Przykład do zadania 1.

Określić dopuszczalną wartość obciążenia q z warunku wytrzymałościowego dla stalowej belki podanej na rysunku.

przekrój

belka

P = λqa

q

B

A

M = µqa2

βa

γa

β = 2,0; γ = 1,0; λ = 0,5; µ = 0,5; y1

z

a = 2 m; K

1

g = 215 MPa; E = 205 GPa;

Kształtownik 1: C260; Kształtownik 2: L100x100x6; Dane dla kształtowników:

C260 :

A = 48,3 cm2

ey = 2,36 cm

L100x100x6 :

A = 11,8 cm2

Jy = 4820 cm4

Jz = 317 cm4

ey = ez = 2,64 cm

s = 90 mm

Jy = Jz = 111 cm4

Jyz = 65 cm4

1. Charakterystyki geometryczne 1.1. Środek ciężkości

Współrzędne środków ciężkości kształtowników w początkowym układzie współrzędnych y1z1

yC = 2,36 cm

1

zC = −13,0 cm

1

zL = −2,64 cm

1

yL = −2,64 cm

1

AL · yL + AC · yC

y

1

1

c =

=

AL + AC

y0

11,8 · (−2,64) + 48,3 · 2,36

=

= 1,38 cm

11,8 + 48,3

AL · zL + AC · zC

z

1

1

c =

=

AL + AC

y1

z0

11,8 · (−2,64) + 48,3 · (−13,0) z

=

= −10,97 cm

1

11,8 + 48,3

1

1.2. Centralne momenty bezwładności Współrzędne środków ciężkości kształtowników w centralnym układzie współrzędnych y0z0

yC = yC − y

0

1

c = 2,36 − 1,38 = 0,98 cm

zC = zC − z

0

1

c = −13,0 − (−10,97) = −2,03 cm yL = yL − y

0

1

c = −2,64 − 1,38 = −4,02 cm

zL = zL − z

0

1

c = −2,64 − (−10,97) = 8,33 cm Jy = 4820 + 48,3 · (−2,03)2 + 111 + 11,8 · (8,33)2 = 5949 cm4

0

Jz = 317 + 48,3 · (0,98)2 + 111 + 11,8 · (−4,02)2 = 665 cm4

0

Jy

= 0 + 48,3 · (−2,03) · (0,98) + (−65) + 11,8 · (8,33) · (−4,02) = −556 cm4

0 z0

1.3. Główne centralne momenty bezwładności 2 · J

2 · (−556)

tan (2ϕ

y0z0

0) = −

= −

= 0,211

Jy − J

5949 − 665

0

z0

2ϕ0 = arctan (0,211) = 11,9◦

ϕ0 = 5,95◦

1

1 q

J1 =

(J + J ) +

(J − J )2 + 4 · J2

=

2

y0

z0

2

y0

z0

y0z0

1

1 q

=

(5949 + 665) +

(5949 − 665)2 + 4 · (−556)2 =

2

2

= 3307 + 2700 = 6007 cm4

ϕ y0

1

1q

J2 =

(J + J ) −

(J − J )2 + 4 · J2

=

y (1)

2

y0

z0

2

y0

z0

y0z0

= 3307 − 2700 = 607 cm4

Jy > J =⇒ J

0

z0

y = J1

z0

Jz = J2

z (2)

2

2. Dopuszczalne obciążenie

2.1. Moment zginający

P = 0,5 · qa

q

M = 0,5 · qa2

My0max = q · a2

qa2

My 0

My = My · cos ϕ

0

0

−qa2

−0,5 · qa2

Mz = −My · sin ϕ

0

0

2.2. Oś obojętna σx = 0

2

M

J

z = y ·

z · y

My

Jz

J

= − tan ϕ

y

0 ·

· y

Jz

oś obojętna

6007

= − tan (5,95) ·

· y

My

ϕ y0

607

M

M

y

z

0

z = −1,03 · y

y (1)

1

z0

z (2)

2.3. Naprężenia normalne

2.3.1. Dla punktu ➀

y1 = 9 cm

z1 = 0 cm

y0 = y1 − yC = 9 − 1,38 = 7,62 cm z0 = z1 − zC = 0 − (−10,97) = 10,97 cm y = y0 · cos ϕ0 + z0 · sin ϕ0 = 8,72 cm z = −y0 · sin ϕ0 + z0 · cos ϕ0 = 10,12 cm M

M

cos ϕ

0

sin ϕ0

1

σ➀ =

y · z −

z · y = M ·

· z +

· y = M · 3,162 · 103 ·

x

J

y0

y0

y

Jz

Jy

Jz

m3

3

2.3.2. Dla punktu ➁

y1 = 0 cm

z1 = −26 cm

y0 = 0 − 1,38 = −1,38 cm

z0 = −26 − (−10,97) = −15,03 cm y = −2,93 cm

z = −14,81 cm

1

σ➁ = M · −2,952 · 103 ·

x

y0

m3

2.4. Wyznaczenie qdop

Największe naprężenia występują w punkcie ➀

|σx| 6 Kg

σmax = M · 3,162 · 103 = qa2 · 3,162 · 103 6 K

x

y0

g

215 · 106 · N

N

kN

q

m2

dop =

= 17,0 · 103

= 17,0

22 · m2 · 3,162 · 103 · 1

m

m

m3

4