ALGEBRA LINIOWA
Ewa A
azuka
Wykład V
Algebra macierzy
Wyznacznik macierzy
Definicja macierzy
 Macierzą o elementach z ciała K (lub też macierzą nad ciałem K) wymiaru m � n, gdzie m " N oraz n " N,
nazywamy każde odwzorowanie A: {1, 2, . . . , m} � {1, 2, . . . , n} K.
 Macierz A wymiaru m � n zapisuje się w postaci prostokątnej tablicy o m wierszach i n kolumnach
�ł łł
a11 a12 � � � a1j � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2j � � � a2n śł
�ł śł
�ł . . . . śł
. .
. . . . . .
�ł śł
. .
. . . .
�ł śł
A = ,
�ł
ai1 ai2 � � � aij � � � ain śł
�ł śł
�ł śł
. . . .
. .
. . . . . .
�ł �ł
. .
. . . .
am1 am2 � � � amj � � � amn
w której element aij stojący w i-tym wierszu oraz w j-tej kolumnie macierzy jest obrazem pary uporządkowanej
(i, j), gdzie i " {1, 2, . . . , m}, j " {1, 2, . . . , n}.
 Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m � n o elementach z ciała K oznaczamy symbolem Mm�n(K).
 Macierz o elementach z ciała C nazywamy macierzą zespoloną, a macierz o elementach z ciała R macierzą rzeczy-
wistą.
 Macierz sprzężoną z macierzą zespoloną A = [aij] " Mm�n(C) nazywamy macierz zespoloną B = [bij] " Mm�n(C),
w której bij = aij dla dowolnych i " {1, 2, . . . , m}, j " {1, 2, . . . , n}.
Piszemy wówczas B = A.
 Macierze A i B są równe, gdy mają takie same wymiary m � n oraz aij = bij dla każdego i " {1, 2, . . . , m} oraz
j " {1, 2, . . . , n}.
 Macierz zerowa wymiaru m � n jest to macierz, której wszystkie elementy są równe 0; oznaczamy ją symbolem
0m�n lub 0, gdy znamy jej wymiar.
Macierz kwadratowa
 Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz wymiaru n � n.
 Elementy a11, a22, . . . , ann macierzy kwadratowej tworzą jej główną przekątną.
�ł łł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n śł
�ł śł
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł �ł
.
. . .
an1 an2 � � � ann
 Zbiór wszystkich macierzy stopnia n o elementach z ciała K oznaczamy symbolem Mn(K).
 Śladem macierzy kwadratowej A = [aij] " Mn(K) nazywamy sumę elementów jej głównej przekątnej.
Ślad macierzy A oznaczamy symbolem trA.
n

 Zatem trA = aii.
i=1
1
Macierz trójkątna dolna
 Macierz trójkątna dolna jest to macierz kwadratowa stopnia n 2, której wszystkie elementy stojące nad
główną przekątną są równe 0.
�ł łł
a11 0 0 � � � 0
�ł śł
a21 a22 0 � � � 0
�ł śł
�ł śł
a31 a32 a33 � � � 0
�ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł �ł
.
. . . .
an1 an2 an3 � � � ann
Macierz trójkątna górna
 Macierz trójkątna górna jest to macierz kwadratowa stopnia n 2, której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0.
�ł łł
a11 a12 a13 � � � a1n
�ł
0 a22 a23 � � � a2n śł
�ł śł
�ł
0 0 a33 � � � a3n śł
�ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł �ł
.
. . . .
0 0 0 � � � ann
Macierz diagonalna
 Macierz diagonalna jest to macierz kwadratowa stopnia n, której wszystkie elementy spoza głównej przekątnej
są równe 0.
�ł łł
a11 0 0 � � � 0
�ł śł
0 a22 0 � � � 0
�ł śł
�ł śł
0 0 a33 � � � 0
�ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł �ł
.
. . . .
0 0 0 � � � ann
Macierz jednostkowa
 Macierz jednostkowa jest to macierz diagonalna stopnia n, której wszystkie elementy stojące na głównej przekąt-
nej są równe 1; macierz jednostkową stopnia n oznaczamy symbolem In.
�ł łł
1 0 0 � � � 0
�ł śł
0 1 0 � � � 0
�ł śł
def
�ł śł
0 0 1 � � � 0
In = �ł śł
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł �ł
.
. . . .
0 0 0 � � � 1
Działania na macierzach
 Niech A = [aij] oraz B = [bij] będą macierzami wymiaru m � n.
 Sumą macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij] wymiaru m � n, której elementy określone są wzorem
def
cij = aij + bij
dla i " {1, 2, . . . , m} oraz j " {1, 2, . . . , n}.
 Piszemy C = A + B.
2
Działania na macierzach
 Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m � n, zaś ą " K.
 Iloczynem macierzy A przez liczbę ą nazywamy macierz C = [cij] wymiaru m � n, której elementy określone
są wzorem
def
cij = ąaij
dla i " {1, 2, . . . , m} oraz j " {1, 2, . . . , n}.
 Piszemy C = ąA.
Działania na macierzach
 Niech macierz A = [aij] ma wymiar m � n, a macierz B = [bij] ma wymiar n � k.
 Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij] wymiaru m � k, której elementy określone są wzorem
def
cij = ai1b1j + ai2b2j + � � � + ainbnj
dla i " {1, 2, . . . , m} oraz j " {1, 2, . . . , k}.
 Piszemy C = AB.
 UWAGA
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Twierdzenie
Zbiór Mn(K) macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała K z dodawaniem i mnożeniem macierzy jest
pierścieniem z jednością (nieprzemiennym).
Macierz transponowana
 Macierzą transponowaną do macierzy A = [aij] wymiaru m � n nazywamy macierz B = [bij] wymiaru n � m,
której elementy określone są wzorem
def
bij = aji
dla i " {1, 2, . . . , n} oraz j " {1, 2, . . . , m}.
 Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy symbolem AT .
 Przykład
�ł łł
�ł łł
1 2 3
1 4 7 0
�ł śł
4 5 6
�ł śł �ł �ł
A = AT = 2 5 8 0
�ł �ł
7 8 9
3 6 9 0
0 0 0
Permutacja
 Niech n " N. Permutacją zbioru liczb {1, 2, . . . , n} nazywamy dowolne wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie
zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie.
 Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez Sn.
 Liczba elementów zbioru Sn wynosi n!.

1 2 . . . n
 Każdą permutację � zbioru {1, 2, . . . , n} można zapisać w postaci � = , gdzie ik = �(k) dla
i1 i2 . . . in
każdego k " {1, 2, . . . , n}.
3
Inwersja w permutacji, znak permutacji
 Niech � " Sn. Mówimy, że para uporządkowana liczb (�(k), �(l)) tworzy inwersję w permutacji �, jeżeli k < l
oraz �(k) > �(l).
 Liczbę wszystkich inwersji w permutacji � oznaczamy symbolem I(�).
 Liczbę (-1)I(�) nazywamy znakiem permutacji i oznaczamy symbolem sgn�.
 Jeśli sgn� = 1, to mówimy, że permutacja jest parzysta.
 Jeśli sgn� = -1, to mówimy, że permutacja jest nieparzysta.
Definicja wyznacznika macierzy
 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij] " Mn(K) nazywamy element ciała K określony wzorem:

sgn� � a1�(1) � a2�(2) � . . . � an�(n).
�"Sn
 Wyznacznik macierzy A oznaczamy symbolem detA lub |A|.
Reguła obliczania wyznaczników
macierzy stopnia pierwszego i drugiego
det[a11] = a11

a11 a12
det = a11a22 - a21a12
a21 a22
Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego
�ł łł
a11 a12 a13
�ł
det a21 a22 a23 �ł = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
a31 a32 a33 -a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12
UWAGA! Reguła ta nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
 Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2.
 Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
def
Dij = (-1)i+jdetAij,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n - 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.
Rozwinięcie Laplace a wyznacznika
 Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2 oraz niech i, j będą ustalonymi liczbami naturalnymi
takimi, że i, j " {1, 2, . . . , n}.
 Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć na podstawie następujących wzorów:
 detA = ai1Di1 + ai2Di2 + � � � + ainDin;
wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem i-tego wiersza;
 detA = a1jD1j + a2jD2j + � � � + anjDnj;
wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem j-tej kolumny.
4
Wyznacznik macierzy trójkątnej
 Jeżeli A = [aij] jest macierzą diagonalną lub macierzą trójkątną dolną lub macierzą trójkątną górną stopnia n,
to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej tej macierzy, tzn. detA =
a11 � a22 � � � ann.
 Przykład

1 0 3 3

0 -2 1 4

0 0 5 1 = 1 � (-2) � 5 � 3 = -30

0 0 0 3
5