wyk 06A

Scriptiones Geometrica
Volumen I (2014), No. 6A, 1 10.
Geometria odwzorowań inżynierskich
rzut środkowy 06A
Edwin Kozniewski
Zak Informacji Przestrzennej
lad
1. Rzut środkowy i jego niezmienniki
Przyjmijmy w przestrzeni dowoln� p e laściw� e laściwy)
a laszczyzn� (w a) � jako rzutni� oraz punkt (w
O jako środek rzutowania. P e edziemy p a
laszczyzn� � nazywać b� laszczyzn� obrazu albo t lem,
punkt O - okiem. Dowolnemu punktowi A różnemu od punktu O przyporz�
adkowujemy punkt
A przebicia t prost� OA (rys. 6A-01a). Odwzorowanie takie, jak już wiadomo z wyk 01,
la a ladu
nazywamy rzutem środkowym. Rzut środkowy nie jest odwracalny, t.zn. na podstawie rzutu
punktu nie jesteśmy w stanie odtworzyć po punktu w przestrzeni (por. Rys. 6A-01c).
lożenia
Takich punktów jest nieskończenie wiele - zbiorem wszystkich punktów o tej w
lasności jest
prosta przechodz� przez ten punkt i przez oko. Jeżeli prosta nie przechodzi przez oko, to
aca
jej rzutem środkowym jest prosta. Istotnie, rzutowana prosta wraz ze środkiem rzutu (ok-
iem) tworzy p e, eciu � a,
laszczyzn� która w przeci� z rzutnia daje prost� która jest obrazem. Zatem
wspó lliniowość jest niezmiennikiem rzutu środkowego. Z twierdzenia Talesa wynika, że w
rzucie środkowym zachowuje si� stosunek podzia odcinka równoleg do t (por. rys.
e lu lego la
6A-02b). Z w ladności wnioskujemy, że zachowana jest miara k� o ramionach
lasności jednok ata
równoleg do t Ponadto rzut środkowy zachowuje dwustosunek podzia odcinka (patrz
lych la. lu
rys. 6A-02c a także dodatek D06). Dwustosunkiem podzia odcinka [AB] punktami C, D
lu
nazywamy liczb�
e
(AB, C)
(AB; CD) = ,
(AB, D)
gdzie (AB, C), (AB, D) s� stosunkami podzia odcinka [AB] odpowiednio punktami C i D.
a lu
Aby jednoznacznie by określony aparat rzutujacy należy określić (ustalić na rysunku) po
l � lożenie
oka wzgl� t Określamy to wskazujac rzut prostok� O� oka O na t � i podajac
edem la. � atny lo �
odleg d oka od t Najwygodniej jest to zrobić poprzez wskazanie t.zw. okr� g ebokości
lość la. egu l�
t (rys. 6A-01b) o środku w punkcie O� i promieniu d d. Środek O� tego okr�
lowej lugości egu
nazywać b� l
edziemy punktem g ównym.
2. Odwzorowanie prostej
Rzutem prostej jest prosta. Aby zapewnić odwracalność rzutu as prostej a wyróżniamy rzuty
dwóch punktów tej prostej: punkt Ta wspólny z t t.zw. ślad t oraz punkt Za - rzut
lem, lowy
Edwin Kozniewski � 2014 Politechnika Bia lystok
lostocka, Bia
2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A
Rys. 6A-01: Aparat rzutujacy rzutu środkowego: a) p lo
� laszczyzna � - rzutnia czyli t oraz punkt O -
środek rzutowania czyli oko; b) elementy określajace aparat rzutujacy rzutu środkowego w realizacji
� �
tego rzutu na p l � l� lowej;
laszczyznie: O� - punkt g ówny, okrag g ebokości t c) rzut środkowy nie jest
S
odwracalny, punkt XS = Y = ZS = ... jest rzutem wszystkich punktów: X, Y , Z, ... prostej p,
różnych od O
Rys. 6A-02: Niezmienniki rzutu środkowego: a) wspó lu
lliniowość punktów; b) stosunek podzia
odcinka (AB, C) dla punktów leż� na prostej równoleg do t c) dwustosunek podzia
acych lej la; lu
(AB; CD)
punktu niew ec
laściwego prostej a, zwany śladem zbiegu prostej a. Ślad zbiegu jest wi� to
punkt przebicia prostej przechodz� przez oko równoleg do prostej a. Obydwa ślady leż�
acej lej a,
naturalnie, na prostej as (rzucie prostej a). Aby zorientować si� o po
e lożeniu prostej a (by np.
określić k� jaki tworzy prosta ta z t ) dokonujemy k oka (rys. 6A-04a2). Punkt A
at lem ladu
jest jednoznacznie określony przez swój rzut As , jeśli wiemy, że należy do prostej a, której
rzutem jest prosta as(TaZa).
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 3
Rys. 6A-03: Powstawanie rzutu prostej: a) prosta a i jej ślad t Ta - punkt przebicia z rzutnia;
lowy �
a1) rzut As dowolnego punktu A prostej a wraz z ze śladem Ta wyznaczaja rzut as prostej a; a2)
�
wyróżnienie rzutu Za jeszcze jednego (niew
laściwego) punktu Z" prostej a zapewnia odwracalność
(restytuowalność) odwzorowania.
Rys. 6A-04: Konstrukcja k� nachylenia prostej do t a) reprezentacja rzutu środkowego prostej;
ata la:
a1�a2) konstrukcja k a-zx promienia zbiegu a-z prostej a
ladu
3. Odwzorowanie p
laszczyzny
Podobnie, jak prosta, dowolna p edzie
laszczyzna ą w rzucie środkowym określona b� przez
swój ślad t tą (kraw� z t i ślad zbiegu zą - (kraw� p lej
lowy edz lem) edz laszczyzny, równoleg do
ą i przechodz� przez oko, z t (rys. 6A-05a,c)). Proste tą i zą s� do siebie równoleg
acej lem a le
(rys.6A-05c). O po laszczyzny ą w przestrzeni, podobnie jak w przypadku prostej,
lożeniu p
informuje nas k p lej laszczyzny ą i przechodz� przez oko,
lad laszczyzny �, prostopad do p acej
t.zw. p lkowej. Widzimy wtedy rzeczywist� rozwartość k� (k� � na rysunku
laszczyzny strza a ata at
6A-05c2) jaki tworzy p � at lowym
laszczyzna ą z rzutnia. K� ten razem ze śladem t odzwier-
4 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A
ciedla jednoznacznie po p
lożenie laszczyzny w przestrzeni. Zauważmy przy tym, że dowolna
p la la
laszczyzna jest prostopad do t wtedy i tylko wtedy, gdy jej ślad zbiegu przechodzi przez
punkt g ówny O� (rys.6A-05b - p laszczyzna ą).
l laszczyzna �, rys. 6A-27a - p
Rys. 6A-05: Odwzorowanie p �
laszczyzny w rzucie środkowym: a) rysunek pogladowy; b) z
p a lkow� laszczyznie strza (z profilu); c) reprezentacja
laszczyzn� strz a �; b1) widok w p lkowej
p ladu ata laszczyzny do t
laszczyzny w rzucie środkowym; c1�c2) konstrukcja k k� nachylenia p la
4. Przynależność punktu do prostej i p
laszczyzny
Punkt leży na p acej laszczyznie. Prosta a leży na
laszczyznie, jeżeli leży na prostej leż� na p
p lowy lowym laszczyzny
laszczyznie ą wtedy i tylko wtedy, gdy jej ślad t Ta leży na śladzie t tą p
ą a ślad zbiegu Za leży na śladzie zbiegu zą. Formalnie zależność mi� elementami odw-
edzy
zorowujacymi p e a lożeniu, że figury te przynależ� do siebie opisuje
� laszczyzn� ą i prost� a przy za a
zależność (por. rys. 6A-06):
C " ą �!�! C " a �" ą, (1)
a �" ą �!�! Za " zą, Ta " tą. (2)
Po punktu w przestrzeni daje si� jednoznacznie odtworzyć w sytuacji, gdy wiemy, że
lożenie e
należy on do znanej, odwzorowanej w rzucie środkowym, prostej. Wszystko to przy za
lożeniu,
że wymienione obiekty pośrednie s� restytuowalne a wi� np. wtedy, gdy znane s� punkt
a ec a
g ówny i okr� g ebokości t Po (odtworzenie w przestrzeni na podstawie rzutów)
l ag l� lowej. lożenie
elementów cz� daje si� ustalić w wyniku analizy sytuacji przestrzennej (np. wiadomo, że
esto e
kraw� sto na zdj� s� w rzeczywistości równoleg
edzie lu eciu a le).
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 5
5. Elementy wspólne
Rysunek 6A-06a informuje nas jeszcze o tym, że proste a i b przecinaja si� w punkcie C.
� e
Dlaczego? Dlatego, że ślady prostych a i b leż� na odpowiednich śladach p
a laszczyny ą czyli
proste a i b leż� w jednej p ec � e.
a laszczyznie, a wi� przecinaja si� Ogólniej, proste as(Ta, Za),
bs(Tb, Zb), przecinaja si� wtedy i tylko wtedy, gdy proste TaTb, ZaZb s� do siebie równoleg
� e a le.
Wtedy wyznaczaja odpowiednio ślady tą, zą pewnej p a
� laszczyzny ą na której leż� (rys. 6A-
06a). Formalnie możemy to zapisać:
a � b �!�! ZaZb||ZaZb. (3)
Prosta przebija p e a a
laszczyzn� w danym punkcie, jeżeli przecina w tym punkcie pewn� prost�
leż� a na tej p
ac� laszczyznie (por. rys. 6A-07).
Rys. 6A-06: Odwzorowanie p �
laszczyzny w rzucie środkowym: a) rysunek pogladowy; b) widok z
profilu; c) reprezentacja p ladu ata
laszczyzny w rzucie środkowym; c1�c2) konstrukcja k k� nachylenia
p la
laszczyzny do t
6. Równoleg prostych i p
lość laszczyzn
Proste równoleg maja wspólny punkt niew
le � laściwy, którego rzutem środkowym jest, jak już
wiadomo, punkt zbiegu każdej z prostych (rys.6A-06b). Możemy wi� zapisać:
ec
a||b �!�! Za = Zb. (4)
Podobnie dla p
laszczyzn:
ą||� �!�! zą = z�. (5)
Odwzorowanie dowolnego równoleg ABCD leż� na p
loboku acego laszczyznie ą ilustruje rysunek
6A-08a. Przeciwleg boki równoleg leż� odpowiednio na parach prostych równoleg
le loboku a lych
a, b; c, d. Odwzorowanie dowolnego (bez określonych wymiarów) prostok� zosta przed-
ata lo
stawione na rysunkach 6A-08, 6A-09, 6A-10.
6 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A
Rys. 6A-07: Konstrukcja punktu przebicia p a a
laszczyzny prost� w rzucie środkowym: a1) przez prost�
p prowadzimy dowoln� p e edz a laszczyzn ą i �; a3) punkt
a laszczyzn� �; a2) znajdujemy kraw� wspóln� k p
przebicia P jest punktem wspólnym prostych p i k
Rys. 6A-08: Dowolny równoleg i prostok� w rzucie środkowym: a) rzut środkowy
lobok at
równoleg ata
loboku; b � b7) konstrukcja rzutu środkowego prostok� o bokach na danych prostych
równoleg a i b; b1) konstrukcja punktu strza laszczyzny ą; b2) k boczny Ox oka
lych lkowego Ną p lad
7. Prosta prostopad do p
la laszczyzny
Proste prostopad do danej p a le, � ec
le laszczyzny ą s� wzajemnie równoleg posiadaja wi� wspólny
kierunek (punkt niew
laściwy) czyli w rzucie wspólny punkt zbiegu, który oznaczymy przez Z90.
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 7
Rys. 6A-09: Dowolny prostok� w rzucie środkowym (cd): b4 � b5) k p
at lad laszczyzny zbiegu: b4)
k oka; b5) k promienia zbiegu prostych a i b
lad lad
Rys. 6A-10: Dowolny prostok� w rzucie środkowym (cd): b6) konstrukcja w k promienia
at ladzie
zbiegu c - zo(= d - zo) szukanych prostych c i d prostopad do prostych a i b (c - zo Ą" a - zo)
lych
i, tym samym, śladów zbiegu prostych c i d; b7) konstrukcja rzutów środkowych prostych c i d i
prostok� ABCD
ata
Konstrukcj� promienia zbiegu nx w k bocznym p lkowej,
e ladzie laszczyzny strza a tym samym,
śladu zbiegu prostych prostopad do p
lych laszczyzny ą ilustruje rys. 6A-11. Przebieg kon-
strukcji tej jest nast� � przez oko prowadzimy p e l� laszczyzny
epujacy: laszczyzn� � prostopad a do p
ą (t.zw. p e lkow� lowy, � e � a
laszczyzn� strza a). Jej ślady zbiegu i t pokrywaja si� i stanowia prost�
przechodz� a przez O� prostopad a do zą(tą) (rys. 6A-11a), przecinajac� prost� zą w punkcie
ac� l� � a a
strza � ladu laszczyzny strza
lkowym, który oznaczamy przez Ną. Dokonujac k bocznego p lkowej
i prowadz� przez Ox prost� prostopad a do odcinka [OxNą] znajdujemy promień zbiegu nx
ac a l�
a nast� ślad zbiegu Z90 prostych prostopad do p
epnie lych laszczyzny ą (rys.6A-11a). Jako
ilustracj� powyższych charakteryzacji rzutu środkowego skonstruujemy prostopad
e lościan o
8 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A
Rys. 6A-11: Prostopad i konstrukcja prostopad
lość lościanu: a) konstrukcja śladu zbiegu prostych
prostopad do p ata lościanu
lych laszczyzny ą; b) rzut środkowy prostok� podstawy prostopad
Rys. 6A-12: Konstrukcja prostopad
lościanu (cd): b1) konstrukcja śladu zbiegu Z90 prostych
prostopad do p lych
lych laszczyzny ą; b2) poprowadzenie przez punkt Z90 czterech prostopad do
podstawy kraw� prostopad
edzi lościanu
podstawie na zadanej p edzi
laszczyznie ą (rys.6A-11b) o zadanym kierunku kraw� podstawy,
czyli śladzie zbiegu Za = (Zb) dwu (a w konsekwencji czterech kraw� prostopad
edzi lościanu)
kraw� podstawy prostopad e epujaco.
edzi lościanu. Konstrukcj� realizujemy nast� � Konstruu-
jemy dowolny prostok� - podstaw� prostopad
at e lościanu (rys. 6A-11b). Znajdujemy punkt
zbiegu Z90, nie znanych jeszcze kraw� prostopad lych laszczyzny
edzi lościanu prostopad do p
ą podstawy (rys. 6A-12b1). Przez punkt Z90 i przez wierzcho A, B, C, D podstawy
lki
prostopad ed� edzie
lościanu prowadzimy cztery proste (rys.6A-12b2) na których b� a leżeć kraw�
boczne prostopad a
lościanu. Potem przez ślad zbiegu Zc i przez punkt As prowadzimy prost�
1
s
na której leżeć b� górna kraw� [AsD1] prostopad eciu
edzie edz lościanu (Rys.6A-13b4). W przeci� z
1
s
prost� przechodz� a przez punkt DS znajdujemy drugi górny wierzcho D1 prostopad
a ac� lek lościamu
s
(rys. 6A-13b4). Nast� przez ślad zbiegu Za i przez D1 prowadzimy kolejn� prost� i znaj-
epnie a a
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A 9
Rys. 6A-13: Konstrukcja prostopad edzi acej
lościanu (cd): b3) wybór na kraw� przechodz� przez punkt
A(As) dowolnego punktu As; b4) konstrukcja pierwszej górnej kraw� prostopad
edzi lościanu, prze-
1
chodz� przez punkt A1(As)
acej
1
Rys. 6A-14: Konstrukcja prostopad edzi
lościanu (cd): b5) konstrukcja drugiej górnej kraw�
s
prostopad acej lych edzi
lościanu, przechodz� przez punkt D1(D1); b6) konstrukcja pozosta kraw�
dujemy w przeci� z trzecia prost� prostopad a trzeci górny wierzcho prostopad
eciu � a l� lek lościanu
s s
C1 (rys. 6A-14b5). Pozosta punkt B1 możemy znalezć na dwa sposoby posi � si� punk-
ly lkujac e
s 11
tami As i Za lub C1 i Zc. Wynika to z w
lasności tzw. konfiguracji Reidemeistera R12.
1
Otrzymana perspektywa prostopad a a
lościanu jest tzw. perspektyw� trójzbieżn� (rys. 6A-14b6).
Perspektywa dwuzbieżna - to perspektywa stosowana lub pionowa o której mówimy w zada-
niach 11. Z perspektyw� tak� mamy do czynienia wtedy, gdy p
a a laszczyzna podstawy ą, na
której ustawiony jest obiekt, jest prostopad do t Ten rodzaj perspektywy jest szeroko
la la.
omówiony w wyk 6B, przyk znajduja si� także w innych wyk lad
ladzie lady � e ladach. Przyk per-
spektywy jednozbieżnej jako perspektywy wn� pokoju znajdziemy w wyk 6C i 6G.
etrza ladach
Literatura
10 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06A
[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw� stosowan� Wydawnictwo
a a.
Naukowe PWN. Warszawa 1995.
[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podr� geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.
ecznik
Warszawa 1994.
[Pal85] Z. Pa
lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza
Kościuszki. Kraków 1985.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
BD Wykad 1 Wprowadzenie do baz danych
wykA
wykA
Wyk ad 02
Mat Bud wyk
wyk(Ia) wstęp PBiID
Stan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 str
si ownie wyk?
Socjologia klasyczna WYK? 7 i 8
HG wyk 9
IAQ wyk 5
Wyk ad IV Minimalizacja funkcji logicznych

więcej podobnych podstron