Przekształcenie Laplace’a. Rachunek
operatorowy
6.1
Obliczanie transformacji Laplace’a
Znaleźć transformacje Laplace’a następujących funkcji: 1
1
t
1.
t 2 + 1;
2. t 2 − et;
3. e−t + 3 e− 2 t + t 2; 4. 2 sin t − cos ;
2
2
2
t
Z
5. cos2 t;
6. sin2 ( t − a);
7.
( t − τ )2 cos 2 τ dτ ;
8. ch t sin t;
0 t
Z
9. t ch 2 t;
10. sin t − t cos t; 11.
τ et−τ sin ( t − τ ) dτ ; 12. e 2 t cos t; 0
13. e−t sin2 t; 14. t 2 ch 2 t; 15. t e−t sin t;
16. t e−t sh t;
t
Z
t
Z
cos β τ − cos α τ
sh τ
17. sh3 t;
18. t 3 e 2 t;
19.
dτ ; 20.
dτ .
τ
τ
0
0
6.2
Obliczanie oryginału funkcji
Obliczyć oryginały funkcji:
1
1
1
p
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
( p − 1)2
p 2 + 4 p + 3
p 2( p 2 + 1)
( p 2 − 4)( p 2 + 1) p
e− 2 p
p
1
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
p 3 + 1
p 2
( p 2 + 4)2
( p + 1)( p − 3)
1
2 p + 3
1
e−p
3 e− 4 p
p
9.
; 10.
;
11.
+
+
; 12.
;
p 3 + 2 p 2 + p
p 3 + 4 p 2 + 5 p
p − 2
p
p 2 + 9
p 2 + 4
e− 2 p
p
2 pe−p
13.
;
14.
−
.
( p + 1)3
p 2 + 4
p 2 − 4
Lista 6. Przekształcenie Laplace’a. Rachunek operatorowy 6.3
Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformacji Laplace’a
Znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego: 1. x00 − 4 x0 + 4 x = e 2 t; 2. x00 + 9 x = cos 3 t; 3. x00 + x0 − 2 x = et; 4. x00 + x0 = e−t sin t.
Znaleźć rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego zwyczajnego:
x000 + x = 0 ,
x00 + 2 x0 + x = e−t,
x00 + 3 x0 = e− 3 t, 1.
x(0) = 0 ,
2.
3.
x(0) = 1 ,
x(0) = 0 ,
x0(0) = − 1 ,
x0(0) = 0 ,
x0(0) = − 1 ,
x00(0) = 2
x000 − x00 = et,
x00 + 4 x = sin 2 t,
x00 − 9 x = sh t,
4.
5.
6.
x(0) = 1 ,
x(0) = 1 ,
x(0) = − 1 ,
x0(0) = 0 ,
x0(0) = − 2 ,
x0(0) = 3 ,
x00(0) = 0 ,
x(4) − x = sh t,
x000 + 3 x00 + 3 x0 + x = te−t,
x(0) = 0 ,
7.
8.
x(0) = 0 ,
x0(0) = 0 ,
x0(0) = 0
x00(0) = 0 ,
x00(0) = 0 .
x000(0) = 1 ,
Znaleźć rozwiązanie układu równań różniczkowych zwyczajnych:
2 x00 + x − y0 = − 3 sin t,
x0 + y = 0 ,
x + y0 = − sin t, 1.
x + y0 = 0 ,
2.
x(0) = 0 , x0(0) = 1 , x(0) = 1 ,
y(0) = − 1;
y(0) = 0;
x00 − y0 = 0 ,
x00 − y0 = 0 ,
x − y00 = 2 sin t,
x0 − y00 = 2 cos t,
3.
4.
x(0) = − 1 , x0(0) = 1 ,
x(0) = 0 , x0(0) = 2 ,
y(0) = 1 , y0(0) = 1;
y(0) = 2 , y0(0) = 0;
x00 + y0 = 2 sin t,
x00 − y0 = et,
y00 + z0 = 2 cos t,
x0 + y00 − y = 0 ,
z00 − x = 0
5.
6.
x(0) = 1 , x0(0) = 0 ,
x = 0 , x0(0) = − 1 ,
y(0) = − 1 , y0(0) = 0;
y(0) = − 1 , y0(0) = 0 ,
z(0) = 0 , z0(0) = 1 .
3
6.4
Pomocnicze wzory
f ( t)
F ( p) = L{f ( t) }
f ( t)
F ( p) = L{f ( t) }
1
β
1
η( t)
6
sin βt
p
p 2 + β 2
tn
1
p
2
7
ch βt
n!
pn+1
p 2 − β 2
1
β
3
eαt
8
sh βt
p − α
p 2 − β 2
tn
1
p − α
4
eαt
9
eα t cos β t
n!
( p − α) n+1
( p − α)2 + β 2
p
β
5 cos β t
10
eα t sin β t
p 2 + β 2
( p − α)2 + β 2
Tablica przekształcenia Laplace’a funkcji podstawowych.