Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

Imi i Nazwisko: . Grupa: Zad. 1. Obowi zuje zasada oprocentowania prostego. Wyznacz warto procentu nale nego od kwoty 10 000

zł za okres od 28 lipca do 3 pa dziernika, je eli stopa procentowa wynosi 10%, a czas liczony jest zgodnie z reguł dokładn .

a) 178,08

b) 180,56

c) 183,56

d) 186,11

Zad. 2. Kredyt w wysoko ci 18 000 zł jest spłacany w półrocznych stałych ł cznych ratach. Jaka jest warto zadłu enia po spłacie 8 raty, je eli ustalono j na wysoko ci 2 500 zł, a i (2) = 15%.

a) 5 951,67

b) 5 986,67

c) 5 999,67

d) adna z powy szych

Zad. 3. Dla wskazanego projektu znajd MIRR, je eli rynkowa stopa procentowa wynosi 4%

Rok

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Projekt A

- 9

- 2

- 2

- 2

- 2

5

5

5

5

5

5

a) MIRR < 7 %

b) MIRR ∈ (7 %; 8 %)

c) MIRR ∈ (8 %; 9 %)

d) MIRR > 9 %

Zad. 4. Jakie jest maksymalne oprocentowanie kredytów, przy którym kupiec zapłaci za towar gotówk , je eli termin płatno ci przypada za 45 dni, a oferowane przez hurtownika skonto (rabat) w przypadku natychmiastowego uregulowania nale no ci wynosi 1%. Rok ma 365 dni.

a) 8 %

b) 10 %

c) 14 %

d) 18 %

Zad. 5. Dane s : akcje spółki A o E(RA) = 13% i A = 18% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15% i B = 20%.

Wyznacz struktur portfela składaj cego si z akcji spółek A i B, który charakteryzuje si oczekiwan stop zwrotu na poziomie 15%, je eli AB = -1.

a) wA < 0,3

b) wA = 0,5

c) wA > 0,7

d) adna z powy szych

Zad. 6. Kredyt w wysoko ci 29 000 zł ma zosta spłacony w 31 miesi cznych stałych ratach kapitałowych.

Wyznacz wysoko odsetek płaconych w 29 racie, je eli i (12) = 18 %.

a) 40,00

b) 41,21

c) 42,10

d) adna z powy szych

Zad. 7. Jak kwot otrzyma posiadacz 4 miesi cznego weksla o sumie wekslowej w wysoko ci 10 000 zł, je eli przedstawi go do dyskonta na 2 miesi ce przed terminem wykupu, a stopa dyskontowa wynosi 8%?

a) 9 866,67

b) 9 900,00

c) 9 925,00

d) adna z powy szych

Zad. 8. Dane s : akcje spółki A o E(RA) = 13% i A = 18% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15% i B = 20%.

Wyznacz struktur portfela składaj cego si z akcji spółek A i B, który charakteryzuje si zerowym ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym, je eli AB = -1.

a) wA < 0,40

b) wA = 0,50

c) wA > 0,85

d) adna z powy szych

Zad. 9. Bank nabył na przetargu 28-dniowy bon pieni ny płac c za niego 9 940 zł, Jak stop zwrotu osi gn ł

bank, je eli sprzedał ten bon po 17 dniach przy rentowno ci na poziomie 12%? Rok ma 360 dni.

a) 4,83 %

b) 5,00 %

c) 5,25 %

d) adna z powy szych

Zad. 10. Wyznacz redni roczn stop dyskontow , je eli kapitał przez pierwsze 6 lat był oprocentowany stop kapitalizowan miesi cznie w wysoko ci 14%, przez kolejne 5 lat stop dyskontow kapitalizowan w okresie pi cioletnim w wysoko ci 9%, a przez ostatnie 3 lata intensywno ci oprocentowania w wysoko ci 10%.

a) 11,22%

b) 11,64%

c) 11,99%

d) adna z powy szych

Zad. 11. Wyznacz efektywn 12 miesi czn stop procentow , je eli 11 miesi czna bazowa stopa procentowa kapitalizowana w okresie 10 miesi cznym wynosi 10%.

a) 11,01 %

b) 11,48 %

c) 11,86 %

d) adna z powy szych

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

Zad. 12. Wyznacz nominaln stop procentow kapitalizowan w okresie kwartału, dla której realna stopa procentowa wynosi 9%, przy inflacji równej 6%.

a) 14,31 %

b) 14,53 %

c) 14,71 %

d) adna z powy szych

Zad. 13. Dany jest portfel składaj cy si w 62% z akcji spółki A i w 38% z akcji spółki B. Je eli E(RA) = 8%, A = 11%, E(RB) = 15%, B = 23%, a AB = -0,55, to E(RP) i P wynosz : a) E(RP) = 10% P = 8%

b) E(RP) = 11% P = 10%

c) E(RP) = 11% P = 8%

d) E(RP) = 10% P = 10%

Zad. 14. Wyznacz warto akcji spółki Beta, je eli w poprzednim roku wypłaciła 3 zł dywidendy na akcj , a oczekiwana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 9%. Tempo rozwoju spółki pozwala oczekiwa , e dywidenda b dzie rosła o 4% rocznie.

a) 61

b) 62

c) 63

d) adna z powy szych

Zad. 15. Wska prawidłow odpowied , je eli i = 7%.

Rok

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Projekt A

- 13

0

0

0

0

3

3

3

3

3

3

Projekt B

- 9

0

0

0

3

3

3

3

3

3

3

a) NPVA > NPVB

b) NPVA > -1,50

c) NPVB > 2,10

d) adna z powy szych

Zad. 16. Dla jakiej nominalnej stopy dyskontowej kapitalizowanej w okresie sze cioletnim warto kapitału wzro nie siedmiokrotnie w okresie czternastu lat.

a) 9,43 %

b) 9,79 %

c) 10,26 %

d) adna z powy szych

Zad. 17. Dana jest 5-letnia obligacja o nominale 1 000 zł, kuponie płatnym rocznie w wysoko ci 6%. Je eli rentowno jest na poziomie 5%, a do wykupu pozostały 4 lata, to ryzyko mierzone czasem trwania D

(Duration) wynosi:

a) 3,55

b) 3,61

c) 3,68

d) adna z powy szych

Zad. 18. Dla wskazanego projektu oszacuj IRR:

Rok

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Projekt A

- 10

- 2

- 2

- 2

- 2

5

5

5

5

5

5

a) IRR < 5 %

b) IRR ∈ (7 %; 9 %)

c) IRR ∈ (9 %; 11 %)

d) IRR > 11 %

Zad. 19. Obowi zuje zasada oprocentowania prostego. Dane s trzy kapitały KA = 24 000 dany na 1-1-2006, KB = 17 000 dany na 1-1-2002 oraz KC = 19 000 dany na 1-1-2004. Porównaj kapitały na dzie 1-1-2000 i zaznacz prawidłow odpowied , je eli i = 10 %.

a) KA > KC > KB

b) KA > KB > KC

c) KB > KA > KC

d) adna z powy szych

Zad. 20. Przez ile lat na pocz tku ka dego półrocza mo esz pobiera z funduszu o warto ci pocz tkowej w wysoko ci 190 000 zł kwot 15 000 zł, je eli i (4) = 9%? Obliczenia przeprowad dla modelu wykładniczego.

a) 8,33

b) 8,71

c) 9,00

d) adna z powy szych

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

Rozwi zania zada

1. Warto procentu prostego, zgodnie z reguł dokładn , wyznaczamy jako 67

10000 ⋅ 1

,

0 ⋅

≈183 5

, 6.

365

2. Warto zadłu enia Pj po spłacie j-tej raty wyra a si wzorem j

+

−

1

(

)

1

P = P ⋅ 1 +

− ⋅

j

( i) j

i

R

i

gdzie:

i – oprocentowanie kredytu,

R – warto stałej ł cznej raty,

P – wysoko zaci gni tego kredytu.

St d

8

1

,

0 5

+

−

8

1

1

1

,

0 5

2

P = 18000 ⋅ 1 +

− 2500 ⋅

≈ 598 ,

6 6 .

7

8

2

1

,

0 5

2

3. Stop MIRR wyznaczamy z równania

4

−

6

1− 1

( + 0

,

0

)

4

1

( + 0

,

0

)

4 −1

1

9 + 2⋅

= 5⋅

⋅

10

0

,

0 4

0

,

0 4

1

( + MIR )

R

otrzymuj c

,

1

( 0 )

4 6 −1

5 ⋅

,

0 04

MIRR =

−1 ≈ 7 3

, 9%

10

1 −

0

,

1

(

4)−4

9 + 2 ⋅

0

,

0 4

4. Wyznaczamy stop oprocentowania kredytów i k, przy której dla kupca oboj tne jest, czy zapłaci za towar natychmiast gotówk (pochodz c z kredytu) i jednocze nie skorzysta ze skonta, czy nie skorzysta ze skonta i zapłaci dopiero w terminie płatno ci przypadaj cym za t dni.

Wykorzystuj c zale no

t

1 = 1

( − s) ⋅ 1+ i

,

k ⋅ 365

gdzie:

s – wysoko oferowanego skonta w %,

ik – stopa oprocentowania kredytów,

t – okres kredytowania w dniach,

mamy

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

45

1 = 1

( − 0

,

0

)

1 ⋅ 1 + i

k ⋅

,

365

sk d i k 8,19 %, i tym samym maksymalne oprocentowanie kredytów spo ród podanych, przy którym kupiec zaci gnie kredyt i skorzysta ze skonta wynosi 8%.

5. Z przedstawionych w zadaniu danych wynika natychmiast, e portfel składaj cy si tylko z akcji spółki B

(a wi c wA=0) czyni zado wymaganemu warunkowi.

6. Warto odsetek O j płaconych w j-tej racie, w przypadku kredytu spłacanego w równych ratach kapitałowych, wyra a si wzorem

j − 1

O

j = i ⋅ P ⋅ 1 −

,

n

gdzie:

i – oprocentowanie kredytu,

n – liczba wszystkich rat, w których kredyt ma zosta spłacony,

P – wysoko zaci gni tego kredytu.

Zatem

1

,

0 8

29 −1

O

=

⋅ 29000 ⋅ 1−

≈ 42 1

, .

29

12

31

7. Posiadacz weksla otrzyma kwot w wysoko ci

2

10000 ⋅ 1 − 0

,

0 8 ⋅

≈ 986 ,

6 6 .

7

12

8. Rozwi zuj c układ równa

2

σ

w σ

w σ

w w σ σ ρ

P = (

A

A )2 + (

B

B )2 + 2

,

A

B

A

B

AB

w

w

A +

B = 1

z danymi σP =0%, σA=18%, σB =20%, ρAB = −1, otrzymujemy

w

w

A ≈

5

,

0

,

3

B ≈

,

0 4 .

7

9. Roczna stopa zwrotu i z wynosi

W − 9940 360

i =

B

z

⋅

,

9940

17

gdzie liczba W B, oznaczaj ca cen po której bank sprzedał bon na rynku wtórnym, jest równa

10000

W

B =

≈ 996 ,34 .

7

11

1 + 1

,

0 2 ⋅ 360

St d i z ≈ 5%.

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

10. redni roczn stop dyskontow d sr wyznaczamy z równania 5

12 6

⋅

−

1

,

0 4

5

⋅

−

1 +

⋅ 1− ,

0 09 ⋅ 5

0 1

, 3

⋅ e

= (1− d

sr ) 14 ,

12

otrzymuj c d sr ≈ 11,64 %.

11. Efektywn 12 miesi czn stop procentow i wyznaczamy z równania

12

10

10

1 + i = 1 + 1

,

0 ⋅

11

otrzymuj c i ≈ 11,01%.

12. Wykorzystuj c zale no ci

4

( 4)

1 + i

i

1+ i =

,

1

r

+ i = 1 +

1 + i

4

i

mamy

4

( 4)

i

1 + 4

1 + 0,09 =

1 + 0,06

sk d i(4) ≈ 14,71%.

13. Podstawiaj c do równa

E( R

= w E R + w E R

P )

A

( A) B ( ),

B

σ = w σ 2 + w σ 2 + 2 w w σ σ ρ

P

( A A) ( B B )

A

B

A

B

AB

dane wynikaj ce z warunków zadania (wA = 0,62, wB = 0,38, E(RA) = 8%, E(RB) = 15%, A = 11%, B =

23%, AB = -0,55), otrzymujemy

E(R

≈

P) ≈ 11%, σP 8%.

14. Warto akcji W A wyznaczamy z formuły Gordona

D ⋅ (1 + g)

W =

.

A

r − g

Uwzgl dniaj c dane D = 3, r = 9%, g = 4% otrzymujemy W ≈

A 62.

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

15. W przypadku badanego rozkładu płatno ci NPV wyra a si jako 1 − 1

( + i) − n

1

NPV = I + R ⋅

⋅

,

i

1

( + i) t− n

gdzie:

I – wydatki inicjuj ce,

R – przepływy generowane przez projekt w kolejnych latach,

n – liczba przepływów o stałej warto ci,

t – liczba lat przez które projekt jest realizowany.

Zatem

1 −

0

,

1

(

7) 6

−

1

NPVA = −13 + 3 ⋅

⋅

≈ − 0

,

2

,

9

,

0 07

0

,

1

(

7) 4

1 −

0

,

1

(

7)−7

1

NPVB = −9 + 3 ⋅

⋅

≈ ,

4 2 .

0

0

,

0 7

,

1

( 07)3

16. Stop d(6) wyznaczamy z równania

−14

6

7 = 1 − 6 ⋅ d

,

(6)

otrzymuj c d(6) ≈ 9,43%.

17. Duration D wyra a si wzorem

n

c ⋅ t

n ⋅ M

+

t

n

+

+

t 1

1

(

i )

(1 i)

D = =

,

W O

gdzie:

c – kupon płatny co roku,

n – liczba lat do wykupu obligacji,

M – nominał obligacji,

Wo – warto obligacji,

i – rynkowa stopa procentowa.

Z kolei

1− 1

( + i)− n

M

W = c ⋅

+

O

i

( + i) .

1

n

Zatem

1 − 1

( +

−4

0

,

0

)

5

1000

W = 60

1035,46

O

⋅

+

≈

4

0

,

0 5

0

,

1 5

i ostatecznie

Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV

1⋅ 60

2 ⋅ 60

3 ⋅ 60

4 ⋅ 60

4 ⋅1000

+

+

+

+

,

1 05

,

1 052

,

1 053

,

1 054

,

1 054

D ≈

≈ ,

3 68.

103 ,

5 46

18. IRR to wewn trzna stopa zwrotu jednoznacznie okre lona przez równanie NPV( IRR)=0, gdzie

1 − 1

( + i) 4

−

1 − 1

( + i) 6

−

1

NPV ( i) = −10 − 2 ⋅

+ 5⋅

⋅

.

i

i

1

( + i)4

Poniewa NPV(7%) > 0 oraz NPV(9%) < 0, wi c z własno ci Darboux funkcji NPV wnosimy, e 7% < IRR

< 9%.

19. Zaktualizowane warto ci kapitałów K A, K B, K C na dzie 01.01.2000 wynosz odpowiednio

24000⋅(1+6⋅0,1)-1 =15000,

17000⋅(1+2⋅0,1)-1 ≈ 14167,

19000⋅(1+4⋅0,1) –1 ≈ 13571.

20. Stop i(2) wyznaczamy z równania

2

4

(2)

,

0 09

1 + i

= 1+

,

2

4

otrzymuj c w przybli eniu 0,0910125.

Wzór

− + i − n t⋅

(0)

1

1

(

)

R

= R ⋅

⋅ (1+ i),

i

gdzie n oznacza liczb płatno ci w ci gu roku, za t liczb lat dokonywania płatno ci, daje równanie 2

− t

(2)

i

1 − 1 + 2

(2)

i

190000 = 15000 ⋅

⋅ 1+

,

(2)

i

2

2

z którego wyznaczamy ostatecznie t ≈ 9 lat.