe od zmian w kierunkach stycznych. Przy tych
założeniach równania Naviera-Stokesa przepisujemy w postaci:

(8.57)

i następnie pomijamy wszystkie siły masowe jako małe w porównaniu z siłami
ciśnieniowymi i siłami tarcia:

(8.58)

Po uśrednieniu temperatury i lepkości oleju w każdym przekroju poprzecznym
warstwy smarnej, możemy obliczyć składowe prędkości w kierunku osi x i y:

(8.59)

gdzie są składowymi wektorów prędkości, z jakimi poruszają się powierzchnie
(rys. 8.6).
Scałkujemy teraz uproszczone równanie ciągłości (3.16) w granicach od do

(8.60)