1

Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Rząd macierzy

Definicja

• Podmacierzą macierzy A nazywamy dowolną macierz powstałą z macierzy A w wyniku

skreślenia pewnej ilości wierszy i (lub) kolumn. Wyznacznik z podmacierzy kwadratowej nazywamy
minorem.

• Rzędem macierzy nazywamy liczbę r , taką że istnieje minor stopnia r różny od zera, a

wszystkie minory stopnia r + 1 jakie istnieją w danej macierzy są równe zero.
Przyjmujemy dodatkowo, że rząd macierzy zerowej jest równy zero.
Rząd macierzy A oznaczamy R( A ) .

Wniosek

Jeżeli A jest macierzą wymiaru m × n , to R( A ) jest liczbą całkowitą taką, że

0

6 R( A ) 6 min { m, n } .

Przykład

Znajdź rząd macierzy A :

A =






2

3

4

1

−1

0

4

1

4






Rozwiązanie

Macierz A jest wymiaru 3 × 3 , stąd 0 6 R( A ) 6 3 . Co więcej, ponieważ

tylko macierz zerowa ma rząd 0, to 1

6 R( A ) 6 3 .

Sprawdzamy, czy R( A ) = 3 ?

det A =

2

3

4

1

−1

0

4

1

4

2

3

1

−1

4

1

= −8 + 0 + 4 + 16 − 0 − 12 = 0

Ponieważ wyznacznik stopnia 3 (jedyny istniejący w macierzy A ) jest równy 0, to R( A ) 6= 3 .
Sprawdzamy, czy R( A ) = 2 , a więc pytamy, czy potrafimy w macierzy A wskazać wyznacznik
(minor) stopnia 2 różny od 0. Odpowiedź brzmi: tak, bo:

2

3

1

−1

= −2 − 3 = −5 6= 0

Zatem R( A ) = 2 .

2

Własności rządu macierzy

• Transponowanie macierzy nie zmienia rzędu macierzy, tym samym wszystkie własności prawdziwe

dla wierszy są również prawdziwe dla kolumn.

• Skreślenie w macierzy wiersza samych zer nie zmienia jej rzędu.

• Jeżeli w macierzy istnieją dwa wiersze proporcjonalne (równe), to skreślenie jednego z nich nie

zmienia rzędu macierzy.

• Przestawienie dowolnych dwóch wierszy nie zmienia rzędu macierzy.

• Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera nie zmienia rzędu macierzy.

• Jeżeli do dowolnego wiersza macierzy dodamy inny wiersz pomnożony przez liczbę, to rząd

macierzy nie zmieni się.

Uwaga Dowolną macierz niezerową A = [ a

ij

] wymiaru m × n można za pomocą przekształceń

niezmieniających rzędu macierzy sprowadzić do postaci:


















c

11

c

12

c

13

. . .

c

1r

c

1,r+1

. . .

c

1n

0

c

22

c

23

. . .

c

2r

c

2,r+1

. . .

c

2n

0

0

c

33

. . .

c

3r

c

3,r+1

. . .

c

3n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

. . .

c

rr

c

r,r+1

. . .

c

rn

0

0

0

. . .

0

0

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

. . .

0

0

. . .

0


















gdzie elementy c

ii

są różne od zera dla każdego i = 1, 2, . . . , r . Rząd macierzy A jest wówczas

równy r .

Zauważmy przy tym, że

• jeżeli r = m , to wiersz r-ty jest ostatnim wierszem,

• jeżeli r = n , to kolumna r-ta jest ostatnią kolumną.

Przykład

Wykorzystując własności rzędu macierzy i ostatnią uwagę znajdź rząd macierzy A :

A =








2

1

1

1

−2

1

2

3

−1

2

3

0

1

−3

−2

2

4

6

−2

4








3

Rozwiązanie

Macierz A sprowadzimy do postaci wskazanej w powyższej uwadze:

R(A) = R








2

1

1

1

−2

1

2

3

−1

2

3

0

1

−3

−2

2

4

6

−2

4








W

1

↔W

2

=

R








1

2

3

−1

2

2

1

1

1

−2

3

0

1

−3

−2

2

4

6

−2

4








=

W

2

− 2W

1

W

3

− 3W

1

W

4

− 2W

1

=

R








1

2

3

−1

2

0

−3

−5

3

2

0

−6

−8

0

4

0

0

0

0

0








W

3

−2W

2

=

R








1

2

3

−1

2

0

−3

−5

3

2

0

0

2

−6

0

0

0

0

0

0








=

=

R






1

2

3

−1

2

0

−3

−5

3

2

0

0

2

−6

0






=

3

bo:

1

2

3

0

−3

−5

0

0

2

=

1 · (−3) · 2 = −6 6= 0

Komentarz: W

1

↔ W

2

oznacza ”zamieniamy miejscami wiersze 1 i 2”, W

2

− 2W

1

oznacza ”do

wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez (-2)”.