Matematyka I, Lista 1: Liczby zespolone, wielomiany.
Zadanie 1. Wykonać działania:
√
√
√
√
1 − 4i
i
a) (2 − 2i) − 4(−1 + 4i),
b) (3 + 4i)(5 − 2i),
c) (2 2 + i 3)(2 2 − i 3),
d)
,
e)
,
3 + i
3i − 1
7 + 3i
(3 + i)2
2i
4 + i
(1 − 2i)3
f)
,
g)
,
h)
,
i) (2 − 3i)2 − 5
,
j)
.
−i
1 + 4i
(1 + i)2
3 − 4i
2i
Zadanie 2. Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych: a) 5i + z = 1 + 2i − 4iz,
b) (1 + 2i)x + 4 = 2x,
c) 2ix = 5 + i − (3 − 2i)x,
d) 4z − z = iz + 1,
e) Rez + 2z = 3 + i,
f) 3z + Imz = 2iz − 1 + i.
Zadanie 3. Na płaszczyznie zespolonej zaznaczyć zbiór spełniający warunki: π
π
π
5π
a) |z| = 2, argz =
b) |z| = 3, argz =
c) |z| ≤ 4,
d)
< argz ≤
,
3
4
2
4
e) − 2 ≤ Rez < 4,
f) 1 < Imz < 3,
g) |z − i| ≤ 2,
h) z = z.
Zadanie 4. Podane liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej: a) 8,
b) − 7,
c) 2i,
d) − 4i,
e) 3 + 3i, f) − 1 + i,
g) − 1 − i,
h) 1 − i,
√
√
√
√
i)
3 + i,
j) −
3 + i,
k) − 4 3 − 4i l)
3 − i,
√
√
√
√
m) 2 + 2i 3,
n) − 1 + i 3,
o) − 1 − i 3,
p) 1 − i 3.
Zadanie 5. Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej: 3π
3π
a) 2(cos 0 + i sin 0),
b) 3eiπ,
c) cos
+ i sin
,
2
2
√
19π
19π
11π
11π
d)
2 cos
+ i sin
,
e) 2 cos
+ i sin
,
f) e−i 11π
6
.
4
4
3
3
Zadanie 6. Wykonać podane działania:
√
π
π
4i
8ei 4π
5
a) 3 cos
+ i sin
(2 − 2i),
b) 4ei 4π
5 (−1 + i
3),
c)
,
d)
√
.
7
7
5 cos π + i sin π
−2 3 − 2i
9
9
Zadanie 7. Obliczyć, wynik podać w postaci algebraicznej:
√
√
√
a) (1 + i)16,
b) (1 + i 3)9,
c) ( 3 + i)27,
d) (−1 + i)27, e) (1 − i 3)7,
√
(1 + i)2eπi
f) (− 3 − i)5,
g)
.
e− π i
4
(1 − i)3
1
Zadanie 8. Obliczyć podane pierwiastki, jeśli to możliwe, wynik podać w postaci algebraicznej:
√
q
√
√
√
√
√
√
a)
−1 + i,
b)
1 − i 3,
c) 3 8,
d) 3 −125i,
e) 3 −27,
f) 4 −16,
g) 4 −i.
Zadanie 9. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania kwadratowe: a) x2 − 4 = 0, b) x2 + 9 = 0, c) 5x2 − 10x = 0, d) x2 + x − 2 = 0, e) x2 − 6x + 9 = 0, f) x2 − 2x + 3 = 0, g) 10x2 + 2x + 1 = 0, h) 2x2 + ix + 1 = 0, i) z2 + 2iz − 3 = 0.
Zadanie 10. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania: a) x3 − 27 = 0,
b) z4 + 16 = 0,
c) x4 − 2x2 − 3 = 0,
d) z8 − 15z4 − 16 = 0,
e) x3 + x2 + 9x + 9 = 0,
f) z3 + 3z2 − 6z − 8 = 0,
g) x4 + x3 + 2x2 + 4x − 8 = 0, h) x4 + 3x3 − x2 − 13x − 10 = 0.
Zadanie 11*. Przedstawić sin x i cos x za pomocą funkcji wykładniczej o wykładniku zespolonym, korzystając ze wzoru Eulera: eix = cos x + i sin x.
α
π
π
π
π
0
6
4
3
2
√
√
sin α
0
1
2
3
1
2
2
2
√
√
cos α
1
3
2
1
0
2
2
2
√
√
tg α
0
3
1
3
−
3
√
√
ctg α
−
3
1
3
0
3
α
2π
3π
5π
π
3
4
6
√
√
1
sin α
3
2
2
0
2
2
√
√
cos α
− 1
2
3
2
−
−1
2
− 2
α
7π
5π
4π
3π
6
4
3
2
√
√
sin α
− 1
− 2
− 3
−1
2
2
2
√
√
cos α
− 3
− 2
− 1
0
2
2
2
α
5π
7π
11π
2π
3
4
6
√
√
sin α
2
− 3
−
− 12
0
2
2
√
√
cos α
1
2
3
2
1
2
2
A. Chwastyk
2