5.p–

ycznaat

ń

ematMaiz

-tego

Anal

n

równa

egow

ści

o

runkówa to

klasy

ar

.

czk

w n w

żni

y

ró

˛

.

rokiej

acej

...,

gór

0

e

ązanie

,

z

x

z

y 1

so

dane

rozwi

równania

spełniaj

)= 0 — punkcie dla

1

bardz

(x

−

y

n

ym

,

’ego

,y

dla

y

równania,

y 0

stalon

,...

u

tego

)=

’ego

w

y

Cauch

0

y 0

jednoznaczne ałki

(x

ych

’ego

c

y

auch

ma

y

gdzie,

C

anie

1−

ychw

auch

postaci

y n pochodn o

C

o

Zagadnieniem jej

)=

)i

3.

poszukiw

wych

0

(x

o

(x

żniczk

jest

y

˛

i

atk

1)

Zagadnienie ró

−

ędu

(n

•

Definicja rz

pocz

y

funkcj

Zagadnienie

6.p–

ycznaat

em

(1)

atMaiz

e

Anal

łca

wc 2C

ązaniem

i 1C

rozwi

ięc

tałychs

,

.W

,

):

=0

2

.

2

+1

0,

1.

1=0

C

y

=

=

ustaleniu

−

=1

,

punkt

2

2

1.

’ego

=

na

,

=1

y

C

C

(0) (0)

2

−

y

y

y

+

−

1

⎧ ⎪ ⎨

⎪ ⎩

1

1

C x e

auch

polega

C

C

że

C

przykład

)=(x

˛

(v.

azanie

y

wynika,

edzie

Rozwi

b˛

.

równania

układu

1

4.

Zagadnienia tego

ązanie statniegoo Przykład Rozwi

ogólnej

Z

zagadnienia Przykład

7.p–

ycznaat

em

a

y

y

atMaiz

),

mje

i/lub

Anal

(y

nazyw

u

x

.

)ϕ

ych,

łka

od

ru

(x

=0

e

ic

ży

z

ψ= )dy

)dy

alez

y (y

(y

równe

)Q

ych.

rozdzielon h

które

jest

ędu

(x

on

=

,

rz

P

el

ych

+

)dx

żenie

żenie

ego

a

a

rozdzi (x

ych

f

wyr

wyr

rwsz

)dx

zmienn

ie

(y

ych

ez

to

p

o

rz

e

)N

enn

p

ych

wo

(x

miz

postaci

o

o

któr

rozdzielon czk

M

d

na

żni

ym

równanie

o

równania

ró

w

g

ych

o

ć

y

postaci

czk

˛

ązania,

w

aza

i

żni

y.

w

ż

ze

ró

dzieleniu

adzam

o

zmienn

Równanie

tak

rozwi

w

tron

ćr

o

s

5.

y

Przy

ane

. 6 gubiz Żeb

dopro

obie

równaniem aga

żna

˛

•

e

Definicja zapisyw

si

Uw

mo

Równania

8.p–

ycznaat

ię

em

s

atM

jest

aiz

Anal

ich

mogły

nz

C.

ięc

e

+

2 ,w

1 x

x

−

1)

pierwsz

− ,

ych

1|=

(y

ście

−

ez

.

|y

rz

czywi

p

2

n

O

dx x

y

.

=

+l

śm

rozdzielon

=0

y

dy

+

ielili

x

mienne:

ych

z

1

dz

2

2

2

az

y

y

−y

y

hc

or

.y

y

.ie

=

=1

n

⇐⇒

y:

⇐⇒

zmienn

mienn

y

2

z

o

+1

1

trons dx x rugie

Rozdzielam

−

d

2 y

˛

1.

y

azania

obie

=

i

ieleniu

2 y

=

y

z

wz

x

.

dy

d

o

˛

7.

dy

dx

1

roz

ćr

azaniem,

równania

2

2 y −

y

˛

y

azanie 2 y

rz

x

Całkujem

P

zgubi

rozwi

2.

3.

Przykład Rozwi

Przykład

9.p–

ycznaat

ematMaiz

spełnia

Anal

a)s˛

R

y

ę

∈

postaci

si

w

(x,

je

∀t

ż

N

un ostanie

)i

˙

o

z

zelie

równaniem

y

,j

ię

równie

α

s

(x,

wyk

a

,

M

ych.

apisane

równanie

stopnia ˛

)nazyw

z

a

ć

y ( x

y

funkcje

b

równanie

)

f

czym

˙

y

=

ze

o

rozdzielon gdzie

p

mo

,

.

jednorodn (x,

y

a

,y x

ię

F

=0

ych

s

α t

)=

a

stopnia

jednorodne postaci

)dy

)=

ć

(x

mienn

jednorodne y

u

z

ty

(x,

˛

)nazyw

aza

o

y

N

samego

(tx,

(x,

F

Równanie

+

wienie

ć

tego

rozwi

F

ś

jednorodne 8.

ym.

Równanie

y

.

)dx

9

y

Żeb

podsta

równaniem

żsamo

aga

(x,

•

Funkcja

o

a

ęt

Definicja jednorodn Uw

M

jednorodne si

Równania

01.p–

ycznaat

ematMaiz

Anal

dzieleniu

=u

przy

⇒

.u

dx

+

=

agubionoz

x

du dx

xdu

stało

=

o

ym.

z

dy

dx

⇐⇒ .) tórek ięc

,

)dx

C

jednorodn

,w

.

y

|+

=0

ux

+

x

)dx

jest

|x

=

y

x

(ln

+

y

=(

x

˛

x

=

azanie

jednorodnego

=(

Równanie

wienie

xdy

y

,

rozwi

1.

⇒

xdy

C

jest

.

podsta

posób

.

y

s

tym

x

10.

|+

równania

z

taki

|x

za

e

ązanie o

Zróbm

W

ln

P

prz

2.

3.

4.

Przykład Rozwi

Przykład

11.p–

ycznaat

em

˙

˛

zy

a

).

atMa

(x

iz

Anal

nale,

Cć

wiadom

ź

równaniem ego

otrzymanej ien

ięs

w

nale

,

z

z

a

e

,

ego

pierwsz

=0

prz

nazyw

)y

C

˛

ędu

(x

ła

a

pierwsz

)=0

rz

ta

istotnego

e

+

(x

˛

w y as

ędu

b

lno

rz

+

linio

w

e

)y

o

równania

w

(x

z

a

ćd

równanie

linio

+ .

ć

e

y

równanie

tym,

w

ego

ć

ąza

o

o

zamieni

p

˛

),

aza

(x

pierwsz rozwi

C

˙

Równanie

zniczk

rozwi

ogólnej

ę

ró

ędu

11.

rz

y

m

Żeb

najpierw

całce

funkcj

wy

•

Definicja linio

Równania

21.p–

ycznaat

ematMaiz

=

C.

Anal

=

.x

x

+

dx

sin

ctg

x=

x x

C

y

cos sin

=

dx

y

osx,

ego

|=

⇒

)c

)=

|y

(x

(x

ln

nC

C

C

⇒

|+l

+

⇒

pierwsz

x

x

inx

inx

˛

)s

edu

.

tgxd

|sin

rz

n

(x

=s

inx

=c

=l

C

inx

ego

=s

=

dt t

.

w

dy

y

)s

x

y

⇒

inx

=

⇒ (x

)s

linio

ctg

C

y

=0

x

C

−

inx

⇒

+

1.

x

y

inx

)s

osxd

x

.

ctg

(x

osx

=s

12.

y

=c

C

)c

)=(

równania

−

t

=

(x

˛

(x

azanie

y dt y

C

y

2.

3.

Przykład Rozwi

Przykład

31.p–

ycznaat

emat

o

Ma

ć

iz

,p

Anal

n

1− y

podzieli

=

równaniem z

ię

ży

sa

1.

nale, wienie ˛

nazyw

edu

n

rz

)y

e

(x

podsta

w

b

noulliego

ć

=

er

linio

B

ona

)y

yk

(x

w

a

i

+

n

y

równanie

y

równanie

y

ć

ezrz

ąza

py

noulliego

Równanie

er

rozwi

tron

otrzymam

B

s

13.

y

Żeb

obie

czym

noulliego

•

Definicja Ber

Równanie

41.p–

ycznaat

C.

ematM

+

aiz

⇒

2

Anal

1

x

ym

= 3 2

nC

x

=

któr

x

w,

|+l

4 ,z

|x

−

xd

n

)x

3l

(x

rnoulliego 2 .

−

)=3

.

e

3C

3

B

−

(x

x

|=

−

C x

=

|z

3

C

+

−

z x

ln

)x

⇒

3 2x

+

2

jest

3

⇒

(x

−

x

to

równaniem

1 z 3

=

dx

C

3 x

=

2 .

=

y

jest

3

−

⇒

−

−

3 .

y

=

z

)x

−

noulliego

1 2

równania

x

2 .

2 y

⇒

x

⇐⇒

er

=

−

y

dz z

3

(x

C

B

x

−

C

C

y

x

Równanie

+

=

=3

⇒ 3 .

)x 1 3

danego

+

+

z

−

2

2

1.

1 x

(x

⇒

x

x

y

3

⇒

=0

Cx

C 4

3 2

3 2

.

2.

y

−

+

3

z x

ogólna

=

14.

−

y

+

)=

)=

)x

)=

równania

=

3

=

(x

˛

(x

(x

(x

azanie 2 y

z

3 x

n

y

z

1 3

z

z

C

z

Całka

y

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Przykład Rozwi

Przykład