Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych
Zadanie 1. Proszę przypomnieć sobie z wykładu twierdzenia Peano i Picarda oraz różne twierdzenia związane z zagadnieniem istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych.
Zadanie 2. Dane jest równanie różniczkowe y0 = f ( x, y). Wykaż, że jeżeli ∂f jest funkcją ograniczoną, to f spełnia
∂y
warunek Lipschitza względme zmiennej y.
Zadanie 3. Rozważmy równanie różniczkowe y0 = 3 3
p y 2. Pokaż, że każdy problem Cauchy’ego ma rozwiązanie.
2
Czy każdy taki problem ma jedyne rozwiązanie? Lokalnie? Globalnie?
Zadanie 4. Podaj przykład takiej funkcji f :
2
R
→ R , f = f( x, y), dla której rozwiązania problemu Cauchy’ego nie istnieją:
(a) w dokładnie jednym punkcie x 0,
(b) w przeliczalnie wielu punktach x 0,
(c) dla żadnego warunku początkowego.
Zadanie 5. Wyznacz stałe Lipschitza dla poniższych odwzorowań w zadanym przedziale: (a) f ( x) = x 3 ,
x ∈ ( a, b)
(b) f ( x) = 2 + sin x,
x ∈ R ,
(c) f ( x) = ln x,
x ∈ ( e 2 , e 3) .
Zadanie 6. [egzamin 2012, zadanie 10] Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że: (a) w równaniu y0 = |y| jest globalna jednoznaczność rozwiązań, (b) każde dwa przecinające się rozwiązania wysycone każdego równania róniczkowego muszą być sobie równe, (c) jeżeli pole wektorowe zadające równanie jest przynajmniej klasy C 2, to dziedziną każdego rozwiązania wysyconego jest przedział otwarty,
(d) zbiór ( − 1 , 0) ∪ (0 , 1) jest dziedziną pewnego rozwiązania równania różniczkowego y0 = sin y.
0 ,
dla y = x
Zadanie 7. [egzamin 2011, zadanie 11] Rozważmy równanie różniczkowe y0 =
. W tym równaniu:
− 1 ,
dla y 6= x
(a) w każdym punkcie przez który przechodzi jakieś rozwiązanie jest lokalna jednoznaczność rozwiązań, (b) dziedziną każego rozwiązania wysyconego jest R,
(c) dzieidzną pewnego rozwiązania wysyconego jest [ a, + ∞) dla pewnego a ∈ R, (d) istnieje punkt na płaszczyźnie, przez który nie przechodzi żadne rozwiązanie.
Zadanie 8 Zbadać globalną i lokalną jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego ( y0)2 + sin2 x = 1 .
1