Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 14
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W EKONOMII  lista zadań
b
a-ð
x
1. Zbadać funkcjÄ™ y =ð e , a, b >ð 0 , i naszkicować jej wykres. Funkcja ta opisuje zależność popytu na
dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta.
2. Całkowity koszt w złotych wyprodukowania w małej fabryce w ciągu tygodnia x artykułów dany jest
1
/
wzorem: K(x) =ð 50 +ð 5x -ð x2 . Obliczyć K(26) -ð K(25) i porównać z K (25) .
100
3. Obliczyć elastyczność funkcji f (x) =ð 3x -ð 6 .
4. Koszt K(x) wyprodukowania w ciÄ…gu dnia x foteli wynosi K(x) =ð x2 +ð 5x +ð 36 . Podać koszt przeciÄ™t-
ny i koszt krańcowy. Zbadać dla jakiego x koszt przeciętny jest minimalny. Naszkicować wykres kosz-
tu przeciętnego i kosztu krańcowego.
5. Obliczyć elastyczność funkcji f (x) =ð x2 +ð 2x +ð 5 i naszkicować jej wykres (dla x Å‚ð 0 ).
6. Producent chce sprzedać zupÄ™ w cylindrycznych puszkach, przy czym w puszce ma siÄ™ zmieÅ›cić 54pð cm3
oraz puszka ma być wykonana z arkusza blachy o minimalnym polu. Jakie wymiary powinny mieć te
puszki?
7. Konkurent producenta z poprzedniego zadania decyduje się sprzedawać zupę również w cylindrycznych
puszkach, przy czym na wykonanie puszki przeznacza 24pð cm2 blachy, a wymiary puszki sÄ… takie, że
ma ona największą objętość. Jakie to wymiary?
x
8. W badaniach prognostycznych wykorzystywana jest tzw. funkcja Gompertza y =ð abc , gdzie a, b, c, d
oznaczajÄ… pewne staÅ‚e dodatnie i dodatkowo b Ä…ð 1, c Ä…ð 1. Naszkicować nastÄ™pujÄ…ce funkcje tego rodzaju:
1 1
( )x ( )x
x x
4 2
2 2
a) y =ð 3×ð 24 , b) y =ð 5 ×ð ( )3 , c) y =ð 10 ×ð 3 , d) y =ð 4 ×ð ( ) .
5 3
Odpowiedzi
1. Ze wzglÄ™du na istotÄ™ zagadnienia D =ð ( 0; +ð Ä„ð ) . lim f (x) =ð 0, lim f (x) =ð ea . Prosta y =ð ea jest
x®ð+ðÄ„ð
x®ð0+ð
ax-ðb
b
/
x
asymptotÄ… poziomÄ… prawostronnÄ… . f (x) =ð e . Funkcja roÅ›nie w zbiorze D.
x2
ax-ðb
y =ð ea
-ð b(2x -ð b)
//
x
Y
f (x) =ð e . Funkcja jest wypukÅ‚a
x4
b b
ax-ðb
w przedziale (0; ) i wklÄ™sÅ‚a w przedziale ( ; +ð Ä„ð) .
x
2 2
y =ð e
ea-ð2
b
b Punkt P( , ea-ð2 ) jest punktem przegiÄ™cia.
X
2
2
Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii  lista zadań
2
1 1
/ /
2. Mamy tutaj K(26) -ð K(25) =ð 4,49 . Ponieważ K (x) =ð 5 -ð x , to K (25) =ð 5 -ð =ð 4,5 . Obie wielko-
50 2
ści różnią się nieznacznie.
x x x
/
3. E(x) =ð f (x) =ð ×ð 3 =ð . Tak wiÄ™c dla x =ð 4 elastyczność E(4) =ð 2 . Oznacza to, że jeżeli
f (x) 3x -ð 6 x -ð 2
wartość x wzrośnie o 1%, to wartość funkcji wzrośnie o około 2%. (Tutaj wzrost argumentu funkcji o
1%, tzn. od wartości 4 do wartości 4,04 pociąga za sobą wzrost wartości funkcji od 6 do 6,12 czyli do-
kładnie o 2%).
K(x) 36
y =ð f (x)
4. Koszt przeciÄ™tny f (x) =ð =ð x +ð 5 +ð jest minimalny,
Y
x x
/
gdy x =ð 6 . Koszt kraÅ„cowy K (x) =ð 2x +ð 5 .
/
17
y =ð K (x)
/
f (6) =ð17 =ð K (6) .
X
6
5.
Y
2
2x2 +ð 2x
Elastyczność E(x) =ð jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
y =ð E(x) x2 +ð 2x +ð 5
X
54
6. Jeżeli przyjąć jako x promieÅ„ podstawy walca, to wysokość walca h =ð , a pole powierzchni
x2
108pð
S =ð 2pðx2 +ð . Funkcja ta przyjmuje (w przedziale ( 0; +ð Ä„ð) ) wartość najmniejszÄ… gdy x =ð 3 . Warunki
x
zadania spełnia walec o średnicy 6 cm i wysokości 6 cm (walec, którego przekrój osiowy jest kwadra-
tem).
12 -ð x2
7. Jeżeli oznaczyć przez x promieÅ„ podstawy walca, wówczas wysokość walca h =ð ,
x
a w konsekwencji V =ð pðx(12 -ð x2 ) . Funkcja ta przyjmuje (w przedziale ( 0; 2 3 ) ) wartość najmniejszÄ…
gdy x =ð 2 . Warunki zadania speÅ‚nia walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem.
x
8. a) Dla funkcji f (x) =ð 3 ×ð 24 , przyjmujÄ…c D =ð 0; +ð Ä„ð ) ,
Y
x
mamy: f (0) =ð 6, lim f (x) =ð +ðÄ„ð .
y =ð 3×ð 24
x®ð+ðÄ„ð
Funkcja jest rosnąca i wypukła w dół w zbiorze D.
X
6
Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii  lista zadań
3
x
4
Y
b) Dla funkcji f (x) =ð 5 ×ð ( )3 , przyjmujÄ…c D =ð 0; +ð Ä„ð ) ,
5
4
mamy: f (0) =ð 4, lim f (x) =ð 0 .
x
4
x®ð+ðÄ„ð
y =ð 5 ×ð ( )3
5
2
Funkcja jest malejąca w zbiorze D, wypukła w górę w przedziale
X ( 0;t ) oraz wypukÅ‚a w dół w przedziale ( t ; +ð Ä„ð) , gdzie
-ð ln(ln 5 -ð ln 4)
t
t =ð ð1,36 .
ln 3
1
( )x
2
c) Dla funkcji f (x) =ð10 ×ð 3 , przyjmujÄ…c D =ð 0; +ð Ä„ð ) , mamy:
Y
1
x
30
( )
f (0) =ð 30, lim f (x) =ð10 .
2
y =ð 10 ×ð 3
x®ð+ðÄ„ð
Funkcja jest malejąca i wypukła w dół w zbiorze D.
10
X
1
( )x
2
2
d) Dla funkcji f (c) =ð 4 ×ð ( ) , przyjmujÄ…c D =ð 0; +ð Ä„ð ) , mamy:
Y
3
4
8
8 f (0) =ð , lim f (x) =ð 4 .
1
x
( )
2 x®ð+ðÄ„ð
3
2
3
y =ð 4 ×ð ( )
3
Funkcja jest rosnąca i wypukła w górę w zbiorze D.
X