Rozwiązanie zadań z kolokwium z dn. 3.01.2013 r.
z PODSTAW METROLOGII na kierunku MECHATRONIKA Zadanie 1
Podczas pomiaru przyspieszenia a samochodu, poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym, zmierzono czas przebycia przez niego drogi s=100 m. Wynik pomiaru czasu wynosił t =10 s, a niepewność standardowa pomiaru tego czasu u( t) = 0,01 s. Natomiast niepewność standardowa pomiaru drogi u( s) = 0,1 m.
Obliczyć:
1) przyspieszenie a samochodu,
2) niepewność standardową tego przyspieszenia.
Zapisać wynik pomiaru tego przyspieszenia z niepewnością standardową.
ROZWIĄZANIE
Z fizyki szkoły średniej wiadomo, że droga s przebyta przez ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie t określona jest zależnością: 2
at
s =
,
2
w której a jest przyspieszeniem. Stąd przyspieszenie 2 s
2 ⋅100 0
, m
a =
=
= 2 0
, 00 m s .
2
t
10,002 s2
Obliczenie niepewności standardowej pomiaru przyspieszenia Sposób I
Pomiary czasu i drogi są tu wykonywane niezależnie i nie ma korelacji między wartościami tych wielkościami, zatem niepewność standardową pomiaru przyspieszenia można wyznaczyć ze wzoru:
u( a) = c 2 u 2
2
2
+
,
s
( s) c u
t
( t)
gdzie u( s) i u( t) są niepewnościami standardowymi drogi i czasu podanymi w zadaniu, natomiast cs i ct są współczynnikami wrażliwości, czyli pochodnymi cząstkowymi odpowiednio po drodze i czasie, czyli:
a
∂
2
2
-2
c =
=
=
= 0 0
, 2 s ,
s
2
2
2
s
∂
t
10 s
a
∂
4 s
4 ⋅100 m
3
c =
= −
=
= 0 4
, m s .
t
3
3
3
t
∂
t
10 s
Zatem niepewność standardowa przyspieszenia
u( a)
2
−
m
2
4
2
2
2
2
2
2
2
= 0 0
, 2 s
⋅01 , m + 0 4
,
⋅0 0
, 1 s = 0 0
, 045 m s ≅ 0 0
, 05 m s .
6
s
Zapis wyniku pomiaru przyspieszenia z niepewnością standardową: a = (2 0
, 00 ± 0 0
, 05)
2
m s .
Sposób II
Osoby które nie umieją obliczać pochodnych mogły skorzystać ze wzoru (7.36), zamieszczonego w mojej książce „Niepewność pomiarów”, na niepewność względną dla
przypadku, kiedy mierzoną wartość oblicza się ze wzoru (7.35), czyli w naszym przypadku na przyspieszenie:
2
a
2 −
= st .
Zgodnie ze wzorem (7.36)względna niepewność standardowa przyspieszenia: (
w a) u( a)
=
= w 2( s)+ (− 2)2 w 2( t) , a
gdzie: w( s) i w( t) są niepewnościami względnymi odpowiednio drogi i czasu, które wynoszą: (
w s) u( s)
0 1
, m
−3
=
=
=1⋅10 ,
s
100 m
(
w t ) u( t)
0 0
, 1 s
−3
=
=
=1⋅10 .
t
10 s
Zatem
(
w a)
2
6
−
2
6
−
3
= 1 ⋅10 + 4⋅1 ⋅10 = 2 2
, 4 ⋅10− ,
a niepewność standardowa bezwzględna pomiaru przyspieszenia u( a) = a ⋅ (
w a)
2
3
−
2
2
= 2m s ⋅2 2
, 4 ⋅10 = 0 0
, 045m s ≅ 0 0
, 05m s .
Otrzymaliśmy wynik identyczny jak sposobem I, co potwierdza poprawność obliczeń.
Zapis wyniku pomiaru będzie więc identyczny jak w sposobie I.
Zadanie 2
W celu wyznaczenia gęstości materiału nienasiakliwego ρ [kg/dm3] nalano do menzurki wody do objętości V 1=0,500 dm3 i zważono otrzymując wynik m 1 = 0,502 kg. Następnie włożono do niej badany materiał, który całkowicie zanurzył się w wodzie. Poziom wody w menzurce wzrósł do V 2 = 0,734 dm3, a masa wzrosła do m 2 = 1,111 kg.
Błąd graniczny wycechowania menzurki ∆ gV = ±0,005 dm3, a błąd graniczny wagi ∆ gm = ±0,002 kg
Obliczyć:
1) gęstość badanego materiału [kg/dm3] ,
2) niepewność bezwzględną standardową tej gęstości, 3) niepewność rozszerzoną tej gęstości na poziomie ufności 0,95 zakładając rozkład normalny.
Zapisać wynik pomiaru gęstości materiału z niepewnością rozszerzoną.
ROZWIĄZANIE
Sposób I
Gęstość materiału (masa właściwa)
m
m − m
11
, 11 kg − 0,502 kg
0 6
, 09 kg
2
1
3
ρ = =
=
=
= 2 6
, 026 kg dm .
3
3
3
V
V − V
0,734 dm − 0 5
, 00 dm
0,234 dm
2
1
Niepewność standardowa pomiaru masy
∆
u(
m
g
,
m = u m =
=
= ,
.
1 )
( 2)
0 002 kg
0 00116 kg
3
1 7
, 3
Niepewność standardowa pomiaru objętości
∆
u(
V
g
0 0
, 05 dm
V = u V =
=
= 0 0
, 0289 dm .
1 )
( 2)
3
3
3
1 7
, 3
Pomiary masy i objętości wykonywane są niezależnie i wartości tych wielkości nie są ze sobą skorelowane, zatem niepewność standardowa pomiaru gęstości materiału oblicza się ze wzoru:
u(ρ )
2
2
= c u m + c u m + c u V + c u V , 1
m
( 1) 2 2
m 2
( 2) 2 2
V 1
( 1) 2 V 2 ( 2)
w którym współczynniki wrażliwości są pochodnymi cząstkowymi, które wynoszą:
∂
1
1
3
-
c
= ρ = −
= −
= 4
− 2
, 7 dm ,
1
m
3
3
m
∂
V − V
0 7
, 34 dm − 500 dm
1
2
1
∂
1
1
-3
c
= ρ =
=
= 4 2
, 7 dm ,
m 2
3
3
m
∂
V − V
0 7
, 34 dm − 500 dm
2
2
1
∂ρ
m − m
11
, 11 kg − 0,502 kg
2
1
-
c
,
V
=
=
=
=111 , kg ⋅dm
1
∂ V
V − V
−
1
( 2
)2
1
(
3
0,734 dm
0 5
, 00 dm )
6
2
3
∂ρ
m − m
11
, 11 kg − 0,502 kg
2
1
-
c
.
V
=
= −
= −
= 1
− 11 , kg ⋅dm
2
∂ V
V − V
−
2
( 2
)2
1
(
3
0,734 dm
0 5
, 00 dm )
6
2
3
Współczynniki wrażliwości cm 1 i cm 2 są równe co do bezwzględnej wartości, podobnie bezwzględna wartość c
= c . Zatem niepewność standardowa pomiaru gęstości materiału V 1
V 2
u( ) = 2(4 2
, 7 dm−
ρ
⋅0 0
, 0116 kg)2
3
+ 2(
−6
111
, kg ⋅ dm ⋅ 0 0
, 0289 dm )2
3
3
= 0 0
, 46 kg dm .
Niepewność rozszerzona pomiaru gęstości materiału U (ρ ) = k ⋅ u ρ = ⋅
=
.
p
( )
3
3
2 0 0
, 46 kg dm
0 0
, 92 kg dm
Zapis wyniku z niepewnością rozszerzoną na poziomie ufności 0,95: ρ = (2,603 ± 0,092) kg/dm3,
Sposób II
Ponieważ
m
0 6
, 09 kg
3
ρ = =
= 2 6
, 026 kg m ,
3
V
0 2
, 34 dm
gdzie: m = m − m = 0 6
, 09 kg oraz
3
V = V − V = 0 2
, 34 dm ,
2
1
2
1
to najpierw możemy obliczyć niepewności standardowe dla m i V, a więc u( m)
2
= u ( m ) 2
+ u m =
⋅ ,
= ,
= ,
,
2
( 1) 2 (0 00116 kg)2 0 00116 2 kg 0 00164 kg
u( V )
2
= u ( V ) 2
+ u V = 2⋅ 0 0
, 0289 dm
= 0 0
, 0289 2 dm = 0 0
, 0409 dm .
2
( 1)
(
)23
3
3
Niepewność pomiaru gęstości materiału można obliczyć ze wzoru: u(ρ ) = c 2 u 2
2
2
+
,
m
( m) c u
V
( V )
w którym współczynniki wrażliwości
∂ρ
1
1
-3
c =
=
=
= 4 2
, 7 dm ,
m
3
m
∂
V
0 2
, 34 dm
∂ρ
m
0,609 kg
c
V
=
= −
=
=111 , kg ⋅dm
1
2
∂ V
V
(0,234dm )
-6
2
3
u( ) = (4 2
, 7 dm−
ρ
⋅0 0
, 0164 kg)2
3
+ (
−6
111
, kg ⋅ dm ⋅ 0 0
, 0409 dm )2
3
3
= 0 0
, 46 kg dm .
Otrzymaliśmy więc w prostszy sposób taki sam wynik niepewności standardowej gęstości materiału jak sposobem I. Obliczenie niepewności rozszerzonej i zapis wyniku pomiaru są takie same jak w sposobie I.
Osoby które nie umieją liczyć pochodnych mogą skorzystać ze wzoru (7.43) w mojej książce „Podstawy metrologii”, według którego niepewność standardowa 2
2
2
2
+
u(ρ )
V u ( m) m u ( V )
=
=
4
V
(
.
0,234 dm )2
3
(0 0 , 0164kg)2 +(0,609kg)2(00 , 0409dm )2
3
=
(
= ,
0,234 dm )
3
0 046 kg dm
4
3
Czyli uzyskaliśmy tę samą wartość niepewności standardowej gęstości materiału.
Sposób IV
Jeżeli funkcja jest iloczynem wielkości (tak jak w naszym przypadku), to zgodnie ze wzorem (7.43) w mojej książce „Podstawy metrologii”, niepewność względna standardowa (
ρ
w ρ ) u( )
=
= w 2( m)+ w 2( V ) ρ
,
gdzie w( m) i w( V) są niepewnościami względnymi, które wynoszą: (
w m) u( m)
0 0
, 0164 kg
=
100 =
100 = 0 2
, 69 % ,
m
0,609 kg
(
w V ) u( V )
0 0
, 0409 dm3
=
100 =
100 = 1 7
, 5 % .
V
0,234 d
m3
Zatem niepewność względna pomiaru gęstości materiału (
w ρ ) = 0 2
, 692 +1 7
, 52 = 1 7
, 7 % ,
a niepewność bezwzględna
ρ ⋅
⋅
u(ρ )
(
w
) 2 6 , 026 17 , 7
3
=
ρ =
= 0 0
, 46 kg dm .
100
100
Uzyskaliśmy wynik niepewności standardowej taki sam jak i sposobem I, II i III bez konieczności obliczania pochodnych.
Prof. dr hab. inż . Michał Lisowski