Szczególna Teoria Względności
Kinematyka relatywistyczna
Doświadczenie Michelsona i Morleya (1881 i 1887)
Załó\
my, \
e prędkość światła jest stała
względem eteru. Jaka jest więc prędkość
Ziemi względem eteru ?
zwierciadło
1
zwierciadło
półprzepuszczalne
z
ródło światła
zwierciadło
ruchome
2 1) Załó\
my, \
e na ekranie obserwujemy maksimum
interferencyjne (prÄ…\
ki). Jeśli przesuniemy
zwierciadło ruchome o ź długości fali ( ź ) w
prawo, to promieÅ„ 2 przejdzie dodatkowo drogÄ™ ½ 
i oba promienie na ekranie wygaszÄ… siÄ™ w miejscach
ekran
gdzie się wzmacniały (maksima przejdą w minima i
odwrotnie).
Zasada budowy interferometru Michelsona. Zwierciadło
2) Zakłócenie ustawionego maksimum
 2 mo\
na przesuwać i w ten sposób doprowadzać do
interferencyjnego mo\
na by tak\
e uzyskać, gdyby
powstawania kolejnych maksimów i minimów
prędkości światła w ramieniu 1 lub 2 ulegały
interferencyjnych.
zmianie.
1
zwierciadło
A
B
1
l0
zwierciadło
z
ródło światła
półprzepuszczalne
zwierciadło
2
l0
ekran
Je\
eli obrócimy interferometr o 900,
obydwa lustra S1 i S2 zamieniÄ… siÄ™ rolami,
a więc:
Po obróceniu ramion prą\
ki interferencyjne się przesuną. Z przesunięcia tego mo\
na
wyznaczyć vZ . Doświadczenie pokazało, \
e vZ=0 (z dokł. 5 km/s) czyli albo Ziemia się nie
porusza (wzgl. eteru) albo prędkość światła jest stała w ka\
dym układzie inercjalnym.
Zmierzona prędkość światła jest taka sama w ka\
dym
układzie inercjalnym (np. dla obserwatora A oraz B) !!!
2
Transformacja Galileusza
x'= x -Vt
y'= y
z'= z
t'= t
"x
"x' "x -V"t
składanie prędkości u =
u'= = = u -V
"t
"t' "t
"u' "(u -V ) "u
przyspieszenie w układzie
a'= = = = a
poruszajÄ…cym siÄ™ "t' "t "t
Ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników
dla omawianych układów inercjalnych.
Prędkość światła nie jest stała dla transformacji Galileusza.
Postulaty szczególnej teorii względności szczególnej teorii względności,
Albert Einstein 1905.
Postulat I (zasada względności):
Wszystkie to\
same zjawiska fizyczne przebiegajÄ…, przy
identycznych warunkach poczÄ…tkowych, jednakowo w inercjalnych
układach odniesienia.
Inaczej mówiąc, wśród IUO nie ma układu  uprzywilejowanego
i stwierdzenie stanu absolutnego ruchu nie jest mo\
liwe.
Postulat II: Prędkość światła w pró\
ni jest jednakowa we
wszystkich kierunkach i w dowolnym obszarze danego inercjalnego
układu odniesienia i jednakowa dla wszystkich inercjalnych układów
odniesienia.
c = 299 792 458 m/s
3
Transformacja Lorentza
Szukamy transformacji współrzędnych, która uwzględnia niezale\
ność prędkości
światła od układu odniesienia.
x -Vt x -Vt
² = V/c
x'= =
2 2
V 1- ²
1-
c2
y'= y
z'= z
V V
t - x t - x
c2 c2
t'= =
2 2
V 1- ²
1-
c2
Własności czasoprzestrzeni są inne ni\
przewiduje to transformacja Galileusza.
Dla ² << 1 otrzymujemy transformacjÄ™ Galileusza.
... czy dylatacja czasu i kontrakcja długości wynikają z transformacji Lorentza???
Dylatacja czasu
Dwa zdarzenia zaszły w tym samym
"x'= 0
miejscu w układzie poruszającym
się (O ), w odstępie czasu .
"t'`" 0
"t'`" 0
V V
t - x t'+ x'
c2 c2
"x'= 0
t'== t =
2 2
1- ² 1- ²
"t'
"t =
2
1- ²
Skrócenie długości
Pręt o długości (względem O )
"x'= L'
porusza się z prędkością V względem O.
Mierzymy długość w układzie O,
"x = L
wyznaczajÄ…c w tej samej chwili
"t = 0
"t = 0 współrzędne końca i początku.
x -Vt "x
x'= "x'=
2 2
1- ² 1- ²
2
V
L = L' 1-
c2
4
Potwierdzenie dylatacji czasu i kontrakcji długości
"t'
"t =
1) Ka\
dy obserwator stwierdza, \
e poruszajÄ…cy siÄ™ zegar idzie wolniej
2
V
ni\
identyczny zegar w spoczynku (dylatacja czasu).
1-
c2
2
2) Ka\
dy obserwator stwierdza, \
e poruszający się przedmiot jest krótszy
V
L = L' 1-
ni\
identyczny przedmiot w spoczynku (kontrakcja długości).
c2
Dowody doświadczalne
Miony docierają do Ziemi choć mają zbyt krótki czas \
ycia (2 ms ).
W układzie związanym z Ziemią jest to spowodowane dylatacją czasu (ich czas \
ycia
w układzie zwiazanym z Ziemią jest 30 razy dłu\
szy poniewa\
poruszajÄ… siÄ™ one z
prędkością 99,3% prędkości światła).
Patrząc z układu odniesienia poruszającej się cząstki, atmosfera
Ziemi porusza się z prędkością ok. 99,3% prędkości światła względem spoczywającej
cząstki i tym samym, ze względu na skrócenie długości, jest 30 razy cieńszą warstwą.
W ciÄ…gu 2 ms (czas \
ycia mionu) cała atmosfera zdą\
y przesunąć się względem
czÄ…stki i powierzchnia Ziemi dotrze do mionu.
... a jak wygląda transformacja współrzędnych między układami inercjalnymi???
Składanie prędkości w transformacji Lorentza
Obiekt ma prędkość ux' w ruchomym układzie odniesienia (np. względem rakiety).
Jaką prędkość ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta
porusza się z prędkością V wzdłu\
osi x.
V
"t - "x
"x -V"t
c2
Z transformacji Lorentza: "x'= "t'=
² = V/c
2 2
1- ² 1- ²
"x ux -V
"x'
-V ux'=
ux '=
"x' "x -V"t Vux
"t
Poniewa\
:
= = "t' 1-
V V "x
"t' c2
"t - "x 1-
"x
c2 c2 "t
ux '+V
ux =
ux =
"t
Vux '
1+
c2
Przykłady:
c -V
c'= = c
dla ux = c
1) Vc
1-
c2
2) V =0.9c, ux = 0.9c ux = 0.994c
5
Związek przyczynowo skutkowy a jednoczesność
1) Czy istnieje układ, w którym bitwa pod Grunwaldem i chrzest Polski zaszły:
a) w tym samym miejscu:
"x -V"t
"x km
"x'= = 0
V = H" 0.45
2
1- ²
"t rok
² = V/c
b) tym samym czasie:
V
"t - "x
c2 = 0 V = c2 >> c
"t'=
2
"x / "t
1- ²
Zdarzenia zajdą w tym samym miejscu w układzie poruszającym się z prędkością ok. 0.45km/rok, z
Gniezna do Grunwaldu. Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia są jednoczesne.
2) Po 10s od zajścia protuberancji na Słońcu, na Ziemi wybuchł wulkan. Czy istnieje układ w
którym te zdarzenia zaszły:
"x
a) w tym samym miejscu:
V = H" 51*c > c
"t
c2
b) tym samym czasie :
V = H" 0.02*c
"x / "t
Zdarzenia zajdą w tym samym czasie w układzie poruszającym się z prędkością ok. 0.02*c.
Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia zajdą w tym samym miejscu.
6
Geometria czasoprzestrzeni
"s1,2
Wielkość fizyczna opisująca odległość między dwoma zdarzeniami nazywa się interwałem
2
zdefiniowanym następująco:
"s1,2 = c2"t2 -("x2 + "y2 + "z2)
Mo\
na wykazać, \
e interwał jest niezmiennikiem względem transformacji Lorentza, tzn. ma
2 2
taką samą wartość w ka\
dym inercjalnym układzie odniesienia:
"s1,2'= "s1,2
1) Jeśli istnieje układ, w którym zdarzenia
zajdÄ… w tym samym miejscu to mo\
e istnieć
miedzy nimi zwiÄ…zek przyczynowy (te
zdarzenia nie mogą być jednoczesne w
2
\
adnym układzie). Wtedy : "s1,2 e" 0
2) Jeśli istnieje układ, w którym zdarzenia
zajdÄ… w tym samym czasie to nie mo\
e
istnieć miedzy nimi związek przyczynowy
(nie istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą
2
w tym samym miejscu ). Wtedy : "s1,2 < 0
DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
Pęd i masa relatywistyczna
uxpocz,i = uxkonc,i obowiÄ…zuje
Sprawdz
my czy zasada zachowania pędu:
"mi "mi
i i
w układzie poruszającym się z prędkością V:
uxpocz,i -V uxkonc,i -V
`"
"mi "mi
Vuxpocz,i i Vuxkonc,i problem: zas. zach. pędu nie jest spełniona !!!
i
1- 1-
c2 c2
Jeśli ma pozostać słuszna zasada zachowania pędu, to masa ciała nie mo\
e
być wielkością stałą; musi ona zale\
eć od prędkości wg. wzoru:
m0 m0 8
m = =
Å‚=m/m0
2
7
u2 1- ²
1-
6
c2
5
Pęd w mechanice relatywistycznej
4
definiujemy:
3
2
m0
1
p = mu = u
² = u/c
v/c
2
0
1- ²
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
7
Energia relatywistyczna
Aby utrzymać w mocy zasadę zachowania energii w mechanice relatywistycznej,
pomiędzy masą całkowitą a energią ciała (zwaną energią całkowitą) musi
zachodzić związek :
m0 Jest to słynne równanie Einsteina wyra\
ajÄ…ce
E = mc2 = c2
2 równowa\
ność masy i energii.
1- ²
² = u/c
Uwaga: Zasada zachowania energii obowiązuje dla energii całkowitej !!!
masa [kg] energia
elektron 9.11×10-31 8.19 ×10-14 J (= 511 keV)
proton 1.67 ×10-27 1.5 ×10-10 J (= 938 MeV)
atom Uranu 3.95 ×10-25 3.55 ×10-8 J (= 225 GeV)
czÄ…steczka kurzu 1 ×10-13 1 ×104 J
Jaka jest więc definicja energii kinetycznej ?
Załó\
my najpierw, \
e ciało jest w spoczynku. Wtedy masa tego ciała jest równa
m0 i jego energia, zwana energiÄ… spoczynkowÄ…, wynosi:
E0 = m0c2
Relatywistyczna energia kinetyczna jest równa:
ëÅ‚ öÅ‚
1
Ek = E - E0 = (m - m0) c2
Ek = m0c2ìÅ‚ 2 -1÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1- ²
íÅ‚ Å‚Å‚
² = u/c
u
² = 0
Mo\
na wykazać, \
e gdy u<c
w klasyczne:
m0
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
2 p = mu = u H" m0u
Ek = m0c2ìÅ‚ 2 -1÷Å‚ = m0c2ëÅ‚1+ ² ...-1öÅ‚ H" m0u2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ 1- ²
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1- ²
íÅ‚ Å‚Å‚
8
Związek energii, masy i pędu
E = mc2 oraz p = mu
m0
u2 podstawiajÄ…c: m =
E2 - p2c2 = m2c4(1- )
stÄ…d: u2
c2 1-
c2
otrzymamy:
2
E = m0c4 + p2c2
lub
E2 - p2c2 = m02c4
2
Zauwa\
my, \
e wyra\
enie:
E - p2c2 jest niezmiennikiem (podobnie jak
interwał ma taką samą wartość we wszystkich układach inercjalnych).
9