Ocena niepewności pomiarów

Władysław Tomaszewicz

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gda ńska 2008

Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Wykresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Rodzaje niepewności pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Zapis wyniku pomiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ocena niepewności systematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ocena niepewności przypadkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ocena niepewności systematycznych pomiarów pośrednich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ocena niepewności przypadkowych pomiarów pośrednich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Metoda najmniejszych kwadratów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

Sprawozdanie

Sprawozdanie z wykonanego ćwiczenia powinno zawierać: 1.

Wypełnioną atramentem lub długopisem tabelkę nagłówkową.

2.

Wypełnioną atramentem lub długopisem tabelkę pomiarową, do której należy wpisać wyniki niezb ędnych oblicze ń, wykonanych podczas opracowywania sprawozdania. Tabelka musi być podpisana przez prowadzącego ćwiczenie.

3.

Krótki opis teoretyczny ćwiczenia.

4.

Co najmniej po jednym szczegółowym przykładzie z każdej serii wykonanych oblicze ń z uwzgl ędnieniem rachunku jednostek.

5.

Rachunek i dyskusj ę niepewności pomiarowych.

6.

Wyniki pomiarów badanych wielkości z uwzgl ędnieniem ich niepewności.

7.

Niezb ędne wykresy z naniesionymi niepewnościami pomiarów.

8.

Dyskusj ę otrzymanych wyników.

2 / 22

Wykresy

Załączone do sprawozdania wykresy powinny być wykonane jak nast ępuje: 1.

Wykresy należy sporządzać r ęcznie na papierze milimetrowym lub przy pomocy komputera na nie kratkowanym papierze.

2.

Punkty pomiarowe należy wyraźnie zaznaczyć na wykresie razem z prostokątami niepewności pomiarów. Punktów nie powinno si ę łączyć liniami. Wykreślona krzywa doświadczalna powinna być

„wygładzona”, tak aby ok. połowa punktów leżała nad krzywą a połowa pod nią. Krzywa musi przechodzić przez prostokąty niepewności pomiarów.

3.

Skale na osiach wykresu powinny być równomierne (każdej działce musi odpowiadać jednakowy przyrost zmiennej). Skale nie muszą zaczynać si ę od zera i powinny być tak dobrane, aby wykres nie był zbyt płaski ani zbyt stromy. Nie należy zaznaczać na osiach współrzędnych punktów pomiarowych.

3 / 22

2

Wykresy

100

80

60

]

[my

40

2Dy

Rys. 1. Przykładowy

20

wykres

2Dx

0

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x [m]

4 / 22

Rodzaje niepewno ści pomiarów

Podstawowa literatura:

K. Kozłowski i R. Zieli ński — I laboratorium z fizyki, część 1 (skrypt PG).

Podział niepewno ści pomiarów ze wzgl ędu na sposób powstawania: 1.

systematyczne (przyrządu, eksperymentatora),

2.

przypadkowe.

Podział niepewno ści pomiarów ze wzgl ędu na sposób obliczania (x — wartość mierzonej wielkości):

1.

bezwzgl ędne:

∆x,

2.

wzgl ędne (procentowe):

∆x

δx =

· 100%.

x

5 / 22

3

Zapis wyniku pomiaru

1.

Niepewność pomiaru ∆x wielkości X zaokrąglamy zawsze w gór ę, aby pozostały maksymalnie dwie cyfry znaczące.

2.

Wynik pomiaru x zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesi ętnego, do którego została zaokrąglona jego niepewność ∆x.

Wynik pomiaru zapisujemy w postaci:

X = (x ± ∆x) [jednostka],

lub:

X = x [jednostka]; δX = δx%.

Przykłady:

X = (36,5267 ± 0,7925) cm (źle!),

X = (36,5 ± 0,8) cm (dobrze!),

X = 36,5267 cm; δX = 11,4% (źle!),

X = 36 cm; δX = 12% (dobrze!).

6 / 22

Ocena niepewno ści systematycznych

Pomiar temperatury termometrem ze skalą stopniową:

∆t = 0,5 oC.

Pomiar długości linijką milimetrową:

∆x = 1 mm.

Pomiar wielko ści elektrycznych przyrz ˛

adami analogowymi.

Klasa przyrządu — niepewność wzgl ędna, odnosząca si ę do danego zakresu.

Pomiar napi ęcia woltomierzem wskazówkowym — najmniejsza podziałka 1 V, zakres 100 V, klasa 0,5:

0,5

∆V ′ = 100 V ·

= 0,5 V,

∆V ′′ = 0,5 V,

100

∆V = ∆V ′ + ∆V ′′ = 1 V.

7 / 22

4

Ocena niepewno ści systematycznych

Pomiar wielko ści elektrycznych przyrz ˛

adami cyfrowymi.

∆x = c1x + c2z

(x — wartość zmierzona, z — zakres).

Pomiar oporu omomierzem cyfrowym — c1 = 0, 002, c2 = 0, 001, zmierzona wartość 10 kΩ, zakres 20 kΩ:

∆R = 0, 002 · 10 kΩ + 0, 001 · 20 kΩ = 0, 04 kΩ.

Niepewność standardowa pomiaru:

∆x

u (x) = √ .

3

8 / 22

Ocena niepewno ści przypadkowych

Wyniki kolejnych pomiarów danej wielkości fizycznej: x1, x2, . . . , xn (n — liczba pomiarów).

Średnia arytmetyczna:

1 n

X

x =

x

n

k .

k=1

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

s

Pn

(x

S (x) =

k=1

k − x)2 .

n − 1

Niepewność standardowa średniej arytmetycznej x: s

Pn

(x

u (x) =

k=1

k − x)2 .

n (n − 1)

9 / 22

5

Ocena niepewno ści przypadkowych

Prawdopodobie ństwo, że wartość x nie odbiega od wartości rzeczywistej o wi ęcej niż u (x), wynosi 68%.

Niepewność standardowa dla porównywalnych wartości niepewności systematycznych i przypadkowych:

q

u (x) =

u2

(x) + u2

(x).

syst

przyp

Przykład

Wyniki n = 10 pomiarów długości przedmiotu:

x1 = 12,7 cm; x2 = 12,8 cm; x3 = 12,9 cm; x4 = 12,6 cm; x5 = 13,0 cm; x6 = 12,9 cm; x7 = 12,8 cm; x8 = 12,7 cm; x9 = 13,0 cm; x10 = 12,6 cm.

Średnia arytmetyczna:

12,7 + 12,8 + . . .

x =

cm = 12,80 cm.

10

10 / 22

Ocena niepewno ści przypadkowych

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

s

(12,7 − 12,8)2 + (12,8 − 12,8)2 + . . .

S (x) =

cm = 0,15 cm.

10 − 1

Niepewność standardowa średniej arytmetycznej: s

(12,7 − 12,8)2 + (12,8 − 12,8)2 + . . .

u (x) =

cm = 0,05 cm.

10 (10 − 1)

11 / 22

6

Ocena niepewno ści systematycznych pomiarów po średnich Funkcja jednej zmiennej:

y = f (x),

x, ∆x, y — znane, ∆y = ?

∆y

df (x)

≈

∆x

dx

Niepewność

df (x)

∆y =

∆x

dx

(jeżeli ∆x oznacza kąt, należy wyrazić go w radianach).

12 / 22

Ocena niepewno ści systematycznych pomiarów po średnich Funkcja n zmiennych:

y = f (x1, x2, . . . , xn),

xi, ∆xi (i = 1, 2, . . . , n), y — znane, ∆y = ?

Niepewność

∂f

∂f

∂f

∆y =

∆x1 +

∆x2 + . . . +

∆xn.

∂x1

∂x2

∂xn

Przykład 1: y = x1 ± x2.

∂(x

∂(x

∆y =

1 ± x2)

1 ± x2)

∆x1 +

∆x2,

∂x1

∂x2

∆y = ∆x1 + ∆x2.

13 / 22

7

Ocena niepewno ści systematycznych pomiarów po średnich Przykład 2: y = c · xa

(a, b, c — stałe).

1 · xb

2

∆y

∆x

∆x

= |a|

1 + |b|

2 .

|y|

|x1|

|x2|

Przykład 3: Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego.

s l

T = 2π

,

g

4π2l

g =

,

T 2

∆g

∆l

∆T

=

+ 2

.

g

l

T

14 / 22

Ocena niepewno ści systematycznych pomiarów po średnich Wyniki pomiarów:

l = 91,6 cm, ∆l = 0,1 cm; T = 1,92 s, ∆T = 0,01 s.

g = 976 cm/s2.

Ocena niepewności:

∆g

0,1 cm

0,01 s

=

+ 2

≈ 0,012 = 1,2%,

g

91,6 cm

1,92 s

∆g = 0,012 · 976 cm/s2 ≈ 11 cm/s2.

Wynik pomiaru przyspieszenia ziemskiego:

g = 976 cm/s2; δg = 1,2%,

g = (976 ± 11) cm/s2.

15 / 22

8

Ocena niepewno ści przypadkowych pomiarów po średnich Funkcja jednej zmiennej:

y = f (x).

x, u (x) — znane, y, u (y) = ?

Wartość y i jej niepewność:

y = f (x) ,

df (x)

u (y) =

u (x) .

dx x=x

16 / 22

Ocena niepewno ści przypadkowych pomiarów po średnich Funkcja n zmiennych:

y = f (x1, x2, . . . , xn).

xi, u (xi) (i = 1, 2, . . . , n) — znane, y, u (y) = ?

Wartość y i jej niepewność:

y = f (x1, x2, . . . , xn),

s ∂f

2

∂f

2

u (y) =

· u (x1)

+ . . . +

· u (x

.

∂x

n)

1

∂x

x

n

1=x1

x =x

n

n

Przykład 1: y = x1 ± x2.

u (y) = pu2 (x1) + u2 (x2).

17 / 22

9

Ocena niepewno ści przypadkowych pomiarów po średnich Przykład 2: y = c · xa

(a, b, c — stałe).

1 · xb

2

s

u (y)

a

2

b

2

=

· u (x1) +

· u (x2) .

|y|

x1

x2

Przykład 3: Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego .

4π2l

g =

;

T 2

4π2l

g =

,

2

T

s

u (g)

u (l)2

2u (T )2

=

+

.

g

l

T

18 / 22

Metoda najmniejszych kwadratów

Wielkości x i y są związane zależnością liniową: y = ax + b.

Wyniki kolejnych pomiarów tych wielkości:

x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yn.

Należy znaleźć wartości a, b, u (a), u (b).

Tworzymy wyrażenia:

∆yk = axk + b − yk, k = 1, 2, . . . , n

i szukamy minimum funkcji:

n

n

X

X

f (a, b) =

(∆yk)2 =

(axk + b − yk)2 .

k=1

k=1

19 / 22

10

Metoda najmniejszych kwadratów

7

6

5

y = ax+b

Y 4

3

Dyk

(x , y )

2

k

k

1

2

3

4

5

X

Rys. 2. Metoda najmniejszych kwadratów

20 / 22

Metoda najmniejszych kwadratów

Wielkości pomocnicze:

1 n

n

n

X

1 X

1 X

x =

x

y

x

n

k ,

y = n

k,

xy = n

k yk,

k=1

k=1

k=1

1 n

n

X

1 X

x2 =

x2,

y2 =

y2.

n

k

n

k

k=1

k=1

Parametry prostej:

xy − x · y

a =

,

x2 − x2

b = y − ax.

21 / 22

11

Metoda najmniejszych kwadratów

Niepewności parametrów:

s

1

y2 − axy − by

u (a) =

·

,

n − 2

x2 − x2

p

u (b) = u (a)

x2.

22 / 22

12