FdI - Mechanika kwantowa - zadania








Fizyka dla
informatyków - Notatki w Internecie

Mechanika
kwantowa - zadania



KorzystajÄ…c z
postulatów Bohra znaleźć poziomy energii jonów wodoropodobnych: wskazówka

Sprawdzić
równania operatorowe:


wskazówka


KorzystajÄ…c z
przedstawienia Jordana znaleźć
operatory:

energii kinetycznej dla
czÄ…stki swobodnej,
energii potencjalnej
oscylatora harmonicznego,
z-owej składowej momentu pędu Lz. wskazówka


Wykazać, że u(x)
= exp (-x2/2) jest funkcjÄ… wÅ‚asnÄ… operatora 
d2/dx2-x2 i znaleźć wartość własną dla tego
operatora odpowiadajÄ…cÄ… wektorowi u(x). Odpowiednikiem jakiej klasycznej
wielkości może być operator ? wskazówka

KorzystajÄ…c z
przedstawienia Jordana zapisać równanie operatorowe , gdzie
- operator
energii kinetycznej, - operator energii
potencjalnej, - operator energii
całkowitej. (po dołożeniu za operatorami funkcji falowej
Y(x,t) jest to równanie Schrödingera z czasem).
Następnie zakładając niezależność energii potencjalnej od czasu oraz
stosując metodę rozdzielenia zmiennych (wzór)

wyprowadzić równanie Schrödingera (bez czasu):

znaleźć zależność
Zapoznać się z probabilistyczną interpretacją funkcji falowej
Y(x,t). wskazówka


Pokazać, że dla
cząstki swobodnej funkcja falowa spełnia
równanie (falowe) Schrödingera (z czasem). wskazówka

Wartość średnią
dowolnego operatora dla
układu znajdującego się w stanie opisanym unormowaną funkcją falową liczymy
jako: . Znaleźć średnią energię kinetyczną w stanie >w
układzie jednowymiarowym. wskazówka

Dla
jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału operator energii potencjalnej
V(x) dany jest formułą:
Rozwiązać
równanie Schrödingera dla czÄ…stki w studni zakÅ‚adajÄ…c zerowanie siÄ™ funkcji
falowej na brzegach studni: .
Znaleźć dopuszczalne wartości energii cząstki w studni. wskazówka


CzÄ…stka o
energii E<V0 opisana falą płaską wzór nadchodząca z
lewej strony zderza się ze skokiem potencjału:
Znaleźć
amplitudę fali odbitej oraz amplitudę i pęd fali przechodzącej w prawo. wskazówka


Nieunormowana
funkcja falowa czÄ…stki swobodnej poruszajÄ…cej siÄ™ po linii prostej dana jest
formułą:
gdzie
p i są stałe. Znaleźć średnią wartość położenia i pędu

czÄ…stki w tym stanie.

W wyniku
zderzenia fotonu o długości fali l0 z elektronem swobodnym
(lub słabo związanym) następuje rozproszenie fotonu (tzw. rozpraszanie
comptonowskie), któremu towarzyszy zmiana długości fali fotonu
(l0 --> l) oraz kierunku o kÄ…t .
Korzystając z praw zachowania energii i pędu wyprowadzić wzór na comptonowską
zmianę długości fali. Prawo zachowania pędu
najwygodniej zapisać korzystając z twierdzenia cosinusów: ,
do prawa zachowania energii
energie elektronu
najlepiej liczyć z niezmiennika relatywistycznego: . wskazówka



Autorzy: Artur Dragan, Artur Majka, Konrad Kozikowski