LICZBY ZESPOLONE - LISTA ZADA Ń NR 1
1. Oblicz:
a) (1 + 3i)(2 − 5i),
b) (2 − 3i)(1 + i),
c) 4 i
−
,
2+3i
d) 1 i
− .
2 i
−
2. Korzystaj¸ac z faktu, że dwie liczby zespolone s¸a równe wtedy i tylko wtedy gdy maj¸a równe cz¸eści rzeczywiste i urojone, rozwi¸aż podane równania:
a) 2 Rez − 3 Imz = 2,
b) z+2 = 2z+i ,
i−1
2+i
c) z2 − 4z + 10 = 0,
d) 3z + (1 + i)z = 4 + 5i.
3. Oblicz modu l podanych liczb: a) (1 + 3i)4,
√
b) (4− 3i)2 .
(1−3i)3
4. Narysuj zbiór liczb zespolonych spe lniaj¸acych podane równości i nierówności: a) |z + 1 + i| ≥ 2,
b) |iz + 5| ≤ 2,
c) | z+i+1
z+2i−1 | > 1,
d) 2 < |z + 3i + 1| ≤ 3,
e) π < arg(z
,
4
− i − i) ≤ 3π
4
f) arg( 1 ) = 3π ,
z
4
g) π < arg z+i < π,
2
z
i
−
h) |arg(z + i)| > 3π .
4
5. Podane poniżej liczby zapisać w postaci trygonometrycznej a) 1 − i, √
b) −1 − 3i,
c) 2 + i.
1
6. Korzystaj¸ac ze wzoru de Moivre’a oblicz: a) (i − 1)10,
√
b) ( 3i − 1)8,
c) 1 i
− tan(α) .
1+i tan(α)
7. Korzystaj¸ac ze wzoru de Moivre’a znajdź zbiór liczb zespolonych spe lniaj¸acych warunek arg(z3) < π .
2
8. Oblicz wartości podanych wyrażeń i zaznacz je na p laszczyźnie ze-spolonej:
a) 3ei π2 ,
b) 2ei 3π
4 ,
c) eiπ (dostaniesz w ten sposób wzór l¸acz¸acy liczby e, i i π), d) ei.
9. * Korzystaj¸ac ze wzoru na sum¸e ci¸agu geometrycznego oblicz Pnk=1 eikx, a nast¸epnie policz sum¸e Pnk=1 sin(kx).
10. Oblicz i narysuj podane pierwiastki z liczb zespolonych:
√
a) 6 −27,
√
b) 8 1,
q
√
c) 4 −1 + 3i.
2
2
11. Rozwi¸aż równania:
a) z6 = (1 − 3i)12,
b) (z − i)4 = (iz + 3)4,
c) (z + 1)6 + z6 = 0.
12. Oblicz:
a) sin(i),
b) cos(πi).
13. Rozwi¸aż równania:
a) sin(z) = 10,
b) cos(z) = 1 + i.
14. * Oblicz sum¸e Pn
4n. W tym celu policz sum¸e (1 + i)4n + (1 +
k=0 4k
1)4n + (1 −i)4n +(1−1)4n dwoma sposobami: korzystaj¸ac z dwumianu Newtona oraz ze wzoru de Moivre’a. Wnioskuj.
15. * Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi tożsamość
|z+w|2+|z−w|2 = 2|z|2+2|w|2 i podać jej interpretacj¸e geometryczn¸a.
2