wiczenie 1. W pewnym mie±cie s¡ dwa szpitale, w jednym rodzi si¦ ±rednio
4 dzieci dziennie w drugim 8 dzieci dziennie. Zakªadaj¡c, »e urodzenie chªopca
i dziewczynki maj¡ takie same prawdopodobie«stwo, jak powinni±my odpowie-
dzie¢ na pytanie. W którym szpitalu wi¦cej dni to dni w których urodziªo si¦
75% chªopców?
wiczenie 2. W kasynie chc¡ wprowadzi¢ gr¦ w której, rzucamy monet¡ do
momentu wypadni¦cia orªa. Wypªata to 2j, gdzie j to liczba reszek wyrzuconych
przez gracza. Jaka musi by¢ stawka tej gry, »eby kasyno nie dopªacaªo do niej.
wiczenie 3. Prosz¦ wyprowadzi¢ wzór na prawdopodobie«stwo sumy zdarze«
losowych. P (A ∪ B) =?
wiczenie 4. Prosz¦ wyprowadzi¢ wzór na prawdopodobie«stwo dopeªnienia
zdarzenia. P (A0) =?
wiczenie 5. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e co najmniej jedna z dwóch kart
wylosowanych z caªej 52 kartowej talii jest Asem, dwójk¡ lub pikiem?
wiczenie 6. W loterii jest N losów z tego n wygrywa. Jakie jest prawdopodo-
bie«stwo wygranej dla trzech losów.
wiczenie 7. Winda rusza z pierwszego pi¦tra z dwoma pasa»erami, je»eli praw-
dopodobie«stwo, »e wysi¡d¡ na pi¦trze n jest dwa razy wi¦ksze ni» na pi¦trze
n − 1 oraz s¡ cztery pi¦tra, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wysi¡d¡ na tym
samy pi¦trze.
wiczenie 8. Udowodnij, »e je»eli P (A) = 1 to prawdopodobie«stwo P (A∩B) =
1.
wiczenie 9. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e punkt wybrany losowo na kwadra-
cie o wspóªrz¦dnych (0,0), (4,4) le»y poza okr¦giem danym równaniem x2 +y2 =
1.
2 Operacje na zmiennych losowych
wiczenie 10. Proces Poissona Nt rozdziela si¦ na dwa procesy At i Bt poprzez
losowe przyporz¡dkowanie zdarzenia do procesu At z prawdopodobie«stwem p
lub Bt z prawdopodobie«stwem 1 − p. Jaki rozkªad maj¡ procesy At i Bt?
wiczenie 11. Jakie jest prawdopodobie«stwo wylosowania liczby wi¦kszej od
10a, je»eli X ∼ Exp(λ), je»eli X > a to X ∼ P areto(a, 1)?
wiczenie 12. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e dla dwóch niezale»nych liczb
wylosowanych z tego samego rozkªadu, liczba pierwsza jest wi¦ksza od drugiej?
wiczenie 13. Jaki jest rozkªad brzegowy Y , je»eli X ∼ U(0, 1) i Y ∼ U(0, x)?
wiczenie 14. Promie« koªa ma rozkªad Exp(1), jaki rozkªad ma pole koªa?
1
wiczenie 15. Klient podchodzi do kasy, przed nim stoi ju» n klientów. Zakªada-
j¡c, »e czas obsªugi pojedynczego klienta ma rozkªad wykªadniczy o parametrze
λ, ile wynosi ±redni czas jaki klient b¦dzie musiaª czeka¢ na obsªug¦? Jaka b¦dzie
wariancja?
wiczenie 16. Firma telekomunikacyjna posiada trzy typy klientów. W ka»dej
grupie posiada klientów z ró»nymi opó¹nieniami w pªatno±ciach. Obecne opó¹-
nienia podane s¡ w tabeli:
Opó¹nienie
Typ klienta
Na czas <30 dni ≥30 dni
Indywidualny 300
30
40
Biznesowy
40
5
7
Firmy maªe
100
3
0
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e rachunek zalegaj¡cy wi¦cej ni» 30 dni
nale»y do osoby indywidualnej? Prosz¦ skorzysta¢ ze wzoru na prawdopodo-
bie«stwo warunkowe.
wiczenie 17. Pªytk¦ krzemow¡ podzielono na równej liczno±ci sekcje piono-
we i poziome. W ka»dej sekcji znajduje si¦ 10 czujników. W tabeli umiesz-
czono ogóln¡ liczb¦ poprawnie wyprodukowanych czujników dla ka»dej sekcji.
Sekcja pozioma
Sekcja pionowa I
II III
1
4 8
3
2
3 9
4
3
5 6
4
Ile razy wi¦ksze s¡ szanse na wyprodukowanie poprawnego czujnika w sekcji
poziomej II w porównaniu z ogóln¡ szans¡ na wyprodukowanie poprawnego
czujnika? Prosz¦ skorzysta¢ z prawdopodobie«stwa warunkowego.
wiczenie 18. System obsªugi zada« rozsyªa ka»de zapytanie do kolejnego ser-
wera. Wszystkich serwerów jest n i ±redni czas obsªugi ma rozkªad Exp(λ). Je»eli
±rednio przybywa k zada« na jednostk¦ czasu, jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e serwer nie zako«czy obsªugi poprzedniego zadania zanim otrzyma ponowne?
wiczenie 19. Proces oblicze« rozdziela si¦ na dwa w¡tki z których jeden liczy
si¦ w czasie X ∼ Exp(λ) a drugi w czasie Y ∼ Exp(2λ). Jaki b¦dzie miaª
rozkªad czas oblicze« programu? Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e przekroczy
1 ?
λ
wiczenie 20. Serwer jest obci¡»ony przez zadania których ±redni czas oblicze«
wynosi 0.75. Przybli»aj¡c ten czas rozkªadem wykªadniczym, jakie jest prawdo-
podobie«stwo, »e zadanie nie wykona si¦ w czasie rzeczywistym?
2