ki wielokrotne.
R
Zadanie 1 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a nieskierowan ¾
a
dl , gdzie L jest
x y
L
odcinkiem prostej y = 1 x
2 o końcach A(0;
2), B(4; 0).
2
R
Zadanie 2 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a nieskierowan ¾
a
xydl, gdzie L jest
L
brzegiem prostok ¾
ata utworzonego przez proste: x = 0; x = 4; y = 0; y = 2: R p
Zadanie 3 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a nieskierowan ¾
a
2ydl, gdzie L jest
L
÷
ukiem cykloidy: x = a(t
sin t), y = a(1
cos t), a > 0, 0
t
2 :
R p
Zadanie 4 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a nieskierowan ¾
a
x2 + y2dl, gdzie
L
L jest okr ¾
egiem o równaniu x2 + y2 = ay: R
Zadanie 5 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a skierowan ¾
a
2xydx + x2dy, gdzie
L
L jest ÷
ukiem paraboli y = x2 od punktu O(0; 0) do punktu A(1; 1): R
Zadanie 6 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a skierowan ¾
a
dx
dy , gdzie L jest
y
x
L
obwodem trójk ¾
ata ABC o wierzcho÷
kach: A(1; 1), B(2; 1), C(2; 2): R
Zadanie 7 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a skierowan ¾
a
ydx xdy, gdzie L jest
L
dodatnio skierowan ¾
a elips ¾
a o równaniach: x = a cos t, y = b sin t, 0
t
2 .
R
Zadanie 8 Obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a skierowan ¾
a
yxexdx + (x
1)exdy
AB
po dowolnej drodze ca÷
kowania, ÷¾
acz ¾
acej punkty A(0; 2), B(1; 2): H
Zadanie 9 Obliczyć
2x(y
1)dx + x2dy po konturze …gury ograniczonej
+C
liniami: y = x2 oraz y = 9:
Zadanie 10 Przy pomocy Twierdzenia Greena obliczyć ca÷
k ¾
e krzywoliniow ¾
a
H
x2ydx + xy2dy, gdzie L jest okr ¾
egiem x2 + y2 = r2 z obiegiem dodatnim.
L
Zadanie 11 Obliczyć d÷
ugość kardioidy o równaniach: x = 2a cos t a cos 2t, y = 2a sin t
a sin 2t:
Zadanie 12 Obliczyć pole …gury ograniczonej elips ¾
a: x = a cos t, y = b sin t: 1
e ÷
uku AB krzywej y = ln x, je·zeli w ka·zdym punkcie ÷
uku jego g ¾
estość liniowa jest wprost proporcjonalna do kwadratu od-ci ¾
etej oraz xA = 1 i xB = 3.
Zadanie 14 Znaleźć wspó÷
rz ¾
edne środka ci ¾
e·zkości ÷uku AB linii śrubowej x = a cos t, y = a sin t, z = bt, jeśli g ¾
estość liniowa ÷uku w ka·zdym jego punkcie jest wprost proporcjonalna do wspó÷
rz ¾
ednej z ÷
uku oraz tA = 0 i
tB = .
Bibliogra…a
[1] G.I. Zaporo·
zec, Metody rozwi ¾
azywania zadań z analizy matematycznej, WNT Warszawa, 1974.
2