PrzykÅ‚ad 4.4. Belka ze skratowaniem Polecenie: korzystajÄ…c z metody siÅ‚ sporzÄ…dzić wykresy siÅ‚ przekrojowych w poni\szej konstrukcji stalowej. Wyznaczyć ugiÄ™cie w punkcie B (w poÅ‚owie rozpiÄ™toÅ›ci belki). Porównać wyznaczone ugiÄ™cie ze strzaÅ‚kÄ… ugiÄ™cia dla belki wolnopodpartej (bez skratowania) o tych samych wymiarach i tak samo obciÄ…\onej. Przyjąć, \e belka wykonana jest z dwuteownika 360, prÄ™ty skratowania z dwu kÄ…towników równoramiennych 40x40x4, natÄ™\enie obciÄ…\enia wynosi q=10kN/m a wymiar l=1m. q EI B l EA EA EA EA EA l l l l q EI B 2l 2l RozwiÄ…zanie zadania rozpoczynamy od obliczenia stopnia statycznej niewyznaczalnoÅ›ci ukÅ‚adu. W przypadku belki ze skratowaniem korzystamy ze wzoru n = r + 3·z - p - 3 gdzie: r - liczba skÅ‚adowych reakcji podpór z - liczba zamkniÄ™tych części ukÅ‚adu p - liczba przegubów. W rozpatrywanym ukÅ‚adzie stopieÅ„ statycznej niewyznaczalnoÅ›ci wynosi cztery przeguby pojedyncze trzy zamkniÄ™te części ukÅ‚adu dwa przeguby podwójne n = 3 + 3·3 - (4 + 2·2)- 3 = 1 Mo\emy równie\ okreÅ›lić stopieÅ„ statycznej niewyznaczalnoÅ›ci rozpatrywanego ukÅ‚adu analizujÄ…c jego budowÄ™. Powy\szy ukÅ‚ad, otrzymany przez usuniÄ™cie jednego prÄ™ta dwuprzegubowego (jednego wiÄ™zu) ze skratowania rozwiÄ…zywanej belki, jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny. UkÅ‚ad jest zatem jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. UsuwajÄ…c jeden nadliczbowy wiÄ™z tworzymy ukÅ‚ad podstawowy statycznie wyznaczalny. Istnieje wiele takich schematów. Poni\ej podano dwa przykÅ‚ady. X1 UkÅ‚ady geometrycznie niezmienne X1 X1 X1 X1 Jako ukÅ‚ad podstawowy przyjmiemy pierwszy spoÅ›ród powy\szych, geometrycznie niezmiennych ukÅ‚adów. Po usuniÄ™ciu nadliczbowego wiÄ™zu nale\y sprawdzić, czy otrzymany ukÅ‚ad jest geometrycznie niezmienny. UkÅ‚ad geometrycznie zmienny nie mo\e być ukÅ‚adem podstawowym. Poni\ej pokazany jest ukÅ‚ad geometrycznie zmienny otrzymany po usuniÄ™ciu jednego wiÄ™zu w rozpatrywanej, jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej belce ze skratowaniem. Nie mo\na równie\ przyjąć jako nadliczbowej \adnej z reakcji podporowych, poniewa\ ukÅ‚ad jest zewnÄ™trznie statycznie wyznaczalny. X1 UkÅ‚ad geometrycznie X1 zmienny Poni\szy rysunek przedstawia przyjÄ™ty do obliczeÅ„ ukÅ‚ad podstawowy X1 l l l l l 2 Mimo pionowego kierunku obciÄ…\enia i reakcji na podporach (skÅ‚adowa pozioma na podporze nieprzesuwnej ma wartość równÄ… zero) we wszystkich przekrojach poprzecznych belki siÅ‚y normalne sÄ… ró\ne od zera. Wynika to z wystÄ™powania w skratowaniu krzy\ulców. SporzÄ…dzamy wykresy siÅ‚ przekrojowych: siÅ‚ podÅ‚u\nych, siÅ‚ poprzecznych i momentów gnÄ…cych dla prÄ™ta podlegajÄ…cego zginaniu od obciÄ…\enia jednostkowÄ… siÅ‚Ä™ nadliczbowÄ… i obciÄ…\enia zewnÄ™trznego. Wyznaczamy równie\ siÅ‚y podÅ‚u\ne w prÄ™tach skratowania w obu stanach. Stan X1 = 1 0 X1 = 1 l 0 0 l l l l W rozpatrywanym stanie obciÄ…\eniem sÄ… dwa jednostkowe momenty o przeciwnych zwrotach, otrzymamy wiÄ™c wszystkie skÅ‚adowe reakcji podporowych równe zero. W celu wyznaczenia siÅ‚ w prÄ™tach skratowania nale\y zapisać równania równowagi dla lewego bÄ…dz prawego podukÅ‚adu. L 1 1 I II III IV 0 VI VIII l 0 V IX 0 VII l l l l L VB 1 HB C · I II B 0 SVI l VI l SV 0 V SVII SVII W W l l l 1 L = 0 : 1+ SVII Å" l = 0 Ò! SVII = - "M iB l i 1 2 W = 0 SVII - Å" SV = 0 Ò! SV = - "Pix l 2 i 3 1 1 W = 0 SVI + Å" SV = 0 Ò! SVI = "Piy l 2 i 1 L = 0 SVII + H = 0 Ò! H = "Pix B B l i L = 0 VB + VC = 0 Ò! VB = 0 "Piy i Przy sporzÄ…dzaniu wykresów siÅ‚ przekrojowych wykorzystamy symetriÄ™ budowy ukÅ‚adu i obciÄ…\enia. Wykresy siÅ‚ podÅ‚u\nych i momentów gnÄ…cych majÄ… charakter symetryczny, natomiast wykres siÅ‚ poprzecznych jest antysymetryczny. 1 l N1 1 1 2 2 1 l l l l l 1 l T1 1 l M1 1 1 Stan zerowy (obciÄ…\enie zewnÄ™trzne) q C D HC VC RD l l l l l Wyznaczamy reakcje podporowe: = 0 Ò! HC = 0 "Pix i 4 = 0 : RD Å" 4l - q Å" 4l Å" 2l = 0 Ò! RD = 2ql "M iC i = 0 VC + RD - q Å" 4l = 0 Ò! VC = 2ql "Piy i W celu wyznaczenia siÅ‚ w prÄ™tach skratowania nale\y zapisać równania równowagi dla lewego bÄ…dz prawego podukÅ‚adu. L q C D I II III IV 0 VI VIII l 2ql V IX 2ql VII l l l l L q VB HB C · I II B 0 SVI l VI l SV 2ql V SVII SVII W W l l l L = 0 : SVII Å"l + q Å" 2l Å"l - 2ql Å" 2l = 0 Ò! SVII = 2ql "M iB i 1 W = 0 SVII - Å" SV = 0 Ò! SV = 2 2ql "Pix 2 i 1 W = 0 SVI + Å" SV = 0 Ò! SVI = -2ql "Piy 2 i L = 0 SVII + H = 0 Ò! H = -2ql "Pix B B i L = 0 VB + VC - 2ql = 0 Ò! VB = 0 "Piy i 5 Przy sporzÄ…dzaniu wykresów siÅ‚ przekrojowych wykorzystamy symetriÄ™ budowy ukÅ‚adu i obciÄ…\enia. Wykresy siÅ‚ podÅ‚u\nych i momentów gnÄ…cych majÄ… charakter symetryczny, natomiast wykres siÅ‚ poprzecznych jest antysymetryczny. 2ql N0 2ql 2ql 2 2ql 2 2ql 2ql ql ql T0 ql ql 1 1 2 2 ql ql 2 2 M0 Po sporzÄ…dzeniu wykresów siÅ‚ przekrojowych w obu stanach mo\na przystÄ…pić do wyznaczenia współczynnika przy niewiadomej (nadliczbowej) oraz wyrazu wolnego w równaniu metody siÅ‚. WartoÅ›ci caÅ‚ek wyznaczymy korzystajÄ…c ze wzoru Wereszczagina. Miejsca wystÄ™powania ekstremów na wykresie momentów oznaczone sÄ… kolorem czerwonym. CaÅ‚kowanie przeprowadzimy w przedziaÅ‚ach od I do IX. ëÅ‚ öÅ‚ li li ìÅ‚ ÷Å‚ M1M1 N1N1 1 1 2 ìÅ‚ ÷Å‚ ´11 = ds + ds = Å" 2 Å" Å"1Å"l Å" Å"1+1Å"2Å"1 + " " +" +" Ei Ii Ei Ai EI 242433 12l3 i i ìÅ‚ ÷Å‚ 0 0 14 4 II ,III ìÅ‚ ÷Å‚ I ,IV íÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 1 1 1 8 l 1 ëÅ‚- 1 1 öÅ‚ öÅ‚ ïÅ‚2 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ ìÅ‚- 2 ÷Å‚ + Å" Å"ìÅ‚- Å" Å" 2l + 2 Å" Å" Å" l + Å"ëÅ‚- ÷Å‚ Å" 2lśł = Å" + 4 Å"(1+ 2)Å" ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ EA l l l3 íÅ‚ l l EAÅ" l ïÅ‚ 4 íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ 1l24 14Å‚Å‚ íÅ‚ 4 424Å‚Å‚ 3śł 3 EI 424444 3 ïÅ‚1444 V , IX VI ,VIII śł VII ðÅ‚ ûÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ li li ìÅ‚ ÷Å‚ M1M N1N0 1 1 1 3 1 1 0 2 2 ìÅ‚- ÷Å‚ ´10 = ds + ds = Å" 2 Å" Å" ql Å"l Å" Å"1- 2 Å" Å" ql Å" l Å" l + " " +" +" Ei Ii Ei Ai EI 43 3 2 i i ìÅ‚ 0 0 143 2 3÷Å‚ 442444 144244 ìÅ‚ ÷Å‚ I , IV II , III íÅ‚ Å‚Å‚ 6 îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł ëÅ‚ öÅ‚ 1 1 ëÅ‚- 1 öÅ‚ ïÅ‚2 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ + Å" Å"ìÅ‚- Å"(2 2ql)Å" 2l + 2 Å" Å"(- 2ql)Å" l + Å" 2ql Å" 2lśł = ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚ EA l l l4 3śł ïÅ‚ íÅ‚ 4244 íÅ‚ Å‚Å‚ 14 3 14Å‚Å‚244 424444 3 ïÅ‚1444 V , IX VI ,VIII śł VII ðÅ‚ ûÅ‚ 7 ql3 ql = - Å" - 8 Å"(1+ 2)Å" 12 EI EA Równanie metody siÅ‚ ma postać ´11 Å" X1 + ´10 = 0 Po podstawieniu 8 l 1 7 ql3 ql îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X1 - Å" - 8 Å"(1+ 2)Å" = 0 ïÅ‚3 Å" EI + 4 Å"(1+ 2)Å" EA Å"l śł 12 EI EA ðÅ‚ ûÅ‚ RozwiÄ…zanie powy\szego równania jest nastÄ™pujÄ…ce 7 ql3 ql ´10 12 Å" I + 8 Å"(1+ 2)Å" A X1 = - = ´11 8 Å" l + 4 Å"(1+ 2)Å" 1 3 I A Å" l Przyjmiemy dane: - moment bezwÅ‚adnoÅ›ci dla dwuteownika 360: I = 19610 cm4 (wg W. Bogucki, M. Å›yburtowicz Tablice do projektowania konstrukcji metalowych,Wyd. 5, Warszawa1984) - pole przekroju kÄ…townika równoramiennego 40x40x4: F = 3,08 cm2 (j.w.) Ponadto przyjÄ™to, \e l = 1 m, q = 10 kN/m. PrÄ™ty skratowania zÅ‚o\one sÄ… z dwóch kÄ…towników, a wiÄ™c A = 2F = 6,16 cm2. I = 19610 cm4 = 1961Å"10-7 m4 A = 6,16 cm2 = 616 Å"10-6 m2 Wartość nadliczbowej wynosi 7 10 kN / m Å"1 m3 10 kN / m Å"1 m Å" + 8 Å"(1+ 2)Å" 12 1961Å"10-7 m4 616 Å"10-6 m2 X1 = = 11,7260 kNm 8 1 m 1 Å" + 4 Å"(1+ 2)Å" 3 1961Å"10-7 m4 616 Å"10-6 m2 Å"1 m Po rozwiÄ…zaniu równania metody siÅ‚ mo\emy wyznaczyć siÅ‚y przekrojowe N = N1 Å" X1 + N0 T = T1 Å" X1 + T0 M = M1 Å" X1 + M 0 7 Wykresy siÅ‚ przekrojowych w ukÅ‚adzie statycznie niewyznaczalnym q = 10 kN/m EI l =1 m EA EA EA EA EA l l l l 8,2740 N kN 8,2740 8,2740 11,7012 11,7012 8,2740 11,7260 10,0000 1,7260 T 1,7260 10,0000 kN 11,7260 6,7260 6,7260 M kNm 11,7260 Polecenie do zadania obejmuje równie\ wyznaczenie ugiÄ™cia w punkcie B. W celu unikniÄ™cia wyznaczania siÅ‚ przekrojowych od obciÄ…\enia jednostkowÄ… siÅ‚Ä… w ukÅ‚adzie statycznie niewyznaczalnym, skorzystamy z pierwszego twierdzenia redukcyjnego. Wirtualne obciÄ…\enie przyÅ‚o\ymy w punkcie B w ukÅ‚adzie statycznie wyznaczalnym, utworzonym przez usuniÄ™cie nadliczbowego wiÄ™zu (nie musi to być ukÅ‚ad podstawowy, przyjÄ™ty do wyznaczenia wykresów siÅ‚ przekrojowych). Wyznaczenie ugiÄ™cia w punkcie B W przypadku wyznaczania ugiÄ™cia w punkcie B nale\y przyÅ‚o\yć obciÄ…\enie wirtualne w postaci siÅ‚y jednostkowej o kierunku pionowym dziaÅ‚ajÄ…cej w tym punkcie, a nastÄ™pnie wyznaczyć wykres momentów gnÄ…cych. W poni\szym ukÅ‚adzie w prÄ™tach dwuprzegubowych siÅ‚y podÅ‚u\ne sÄ… równe zeru. 8 1 B 0 1 1 l 2 2 l l l l (0) M l 1 1 1 1 l = m l = m 2 2 2 2 1 l = 1 m Przed przystÄ…pieniem do wyznaczenia ugiÄ™cia w punkcie B wykres momentów gnÄ…cych od obciÄ…\enie zewnÄ™trznego w ukÅ‚adzie statycznie niewyznaczalnym przedstawimy jako wykresy skÅ‚adowe. 6,7260 kNm 6,7260 kNm M 11,7260 M = M1 Å" X1 + M 0 M1·X1 11,7260 kNm 11,7260 kNm 1 1 2 2 ql = 5 kNm ql = 5 kNm 2 2 M0 9 Miejsca wystÄ™powania ekstremów na wykresie momentów oznaczone sÄ… kolorem czerwonym. CaÅ‚kowanie przeprowadzimy w przedziaÅ‚ach od I do IV. Å„Å‚ ôÅ‚ 1 1 2 1 3 ôÅ‚ ëÅ‚ vB = Å" Å" Å"11,7260kNm Å"1m Å" Å" 0,5m - Å"5kNm Å"1m Å" Å" 0,5möÅ‚ + ìÅ‚ ÷Å‚ òÅ‚2 EI 2 3 4 íÅ‚ Å‚Å‚ ôÅ‚1444444444442443 444444444 3 ôÅ‚ I , IV ół üÅ‚ îÅ‚ 1 3 1 1 Å‚Å‚ôÅ‚ ëÅ‚ ôÅ‚ + 2 Å" Å" 5kNm Å"1m Å" Å" 0,5m + Å"1,0möÅ‚ + Å"(0,5m +1,0m)Å"1m Å"11,7260kNmśłżł = ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚- 3 4 4 2 íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚ 14444444444444442444444444444444 3ôÅ‚ ôÅ‚ II , III þÅ‚ 18,1643 kNm3 = EI PrzyjmujÄ…c współczynnik sprÄ™\ystoÅ›ci podÅ‚u\nej dla stali wÄ™glowej E = 2,09·105MPa otrzymamy ugiÄ™cie w punkcie B równe 18,1643 kNm3 18,1643 kNm3 vB = = = 4,4319 Å"10-4 m = 2,09 Å"105 MPa Å"1961Å"10-7 m4 2,09 Å"108 kN/m2 Å"1961Å"10-7 m4 = 0,4432mm Porównamy wyznaczone ugiÄ™cie ze strzaÅ‚kÄ… ugiÄ™cia dla belki wolnopodpartej (bez skratowania) o tych samych wymiarach i tak samo obciÄ…\onej. q EI B 2l 2l L Skorzystamy ze znanego wzoru na strzaÅ‚kÄ™ ugiÄ™cia dla belki wolnopodpartej obciÄ…\onej obciÄ…\eniem ciÄ…gÅ‚ym na caÅ‚ej rozpiÄ™toÅ›ci. 5 qL4 f = Å" 384 EI 4 5 10kN/m Å"(4m) vBb = Å" = 8,1331Å"10-4 m = 0,8133mm 384 2,09 Å"108 kN/m2 Å"1961Å"10-7 m4 Wyznaczymy wzglÄ™dny ubytek ugiÄ™cia po wzmocnieniu belki skratowaniem. "vB 0,8133mm - 0,4432mm = Å"100 % = 45,5 % vBb 0,8133mm Wynik ten Å›wiadczy o znacznym wzroÅ›cie sztywnoÅ›ci konstrukcji. 10 Obliczymy równie\ wzglÄ™dny przyrost ciÄ™\aru konstrukcji po wzmocnieniu belki (bez uwzglÄ™dnienia ciÄ™\aru blach wÄ™zÅ‚owych). Przyjmiemy dane: - masa dwuteownika 360: m = 76,2 kg/m (wg W. Bogucki, M. Å›yburtowicz Tablice do projektowania konstrukcji metalowych,Wyd. 5, Warszawa1984) - masa kÄ…townika równoramiennego 40x40x4: m = 2,42 kg/m (j.w.) Ponadto l = 1 m. PrÄ™ty skratowania zÅ‚o\one sÄ… z dwóch kÄ…towników. CiÄ™\ar belki wolnopodpartej wynosi Gb = 4 m Å" 76,2 kG/m = 304,8kG = 2,99kN . CiÄ™\ar belki ze skratowaniem wynosi Gbs = 4m Å" 76,2kG/m + 2 Å"(2 Å"1m + 2 Å" 2 m + 2m)Å" 2,42kG/m = 337,85kG = 3,31kN . WzglÄ™dny przyrost ciÄ™\aru belki po wzmocnieniu jej skratowaniem jest równy "G 3,31kN - 2,99kN = Å"100 % = 9,7 % Gbs 3,31kN Zauwa\my, \e po wzmocnieniu belki skratowaniem wystÄ…piÅ‚ stosunkowo niewielki przyrost ciÄ™\aru konstrukcji w porównaniu do przyrostu jej sztywnoÅ›ci. 11