Lista 1. Algebra liniowa 2 zad. 1.1-1.7 (tydzień) Lista 2. Algebra liniowa 2 zad. 2.1-4.8 (2 tygodnie) Lista 3. Algebra liniowa 2 zad. 8.1-10.7 (2 tygodnie) Lista 4. (przestrzenie unormowane i zbieżność w przestrzeniach unormowanych)(2
tygodnie)
Lista 5. Algebra liniowa 2 zad. 12.1-13.10 (2 tygodnie) Lista 6. Algebra liniowa 2 zad. 14.1-14.9 (1 tydzień) Lista 7.(uk lady ortogonalne, szeregi ortogonalne, baza ortogonalne) (tydzień)
Lista 8. (funkcje mierzalne, miara, miara Lebesgu’a, ca lka, ca lkowalność (2
tygodnie)
Lista 9. (warunkowa wartość oczekiwana i rozk lad warunkowy)(1 tydzień) Lista 10. (funkcjona l liniowy i tw. Riesza)(1 tydzień) przy czym przez list¸
e ”Algebra liniowa 2” można znaleźć pod adresem: http://www.im.pwr.wroc.pl/listyzad/al2.pdf Lista 4
Definicja 1. Dla przestrzenii wektorowych V mówimy, że xn → x w normie
|| · || jeśli
||xn − x|| → 0
dla n → ∞.
Definicja 2. Mówimy, że normy || · ||1 i || · ||2 s¸a równoważne jeśli xn → x w normie || · ||1 wtedy i tylko wtedy gdy xn → x w normie || · ||2.
Definicja 2. Mówimy, że normy || · ||1 i || · ||2 s¸a zgodne jeśli xn → x w normie || · ||1 oraz xn → y w normie || · ||2 poci¸aga za sob¸a x = y.
Twierdzenie o równowa żności norm: W skończenie wymiarowej przestrzenii każde dwie normy s¸
a równoważne.
Zadania:
1. Niech V = Rn. Która z poniższych funkcji jest norm¸
a:
(a) n = 2, ak > 0∀k=1,...,n
||x|| = |x1| + |x2|,
||x|| = max(|x1|, |x2|)
q
||x|| = min(|x1|, |x2|),
||x|| =
x2 + x2
1
2
1
n
||
X
x|| =
|xk|,
||x|| = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)
k=1
v
n
u
n
||
X
X
x|| =
a
u
k |xk |
||x|| = t
x2k
k=1
k=1
2. Pokazać z definicji, że ci¸
ag
1 n + 1 2 + n
(xn, yn, zn) = 1 −
,
,
,
n
n2
n + 1
jest zbie´.zny do (1, 0, 2) w normach ||(x, y, z)||1 = |x| + 2|y| + 3|z| oraz
||(x, y, z)||1 = px2 + 2y2 + 3z2 a ci¸ag
!
1 n2 + 1 2 + n2
1
(xn, yn, zn, tn) =
,
,
,
n
n2
n2 + 1 n2
do (0, 1, 1, 0) w normach ||(x, y, z, t)|| = max(|x|, |y|, |z|, |t|), oraz ||(x, y, z, t)|| =
max(|x| + |y|, |z|, |t|).
3. Dla V = R3[x], (ogólnie Rn[x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia niewi¸
ekszego niż n.) które z poniższych funkcji definiuj¸
a normy?
||p|| = |p(1)| + |p(2)| + |p(3)|,
||p|| = |p(0)| + |p0(0)| + |p(0) + p(1)|
||p|| = |p(1) − p(0)| + |p(2) − p(1)| + |p(2)|
||p|| = |p(0)| + |p0(1)|.
4. Niech V = Rn[x] (przestrzeń wielomianów stopnia niewi¸
ekszego niż
n
n.) Oznaczmy p(x) = P akxk. Poniższe funkcje definiuj¸a normy: k=0
n
||
X
p|| = max{|a1|, |a2|, ..., |an|}
||p|| =
|p(k)(0)|,
k=0
gdzie p(k) to k ta pochodna wielomianu p(0) ≡ p, n
||
X
p|| =
|p(xk)|
k=0
gdzie xk s¸a parami różnymi liczbami rzeczywistymi.
5. Wykaż, że podane ci¸
agi wielomianów s¸
a zbieżne w podanych normach
(a) pn(x) = x2 + 1 x − 1,
n
||p|| = |p(0) − p(1)| + |p(2) − p(1)| + |p(2) − p(3)|,
||p|| = |p(0)| + |p0(1) − p(0)| + |p0(2) − p0(1)|, 2
(b) p
1+n
n(x) =
1 − 1 x2 +
x + 1 ,
n
n
n
||p|| = |p0(1)| + |p00(1)| + |p(1) − p(2)|,
||p|| = |p(0)| + |p0(1) − p(0)| + |p0(1) − p0(0)|,
(c) pn(x) = x − 1
x − 1
2x − 1+n
x − 1
n
n
n
n
||p|| = |p(1)| + |p0(1)| + |p00(1)| + |p000(1)| + |p(4)(1)|.
6. Niech V = lin{u1, u2, . . . , un} oraz uk lad ui tworzy baz¸e. Dla wektora n
n
x = P α
P
k uk określamy ||x|| =
|αk|ak gdzie ak > 0. Czy || · || jest k=1
k=1
n
norm¸
a? Czy ||x|| = |α
P
1| +
|αk − αk−1| jest norm¸a?
k=2
7. Niech V = l∞, przestrzeń ci¸
agów ograniczonych.
Pokazać, że dla
x = (x1, x2, ...)
∞
||
X
x|| =
|xk|2−k
k=1
jest norm¸
a. Podobnie
||x|| = max{|xk| : k = 1 ∈ N }.
8. Pokazać z definicji, czy podane ci¸
agi s¸
a zbieżne do swoich punktowych
granic
(a) (xn
1 , xn
2 , ...) zdefiniowany jako xn = 1 − 1 dla k ≤ n i xn = 0 dla k
n
k
k > n,
(b) (xn
1 , xn
2 , ...) zdefiniowany jako xn = 0 dla k > n oraz xn = 1 dla k
k
k
k ≤ n
(c) (xn
1 , xn
2 , ...) zdefiniowany jako xn = 1 dla k 6= n oraz xn = 0 dla k
k
k 6= n.
(d) (xn
1 , xn
2 , ...) zdefiniowany jako xn = 2n dla k = n oraz xn = 0 dla k
k
k 6= n.
(e) (xn
1 , xn
2 , ...) zdefiniowany jako xn = 0 dla k > n oraz xn = k + 1
k
k
n
dla k ≤ n w normach
∞
∞
||
X
X
x||1 = max |xk|,
||x||2 =
|xk|2−k,
||x||3 =
|xk|
k∈N
k=1
k=1
przy czym ostatni ci¸
ag sprawdzamy tylko dla norm || · ||1 i || ·
||2. Wywnioskuj st¸ad, że żadne z wymienionych norm nie s¸a równoważne. Czy s¸
a zgodne?
3
9. Pokazać że przestrzeń ci¸
agów sumowalnych tzn takich, że P |xk| < ∞
k=1
(oznaczamy jako l1) jest przestrzeni¸
a liniow¸
a, a
∞
||
X
x|| =
|xk|
k=1
jest norm¸
a.
10. Pokazać że przestrzeń ci¸
agów sumowalnych z kwadratem tzn takich,
∞
że P x2 < ∞ (oznaczamy jako l2) jest przestrzeni¸
a liniow¸
a, a
k
k=1
∞
||
X
x|| =
x2k
k=1
jest norm¸
a. Wskazówka: Pokaż najpierw, że |xy| ≤ x2+y2 dla dowol-2
nych liczb rzeczywistych x, y.
11. Oznaczmy C(X) przestrzeń funkcji ci¸
ag lych na X, Cn(X) przestrzenie
funkcji różniczkowalnych z ci¸
ag l¸
a n− t¸
a pochodn¸
a. Czy dla funkcji
funkcji f ∈ C(R) wzór
∞
Z
1
||f || =
f (x)
dx
(x + 1)2
0
określa norm¸
e? A dla f ∈ C([0, 1])
||f || = sup |f (x)|
x∈R
definiuje norm¸
e.
12. Niech L∞(X) b¸
edzie zbiorem funkcji graniczonych.
Czy dla f ∈
∞
L∞([0, ∞)) ||f || = P 2−k sup{|f (x)| : x ∈ [k − 1, k)} określa norm¸
e?
k=1
13. Korzystaj¸
ac z twierdzenia o równoważności norm w przestrzeniach sko’nczenie wymiarowych uzasadnić, że dla przestrzenii Rk[x] zbieżność ci¸
agu w normie jest równoważna zbieżności punktowej.
14. Pokazać, przyk lad normy na przestrzenii l1 na której zbieżność punk-towa nie poci¸
aga za sob¸
a zbieżności w normie.
15. Czy poniższe normy na C([0, 1]) s¸
a równoważne?
||f ||1 = sup |f (x)| ||f ||2 = sup |f (x)| + sup |f (x)|.
x∈[0,1]
x∈[0, 1 ]
x∈( 1 ,1]
2
2
4
agi s¸
a zbieżne do swoich punktowych granic w podanych normach:
(a) fn(x) = 1 dla x ∈ [n, n + 1] i fn(x) = 0 poza tym, || · ||1 i || · ||2
(b) fn(x) = xn dla x ∈ [0, 1 − ] w normie ||f || =
sup
|f (x)| oraz
x∈[0,1−]
||f || =
sup
|f (x)| +
sup
|f 0(x)|,
x∈[0,1−]
x∈[0,1−]
(c) fn(x) = xn dla x ∈ [0, 1] w normach ||f || = sup |f (x)| i ||f || =
x∈[0,1]
∞
|f (1)| + P
sup
|f (x)|
k=1 x∈[0,1− 1 )
k
17. Czy poniższe normy na C1([0, 1]) s¸
a równoważne?
||f ||1 = sup |f (x)| ||f ||2 = sup |f (x)| + sup |f 0(x)|.
x∈[0,1]
x∈[0,1]
x∈[0,1]
q
Wskazówka: Co można powiedzieć o ci¸
agu f
1
n(x) =
+ x2?
n
18. Czy powyższe normy s¸
a zgodne?
5