Temat wykładu:

Ciąg liczbowy. Granica ciągu Kody kolorów:

żółty – nowe pojęcie

pomarańczowy – uwaga

kursywa – komentarz

* – materiał nadobowiązkowy

1

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Zagadnienia

1. Przykłady ciągów, definicja ciągu 2. Pojęcie granicy ciągu

3. Ciąg zbieżny, rozbieżny do ∞

4. Twierdzenia o granicach ciągów 2

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Idea ciągu

3

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

4

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

Przykład 1. Ciąg ulubieńców: 1.

2.

3.

5

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

Przykład 2. Ciąg czynności

wykonywanych podczas robienia deseru:

1. ułożyć warstwę biszkoptów 2. posypać kakao

3. nałożyć warstwę kremu

4. posypać kakao

5. ułożyć warstwę biszkoptów 6. posypać kakao

7. nałożyć warstwę kremu

6

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

Przykład 3a. Ciąg kolejnych liczb pierwszych mniejszych od 10: 1.

2.

3.

4.

2

3

5

7

ciąg liczbowy skończony

7

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

Przykład 3b. Dwa różne ciągi liczb pierwszych mniejszych od 10: 1.

2.

3.

4.

2

3

5

7

1.

2.

3.

4.

2

5

3

7

8

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykłady ciągów

Przykład 4. Ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich

1.

2.

3.

4.

...

2

4

6

8

...

ciąg liczbowy nieskończony

9

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Wprowadzenie do definicji ciągu Określenie ciągu:

1.

2.

3.

...

A

B

C

...

10

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Definicja ciągu (1a)

Jeśli każdej z liczb naturalnych: 1, 2, 3, ...

została przyporządkowana

dokładnie jedna liczba

rzeczywista, to został określony ciąg (nieskończony) tych liczb rzeczywistych.

11

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Definicja ciągu (1b)

Jeśli każdej z liczb naturalnych: 1, 2, 3, ..., m

została przyporządkowana

dokładnie jedna liczba

rzeczywista, to został określony ciąg (skończony) tych liczb

rzeczywistych.

12

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia i oznaczenia

1.

2.

3.

...

a

a

a

...

1

2

3

Jeżeli liczbom naturalnym

1, 2, 3, ...

przyporządkowano liczby

a , a , a , ...

1

2

3

to został określony ciąg, który oznaczamy: (an ) lub {an }.

13

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia i oznaczenia

a – 1-szy wyraz ciągu

1

a – 2-gi wyraz ciągu

2

itd.

an – n-ty wyraz ciągu

14

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia na przykładzie

a

2

n = n +1

indeks wyrazu

a

n – wyraz ogólny ciągu

Czytamy:

ciąg o wyrazie ogólnym n 2

+1

15

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

16

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 1.

a

1

=

n

n

17

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 1.

a

1

=

n

n

n

1 2 3 4 ...

a

an →

n

1 1/2 1/3 1/4 ...

0

18

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 1.

a

1

=

n

n

n

1 2 3 4 ...

a

an →

n

1 1/2 1/3 1/4 ...

0

a

0

gdy

n →

,

n → ∞

19

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykład 1 - wykres

20

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykład 1 - wykres

a

1

=

n

1

2

3

4

n

n

an

1

1/2 1/3 1/4

1,5

a n

1

0,5

0

0

1

2

3

4

5

n

a

0

gdy

n →

,

n → ∞

21

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 2.

a = n

n

22

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 2.

a = n

n

n

1 2 3 4 ...

a

n

1 2 3 4 ...

a

gdy

n → ∞,

n → ∞

23

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykład 2 - wykres

a = n

n

1

2

3

4

n

an

1

2

3

4

5

4

a n 3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

n

a

gdy

n → + ∞,

n → ∞

24

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Dokąd zmierzasz ciągu?

Przykład 3.

a

n

= (−

+1

)

1

⋅ n

n

25

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Przykład 3 - wykres

a

n

= (−

+1

)

1

⋅ n

n

1

2

3

4

n

an

1

- 2

3

- 4

3

a n2

1

0

-1 0

1

2

3

4

5

6

-2

-3

n

-4

an → ?

26

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia na przykładzie

Zapis:

an → 0

znaczenie:

wyrazy an zbliżają się do 0

czytamy:

ciąg (an) dąży do 0

27

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia na przykładzie

Zapis:

an → 0

znaczenie:

wyrazy an zbliżają się do 0

czytamy:

ciąg (an) dąży do 0

wartość graniczna, granica 28

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia na przykładzie

Zapis:

an → 0

znaczenie:

wyrazy an zbliżają się do 0

czytamy:

ciąg (an) dąży do 0

lub

granicą ciągu (an) jest liczba 0

29

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Oznaczenia na przykładzie

Zapis:

an → 0

czytamy:

granicą ciągu (an) jest liczba 0

limes (łac.) – granica

30

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Oznaczenia na przykładzie

Zapis:

an → 0

czytamy:

granicą ciągu (an) jest liczba 0

limes (łac.) – granica

zapis:

lim an = 0

n→ ∞

31

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Granica ciągu – oznaczenia

Ogólniej:

a → g

n

czytamy:

granicą ciągu (an) jest liczba g zapis:

lim a = g

n

n→ ∞

32

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Granica ciągu –

przedstawienie graficzne

33

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

*

Definicja granicy ciągu

Dla danego ciągu (an )

def

lim an = g ⇔

an − g < ε

n→∞

∀ ∃+ ∀

ε >0 k∈N

n >k

34

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o granicach ciągów 35

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o granicach ciągów lim 1

(1)

n = 0

n→ ∞

lim c = c ,

c = const, c ∈ R

(2)

n → ∞

36

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia i przykłady

Gdy granicą ciągu jest liczba skończona, to mówimy, że ciąg ma granicę właściwą.

Ciąg taki nazywamy zbieżnym.

Przykłady:

a

1

)

a

=

n

n

b)

bn = 2

37

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Ciąg dążący do ∞

38

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

* Definicja ciągu dążącego do + ∞

Dla danego ciągu (an )

def

lim a = + ∞ ⇔

a > M

→∞

∀ ∃+ ∀

n

n

n

M R

∈

k N

∈

n >k

39

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

* Definicja ciągu dążącego do - ∞

Dla danego ciągu (an )

def

lim a = − ∞ ⇔

a < M

→∞

∀ ∃+ ∀

n

n

n

M R

∈

k N

∈

n >k

40

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o granicach ciągów lim n = + ∞

(3)

n→ ∞

lim (− n) = − ∞

(4)

n→ ∞

41

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia i przykłady

Gdy granicą ciągu jest + ∞ lub – ∞, to mówimy, że ciąg ma granicę niewłaściwą.

Ciąg taki nazywamy rozbieżnym do + ∞ lub – ∞.

Przykłady:

a)

a = n

n

b)

b = −n

n

42

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Terminologia i przykłady

Gdy granica ciągu nie istnieje, to mówimy, że ciąg jest rozbieżny.

Przykłady:

)

a

a = −

+1

1

⋅

n

( )n n

b)

b = (− )n

1

n

43

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o granicach ciągów lim nk = + ∞ ,

gdy k > 0

(5)

n→ ∞

lim k n = + ∞ ,

gdy k > 1

(6)

n→ ∞

lim k n = 0 ,

gdy k < 1

(7)

n→ ∞

44

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

* Twierdzenia o granicach ciągów Ogólniej:

lim a k

(8)

n

= + ∞ , gdy an → + ∞ , k > 0

n → ∞

lim k an = + ∞ , gdy a

(9)

n → + ∞ , k > 1

n → ∞

lim k an = 0 , gdy a

(10)

n → + ∞ ,

k < 1

n → ∞

45

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o granicach ciągów lim ( + 1

1

=

n ) n

e

(11)

n→ ∞

Ogólniej:

lim (1+ 1

gdy

(12)

n ) an

e ,

a

a

=

n → + ∞

n → ∞

46

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o ciągach zbieżnych Jeżeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n

n

n→ ∞

n→ ∞

są skończone, to:

lim a

(

+ b ) = a + b

(13)

n

n

n→ ∞

47

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o ciągach zbieżnych Jeżeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n

n

n→ ∞

n→ ∞

są skończone, to:

lim a

(

− b ) = a − b

(14)

n

n

n→ ∞

48

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o ciągach zbieżnych Jeżeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n

n

n→ ∞

n→ ∞

są skończone, to:

lim a

(

⋅ b ) = a ⋅ b

(15)

n

n

n→ ∞

49

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Twierdzenia o ciągach zbieżnych Jeżeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n

n

n→ ∞

n→ ∞

są skończone, to:

a

a

lim

n =

,

gdy

b

(16)

n ≠

b

→

n

∞

∀ ≠ 0 oraz ≠ 0

∀+

b

b

n

n

∈ N

50

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

* Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli

lim a = g , lim c = g , a ≤ b ≤ c , n

n

n

n

n

n→ ∞

n→ ∞

to:

lim b = g

(17)

n

n→ ∞

51

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞

Jeżeli lim a

b

to

n = + ∞ , lim

n = + ∞ ,

n→ ∞

n→ ∞

lim (a

b

(18)

n +

n ) = + ∞

n→ ∞

Jeżeli lim a

b

to

n = − ∞ , lim

n = − ∞ ,

n→ ∞

n→ ∞

lim (a

b

n +

n ) = − ∞

n→ ∞

(19)

52

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞

Jeżeli lim a = + ∞ ,

lim b = b ,

n

n

n→ ∞

n→ ∞

b - skończona, to lim (a

b

(20)

n +

n ) = + ∞

n→ ∞

Jeżeli lim a = − ∞ ,

lim b = b ,

n

n

n→ ∞

n→ ∞

b - skończona, to lim (a

b

(21)

n +

n ) = − ∞

n→ ∞

53

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW

Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞

Jeżeli lim a = a , a – skończona n

n→ ∞

i a ≠ 0 , oraz

b

to

(22)

n = ±

lim

∞ ,

n→ ∞

lim (a b

znak zgodny z regułą znaków

n ⋅

n ) = ± ∞

→

n

∞

Jeżeli lim a = a , a – skończona, n

n→ ∞

a

lim b

to lim

n

= 0

(23)

n = ±∞ ,

n→ ∞

n→ ∞ bn

54

Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW