Ćwiczenia 11 Praca i energia. dr inż. Monika Kwacz 1 Praca Wstęp Praca zródła, efekt Siły: x1 x2 x T Efekt wykonanej pracy: s przemieszczenie liniowe Momenty sił: Mz = F r Efekt wykonanej pracy: j przemieszczenie kątowe Wstęp Praca ruch postępowy Dla ruchu postępowego punktu: x1 x2 x T post W = F s gdzie: F siła (wypadkowa sił) w kierunku ruchu s przemieszczenie liniowe Wxpost = (F - T) s = F s -T s x2 Wxpost = F(x) dx
x1 Wstęp Praca sprężyna Praca sprężyny: x2 spr W = F(x) dx
x1 gdzie: F(x)= k x zatem: x2 k spr 2 2 ó W = kx dx = (x2 - x1 )
2 1 spr x1 W = kx2 Jeśli x1=0 to 2 Wstęp Praca ruch obrotowy Dla ruchu obrotowego bryły: Wobr = Mz j Mz = F r gdzie: Mz moment siły (wypadkowy moment sił) powodujący ruch obrotowy j przemieszczenie kątowe j2 obr W = Mz(j) dj
j1 Wstęp Praca ruch płaski Dla ruchu płaskiego bryły: pł W = Wobr = Mz j C Mz = F 2r - N f C s = j r gdzie: MzC moment siły (wypadkowy moment sił) powodujący ruch obrotowy OBLICZANY WZGLDEM CHWILOWEJ OSI OBROTU (PRZECHODZCEJ PRZEZ CHWILOWY ŚRODEK OBROTU) Energia kinetyczna Wstęp Energia kinetyczna definicja m u2 post Dla ruchu postępowego punktu: Ekin = 2 Iz w2 obr Dla ruchu obrotowego bryły: Ekin = 2 pł p Dla ruchu płaskiego bryły: Ekin = Eśrost + Eobr masy Wstęp Zmiana en. kinetycznej a praca DEkin = W Zmiana energii kinetycznej = pracy wszystkich sił / momentów wywołujących ruch Zadanie 1 ruch POSTPOWY Zadanie 1 t = 0 x =0 u = 0 m Dane: m, a , m Szukane: x (t) Początkowo masa w spoczynku. a Zadanie 1 ruch POSTPOWY 1. Zmiana energii kinetycznej t = 0 x =0 u = 0 m post Ekin (t = 0)= 0 Ekin w chwili t=0: mu2(t) post Ekin w chwili t: Ekin (t)= 2 a Zmiana Ekin w czasie od t=0 do t: mu2(t) post post DEkin = Ekin (t)- Ekin (t = 0)= 2 Zadanie 1 ruch POSTPOWY 2. Praca sił uwolnienie od więzów post t = 0 W = F s x =0 u = 0 m mg sina , T siły wykonujące pracę : x T przemieszczenie : praca sił : W = mgsina x -T x N a mg T = m N = m mgcosa gdzie: czyli: W = mgsina x - m mgcosa x = mg x(sina - m cosa) Zadanie 1 ruch POSTPOWY 3. Zmiana en. kinet. a praca sił t = 0 mu2(t) post W = mg x(sina - m cosa) DEkin = x =0 2 u = 0 m DEkin = W T mu2(t) N a = mg x(sina - m cosa) zatem: 2 mg dx u(t) = = 2g x(sina - m cosa) = x 2g(sina - m cosa) dt Zadanie 1 ruch POSTPOWY 3. Zmiana en. kinet. a praca sił t = 0 dx u(t) = = x 2g(sina - m cosa) x =0 dt u = 0 m 2 du d x 1 dx a(t) = = = 2g(sina - m cosa) dt dt2 dt T 2 x du 1 a(t) = = 2g(sina - m cosa) czyli: dt 2 N a mg du = g(sina - m cosa)dt u(t) = g(sina - m cosa)t + C dla t = 0 u = 0 stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: Zadanie 1 ruch POSTPOWY 3. Zmiana en. kinet. a praca sił u(t) = g(sina - m cosa)t + C t = 0 x =0 dla t = 0 u = 0 C = 0 u = 0 m u(t) = g(sina - m cosa)t czyli: T dx u(t) = = g(sina - m cosa)t dt dx = g(sina - m cosa)t dt
N a t2 x(t) = g(sina - m cosa) + D mg 2 dla t = 0 x = 0 stałą D wyznaczamy z warunku początkowego: D = 0 t2 zatem: x(t) = g(sina - m cosa) 2 Zadanie 2 ruch PAASKI Zadanie 2 Dane: m, r Szukane: x (t) , u (t) , a (t) Początkowo krążek w spoczynku. Zadanie 2 ruch PAASKI 1. Zmiana energii kinetycznej pł p Dla ruchu płaskiego bryły: Ekin = Eśrost + Eobr masy pł Ekin(t = 0)= 0 Ekin w chwili t=0: y 2 Iz w2(t) muo (t) pł O Ekin w chwili t: Ekin(t)= + 2 2 Zmiana Ekin w czasie od t=0 do t: 2 Iz w2(t) muo (t) pł pł O DEkin = Ekin(t)- Ekin(t = 0)= + 2 2 uO mr2 w = gdzie: Iz = i O r 2 2 2 muo (t) 1 mr2 uO(t) 3
2 zatem: DEkin = + ć = muo (t)
2 2 2 r 4 Ł ł Zadanie 2 ruch PAASKI 1. Praca sił / momentów y Przypomnienie Praca ruch płaski Dla ruchu płaskiego bryły: pł W = Wobr = Mz j C Mz = F 2r - N f C s = j r gdzie: Mz moment siły (wypadkowy moment sił) powodujący ruch obrotowy j przemieszczenie kątowe gdzie: MzC moment siły (wypadkowy moment sił) powodujący ruch obrotowy OBLICZANY WZGLDEM CHWILOWEJ OSI OBROTU (PRZECHODZCEJ PRZEZ CHWILOWY ŚRODEK OBROTU) Zadanie 2 ruch PAASKI 2. Praca sił pł W = Wobr = Mz j C momenty sił wykonujące pracę : Mz = mg r C y j przemieszczenie kątowe : W = mg r j praca sił : C x x = j r gdzie: j = r x zatem: W = mg r = mg x(t) mg r Zadanie 2 ruch PAASKI 3. Zmiana en. kinet. a praca sił 3 2 W = mg x(t) DEkin = muo (t) 4 y DEkin = W 3 2 zatem: muo (t) = mg x(t) C 4 dx 4 4 mg u(t) = = g x = x g dt 3 3 Zadanie 2 ruch PAASKI 3. Zmiana en. kinet. a praca sił dx 4 u(t) = = x g dt 3 2 y du d x 4 1 dx a(t) = = = g dt dt2 3 dt 2 x du 4 1 2 a(t) = = g = g czyli: dt 3 2 3 C 2
du = ó 3 g dt
2 u(t) = g t + C 3 mg dla t = 0 u = 0 stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: Zadanie 2 ruch PAASKI 3. Zmiana en. kinet. a praca sił 2 u(t) = g t + C 3 dla t = 0 u = 0 C = 0 2 y u(t) = g t czyli: 3 dx 2 u(t) = = g t dt 3 2 ó dx = g t dt
3 C 2 t2 x(t) = g + D 3 2 stałą D wyznaczamy z warunku początkowego: dla t = 0 x = 0 D = 0 mg 1 zatem: x(t) = g t2 3 Zadanie 3 układ złożony Zadanie 3 Dane: m1, m2, r, f Szukane: x (t) , u (t) , a (t) Początkowo układ w spoczynku. UWALNIAMY od WIZÓW NIE ROZDZIELAMY !!!! Zadanie 3 układ złożony 1. Zmiana energii kinetycznej t = 0 Ekin(t = 0)= 0 uO = 0 Ekin w chwili t=0: t uO (t) m1 m2 Ekin(t)= Ekin(t)+ Ekin(t)= K Ekin w chwili t: 2 uO m1 uO(t) m1 O O gdzie: Ekin(t)= 2 2 Iz w2(t) m2 uO(t) m2 O Ekin(t)= + 2 2 2m1 + 3m2 2 więc: Ekin(t)=uO(t) 4 Początkowo układ w spoczynku. uO m2r2 w = Iz = O Zmiana Ekin w czasie od t=0 do t: r 2 uO 2m1 + 3m2 2 DEkin =uO(t) 4 Zadanie 3 układ złożony 2. Praca sił siły i momenty sił wykonujące pracę : m1g, N f x(t), j(t) przemieszczenia : praca : W = m1g x - Nf j x N x = j r j = gdzie: = x(t) r m1g N = m2g oraz: Początkowo układ w spoczynku. zatem: UWALNIAMY od WIZÓW m2g f f ćm - m2 g x(t) NIE ROZDZIELAMY !!!! W = m1g x - x =
1 r r Ł ł Zadanie 3 układ złożony 3. Zmiana en. kinet. a praca sił f 2m1 + 3m2 ćm - m2 g x(t) m1g x(t) 2 W = DEkin =uo (t)
1 r 4 Ł ł DEkin = W zatem: 2m1 + 3m2 2 uo (t) = m1g x(t) 4 dx 4m1g u(t) = = x dt 2m1 + 3m2 Zadanie 3 układ złożony 3. Zmiana en. kinet. a praca sił dx 4m1g u(t) = = x dt 2m1 + 3m2 2 du d x 4m1g 1 dx a(t) = = = dt dt2 2m1 + 3m2 dt 2 x du 4m1 1 2m1 a(t) = = g = g dt 2m1 + 3m2 2 2m1 + 3m2 2m1 ó
du = 2m1 + 3m2 g dt
2m1 u(t) = g t + C 2m1 + 3m2 dla t = 0 u = 0 stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: Zadanie 3 układ złożony 3. Zmiana en. kinet. a praca sił 2m1 u(t) = g t + C 2m1 + 3m2 dla t = 0 u = 0 C = 0 2m1 u(t) = g t czyli: 2m1 + 3m2 dx 2m1 u(t) = = g t dt 2m1 + 3m2 2m1 ó dx = g t dt
2m1 + 3m2
2m1 t2 x(t) = g + D stałą D wyznaczamy z 2m1 + 3m2 2 warunku początkowego: dla t = 0 x = 0 D = 0 m1 x(t) = g t2 zatem: 2m1 + 3m2 Zadanie 4 układ złożony Zadanie 4 t = 0 Dane: m1, m2, m3, m4, r1, r2, a, m x =0 u = 0 Szukane: w1 = f (x) Początkowo układ w spoczynku. UWALNIAMY od WIZÓW NIE ROZDZIELAMY !!!! Zadanie 4 układ złożony 1. Zmiana energii kinetycznej Ekin(t = 0)= 0 Ekin w chwili t=0: t = 0 x =0 Ekin w chwili t: u = 0 m1 m2 m3 m4 Ekin(t)= Ekin(t)+ Ekin(t)+ Ekin(t)+ Ekin(t)= K u4 2 2 t ,u4 (t) m1 u4 (t) Iz1 w1 (t) m1 u1 Ekin(t)= + gdzie: C 8 2 2 Iz2 w2 (t) m2 u4 Ekin(t)= 22 m3 u4 (t) m3 u3 u4 1 Ekin(t)= w2 = u1 =u3 = u4 8 r2 2 2 m4 u4 (t) m4 Ekin(t)= 2 2 więc: Ekin(t)=u4 (t) (K) 2 Zmiana Ekin w czasie od t=0 do t: DEkin = Ekin(t) =u4 (t) (K) Zadanie 4 układ złożony 2. Praca sił m4g sina , T, m3g, m1g r1 siły i momenty sił wykonujące pracę : x x , x , , j1 przemieszczenia : 2 gdzie: x x T j1 = = j1 r1 2r1 2 C N m1g m4g praca sił : W = x(t) (K) UWALNIAMY od WIZÓW m3g NIE ROZDZIELAMY !!!! Zadanie 4 układ złożony 3. Zmiana en. kinet. a praca sił 2 DEkin =uo (t) (K) W = x(t) (K) t = 0 x =0 u = 0 DEkin = W zatem: 2 uo (t) (K)= x(t) (K) dx (K) u(t) = = x dt (K) Zadanie 4 układ złożony 3. Zmiana en. kinet. a praca sił dx (K) u(t) = = x t = 0 dt (K) x =0 u = 0 2 du d x (K) 1 dx a(t) = = = dt dt2 (K) dt 2 x du (K) 1 a(t) = = = const dt (K) 2 du = const dt u(t) = const t + C dla t = 0 u = 0 stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: Zadanie 5 układ złożony Zadanie 5 Koło ruchome o masie m i promieniu R toczy R się bez poślizgu po poziomym torze i jest M napędzane stałym momentem M. m Współczynnik tarcia tocznego koła po torze 2m 2r wynosi f. Na chropowatej równi pochyłej o m kącie nachylenia a leży ciężar o masie m, a O f r współczynnik tarcia ślizgowego wynosi m. Dwie liny, do których przymocowano koło i ciężar, są nawinięte na dwa zespolone, współśrodkowe krążki zamocowane przegubowo w m punkcie O. Masy tych krążków są równe m i 2m, a ich promienie m wynoszą r i 2r. W chwili początkowej układ znajdował się w a spoczynku. Wyznaczyć przyspieszenie ciężaru m. Dane: m, r, R, f, m, a, M Szukane: a(t), v(t), x(t) przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie ciężaru UWALNIAMY od WIZÓW NIE ROZDZIELAMY !!!! Zadanie 6 układ złożony Zadanie 6 Dla układu mechanicznego przedstawionego na schemacie, wyznaczyć prędkość masy mA w funkcji drogi s. Założyć ruch masy mA w górę równi. Dane: m1, R1, m2, r2, m3, R3, m4, r4, mA, mB, m, a Szukane: vmA = f(s) UWALNIAMY od WIZÓW NIE ROZDZIELAMY !!!! Zadanie 7 układ złożony Zadanie 7 Dla układu mechanicznego przedstawionego na schemacie, wyznaczyć prędkość masy mA w funkcji drogi s. Założyć ruch masy mA w dół. Dane: mA, mB, RB, rB, mD, rD, f, a Szukane: vmA = f(s) UWALNIAMY od WIZÓW NIE ROZDZIELAMY !!!!