Dzielą się na dwie grupy: średnie klasyczne i pozycyjne. Do
średnich klasycznych należą: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna
oraz średnia geometryczna. Najczęściej wykorzystywanymi średnimi
pozycyjnymi są: dominanta (wartość najczęstsza) oraz kwantyle. Wśród
kwantyli wyróżniamy – kwartyle (dzielące zbiorowość na cztery części),
kwintyle (pięć części), decyle (dziesięć części) oraz centyle [percentyle]
(sto części).
Średnie klasyczne są obliczane na podstawie wszystkich
wartości szeregu. Średnie pozycyjne są wartościami konkretnych
wyrazów szeregu (pozycji) wyróżniających się pod pewnym względem.
Obie grupy wzajemnie się uzupełniają, każda opisuje poziom wartości
zmiennej z innego punktu widzenia.
Średnia arytmetyczna
Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej
wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę
tych jednostek.
N
x
N
x
x
x
x
n
i
i
n
∑
=
=
+
+
+
=
1
2
1
_
x - symbol średniej arytmetycznej;
x
i
– warianty cechy mierzalnej;
N – liczebność badanej zbirowości.
Średnią określoną powyższym wzorem nazywa się średnią
arytmetyczną nieważoną.
Jeżeli warianty średniej występują z różną częstotliwością, to oblicza
się średnią arytmetyczną ważoną. Wagami są liczebności
odpowiadające poszczególnym wariantom. Z tego typu sytuacją mamy do
czynienia w szeregach rozdzielczych i przedziałowych.
Średnią arytmetyczną z szeregów przedziałowych oblicza się
następująco:
N
n
x
N
n
x
n
x
n
x
x
k
i
i
i
k
n
∑
=
=
+
+
+
=
1
1
2
2
1
1
_
i
n
(n=1,2,…,k) – liczebność jednostek odpowiadająca
poszczególnym wariantom zmiennej;
N – suma tych liczebności
(
Σ
- suma)
W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej w
każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale mieszczą się w pewnym
przedziale. Dlatego też w celu obliczenia średniej arytmetycznej w
przypadku tego typu szeregów należy wcześniej wyznaczyć środki
przedziałów. Środki przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną
dolnej i górnej granicy każdej klasy. Oznacza się ją symbolem
i
o
x
.
Wzór na średnią arytmetyczną z szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
N
n
x
N
n
x
n
x
n
x
x
k
i
i
i
k
n
∑
=
=
+
+
+
=
1
0
0
2
2
0
1
1
0
_
Jeżeli w obliczeniach możemy wykorzystać wyłącznie procentowe
wskaźniki struktury (odsetki całości)
i
w
to wzór wygląda następująco:
100
1
0
_
∑
=
=
k
i
i
i
w
x
x
gdzie
100
⋅
=
N
n
w
i
i
Ćwiczenie 1
Tab. 1 Wyniki badań testowych dotyczących wiedzy teoretycznej ze
statystyki
Wiedza ze statystyki
(w punktach)
i
i
x
x
1
0
−
Liczba
studentów
i
n
Obliczenia pomocnicze
i
x
0
i
i
n
x
0
i
w
i
i
w
x
0
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
2
10
7
9
12
10
25
35
45
55
65
75
50
350
315
495
780
750
4,0
20,0
14,0
18,0
24,0
20,0
100,0
700,0
630,0
990,0
1560,0
1500,0
Razem
50
x 2740 100,0 5480,0
i
x
0
- środek klasy
i
w
- odsetek ogółu
Oblicz średnią arytmetyczną.
Metoda 1:
„Za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego”
Metoda 2:
„Za pomocą procentowych wskaźników struktury”
punktów
x
8
,
54
100
5480
=
=
Wyniki są równoważne, ponieważ wartość średniej arytmetycznej
nie zależy od liczebności poszczególnych klas, ale od proporcji
między nimi.
Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup, a chcemy obliczyć
średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie korzystamy ze wzoru:
N
n
x
x
k
i
i
i
∑
=
=
1
gdzie:
x
- średnia ze średnich;
i
x
- średnia arytmetyczna i-tej grupy;
N
- suma liczebności grupy;
Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko w odniesieniu do
zbiorowości jednorodnych, o niewielkim stopniu zróżnicowania wartości
zmiennej. W miarę wzrostu asymetrii i zróżnicowania rozkładu, a także w
rozkładach bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci
swoje znaczenie. Nie można jej obliczyć dla szeregu o otwartych
przedziałach, jeżeli przedziały te mają duże liczebności. (Przyjmuje się, że
otwarte przedziały klasowe przedziały można zamykać, jeżeli liczba
jednostek w tych przedziałach nie przekracza 5% liczebności zbiorowości.)
Jeżeli wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych,
np. km/godz, kg/osobę, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek
względnych (prędkość pojazdu – zmienna: km/godz.; waga: w km; gęstość
zaludnienia – zmienna: w osobach/km
2
, waga: w osobach; spożycie
artykułu X na 1 osobę – zmienna: w litrach, waga: na osobę), to stosuje się
średnią harmoniczną.
Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z
odwrotności wartości zmiennych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron