5. Ocena procesu przetwarzania energii

5. Ocena procesu przetwarzania energii

W poprzednich rozdziałach rozważano przetworniki o dwóch cewkach umieszczonych we wspólnym obwodzie magnetycznym. Przetworniki takie mogą przetwarzać energię mechaniczną na elektryczną lub odwrotnie, lecz aby było to użyteczne muszą być spełnione pewne warunki. Zostaną one wyjaśnione na przykładzie najprostszego przetwornika o dwóch cewkach oraz cylindrycznym obwodzie magnetycznym, przedstawionego schematycznie na Rys. 3.2. Dla jasności tych analiz założono, że indukcyjność wzajemna tych cewek zmienia się zgodnie z funkcją M (ϕ) = M ⋅ co ϕ

s ,

która stanowi najprostszą aproksymację właściwości indukcyjności wzajemnej przedstawionej na Rys.

3.4. Równania takiego przetwornika mają postać

d (L ⋅ i + M⋅cosϕ ⋅ i + R ⋅ i = u

(5.1a)

2 )

d t

d (M⋅cos ϕ⋅ i + L ⋅ i + R ⋅ i = u

(5.1b)

2 )

d t

d2ϕ

dϕ

+ D

= m

i i

(5.1c)

z − M ⋅ 1 ⋅

2 ⋅ sinϕ

d t

Aby objaśnić możliwie prosto efekty przetwarzania energii rozpatrzony zostanie najprostszy przypadek gdy przez cewki ‘1’ oraz ‘2’ płyną prądy stałe w czasie i ( t) = I oraz i ( t) = I . Wówczas 1

przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny stały w czasie

em = −M ⋅ I1 ⋅

I2 ⋅ sinϕ

To spowoduje, że część obrotowa przetwornika ustawi się w takim położeniu ϕ , aby spełnić 0

równanie równowagi statycznej

m + m

= 0 czyli m − M ⋅ I ⋅ I ⋅sinϕ = 0

(5.2)

tj. aby moment elektromagnetyczny zrównoważył zewnętrzny moment mechaniczny. Dla dodatnich kątów ϕ moment elektromagnetyczny będzie działał przeciwnie do kąta obrotu i będzie równoważył

dodatni moment mechaniczny, a dla kątów ujemnych moment elektromagnetyczny będzie działał

zgodnie z kątem obrotu i równoważył ujemny moment mechaniczny. Na Rys. 5.1. przedstawiono wykres zmian momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta ϕ , z którego wynika, ze są możliwe dwa położenia równowagi ϕ oraz ϕ

, które zaznaczono na rysunku dla ujemnego momentu

0 1

0,2

mechanicznego, czyli dla przypadku, gdy przetwornik ma pokonać pewien mechaniczny moment obrotowy. (Dla przypomnienia, gdy wartość momentu mechanicznego jest dodatnia działa on zgodnie z kątem obrotu, gdy jego wartość jest ujemna działa przeciwnie do kąta obrotu)

m em

0 1

0,2

−π/2

π/2

3 /

π 2

2π

Rys.5.1. Zależność momentu elektromagnetycznego przetwornika od kąta obrotu ϕ

Należy rozstrzygnąć, które z tych dwóch położeń jest położeniem stabilnym, tj. takim, gdy część obrotowa z niego wytrącona powróci w to położenie, a które położeniem niestabilnym, tj. takim, gdy część obrotowa z niego wytrącona nie powróci do tego położenia. W tym celu należy założyć, że kąt ϕ może zmienić się o pewną małą wartość ϕ + (

∆ t) . Wówczas równanie ruchu mechanicznego

przyjmuje postać

d2 ϕ

∆

d ϕ

∆

+ D

= m − M ⋅ i ⋅ i ⋅sin(ϕ +

)

∆

(5.3)

d t

Wyrażenie sin(ϕ +

)

∆ można dla małych wartości wahań

(

∆ t) aproksymować następująco

sin(ϕ

)

sin

cos

sin

cos

0 +

∆ =

ϕ0 ⋅

∆ +

ϕ0 ⋅

∆ ≈

ϕ0 +

ϕ0 ⋅ ϕ

∆

co pozwala rozdzielić równanie ruchu na równanie dla zaburzeń kąta

(

∆ t)

d2 ϕ

∆

d ϕ

∆

+ D

+ (M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ ) ⋅ ϕ

∆ = 0

(5.4a)

d t

oraz na równanie równowagi statycznej określające kąt ϕ

m − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sinϕ = 0

(5.4b)

Warunkiem zanikania zaburzenia

(

∆ t) jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego

⋅ r + D ⋅ r + (M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ ) = 0

miały ujemne części rzeczywiste, gdyż wówczas zaburzenia kąta

(

∆ t) będą zanikały w czasie

− D ± D2 − 4 ⋅ J ⋅ M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

1 2

Pomijając człon D2 ≈ 0 (tłumienie ruchu obrotowego jest przeważnie bardzo małe) w wyrażeniu pod pierwiastkiem można dość do wniosku, że warunkiem zanikania zaburzeń kątowych jest aby cosϕ > 0 , gdyż wówczas

M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

= −

± j

(5.5)

1 2

co oznacza, że przebiegi przejściowe mają charakter zanikających oscylacji. Zatem, dla rozpatrywanego przetwornika stabilne położenia równowagi statycznej będą dla kątów z przedziału π

− < ϕ <

Ten prosty przykład pozwolił wyjaśnić pojęcie punktu równowagi statycznej oraz jego stabilności.

Taki sposób realizacji procesu przetwarzania energii nie jest jednak użyteczny technicznie, gdyż

przetwornik zasilany prądami stałymi obróci się jedynie o stały kąt, lecz nie może zostać wprowadzony w ruch obrotowy, aby wydawać energię mechaniczną.

↓*****************************************************************↓

Nieco ogólniejsze rozważania pozwalają określić warunek stabilności położenia równowagi statycznej dla równania o postaci

d2ϕ

dϕ

+ D

= m ( )

ϕ + m ( )

d t

W tym celu należy aproksymować wyrażenia na momenty mechaniczny oraz elektromagnetyczny funkcjami liniowymi

∂ m (

z ϕ

m (

;

z ϕ) =

(

z ϕ )

)

⋅ ϕ

∆

∂

ϕ=ϕ0

∂ m (

em ϕ

m (

em ϕ) =

(

em ϕ )

)

⋅ ϕ

∆

∂

ϕ=ϕ0

W efekcie uzyskuje się warunek o postaci

∂ m ( )

< 0

∂

ϕ=ϕ

↑*****************************************************************↑

Proces użytecznego przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną można zrealizować następująco. Niech cewka ‘1’ będzie zasilana ze źródła prądu przemiennego, a cewka ‘2’ ze źródła prądu stałego.

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I

(5.6)

Wówczas, nie pytając o napięcia na tych cewkach, można określić moment elektromagnetyczny wytworzony przez przetwornik. Będzie on wyrażony wzorem

(5.7)

em = −M ⋅ I1 ⋅ I2 ⋅ cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sinϕ

Aby otrzymać użyteczną energię ruchu obrotowego moment elektromagnetyczny musi mieć wartość stałą w czasie, gdyż tylko wówczas przetwornik może wirować ze stałą prędkością kątową. Zależność powyższa zapisana w postaci

em = −M ⋅ I1 ⋅ I2 ⋅ cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sinϕ =

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅

ϕ + Ω ⋅ t +

ϕ − Ω ⋅ t

(sin(

) sin(

)

pozwala zauważyć, że warunek ten może zostać spełniony, gdy

ϕ = Ω ⋅ t + ϕ

lub

ϕ = −Ω ⋅ t + ϕ

(5.8)

Wówczas moment elektromagnetyczny określają odpowiednio zależności

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin(2Ω ⋅ t + ϕ ) + sin ϕ

(5.9a)

(

0 )

lub

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅

ϕ −

Ω ⋅ t − ϕ

(5.9b)

(sin

sin(2

)

0 )

W każdym z tych dwóch przypadków moment elektromagnetyczny posiada składową stałą w czasie 1

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.10)

em,0

oraz składową przemienną o amplitudzie 1 M ⋅ I ⋅ I oraz pulsacji 2Ω . Przebieg zmienności 2

momentu elektromagnetycznego w funkcji czasu przedstawiono na Rys. 5.2. Rozważany przetwornik może trwale przetwarzać energię przy dwóch prędkościach kątowych Ω

= Ω lub Ω = −Ω , gdyż

składowa stała momentu elektromagnetycznego może równoważyć stały zewnętrzny obrotowy moment mechaniczny. Wartość średnia momentu elektromagnetycznego za okres jego zmienności zależy od kąta ϕ , który określa położenie kątowe części obrotowej przetwornika w chwili, gdy prąd 0

w pierwszej cewce osiąga wartość maksymalną. Na Rys. 5.3 przedstawiono zmienność wartości średniej momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta ϕ .

m em

m em,0

T / 2

2π

T =

Ωe

Rys. 5.2. Moment elektromagnetyczny przetwornika w funkcji czasu

przy prędkości kątowej Ω

= Ω

m m

0 1

0,2

ϕ0

−π/2

π/2

3 /2

2π

Rys. 5.3. Zależność średniej wartości moment elektromagnetyczny w funkcji kąta ϕ

Porównując zmienność momentu elektromagnetycznego na Rys. 5.1 oraz Rys. 5.3 można zauważyć, że są one jakościowo identyczne, zatem rozważania o punktach równowagi statycznej oraz ich stabilności przeprowadzone dla przetwornika zasilanego prądami stałymi przenoszą się na przypadek zasilania cewki ‘1’ prądem przemiennym, lecz w tym drugim przypadku równowaga statyczna jest osiągana przy ruchu obrotowym o stałej prędkości kątowej, a kąt ϕ wynika z równania

D ⋅ Ω = m − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sinϕ

(5.11)

Jednak moment elektromagnetyczny zawiera także składową przemienną, która będzie zaburzać proces przetwarzania energii, powodując wahania prędkości kątowej. Układy mechaniczne są bardzo wrażliwe na obrotowe momenty przemienne i proces przetwarzania energii uważa się za tym lepszy im mniejsza jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego. Jakość procesu przetwarzania można określić za pomocą współczynnika wyrażającego stosunek amplitudy momentu składowej przemiennej momentu elektromagnetycznego do wartości jego składowej stałej.

amplituda s

kłkładowp

rzemienn j

K =

(5.12)

wartośa ś

rednia

który dla idealnego przetwarzania powinien mieć wartość zero. Dla rozpatrywanego procesu przetwarzania współczynnik ten wynosi

1 M ⋅I ⋅I

K =

sin ϕ

M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin ϕ

Jego minimalna wartość wynosi 1.0, co pozwala stwierdzić, że proces przetwarzania energii przez ten przetwornik nie należy do efektywnych.

Proces przetwarzania energii mechanicznej ruchu obrotowego na energię elektryczną przez ten przetwornik można zrealizować w następujący sposób. Niech część obrotowa przetwornika wykonuje ruch obrotowy ze stała prędkością kątową Ω , co oznacza, że kąt obrotu narasta liniowo w czasie m

zgodnie z funkcją ϕ = Ω ⋅ t + α . Gdy przez cewkę ‘2’ umieszczoną na części nieruchomej popłynie m

prąd stały w czasie i = I , a cewka ‘1’ umieszczona na części stałej będzie rozwarta, (tj. nie będzie 2

przez nią płynął prąd, czyli i ≡ 0 ), wówczas napięcie na cewce ‘1’ można wyliczyć z pierwszego z 1

trzech równań przedstawionych powyżej i wynosi ono

u =

⋅

Ω ⋅ t + ⋅

= − ⋅ ⋅ Ω ⋅

Ω ⋅ t +

(M cos(

α) I

2 )

M I

sin(

α)

Aby osiągnąć taki stan część obrotowa musi być napędzana momentem obrotowym D ⋅ Ω

= m , a

cewka ‘2’ musi być zasilana napięciem u = R ⋅ I . W tych warunkach cewka ‘1’ stała się źródłem 2

napięcia przemiennego o amplitudzie U =

M ⋅ I ⋅ Ω , zależnej od prądu cewki ’2’ oraz od prędkości

kątowej. W takich warunkach nie następuje jeszcze użyteczne przetwarzanie energii, gdyż energia dostarczona do układu mechanicznego pokrywa straty konieczne, aby utrzymać stałą prędkość obrotową, a energia dostarczona do cewki’2’ pokrywa starty mocy na jej rezystancji. Gdy do cewki ‘1’

przyłączymy odbiornik energii elektrycznej (np. rezystancję) wówczas w cewce ‘1’ zacznie płynąć prąd

i (t) = I ⋅ cos(Ω

)

m ⋅ t +

)

Cewka stanie się źródłem energii elektrycznej. Jeżeli utrzymywać prąd stały w cewce ‘2’ ( i = I ) 2

wówczas przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅cos(Ω

m ⋅ t + β) ⋅ sin(Ω

⋅ t + α)

który w istocie jest taki sam jak dla rozpatrywanego powyżej przypadku przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną. Aby utrzymać stałą prędkość obrotową należy zwiększyć moment obrotowy, który zrównoważy ten moment elektromagnetyczny. Ta dodatkowa energia mechaniczna dostarczona do układu mechanicznego pojawi się jako energia elektryczna wydawana z cewki ’1’.

W rzeczywistości procesy przetwarzania w obydwóch opisanych powyżej przypadkach są nieco bardzie skomplikowane, gdyż cewki są przeważnie zasilane ze źródeł napięciowych, a nie, jak zakładano, prądowych. W celu analizy procesu przetwarzania energii należy rozwiązać układ równań zapisanych na początku tego rozdziału, który – niestety – jest nieliniowy i można go rozwiązać jedynie metodami numerycznymi przy zastosowaniu specjalnych pakietów programowych.

Jak wspomniano powyżej, proces przetwarzania energii przez w przetworniku o dwóch cewkach nie jest idealny, gdyż generowana jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego, która zaburza jednostajny ruch obrotowy. Występują także niekorzystne zjawiska elektromagnetyczne wynikające z magnetycznego sprzężenia cewek. Poniżej pokazano dwa przetworniki, które umożliwiają zrealizować proces przetwarzania energii idealnie. Na Rys. 5.4. przedstawiono schematycznie przetwornik, który może poprawnie realizować proces przetwarzania energii. Ma on dwie identyczne cewki na części nieruchomej, oznaczone jako ‘1’ i ‘2’, umieszczone prostopadle oraz jedną cewkę na części obrotowej, oznaczona jako ’3’.

Rys. 5.4. Przetwornik o trzech cewkach

Równania takiego przetwornika mają postać



( )

1 3

ϕ    

  

 

d 

  1  

  1 

 1 



( )

(5.13a)

2 3

ϕ  ⋅ 2 +

⋅ 2 =

  

  

 2 

d t 

   

  

 

 M ( ) M

( )

1 3

2 3

  3  

3 

 3 

d2ϕ

dϕ



∂ M (

1 3 ϕ)

∂

(

2,3 ϕ) 

+ D

= m

(5.13b)

z + 3 ⋅ 

 1 ⋅

+ 2 ⋅



d t



∂



w których uwzględniono wyróżnione powyżej jego cechy. Z identyczności cewek ‘1’ oraz ‘2’ wynika, że ich indukcyjności oraz rezystancje mają te same wartości L = L = L oraz R = R = R , a ich 1

prostopadłe usytuowanie powoduje, że nie są one sprzężone magnetycznie M

= M = 0 . Jeżeli,

1,2

2,1

analogicznie jak dla przetwornika o dwóch cewkach, założyć, że indukcyjność wzajemną M ( )

1 3

określa funkcja

M (

(5.14a)

1 3

ϕ) = M ⋅cosϕ

to indukcyjność wzajemna M

( ) będzie określona funkcją

2 3

(

(5.14b)

2 3

ϕ) = M ⋅

ϕ − π

cos(

) = M ⋅ sin ϕ

gdyż cewka ‘2’ jest przesunięta o kąt π/2 względem cewki ‘1’. Uwzględniając powyższe uwagi, wyrażenie określające moment elektromagnetyczny przetwornika można zapisać w postaci

(5.15)

em = M ⋅ 3 ⋅ (− 1 ⋅ sin ϕ + 2 ⋅ cos ϕ)

Jeżeli w takim przetworniku wymusimy przepływ prądów

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I

to wzór na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

em = M ⋅ I3 ⋅ I ⋅ (− cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sin ϕ + sin (Ωe ⋅ ) ⋅ cos ϕ) =

= M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin(Ω ⋅ t − )

Wynika za niego, że gdy ϕ = Ω ⋅ t + ϕ , tj. przy prędkości kątowej Ω = Ω , moment e

elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.16)

Interpretację kąta ϕ podano już poprzednio. Określa on położenie kątowe osi magnetycznej cewki 0

‘3’ w stosunku do osi magnetycznej cewki ‘1’ w chwili gdy prąd w cewce ‘1’ osiąga wartość maksymalną. Należy zauważyć, że w tych warunkach zasilania moment elektromagnetyczny nie ma składowej przemiennej, czyli, że przetwarzanie energii jest poprawne. Warunek stabilności punktów równowagi statycznej dla tego przypadku jest analogiczny jak dla przetwornika analizowanego poprzednio, gdyż wzór na moment elektromagnetyczny jest z matematycznego punku widzenia identyczny.

Jeżeli zamienimy prądy zasilające cewek ‘1’ oraz ‘2’, tj. gdy

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I

wówczas wyrażenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

em = M ⋅ I3 ⋅ I ⋅ (− sin (Ωe ⋅ ) ⋅ sin ϕ + cos(Ωe ⋅ ) ⋅ cos ϕ) =

= M ⋅ I ⋅ I⋅cos(Ω ⋅ t + )

co oznacza, że moment elektromagnetyczny będzie stały w czasie przy przeciwnej prędkości kątowej Ω = −Ω , tj. gdy ϕ = −Ω ⋅ t + ϕ i będzie wynosił

= M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

(5.17)

Zamiana prądów w cewkach spowodowała zmianę kierunku obrotów, przy których może się pojawić moment elektromagnetyczny o wartości średniej różnej od zera, lecz przetwarzanie energii będzie także poprawne, gdyż nie wystąpi składowa przemienna momentu elektromagnetycznego.

Należy jednak zauważyć, że przy wyliczaniu momenty elektromagnetycznego przyjęto, że indukcyjności wzajemne cewek na części stałej i cewki na części obrotowej zmieniają się sinusoidalnie. Można łatwo prześledzić, że gdyby te indukcyjności nie zmieniały się dokładnie sinusoidalnie lub prądy cewek nie spełniałyby podanych powyżej warunków, wówczas na pewno pojawiłaby się w momencie elektromagnetycznym składowa przemienna i przetwarzanie nie byłoby idealne. Z tego należy wysnuć bardzo ważny wniosek, że w celu idealnego przetwarzania energii przez ten przetwornik należy spełnić dwie zasdy:

• cewki przetwornika powinny być rozłożone w żłobkach tak, aby ich indukcyjności wzajemne zmieniały się w funkcji kąta położenia jak w macierzy indukcyjności przyjętej do obliczeń momentu,

• prądy cewek powinny spełniać ściśle określone warunki.

Podobne właściwości procesu przetwarzania energii można osiągnąć w przetworniku o czterech cewkach: dwóch jednakowych na części nieruchomej umieszczonych magnetycznie prostopadle oraz dwóch jednakowych na części obrotowej, także umieszczonych prostopadle, tj. tak, aby nie sprzęgały się magnetycznie.

Rys. 5.5. Przetwornik o czterech cewkach

Równania takiego przetwornika mają postać



M cos

M sin

R

0   i 

 u 

⋅

ϕ − ⋅

ϕ  



  s1

 s

  s1 

 s1 

d 

M sin

M cos

⋅

ϕ   s2

⋅

+ 

  s2 

 s2 

⋅



  

(5.18a)

d t

M ⋅ cos ϕ

M ⋅ sin ϕ



  







  r1 



  r1 

 r1 

− M ⋅sin ϕ M ⋅ cos ϕ

  r2 



r   r2 

 r2 

d ϕ

dϕ

+ D

M sin

M cos

(5.18b)

z + [ s1

] − ⋅ ϕ − ⋅ ϕ  

⋅ 

 ⋅  r1



d t

 M ⋅ cos ϕ

− M ⋅sin ϕ  i r2

Założono w nich sinusoidalny charakter zmienności pary cewek ‘1’ i ‘3’ oraz uwzględniono relacje między pozostałymi indukcyjnościami wzajemnymi. Moment elektromagnetyczny tego przetwornika można przedstawić w postaci

(5.19)

em = M ⋅ ( r1 ⋅ s2 − r2 ⋅ s1 )⋅ cos ϕ − ( s1 ⋅ r1 + s2 ⋅ r2 ) ⋅ sin ϕ)

Jeżeli w tym przetworniku wymusimy przepływ prądów

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

wówczas wyrażenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

= M ⋅ I ⋅ I ⋅

Ω − Ω ⋅ t − ϕ

(5.20)

(sin(

)

Z tego wyrażenia wynika, że moment elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie, gdy ϕ = (Ω − Ω ) ⋅ t + ϕ , tj. przy prędkości kątowej Ω = Ω − Ω

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.21)

Są to warunki, przy których przetwornik z Rys. 5.4 może idealnie przetwarzać energię.

Można wykazać, że także dla poniższych zbiorów par prądów:

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

przetwarzanie energii jest idealne przy odpowiednich prędkościach kątowych.

Powyższe dwa przykłady ilustrują ideę budowy przetworników oraz tworzenia warunków dla idealnego przetwarzania energii. Istnieje cała klasa takich przetworników, które są powszechnie stosowane zarówno do generacji energii elektrycznej jak i jej przetwarzania na energię mechaniczną.

Przykłady

P. 5.1/. Dla przetwornika wydatno biegunowego 2-fazowego zapisać formę kwadratową ko-energii.

Podać zależność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci: i = I cos

; i = I sin

;

Ω t

gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje pomiędzy prędkością obrotową Ω a pulsacją zasilania

+ ϕ0

Ω , aby mogło zachodzić przetwarzania energii.

Forma kwadratowa ko-energii uzwojeń zapisana zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami

L ( )

ko =

[1 2]  ,11 ϕ

1 2 ϕ  



⋅ 

 ⋅  1 

L ( ) L

( )

2,1 ϕ

2,2 ϕ   i 2 

gdzie indukcyjności

L ( )

ϕ = L + L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ ; L ( )

ϕ = L − L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ ;

1,1

2,2

( )

ϕ = L ( )

ϕ = L

∆ ⋅sin(2 )

1,2

2,1

Wyrażenie przedstawiające moment elektromagnetyczny

∂ E

L ( )

( )

i (

)

= [1 2]



∂

1 1 ϕ

1 2 ϕ  





  1 

∂

∂ L ( ) L ( )

2,1 ϕ

2,2 ϕ   i 2 

Po wykonaniu formalnych przekształceń matematycznych

∂

( )

∂

( )

∂

( )

1 1

( i )2

2,2

( i )2

1 2

i i =

1 2

∂

= (

− i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + ( i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + 2 i i L

∆ cos 2

(

)

1 2

Podstawiając założone zależności opisujące wymuszenia prądowe oraz prędkość obrotową oraz wykorzystując

zależność

trygonometryczną

sin α cos

α = [sin(α − α ) + sin(α − α )]

otrzymujemy

= −( I cos

Ω t)2

∆Lsin(2Ω tr + 2ϕ ) + ( I sin

Ω t)2 L

∆ sin(2Ω tr + 2ϕ ) +

+ 2 I cos(

Ω t) I sin(

Ω t)

∆Lcos(2Ω tr + 2ϕ ) =

= Im ∆L s

{ in(2Ω t

+ 2ϕ )[(sinΩ t)2

− (cosΩ t)2 ]

+ 2sin(Ω t) cos(

Ω t) cos(2

Ω tr + 2ϕ }

) =

= Im ∆L{-sin(2Ω tr + 2ϕ )cos(2Ω t)

+ sin(2Ω t)cos 2

(

Ω tr + 2ϕ }

) =

= I

L 1

m ∆

{ sin(2Ω t

+ 2ϕ − 2Ω t)

− sin(2Ω tr + 2ϕ + 2Ω t)

+ sin(2Ω ts − 2Ω tr − 2ϕ ) + sin(2Ω ts + 2Ω tr + 2ϕ )} =

= − Im ∆Lsin[2(Ω r − Ω ) t

+ 2ϕ ]

Aby

mogło

dochodzić

przetwarzania

energii

wartość

wytwarzanego

momentu

elektromagnetycznego średniego m

musi byś różna od zera. Sytuacja taka może mieć miejsce

em ( sredni)

jedynie w przypadku, gdy Ω = Ω i wówczas

= − I L

m ∆ sin 2

( ϕ )

P. 5.2/. Zapisać wyrażenie na moment elektromagnetyczny dla przetwornika z komutatorami przy zasilaniu prądowym i = I cos(

; i

. Określić kąt przesunięcia fazowego

2 = I

cos t

Ω

Ω t + α)

α , dla którego wartość wytwarzanego momentu elektromagnetycznego średniego m

em( sredni)

jest maksymalna przy założeniu, że ustawienie szczotek jest w strefie neutralnej η = π / 2 .

Moment elektromagnetyczny przetwornika z komutatorem dla ustawienia szczotek w strefie neutralnej η = π/ 2 przy przyjętym zgodnie z powyższym rysunkiem zastrzałkowaniu kierunków prądów ma postać

= M ⋅ i ⋅ i

Po podstawieniu założonych wymuszeń prądowych oraz wykorzystaniu zależność trygonometrycznej cos α cos

α = [cos(α − α ) + cos(α − α )] otrzymamy

mem = M ⋅ Is ⋅ I cos(

Ω t + α)⋅cosΩ t = M

⋅ Is ⋅ I [cos(

α) + cos(2Ω t + α)] =

= M ⋅ Is ⋅ I cos(

α) 1

+ M ⋅ Is ⋅ I cos(2

Ω t + α)

Powyższe wyrażenie opisujące moment elektromagnetyczne posiada dwie składowe: stałą oraz zmienną z tym, że wartość składowej stałej jest maksymalna dla kąta przesunięcia fazowego pomiędzy prądami α = 0 . Wynika z tego, że uzwojenia należy połączyć szeregowo i wymusić płynące prądy z jednego wspólnego źródła. Płynący prąd przez uzwojenia będzie wówczas równy I = I = I a s

moment elektromagnetyczny

= M 2 1

⋅ I + M ⋅ I ⋅ I cos(2 t

Ω )

Wartość średnia momentu elektromagnetycznego wynosi wtedy

= M ⋅ I .

em ( sredni)

Zadania

Zad. 5.1/. Dla przetwornika zapisać zależności momentu elektromagnetycznego od kąta ϕ, przy założeniu, że i = I = const. Określić stabilne położenia równowagi statycznej dla obciążenia momentem zewnętrznym m =const. (działającym zgodnie z ϕ ). Określić strefy stabilnych z

położeń równowagi trwałej.

Zad. 5.2/. Dla przetwornika zapisać zależności momentu elektromagnetycznego od kąta ϕ, przy założeniu, że i

= const.; i

= const. Określić stabilne położenia równowagi

2 = I

1 = I s

statycznej dla obciążenia momentem zewnętrznym m =const. (działającym zgodnie z ϕ ).

Określić strefy stabilnych położeń równowagi trwałej.

Zad. 5.3/. Wiedząc, że moment elektromagnetyczny przetwornika o ruchu obrotowym jest dany wzorem m

, wyznaczyć wartość średnią momentu, gdy i = I c

os t

Ω , a

em = − 2

i ⋅ L sin 2

prędkość kątowa jest stała ( ϕ = Ω t + ϕ ). Narysować przekrój takiego przetwornika.

Zad. 5.4/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zależność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci:

i = I cos

; i = I cos(

; i

= const, gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje

r + ϕ

3 = I

Ω ts + α)

Ω t

pomiędzy prędkością obrotową Ω a pulsacją zasilania Ω , aby mogło zachodzić

przetwarzania energii oraz podać wartość kąta przesunięcia fazowego α dla którego m

jest największy.

em ( sredni)

Zad. 5.5/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zależność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci:

i = I cos

; i = I sin

; gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje pomiędzy prędkością

r + ϕ

Ω t