Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki
dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część IVA. Dynamika układu punktów materialnych — zderzenia ciał
IVA.1) Kula o masie m 1, poruszająca się z prędkością v 1, zderza się centralnie z kulą o masie m 2, która porusza się w tym samym kierunku z prędkością v 2. Podać związki między prędkościami obu kul przed i po zderzeniu, jeżeli jest ono doskonale sprężyste.
IVA.2) Kula o masie m zderza się centralnie ze spoczywającą kulą o masie M. Wyznaczyć: a) zależność ułamka energii traconej przez nadbiegającą kulę od stosunku mas obu kul, jeżeli zderzenie jest sprężyste, b) względną zmianę energii obu kul jako funkcję stosunku ich mas dla zderzenia niesprężystego.
IVA.3) Dwie kule o masach m 1 i m 2, poruszające się z tą samą prędkością naprzeciw siebie, zderzają się centralnie. Zderzenie jest doskonale sprężyste.
Podać warunki, jakie muszą być spełnione, aby: a) pierwsza kula zatrzymała się, b) druga kula zatrzymała się, c) nastąpiła zmiana zwrotu prędkości każdej z kul.
IVA.4) Dwie kule o masach m 1 = 0 , 2 kg i m 2 = 0 , 8 kg, zawieszone na równoległych niciach o długości l = 2 m każda, stykają się ze sobą. Mniejsza kula została odchylona o kąt 90 ◦ z położenia równowagi i puszczona swobodnie.
Znaleźć prędkość kul po zderzeniu zakładając, że było ono: a) doskonale sprę-
żyste, b) doskonale niesprężyste. Jaka część energii początkowej zamieni się na ciepło w przypadku zderzenia doskonale niesprężystego? Przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
IVA.5) Dwie kule zawieszono na cienkich równoległych niciach tak, że styka-
ły się ze sobą. Mniejszą kulę odchylono od poziomu zawieszenia i puszczono swobodnie. Po zderzeniu kule wzniosły się na jednakową wysokość. Znaleźć masę mniejszej kuli, jeżeli masa większej kuli była równa M = 0 , 6 kg, a zderzenie było doskonale sprężyste.
IVA.6) Cząstka o masie m = 1 g i prędkości v = 10 m/s zderza się spręży-
ście z nieruchomą cząstką o masie M = 5 g. Po zderzeniu pierwsza cząstka porusza się pod kątem 90 ◦ względem pierwotnego kierunku. Oblicz prędkość i kierunek drugiej cząstki po zderzeniu.
1
IVA.7) Poruszająca się z prędkością v cząstka o masie m wpada na spoczywającą cząstką o masie m/ 2 i w wyniku zderzenia sprężystego odbija się od niej pod kątem α = 30 ◦ względem początkowego kierunku ruchu. Z jaką prędkością zacznie się poruszać druga cząstka?
IVA.8) Kulkę z plasteliny wyrzucono pionowo do góry z prędkością początkową v 0 = 12 m/s. Równocześnie taka sama kulka zaczęła spadać swobodnie z wysokości H = 6 m. Kulki zderzają się centralnie, doskonale niesprężyście.
Jaka jest prędkość kulek bezpośrednio po zderzeniu? Przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
IVA.9) Dwa ciała o jednakowych masach m = 4 kg, poruszające się po płaszczyźnie poziomej wzdłuż tej samej prostej, zderzają się doskonale niesprężyście. Prędkości ciał mają zwroty przeciwne a ich wartości tuż przed zderzeniem wynoszą v 1 = 3 m/s i v 2 = 8 m/s. Oblicz ilość ciepła wydzielone-go podczas zderzenia oraz drogę, jaką przebędą ciała do chwili zatrzymania się. Współczynnik tarcia o podłoże f = 0 , 1, przyspieszenie ziemskie g = 10
m/s2.
IVA.10) Na sznurku o długości l wisi drewniany klocek o masie M. O jaki kąt odchyli się sznurek, jeżeli klocek zostanie trafiony poziomo wystrzelonym pociskiem o masie m ≪ M i prędkości v? Masę sznurka pominąć, pocisk pozostaje w klocku. Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
IVA.11) Pocisk o masie m = 0 , 02 kg lecący poziomo przebija drewniany klocek o masie M = 2 kg, zawieszony na cienkiej i nierozciągliwej nici o dłu-gości l = 1 m. Wskutek tego nić z klockiem odchyliła się o kąt ϕ = 15 ◦, a prędkość pocisku zmalała z v 1 = 100 m/s do v 2 = 80 m/s. Obliczyć ciepło wydzielone podczas zderzenia. Przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
IVA.12) Stalowa kulka spada pionowo z wysokości h 0 = 20 m z prędkością początkową v 0 = 4 m/s i po uderzeniu o podłoże odbija się na wysokość h = 4 m. O ile wzrośnie temperatura kulki, jeżeli p = 60% traconej energii mechanicznej zostaje zużyte na ogrzanie kulki? Ciepło właściwe stali cw =
450 J/kg · K, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
2
Odpowiedzi
IVA.1) m 1( v 1 − v′ 1) = m 2( v′ 2 − v 2), v 1 + v′ 1 = v 2 + v′ 2.
IVA.2) a) ∆ Ek 1 =
4 m/M
, b) ∆ Ek =
1
.
Ek 1
(1+ m/M )2
Ek
1+ m/M
IVA.3) a) m 1 = 3 m 2, b) m 1 = m 2 / 3, c) m 2 / 3 < m 1 < 3 m 2.
√
√
IVA.4) a) v′ 1 = m 1 −m 2 2 gl =
2 gl = 2 , 53 m/s,
m
− 3 , 79 m/s, v′ 2 = 2 m 1
1 + m 2
m 1+ m 2
√
b) v′ =
m 1
2 gl = 1 , 27 m/s, Q =
m 2
= 0 , 8.
m 1+ m 2
Ep 1
m 1+ m 2
IVA.5) m = M/ 3 = 0 , 2 kg.
q
q
IVA.6) u′ =
2
mv = 2 , 58 m/s, α = arc cos
m+ M = 39 ◦ 14 ′.
( m+ M ) M
2 M
IVA.7) u′ = 2
√ v, β = α.
3
IVA.8) v′ = v 0
gH = 1 m/s.
2 − v 0
IVA.9) Q = m ( v
= 3 , 125 m.
4
1 + v 2)2 = 121 J, s = ( v 2 −v 1)2
8 f g
IVA.10) ϕ = arc cos 1 − m 2 v 2 .
2 M 2 gl
m( v 2
)
IVA.11) Q =
1 −v 2
2
2
− Mgl (1 − cos ϕ) = 35 , 3 J.
h
i
IVA.12) ∆ t = p g ( h
= 0 , 224 K.
c
0 − h) + v 20
w
2
Wzory
1. Pęd ciała:
~p = m~v
2. Zderzenie doskonale sprężyste (rys. 1)
Spełniona jest zasada zachowania pędu:
~p 1 + ~p 2 = ~p ′ 1 + ~p ′ 2
(1)
i zasada zachowania energii mechanicznej:
Ek 1 + Ek 2 = E′k 1 + E′k 2
(2)
3. Zderzenie doskonale niesprężyste (rys. 2)
Spełniona jest tylko zasada zachowania pędu — wzór (1)
3
1 ,
k1
p E
1,
k1
p ' E '
2 ,
k2
p E
2,
k2
Rysunek 1:
E ' < E +E
k
k1
k2
p E
1,
k1
p ' E '
,
k
p E
2,
k2
Rysunek 2:
4