HYDROLOGIA,

METEOROLOGIA

I KLIMATOLOGIA

Cz. II – HYDROLOGIA

W 6 – Wody podziemne 3

M. Nawalany

Prawo zachowania masy

Obj

ę

to

ść

kontrolna, stan ustalony:

- składowa x strumienia masy wody

x

q

~













=

2

~

m

S

M

q

s

kg

gdzie:

M [kg/s] – wydatek (przepływ) masowy
S [m

2

] – pole powierzchni przez któr

ą

przepływa wydatek M

Prawo zachowania masy – c.d.

Zwi

ą

zek pomi

ę

dzy strumieniem masowym a strumieniem

obj

ę

to

ś

ciowym q :

q

~

ρ

q

q

~

⋅

=

gdzie:

ρ

[kg/m

3

] – g

ę

sto

ść

cieczy.

Prawo ci

ą

gło

ś

ci dla o

ś

rodków porowatych ma posta

ć

:

( )

( )

q

~

div

t

n

−

=

∂

ρ

∂

Z postaci tej wida

ć

,

ż

e woda mo

ż

e by

ć

gromadzona w o

ś

rodku albo

wskutek zmiany g

ę

sto

ś

ci, albo wskutek zmiany geometrii o

ś

rodka, czyli

zmiany warto

ś

ci n.

Przypadki prawa ci

ą

gło

ś

ci

1.

Przypadek ogólny:

2. Przypadek szczególny - płyn nie

ś

ci

ś

liwy (

ρ

= const.), brak

zmian geometrii o

ś

rodka (n =const.),

st

ą

d

oraz

czyli:

0

z

q

y

q

x

q

z

y

x

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

Człon reprezentuje nadmiar masy wpływaj

ą

cej nad mas

ą

wypływaj

ą

ca z elementarnej obj

ę

to

ś

ci w jednostce czasu.

( )

q

div ~

−

( )

( )

q

~

div

t

n

−

=

∂

ρ

∂

(((( ))))

0

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

t

n

ρρρρ

( )

0

q

div

=

(((( ))))

(((( ))))

0

~

====

====

q

div

q

div

ρρρρ

Prawo Darcy

Eksperyment Darcy:

W do

ś

wiadczeniu

zaobserwowano,

ż

e:

Q ~ A,

Q ~

∆

H = H

2

– H

1

,

Q ~ 1/L

Wynika st

ą

d,

ż

e:

L

H

k

A

Q

q

∆

∆

−

=

=

Prawo Darcy – c.d.

Prawo Darcy w najprostszej postaci :

x

k

q

x

∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

−−−−

====

y

k

q

y

∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

−−−−

====

z

k

q

z

∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

−−−−

====

Równanie przepływu wód podziemnych

Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ci

ą

gło

ś

ci otrzymuje si

ę

trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:













∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

++++













∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

++++













∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

z

k

z

y

k

y

x

k

x

t

S

S

Dwuwymiarowe przybli

ż

enie płaskie przepływu wód podziemnych:

)

(

)

(

~

~

~

2

1

z

q

z

q

y

T

y

x

T

x

t

S

z

z

−−−−

++++













∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

++++













∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

Φ

Φ

Φ

Φ

∂∂∂∂

gdzie:
S [-] – współczynnik wodopojemno

ś

ci spr

ęż

ystej: S = S

S

l,

T

i

[m

2

/s] – współczynnik przewodno

ś

ci hydraulicznej: T

i

= k

i

l

(

)

(

)

∫

Φ

=

Φ

2

1

,

,

,

1

,

,

~

z

z

dz

t

z

y

x

l

t

y

x

–

wysoko

ść

hydrauliczna u

ś

redniona po

mi

ąż

szo

ś

ci warstwy wodono

ś

nej

Przykład – dopływ do rowu

Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ
swobodny jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodono

ś

nej przy braku

zasilania infiltracyjnego oraz podsi

ą

ku opisany jest prostym równaniem Laplace’a.

0

x

)

x

(

H

2

2

2

=

∂

∂

Przykład – dopływ do rowu – c.d.

Rozwi

ą

zanie ogólne ma posta

ć

:

C

Bx

x

H

+

=

)

(

2

Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) = H

1

, H(L)

= H

2

- parametry B oraz C wynosz

ą

odpowiednio:

,

2

1

2

2

L

H

H

B

−

=

2

1

H

C

=

St

ą

d rozwi

ą

zanie szczególne:

2

1

2

1

2

2

2

)

(

H

x

L

H

H

x

H

+

−

=

Rozwi

ą

zanie to nazywa si

ę

PARABOL

Ą

DUPUITA.

Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:

x

x

H

Dk

x

x

H

x

DkH

Q

x

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

)

(

2

1

)

(

)

(

~

2













−

=

L

H

H

kD

Q

x

2

2

2

1

2

~

Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych

Mechanizmy transportu masy wyra

ż

one jako strumienie masy (kg/m

2

/s):

1.

Transport adwekcyjny

2.

Transport dyfuzyjny

3.

Transport dyspersyjny

VC

J

adw

=

x

C

D

J

dyf

x

dyf

∂

∂

−

=

y

C

D

J

dyf

y

dyf

∂

∂

−

=

z

C

D

J

dyf

z

dyf

∂

∂

−

=

x

C

D

J

dysp

xx

x

dysp

∂

∂

−

=

,

y

C

D

J

dysp

yy

y

dysp

∂

∂

−

=

,

z

C

D

J

dsp

zz

z

dysp

zz

∂

∂

−

=

,

,

Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy:
równanie transportu masy w wodach podziemnych.

r

C

V

z

C

V

y

C

V

x

z

C

D

z

y

C

D

y

x

C

D

x

t

C

z

y

x

zz

yy

xx

+

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

−













∂

∂

∂

∂

+













∂

∂

∂

∂

+













∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

Przykład – dopływ zanieczyszcze

ń

do studni

Dana jest studnia zupełna ujmuj

ą

ca wod

ę

w obszarze rolniczym z warstwy

wodono

ś

nej o zwierciadle napi

ę

tym. Warstwa wodono

ś

na jest jednorodna i

izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltruj

ą

c wymywaj

ą

z powierzchni pestycydy u

ż

ywane do ochrony ro

ś

lin. W warstwie wodono

ś

nej

pestycydy ulegaj

ą

biodegradacji zgodnie z prawem rozpadu:

( )

t

exp

C

)

t

(

C

0

λ

−

=

Czyli:

5

.

0

2

ln

T

=

λ

gdzie:

- okres połowicznego rozpadu.

5

.

0

T

Dane s

ą

: H, n, k, T

0.5

, Q

0

, c

0

.

Poszukuje si

ę

st

ęż

enia wody

pobieranej przez studni

ę

przy

zało

ż

eniu,

ż

e jedynym

mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.

1

N

Hn

1

c

Q

M

c

0

0

w

+

λ

=

=

St

ęż

enie pestycydu w wodzie

pobieranej w studni wynosi:

[kg/m

3

]