Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
1
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
Z3/3.1. Zadanie 3
Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegubowego przedstawionego na rysunku Z3/3.1. Siła czynna o wartości 18,0 kN w dół jest przyłożona w przegubie rzeczywistym B.
B
1,0
6,0 kN
2,0
18,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
I
II
8,0 kN
4,0
3,0
A
C
2,0
2,0
3,0
2,0
[m]
Rys. Z3/3.1. Układ trójprzegubowy
Z3/3.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.
Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z3/3.1 spełnia warunek konieczny i dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyzna-czalnym.
Z3/3.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego
W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C przedstawia rysunek Z3/3.2.
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w przegubie rzeczywistym A ma więc wartość
M = V ⋅9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0−18,0⋅5,0=0
C
A
(Z3/3.1)
V =28,22 kN
A
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
2
B
1,0
6,0 kN
2,0
12,0 kN
18,0 kN
16,0 kN
I
II
8,0 kN
4,0
3,0
H
A
C
H
A
C
Y
V
[m]
X
A
VC
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/3.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc wartość
M =− V ⋅9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,018,0⋅4,0=0
A
C
(Z3/3.2)
V =17,78 kN
C
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Równanie to ma postać
Y = V V −12,0−16,0−18,0=28,2217,78−46,0=0
A
C
.
(Z3/3.3)
Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym A ma więc wartość
M I =− H ⋅5,0 V ⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0
B
A
A
− H ⋅5,028,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0
A
.
(Z3/3.4)
H =20,98 kN
A
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
3
18,0 kN
B
H (I)
H (II)
B
B
B
H (I)
B
V (I)
V (II)
B
B
(I)
2,0
V
I
12,0 kN
B
8,0 kN
H (II)
B
B
1,0
6,0 kN
V (II)
3,0
B
16,0 kN
II
A
HA
Y
4,0
VA
X
C
HC
V
[m]
C
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/3.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II. Poziomą składową reakcji w przegubie C wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc wartość
M II = H ⋅5,0− V ⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0
B
C
C
H ⋅5,0−17,78⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0
.
(Z3/3.5)
C
H =6,98 kN
C
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Równanie to, zgodnie z rysunkiem Z3/3.2, ma postać
X = H − H −8,0−6,0=20,98−6,98−14,0=0
A
C
.
(Z3/3.6)
Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na cały układ trójprzegubowy znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
4
B
1,0
6,0 kN
2,0
12,0 kN
16,0 kN
I
18,0 kN
II
8,0 kN
4,0
3,0
20,98 kN
A
C
6,98 kN
28,22 kN
17,78 kN
[m]
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/3.4. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
X I =− H I H −8,0=0
B
A
− H I 20,98−8,0=0
B
.
(Z3/3.7)
H I =12,98 kN
B
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
Y I = V I V −12,0=0
B
A
V I 28,22−12,0=0
B
.
(Z3/3.8)
V I =−16,22 kN
B
Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
X II = H II − H −6,0=0
B
C
H II −6,98−6,0=0
B
.
(Z3/3.9)
H II =12,98 kN
B
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
5
18,0 kN
12,98 kN B
12,98 kN
B
12,98 kN
1,0
1,78 kN
6,0 kN
16,0 kN
16,22 kN
1,78 kN
II
12,0 kN
B
4,0
12,98 kN
2,0
I
16,22 kN
C
6,98 kN
8,0 kN
17,78 kN
[m]
3,0
2,0
3,0
20,98 kN
A
28,22 kN
2,0
2,0
Rys. Z3/3.5. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
Y II = V II V −16,0=0
B
C
V II 17,78−16,0=0
B
.
(Z3/3.10)
V II =−1,78 kN
B
Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił działających na przegub rzeczywisty B na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 równanie sumy rzutów na oś X ma postać
X B= H I
II
B − H B =12,98−12,98=0
.
(Z3/3.11)
Zgodnie z rysunkiem Z3/3.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać
Y II =− V I − V II −18,0=−−16,22−−1,78−18,0=0 .
(Z3/3.12)
B
B
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
6
Równania równowagi (Z3/3.11) i (Z3/3.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.5 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński