Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej.
(&!, F, P)  przestrzeń probabilistyczna, X: &! R  zmienna losowa.
Zmienna wyznacza na prostej pewien rozkład.
-1
Dla A Ä…" R : PX (A)= P({É : X (É)" A})= P(X (A)).
na
Niech zbiorem wartoÅ›ci zmiennej X bÄ™dzie zbiór Ax, czyli X: &! AX ‚" R .
Niech funkcja y = Ć(x) będzie ciągłą funkcją zmiennej rzeczywistej x na zbiorze Ax. Przez AY
określamy zbiór wartości funkcji Ć (y " AY).
Õ
X
&! AX AY ‚" R
Y(É) = Ć(X(É)) i tak okreÅ›lona funkcja odwzorowuje &! w R. Nazywamy jÄ… funkcjÄ…
ciągłą zmiennej losowej X i oznaczamy: Y = Ć(X).
Wyznaczamy wartości rozkładu zmiennej losowej Y.
Niech A ‚" R .
PY(A) = P({É: Y(É) "A})=P({É: Ć(X(É))"A}) = P({É: X(É) "Ć-1(A)}) = PX(Ć-1(A))
Zatem: PY(A) = PX(Ć-1(A)).
Przykład:
1) X ma rozkład dyskretny P(X=xi) = pi , i=1,2,3,&
y = Ć(x)=x2
Y = Ć(X)=X2
Y " AY = {y1,y2,& } yi = Ć(xi)
p' = P(Y = yi) = P(Õ(X ) = yi) = pi
i
"
k: Õ ( xk )= yi
X: xi -2 -1 0 1 2
pi 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
Y=X2 yi 0 1 2
pi 1/5 2/5 2/5
2) X ma rozkład ciągły
Niech Y = Ć(X) Ć - funkcja ciągła i ró\
niczkowalna
f X(x)  funkcja gęstości X
 f Y(y)  funkcja gęstości Y
Niech Õ - róznowartoÅ›ciowa .
Wtedy istnieje x = Õ-1(y).
1) Õ rosnÄ…ca.
Ka\
demu przedziałowi x, x + "x) odpowiada przedział y, y + "y).
P(x d" X < x + "x) = P(y d" Y < y + "y)
Fx(x + "x)- Fx(x) = Fy(y + "y)- Fy(y) /: "x
Fy(y + "y)- Fy(y)
Fx(x + "x)- Fx(x) "y
= Å"
"x "y "x
"x 0 "! "y 0
Fy(y + "y)- Fy(y)
Fx(x + "x)- Fx(x) "y
lim = lim Å"
"x0 "x0
"x "y "x
"y0
Fx '(x)= Fy '(y)dy
dx
fx(x)= f (y)dy Ò! f (y)= fx(x)dx
y y
dx dy
fy(y)= fx(x)(Õ-1)'(y) - otrzymaliÅ›my wzór na gÄ™stość funkcji, gdy Õ jest rosnÄ…ca.
2) Õ malejÄ…ca
Ka\
demu przedziałowi x, x + "x) odpowiada przedział y - ", y).
P(x d" X < x + "x) = P(y - "y < Y d" y)
Fx(x + "x)- Fx(x) = Fy(y)- Fy(y - "y) /: "x
Fy(y)- Fy(y - "y)
Fx(x + "x)- Fx(x) - "y
lim = lim Å"
"x0 "x0
"x - "y "x
"y0
"x 0 Ô! "y 0 Ô! -"y 0
dy
öÅ‚
Fx'(x) = Fy '(y)ëÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
dy
öÅ‚
fx(x) = fy(y)ëÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
fy(y) = fx(x)(- Õ-1(y))'
-1
Õ malejÄ…ca Õ malejÄ…ca (Õ-1)' ma wartoÅ›ci ujemne.
-1
Õ monotoniczna, to fy(y) = fx(x)(Õ (y))' = fx(Õ-1(y))(Õ-1(y))' .
Przykład:
1 1
Niech X ma rozkÅ‚ad ciÄ…gÅ‚y okreÅ›lony funkcjÄ… gÄ™stoÅ›ci: fx(x)= Å" , x " R .
Ä„ 1+ x2
Znalez
ć funkcję gęstości zmiennej Y = 3X - 2 .
1
y = Õ(x) = 3x - 2 y + 2 = 3x x = (y + 2)
3
1 2
Õ-1(y) = y +
3 3
1
(Õ-1(y))'=
3
1 1 1 2
öÅ‚
fy(y) = fx(Õ-1(y))Å" = fxëÅ‚ y + =
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
, y " R .
1 1 3
= Å" =
2
3Ä„ Ä„(13 + y2 + 4y)
1 2
ëÅ‚ öÅ‚
1+ y +
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład:
1 1
Niech X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości: , x " R .
fx(x)= Å"
Ä„ 1+ x2
2
Znalez
ć funkcję gęstości zmiennej Y = 2X .
Wyznaczmy dystrybuantę nowego rozkładu:
2
FY (y)= PY (Y < y)= PY (2X < y)
2
1) y d" 0 FY (y)= PY (2X < y)= 0
y y y
2) y > 0 2x2 < y Ô! x2 < Ô! - < x <
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
y y y y
÷Å‚
FY (y)= PìÅ‚- < x < = FX ìÅ‚ ÷Å‚ - FX ìÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
y 1 1 y 1 1
=
fY (y) = F' ( y) = fX ìÅ‚ ÷Å‚ Å" - fX ìÅ‚- ÷Å‚
Å"
Y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
y y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 (- 2)
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚ 1 ìÅ‚ 1
1 y y 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
fX ìÅ‚ ÷Å‚ + fX ìÅ‚ - ÷Å‚
= + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
y 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚ y ìÅ‚ ëÅ‚1+ y öÅ‚ Ä„ ëÅ‚1+ y öÅ‚ ÷Å‚ y ëÅ‚1+ y öÅ‚Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
4 4 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
2 2 íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 y d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
.
y > 0
fY (y)=
òÅ‚
ôÅ‚2Ä„ y ëÅ‚1+ y öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ół
Zmienna losowa unormowana (standaryzowana).
X - zmienna losowa, EX=m, D2X = ´
Definicja:
X - m
ZmiennÄ… losowÄ… U = nazywamy zmiennÄ… losowÄ… unormowanÄ… (standaryzowanÄ…)
Ã
(zmiennej X).
X - m
Funkcja Õ(X )= odchylenia standardowego jest rosnÄ…ca.
Ã
Twierdzenie:
Je\
eli U jest zmienną losową unormowaną, to wartość oczekiwana U jest równa 0 i wariancja
jest równa 1.
EU=0, D2(U)=1
X - m 1 EX - E(m) m - m
Dowód: E(U )= EëÅ‚ öÅ‚ = E(X - m)= = = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
à à à Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
2
X - m 1 D2 X Ã
D2ëÅ‚ öÅ‚ = D2(X - m)= = =1. %
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
à à à Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozkład DYSKRETNY.
a) Rozkład jednostajny
Mówimy, \
e zmienna losowa X ma rozkład jednostajny, je\
eli przyjmuje skończoną ilość
wartości nale\
Ä…cych do zbioru x "{x1,..., xn} i ka\
dÄ… przyjmuje z jednakowym
prawdopodobieństwem:
1
P(X = xi )= dla i "{1,2,...}.
n
Przykład: Liczba oczek na kostce  wartość zmiennej. Przyjmuje 6 wartości z jednakowym
1
prawdopodobieństwem .
6
b) Rozkład zero-jedynkowy
Zmienna ma rozkład zero jedynkowy, je\
eli przyjmuje dwie wartości 0 i 1.
X "{0,1} P(X = 0)=1- q = p P(X =1)= p
2
EX = 0Å" q +1Å" p = p D2 X = EX - EX = 1Å" p + 0Å" q - p2 = p - p2 = p(1- p)= pq .
Przykład: X występuje w doświadczeniu, w którym mo\
liwe sÄ… dwa wyniki i X jest to
wartość przyporządkowana tym wynikom, np. rzut monetą niekoniecznie symetryczną.
c) Rozkład geometryczny
Zmienna losowa przyjmuje nieskoÅ„czenie wiele wartoÅ›ci X (É)"{1,2,3,...} z
prawdopodobieństwem P(X = k)= pqk-1 dla k = 1,2,...
X  liczba doświadczeń, które trzeba wykonać, aby uzyskać pierwszy sukces w ciągu
niezale\
nych doświadczeń.
d) Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)
Zmienna losowa X przyjmuje rozkład Bernoulliego, je\
eli przyjmuje wartości X "{0,...n} z
n
ëÅ‚ öÅ‚
prawdopodobieÅ„stwami P(X = k)= ìÅ‚ ÷Å‚ pkqn-k dla k "{0,...,n}, czyli X-liczba sukcesów w
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
schemacie Bernoulliego.
2
&! = {É = (x1,& , xn): xi = A, A ,i = 1,& , n}
P(X =1)= p P(X = 0) = 1 - p = q
i i
X = X1 +& + X EX = EX1 +& + EX = nEX1 = n(1Å" p + 0Å" q)= np
n n
2
D2 X = D2 X1 +& + D2 X = nD2 X1 = n(EX12 - (EX1) )= n(1Å" p + 0 Å" q - p2)=
n
np - np2 = np(1- p)= npq
X sÄ… niezale\
ne.
i
e) Rozkład Poissona
X "{0,1,2,& }
ke-
P = (X = k)=  - stała,  > 0
k!
"
Å" e- " k Å" k Å" e-
EX = pi = Å" = =
"xi "k k "
k! k!
i k =0 k =1
k
" " -1 l
"
k
= e- = =
" Å" e- "(k -1)! = e-" e-e 
(k -1)! l!
k =1 k =1 l =0
e
2 k
" " "
k ke-
2 2
D2 X = pi - 2 = - 2 = Å" - 2 = e- +1) - 2 =
"xi " "k ke- "(k
k! k!(k -1)! k!
i k =0 k =1 k =0
k
" "
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
kk " k
ìÅ‚ ÷Å‚
= e-ìÅ‚ + = e-ìÅ‚ + e ÷Å‚ - 2 = e-(e + e )- 2 =
" " ÷Å‚ - 2 ìÅ‚"(k
÷Å‚
k! k! -1)!
k =0 k =0 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= e-e (( +1))- 2 = 2 +  - 2 = 
Przykłady:
1) Rozmieszczenie gwiazd w układach międzyplanetarnych.
2) Rozmieszczenie drzew w wolnostojÄ…cym lesie.
3) Liczba połączeń w centralce w określonym czasie.
4) Liczba wad w określonej produkcji pewnych elementów.
5) Liczba zachorowań na rzadkie choroby.
6) Liczba po\
arów, awarii, wypadków drogowych.
Wiele występujących w przyrodzie przykładów rozkładów mo\
e być aproksymowane
rozkładem Poissona.
Twierdzenie. Poissona: Niech zmienna losowa X ma rozkład dwuwymiarowy określony
n
n
ëÅ‚ öÅ‚
wzorem: P(X = k)= ìÅ‚ ÷Å‚ pkqn-k , k = 0,1,...,n . Je\
eli prawdopodobieństwo P = p(n) maleje
n
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
do zera w taki sposób, \
e zaczynajÄ…c od pewnego n0 dla n > n0 , np=  =const, to
e- Å"k
lim P(X = k)= .
n
n"
k!

Dowód: p =
n
n
ëÅ‚ öÅ‚ n!
n-k
lim P(Xn = k) = limìÅ‚ ÷Å‚ pkqn-k = lim pk(1- p) =
ìÅ‚k ÷Å‚
n" n" n"
k!(n - k)!
íÅ‚ Å‚Å‚
n

(n - k +1)(n - k + 2)Å"& Å"(n -1)nk ëÅ‚1- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
= lim =
k
n"

k!nk ëÅ‚1- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
ëÅ‚1- k -1 k - 2 1 
öÅ‚ëÅ‚1- öÅ‚ öÅ‚ëÅ‚1- öÅ‚
Å"& Å"ëÅ‚1-
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
k íÅ‚ k
n n n n
Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
= lim = e-
k
n"
k! k!
ëÅ‚1- 
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
.
n
íÅ‚ Å‚Å‚
-
n
n ëÅ‚ - öÅ‚

 
öÅ‚ ìÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
limëÅ‚1- ÷Å‚ ìÅ‚
= limìÅ‚ëÅ‚1- ÷Å‚
= e-
ìÅ‚
÷Å‚
n" n"
n n
íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
%
Wnioski:
Z twierdzenia wynika, \
e rozkład Poissona mo\
na stosować do aproksymacji rozkładu
dwumianowego, gdy prawdopodobieństwo P jest małe, a liczba doświadczeń
n-du\
a. Przyjmujemy wtedy  = np .
Przykład: W skład aparatury wchodzi m.in. n=1000 elementów określonego rodzaju.
Prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku ka\
dego z n-elementów wynosi p=0,001 i nie
zale\
y od stanu pozostałych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwa uszkodzenia w ciągu
roku:
a) dokładnie dwóch elementów
b) nie mniej ni\
dwóch elementów.
X-liczba elementów uszkodzonych w ciągu roku.
X ma rozkład dwumianowy o n=1000 i p=0,001.
n 1000
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 998
a) P(X = 2)= ìÅ‚ ÷Å‚ p2qn-2 = ìÅ‚ ÷Å‚(0,001) Å"(0,999)
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2÷Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczanie prawdopodobieństw przy tak du\
ej liczbie n i małym p byłoby bardzo \
mudne.
Mo\
emy zatem uznać, \
e X ma w przybli\
eniu rozkład Poissona i skorzystać z tablic przy
obliczaniu prawdopodobieństw z uniknięciem \
mudnych obliczeń.
 = np = 0,001Å"1000 =1 P(X = 2)H" 0,183940
b)
P(X e" 2)=1- P(X < 2)=1-(P(X = 0)+ P(X =1))=1- (0,367879 + 0,367879)=1- 2Å" 0,367879 =
= 1- 0,735758 = 0,264242