Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

Pozycja 4.0 – Słup dwukierunkowo ściskany

Dane materiałowe

Beton

klasa B30

f G

= 30 MPa

c, cube

f

= 2 ,

5 00 MPa

ck

f

= 8

,

1 0 MPa

ctk

f

= 1 ,

6 70 MPa

cd

f * = 1 ,

4 20 MPa

cd

f

= ,

1 20 MPa

ctd

E

= 3 ,

1 0 GPa

cm

E = 34 1

, 0 GPa ( wg Eurocode 2 : E ≅ 1

,

1 0 ⋅ E )

c

c

cm

(norma PN–B–03264: 2002 tablica 2) Stal

klasa AIIIN gatunku RB 500

f

= 500 MPa

yk

f

= 420 MPa

yd

(norma PN–B–03264: 2002 tablica 5) Dane geometryczne

Słup o węzłach przesuwnych

(wyjaśnienie na zajęciach)

wysokość słupa

H = 4,00 m,

wysokość przekroju słupa

hcol = 0,30 m,

szerokość przekroju słupa

bcol = 0,30 m,

śebro na kierunku x

rozpiętość żebra

leff,x = 5,40 m,

wysokość żebra

hż,x = 0,50 m,

szerokość żebra

bż,x = 0,30 m,

śebro na kierunku y

rozpiętość żebra

leff,y = 6,00 m,

wysokość żebra

hż,y = 0,50 m,

szerokość żebra

bż,y = 0,30 m,

str. 1/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

Określenie długości obliczeniowej słupa na kierunku x i y l

β

( , ) =

( , ) ⋅ l

o x y

x y

col

β wg Tablicy C.2 PN-B-03264:2002

1

1

1

β

= 1+

+

+

( x, y)

5 k

+1 5 k

+1

(

5 k

+ k

)

A( x, y )

B ( x, y)

A( x, y)

B ( x, y)

gdzie:

E

⋅ I

cm

c, ż,( x, y) Σ

l

eff ( x, y

k

)

=

A( x, y )

E

⋅ I

cm

c, col ,( x, y) Σ

lcol

3

3

b h

3

,

0 ⋅ 5

,

0

−4

4

I

= I

ż

ż

=

=

= 3 ,

1 25 ⋅10

m

c, ż, y

c, ż, x

12

12

3

3

b

⋅ h

3

,

0 ⋅ 3

,

0

col

col

−4

4

I

= I

=

=

= ,

6 75 ⋅10

m

c, ż, x

c, ż, y

12

12

2 I

−

c, ż, x

2 ⋅ 3 ,

1 25 ⋅10 4

leff , x

,

5 4

k

A x =

=

= 8

,

6 6 [−]

,

I c col x

⋅ −

,

,

,

6 75 10 4

l

4

col

str. 2/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

2 I c, ż, y

2 ⋅ 3 ,

1 25 ⋅10−4

leff , y

6

k

A y =

=

= 1,

6 7 [−]

,

Ic col y

⋅ −

,

,

,

6 75 10 4

l

4

col

kBx = kBy = ∞ - sztywność węzła zamocowanego w fundamencie 1

1

1

β = 1+

+

+

x

5 k

+1 5 k +1

(

5 k

+ k )

Ax

Bx

Ax

Bx

1

1

β

x = 1 +

=

= 0

,

1 28 [−]

5 k Ax +1

5 ⋅ 8

,

6 6 + 1

1

1

β

y = 1 +

=

= ,1031 [−]

5 k Ay +1

5 ⋅ 1

,

6 7 + 1

lo,x = 4,11 m

lo,y = 4,13 m

Sprawdzenie czy konieczne jest uwzględnienie efektów II rzędu l 0( x, y)

λ

x y

=

> 7

( , )

h

l 0, x

1

,

4 1

λ

x =

=

= 1 ,

3 71 [−]

h

3

,

0

col , x

l 0, y

1

,

4 3

λ

y =

=

= 1 ,

3 75 [−]

h

3

,

0

col , y

należy uwzględnić efekty II rzędu

Słup należy zwymiarować w dwóch przekrojach, górnym i dolnym z uwzględnieniem wpływu smukłości

Każdy z przekrojów należy zwymiarować na 2 kombinacje obciążeń powodujące: 1.) maksymalny co do wartości bezwzględnej moment i odpowiadającą mu siłę normalną 2.) maksymalną siłę normalną i odpowiadający jej moment W dalszej części zadania analizuję przekrój dolny „B” na kombinację obciążeń powodującą max. siłę normalną i odpowiadające jej momenty.

max NSd = 381,97 kN

odp. MSdx = 65,84 kNm

odp. MSdy = 56,76 kNm

str. 3/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

Wyznaczenie mimośrodów

- mimośród statyczny

M

65 8

, 4

e

Sdx

=

=

= 1 ,

7 24 cm

ex

N

381 9

, 7

Sd

M

5 ,

6 76

e

Sdy

=

=

= 14 8

, 6 cm

ey

N

381 9

, 7

Sd

- niezamierzony mimośród przypadkowy



l

400



dla jednej kondygnac i

j

col

:

=

= ,

0 67 cm





600

600







h

30



e

= e

col x

= max

,



=

= c

1 m

 = c

1 m

ax

ay

30

30





c

1 m













- mimośród początkowy

eox = eex + eax = 17,24 + 1 = 18,24 cm eoy = eey + eay = 14,86 + 1 = 15,86 cm

- mimośród całkowity

zakładam:

η x= 1,2

etot,x = 1,2 · 18,24 = 21,88 cm η y= 1,2

etot,y = 1,2 · 15,86 = 19,03 cm

- mimośrody względem zbrojenia

es1x = etot,x + 0,5 hcol,x - a1 = 21,88 + 0,5·30 - 5 = 31,88 cm es2x = 0,5 hcol,x – etot,x - a2 = 0,5·30 – 21,88 - 5 = -11,88 cm es1y = etot,y + 0,5 hcol,y - a1 = 19,03 + 0,5·30 - 5 = 29,03 cm es2y = 0,5 hcol,y – etot,y - a2 = 0,5·30 – 19,03 - 5 = -9,03 cm Zbrojenie minimalne



N

381 9

, 7



Sd

2



1

,

0 5 ⋅

= 1,

0 5 ⋅

= ,

0 20 cm



2

A

= max

f

42

 = ,

2 7 cm

s,min

yd



2 

 ,

0 003 ⋅ A = ,

0 003 ⋅ b

⋅ h = ,

2 70 cm 

c

col

col

As,min

2

A

= A

=

= 3

,

1 5 cm

1

s min

s 2,min

2

str. 4/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

Zwiększam wartość siły NSd o 80% (wyjaśnienie na zajęciach) Zakładam przypadek dużego mimośrodu i przyjmuję ξ eff = ξ eff,lim.

Z równowagi momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy zbrojenie As2(x,y): ξ eff

5

,

0

2

*

,lim

2

N e

− ξ

bd f

1

( −

)

687 5

, 5 ⋅ 31 8

, 8 − 5

,

0 ⋅ 30 ⋅ 25 ⋅ ,

1 42 ⋅ 1

( −

)

Sd

1

s x

eff ,lim

cd

2

2

2

A

=

=

= 1 ,

4 21 cm

s 2, x

( d − a ) f

(25 − )

5 ⋅ 42

2

yd

przyjmuję na kierunku x: 5 φ 20 o As2,prov,x = 15,71 cm2

ξ eff

5

,

0

2

*

,lim

2

N e

− ξ

bd f

1

( −

)

687 5

, 5 ⋅ 2 ,

9 03 − 5

,

0 ⋅ 30 ⋅ 25 ⋅ ,

1 42 ⋅ 1

( −

)

Sd

s 1 y

eff ,lim

cd

2

2

2

A

=

=

= 118

, 8 cm

s 2, y

( d − a ) f

(25 − )

5 ⋅ 42

2

yd

przyjmuję na kierunku y: 4 φ 20 o As2,prov,y = 12,57 cm2

Ponieważ As2(x,y) A s2,min, to A s1(x,y) obliczamy z sumy rzutów sił na oś X:

*

ξ

bdf

− N

⋅ ⋅

⋅

−

eff ,lim

cd

Sd

5

,

0

30 25 ,

1 42

687 5

, 5

2

A

=

+ A

=

+1 ,

5 71 = 12 0

, 2 cm

s ,

1 x

s 2, prov,

f

x

42

yd

przyjmuję na kierunku x: 4 φ 20 o As1,prov,x = 12,57 cm2

*

ξ

bdf

− N

⋅ ⋅

⋅

−

eff ,lim

cd

Sd

5

,

0

30 25 ,

1 42

687 5

, 5

2

A

=

+ A

=

+12 5

, 7 = ,

9 42 cm

s ,

1 y

s 2, prov,

f

y

42

yd

przyjmuję na kierunku y: 3 φ 20 o As1,prov,y = 9,42 cm2

Wyznaczenie siły krytycznej

Ecm = 31 GPa

Es = 200 GPa

l0x = 4,11 m

l0y = 4,13 m

Icol,x = Icol,y = 67500 cm4

2

2

 d − a 

 25 − 5 

2

4

I

= ( A

+ A

) ⋅ 

 = 1

( 2 5

, 7 + 15 7

,

)

1 ⋅ 

 = 2828 0

, 0 cm

s, x

s ,

1 prov, x

s 2, prov, x



2





2



2

2

 d − a 

 25 − 5 

2

4

I

= ( A

+ A

) ⋅ 

 = ,

9

( 42 + 12 5

, 7) ⋅ 

 = 2199 0

, 0 cm

s, y

s ,

1 prov, y

s 2, prov, y



2





2



N Sd, lt

687 5

, 5

k

φ

lt = 1 +

5

,

0

∞ t = 1 +

5

,

0 ⋅

⋅ 2 = 2

, o

N

687 5

, 5

Sd

str. 5/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne



e

1 ,

8 24



ox

=

= ,

0 61





h

30

col ,



x



e



l



*

411

ox

= max 5

,

0 − ,

0 01 ox − ,

0 01 f

cd

= 5

,

0 − ,

0 01⋅

− ,

0 01⋅1 ,

4 2 = ,

0 22 = ,

0 61

h

h

30

col , x



col , x





,

0 05













eoy

15 8

, 6





=

= 5

,

0 3



h

30



col , y



e



l



oy

oy

*

413

= max 5

,

0 − ,

0 01

− ,

0 01 f

cd

= 5

,

0 − ,

0 01⋅

− ,

0 01⋅1 ,

4 2 = ,

0 22 = 5

,

0 3

h

h

30

col , y



col , y





,

0 05



























9

E

⋅ I







,

,

1

,

0 1



N

cm

c col x

=

+ 1

,

0



 + E ⋅ I

=

crit , x

s

s, col , x

l 2 

2 k

e



o, x

o, x

lt



 1

,

0



+









h









col , x



9

3100 ⋅ 67500 

1

,

0 1





=





+ 1

,

0  + 20000 ⋅ 2828 = 371 ,

9 26 kN

4112 

2 ⋅ 2

 1

,

0 + ,

0 61





















9

E

⋅ I







,

,

1

,

0 1



N

cm

c col y

=



+ 1,

0  + E ⋅ I

=

crit , y

s

s , col , y





l 2

2 k

eo, y

o, y

lt



 1,

0



+







h











col , y



9

3100 ⋅ 67500 

1

,

0 1





=





+ 1,

0  + 20000 ⋅ 2199 = 308 ,

6 26 kN

4132 

2 ⋅ 2

 1

,

0 + 5

,

0 3





Sprawdzenie przyjętego η

1

1

η

x =

=

= ,123 [−]

N

687 5

, 5

1 −

Sd

1 −

N

371 ,

9 26

crit , x

1

1

η

y =

=

= ,

1 29 [−]

N

687 5

, 5

1 −

Sd

1 −

N

308 ,

6 26

crit , y

Obliczone η nie różni się więcej niż 10% od przyjętego Przyjęte η można przyjąć za poprawne str. 6/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne

Sprawdzenie warunku na dwukierunkowe ściskanie

etot, x b

21 8

, 8 30

⋅ =

⋅

= 1

,

1 5

e

h

1 ,

9 03 30

tot , y

0,2 < 1,15 < 5

należy sprawdzić słup jako podlegający dwukierunkowemu ściskaniu NRdx≈ NRdy≈ NSd’= 687,55 kN (wyjaśnienie na zajęciach)

N

*

Rd0 = h · b · fcd +( As1,prov,x +As2,prov,x +As1,prov,y +As2,prov,y)= 30 · 30 · 1,42 + (12,57 + 15,71 + 9,42

+ 12,57) · 42 = 3388,89 kN

mn = 1,0 – liczba prętów w przekroju ≥ 8

1

m N

≤

n

Sd

1

1

1

+

−

N

N

N

Rdx

Rdy

Rd 0

1

381 9

, 7 <

= 382 5

, 8

1

1

1

+

−

687 5

, 5

687 5

, 5

3388 8

, 9

warunek spełniony

przyjęte zbrojenie przeniesie kombinację sił wewnętrznych str. 7/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski