Janusz KOWAL

Janusz KOWAL

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza

Hutnicza

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

Wykład 4

Własności dynamiczne

układów liniowych

Wykład 4

Wykład 4

Własności dynamiczne

Własności dynamiczne

układów liniowych

układów liniowych

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

2

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Wprowadzenie

9

Sposoby oceny własności układów liniowych

9

Wprowadzenie do charakterystyk czasowych

9

Przykłady podstawowych elementów automatyki i
ich charakterystyki czasowe

Plan wykładu:

Plan wykładu:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

3

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Wprowadzenie

9

analizując i projektując układy automatyki musimy mieć
możliwość porównywania ich właściwości,

9

w tym celu stosuje się określone testowe sygnały wejściowe,
umożliwiające porównanie odpowiedzi badanych układów na te
sygnały,

9

powszechnie wykorzystywanymi testowymi sygnałami
wejściowymi są funkcje:

skokowa

,

liniowa

,

impulsowa

,

sinusoidalna

, itp,

9

dla tych sygnałów testowych można łatwo przeprowadzić analizę
matematyczną

i eksperymentalną

układów sterowania,

ponieważ sygnały te są bardzo prostymi funkcjami do
wygenerowania.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

4

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Sposoby oceny własności układów liniowych

9

właściwości układu liniowego o stałych parametrach
(stacjonarnego) można opisać za pomocą liniowego równania
różniczkowego o stałych współczynnikach, którego postać
ogólna jest następująca

9

z powyższego równania wynika

charakterystyka statyczna

, na

podstawie której wnioskujemy o właściwościach statycznych
układu

x

b

dt

x

d

b

dt

x

d

b

y

a

dt

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

−

−

−

−

−

−

K

K

przy czym n

>

m

x

b

y

a

0

0

=

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

5

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

właściwości dynamiczne układu ocenia się zwykle na
podstawie przebiegu sygnału wyjściowego y(t), będącego
wynikiem wprowadzenia określonego sygnału wejściowego x(t)

9

istnieją dwie drogi podejścia do rozwiązania tego zagadnienia:

y

analiza przybliżona

(z aproksymacji odpowiedzi układu

wnioskujemy o cechach rozwiązania i o sposobie zmiany
konfiguracji układu, tak aby uzyskać wymaganą odpowiedź)

y

metoda operatorowa

(znalezienie przekształcenia pozwa-

lającego zastąpić równania różniczkowo-całkowe zwykłymi
równaniami algebraicznymi

⇒

przekształcenie Laplace’a)

Sposoby oceny własności układów liniowych

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

6

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Wprowadzenie do charakterystyk czasowych

9

Charakterystyki czasowe dają możliwość (w odniesieniu do
układów jednowymiarowych) bezpośredniej oceny układu

9

Charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi
układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

7

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Najczęściej stosowanymi wymuszeniami są:







=

∞

≠

=

=

0

dla

,

0

dla

,

0

)

(

)

(

t

t

t

t

x

δ

y

y

skok jednostkowy 1(t

skok jednostkowy 1(t

)

)

(tzw. funkcja Heaviside’a) -

mówimy wówczas o odpowiedzi skokowej h(t),







≥

<

=

=

0

dla

,

1

0

dla

,

0

)

(

1

)

(

t

t

t

t

x

y

y

impuls Diraca

impuls Diraca

δ

δ

(t)

(t)

(tzw. funkcja wagi układu) -

mówimy wówczas o odpowiedzi impulsowej g(t).

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

8

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Przykłady podstawowych elementów
automatyki i ich charakterystyki czasowe

9

Element proporcjonalny (bezinercyjny)

9

Element inercyjny pierwszego rzędu

9

Element całkujący

9

Element całkujący rzeczywisty

9

Element różniczkujący rzeczywisty

9

Element oscylacyjny

9

Element inercyjny drugiego rzędu

9

Element opóźniający

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

9

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element proporcjonalny (bezinercyjny)

Postać równania opisującego element proporcjonalny

)

(

)

(

t

x

K

t

y

⋅

=

gdzie: K - współczynnik wzmocnienia

x(t) - sygnał wejściowy
y(t) - sygnał wyjściowy

K

s

X

s

Y

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

Transmitancja operatorowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

10

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Charakterystyki czasowe elementów proporcjonalnych

)

(

1

)

(

)

(

t

K

t

h

t

y

⋅

=

=

Odpowiedź skokowa

)

(

)

(

)

(

t

K

t

g

t

y

δ

⋅

=

=

Odpowiedź impulsowa

t

K

h(t)

t

g(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

11

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów proporcjonalnych

Mechaniczne układy dźwigniowe

Siłownik pneumatyczny

)

(

)

(

t

x

a

b

t

y

=

)

(

)

(

t

x

b

a

a

t

y

+

=

)

(

)

(

t

x

k

A

t

y

=

a

a

b

b

x

x

y

y

p=x

y

A

k

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

12

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Prasa hydrauliczna

Rezystancyjny dzielnik napięcia

)

(

)

(

1

2

t

x

A

A

t

y

=

)

(

)

(

2

1

2

t

u

R

R

R

t

u

x

y

+

=

R

1

R

2

i

U

x

F

1

=x

F

2

=y

A

1

A

2

9

Przykłady elementów proporcjonalnych

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

13

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element inercyjny pierwszego rzędu

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

)

(

)

(

)

(

t

Kx

t

y

dt

t

dy

T

=

+

1

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

K

s

X

s

Y

s

G

gdzie: K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

14

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Charakterystyki czasowe elementów inercyjnych 1-go rzędu













−

=

=

⋅

−

t

T

e

K

t

h

t

y

1

1

)

(

)

(

t

T

e

T

K

t

g

t

y

⋅

−

=

=

1

)

(

)

(

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

T

t

K/T

g(t)

t

h(t)

K

0,63 K

T

0,95 K

3T

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

15

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów inercyjnych 1-go rzędu

Masa wirująca na wale

Zbiornik z cieczą

µ

µ

ω

ω

1

K

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

=

=

=

+

I

T

t

M

K

t

dt

t

d

T

γ

γ

H

H

R

K

AR

T

t

q

K

t

h

dt

t

dh

T

=

=

=

+

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

0

ω

R

I

M

µ

A

h

q

0

R

H

q

1

γ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

16

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Zbiornik z gazem

Układ LR

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

=

=

=

+

K

R

C

T

t

p

t

p

dt

t

dp

T

p

p

x

y

y

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

=

=

=

+

K

R

L

T

t

u

t

u

dt

t

du

T

x

y

y

L

R

u

x

u

y

i

9

Przykłady elementów inercyjnych 1-go rzędu

p

x

p

y

V

C

p

R

p

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

17

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element całkujący

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

)

(

)

(

lub

)

(

)

(

t

x

dt

t

dy

T

t

x

K

dt

t

dy

=

⋅

=

s

T

s

G

s

K

s

X

s

Y

s

G

⋅

=

=

=

1

)

(

lub

)

(

)

(

)

(

gdzie: K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

18

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Charakterystyki czasowe elementów całkujących

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

t

T

t

K

t

h

t

y

⋅

=

⋅

=

=

1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

)

(

)

(

t

T

t

K

t

g

t

y

⋅

=

⋅

=

=

α

=arctg K

t

h(t)

α

t

K

g(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

19

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów całkujących

Przekładnia cierna

Zbiornik z cieczą

A

T

t

Q

dt

t

dh

T

=

=

:

gdzie

)

(

)

(

ω

ϕ

r

T

t

x

dt

t

d

T

=

=

:

gdzie

)

(

)

(

x=Q

A

h=y

λ

ω

=cons

t

x

ϕ

=

y

r

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

20

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów całkujących

Zespół rozdzielacz – siłownik

Idealny kondensator

υ

⋅

=

=

b

A

T

t

x

dt

t

dy

T

:

gdzie

)

(

)

(

C

T

t

i

dt

t

du

T

y

=

=

:

gdzie

)

(

)

(

C

i

i

u

y

P

S

P

S

P

Z

v=co
nst

y

x

A

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

21

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Postać równania różniczkowego

)

(

)

(

)

(

2

2

t

x

K

dt

t

dy

dt

t

y

d

T

⋅

=

+

Transmitancja operatorowa

)

1

(

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

s

K

s

X

s

Y

s

G

9

Element całkujący rzeczywisty

gdzie K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

22

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

)

1

(

)

(

)

(

T

t

e

KT

Kt

t

h

t

y

−

−

−

=

=













−

=

=

−

T

t

e

K

t

g

t

y

1

)

(

)

(

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

9

Charakterystyki czasowe elementów całkujących rzeczywistych

T

3T

t

g(t)

K

t

h(t)

T

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

23

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

1

2

1

2

2

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

k

K

k

k

RJ

T

t

KU

dt

t

d

dt

t

d

T

S

=

=

=

+

α

α

1

2

2

2

2

2

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

C

K

RC

T

t

Ki

dt

t

dU

dt

t

U

d

T

=

=

=

+

9

Przykłady elementów całkujących rzeczywistych

Silnik prądu stałego

Czwórnik RC

U

2

C

1

C

2

R

i

U

1

α

(t)

i

U

S

(t)

U

w

=co
nst

R

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

24

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element różniczkujący rzeczywisty

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

gdzie K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

dt

t

dx

K

t

y

dt

t

dy

T

)

(

)

(

)

(

=

+

1

)

(

)

(

)

(

+

⋅

=

=

Ts

s

K

s

X

s

Y

s

G

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

25

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

9

Charakterystyki czasowe elementów różniczkujących
rzeczywistych

t

T

e

T

K

t

h

t

y

⋅

−

⋅

=

=

1

)

(

)

(

t

T

e

T

K

t

T

K

t

g

t

y

⋅

−

−

=

=

1

2

)

(

)

(

)

(

δ

T

t

K/T

h(t)

t

-K/T

2

g(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

26

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

k

A

R

K

T

dt

t

dx

K

t

y

dt

t

dy

T

H

2

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

=

=

=

+

9

Przykłady elementów różniczkujących rzeczywistych

Tłumik hydrauliczny

Układ RC

u

x

u

y

C

R

RC

K

T

dt

t

du

K

t

u

dt

t

du

T

x

y

y

=

=

=

+

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

k

E

y

x

R

H

A

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

27

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element oscylacyjny (drugiego rzędu)

Postać równania różniczkowego

K - wsp. wzmocnienia
T - stała czasowa

ζ

- wsp. tłumienia

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2

2

2

t

x

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T

⋅

=

+

+ ζ

Warunek powstawania drgań

1

2

)

(

)

(

)

(

2

2

+

+

=

=

Ts

s

T

K

s

X

s

Y

s

G

ζ

Transmitancja operatorowa

1

0

<

< ζ

Drgania tłumione

czyli

0

4

4

2

2

2

<

− T

T

ζ

1

1

<

<

−

ζ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

28

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Odpowiedź skokowa





























+

⋅

−

−

−

=

=

−

φ

ζ

ζ

ζ

t

T

e

K

t

h

t

y

T

t

2

2

1

sin

1

1

1

)

(

)

(

9

Charakterystyki czasowe elementów oscylacyjnych 2-go rzędu

Wartości współczynnika tłumienia decydują o rodzaju drgań

ζ

•

dla

drgania nietłumione

0

=

ζ

•

dla

drgania tłumione

1

0

<

< ζ

•

dla

odpowiedź aperiodyczna, nieoscylacyjna

1

≥

ζ

Odpowiedź impulsowa

T

t

e

T

t

g

t

y

T

t

2

1

sin

1

1

)

(

)

(

2

ζ

ζ

ζ

−

−

=

=

−

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

29

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Charakterystyki czasowe elementów oscylacyjnych 2-go rzędu

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

t

K

h(t)

ksi=0.3

ksi=0.7

ksi=0

t

0

g(t)

ksi=0.3

ksi=0.7

ksi=0

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

30

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu

masa-tłumik-sprężyna

siłownik pneumatyczny

(

)

ak

K

k

c

T

ak

b

a

m

T

t

F

K

t

dt

t

d

T

dt

t

d

T

1

,

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2

=

=

+

=

=

+

+

ϕ

ϕ

ϕ

k

A

K

k

c

T

k

m

T

t

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T

=

=

=

=

+

+

,

,

:

gdzie

)

(

p

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2

a

b

k

ϕ

m

c

F(
t)

p

A

k

m

c

y

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

31

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu

układ RLC

układ zbiornika z cieczą

1

,

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2

=

=

=

=

+

+

K

RC

T

LC

T

t

u

K

t

u

dt

t

du

T

dt

t

u

d

T

x

y

y

y

γ

γ

γ

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

,

,

:

gdzie

)

(

p

)

(

)

(

)

(

A

A

K

A

R

T

A

m

T

t

K

t

h

dt

t

dh

T

dt

t

h

d

T

H

=

=

=

=

+

+

u

x

R

i

L

C

u

y

p=
x

A

1

h=
y

A

2

R

H

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

32

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element inercyjny drugiego rzędu

Postać równania różniczkowego

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

2

2

2

t

x

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T

⋅

=

+

+

2

1

2 T

T ≥

Transmitancja operatorowa

s

T

T

T

KT

s

T

T

T

KT

s

G

s

G

s

G

4

4

3

4

3

4

3

3

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

+

−

−

+

−

=

+

=

1

)

(

)

(

)

(

1

2

2

+

+

=

=

s

T

s

T

K

s

X

s

Y

s

G

(

)(

)

1

1

)

(

4

3

+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

lub

lub w wyniku rozkładu równania na ułamki proste

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

33

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Element inercyjny drugiego rzędu można przedstawić w postaci
szeregowego połączenia dwóch elementów inercyjnych
pierwszego rzędu

1

1

2

2

2

+

+ s

T

s

T

K

1

3

+

s

T

K

1

1

4

+

s

T

=>

wynoszą odpowiednio

4

3

i T

T

2

2

2

1

1

3

4

2

T

T

T

T

−

+

=

2

2

2

1

1

4

4

2

T

T

T

T

−

−

=

oraz

9

Element inercyjny drugiego rzędu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

34

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

)

(

)

(

)

(

4

3

4

3

T

t

T

t

e

e

T

T

K

t

g

t

y

−

−

−

−

=

=





























−

−

−

=

=

−

−

4

3

4

3

4

3

1

1

)

(

)

(

T

t

T

t

e

T

e

T

T

T

K

t

h

t

y

9

Element inercyjny drugiego rzędu

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

35

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Odpowiedzi czasowe elementów inercyjnych drugiego rzędu

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

t

g(t)

t

K

h(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

36

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykład elementu inercyjnego drugiego rzędu

Podwójny czwórnik RC

















−

=

−

−

−

=

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

0

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

t

u

t

u

dt

t

du

C

R

t

u

t

u

R

t

u

t

u

dt

t

du

C

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

2

21

2

1

2

2

2

2

1

t

u

t

u

dt

t

du

T

T

T

dt

t

u

d

T

T

=

+

+

+

+

Po przekształceniach

2

1

12

2

2

2

1

1

1

,

,

C

R

T

C

R

T

C

R

T

=

=

=

gdzie:

R

1

R

2

C

1

u

0

u

1

u

2

C

2

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

37

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Element opóźniający

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

)

(

)

(

τ

−

⋅

=

t

x

K

t

y

s

e

K

s

G

τ

−

⋅

=

)

(

)

(

1

)

(

)

(

τ

−

⋅

=

=

t

K

t

h

t

y

)

(

)

(

)

(

τ

δ −

⋅

=

=

t

K

t

g

t

y

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

38

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

9

Odpowiedzi czasowe elementów opóźniających

t

K

h(t)

τ

t

g(t)

τ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

39

Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Własności dynamiczne układów liniowych

Własności dynamiczne układów liniowych

9

Przykłady elementów opóźniających

odcinek rurociągu

transporter

v

l

K

t

x

K

t

y

=

=

−

=

τ

τ

,

1

:

gdzie

)

(

)

(

v

l

Q

K

t

Q

K

t

y

=

=

−

=

τ

τ

,

1

:

gdzie

)

(

)

(

1

2

x

v

l

y

v

v

l

a

Q

1

Q

2