AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe
1
§ 1.
Przestrzenie liniowe
Klasyczna analiza matematyczna to ”punktowy” sposób pa-
trzenia na funkcje. Analiza funkcjonalna (AF) traktuje funkcje ca-lościowo jako wektory odpowiednio dobranej przestrzeni liniowej, np. C([a, b]) - p. liniowa funkcji ciag lych na [a, b], C2((a, b)) - p.
‘
liniowa funkcji z ciag la 2-ga pochodna na (a, b)). Odwzorowania
‘ ‘
‘
‘
na funkcjach (wektorach) nazywane sa w AF operatorami.
‘
Przyk lady
(a) Uk lad równań liniowych: 2x − 3y = 1, 2x + 2y = 3, możemy zapisać w postaci równania operatorowego. Macierz
2 −3
A = 2 2
określa operator A : R2 → R2 wzorem A([x, y]) = A · [x, y] =
[2x − 3y, 2x + 2y]. Uk lad równań ma teraz postać operatorowa:‘
A(u) = v, gdzie v = [1, 3].
(b) Równanie różniczkowe: u′′(t) + 2tu′(t) = v(t), gdzie v ∈
C((a, b)) także można zapisać w postaci operatorowej. Wzór
A(u)(t) = u′′(t) + 2tu′(t), u ∈ C2((a, b)),
określa operator (różniczkowy) z A : C2((a, b)) → C((a, b)) a r.r.
ma teraz postać operatorowa: A(u) = v.
‘
(c) Równanie ca lkowe u(x) − R 1 k(x, y)u(y) dy = v(x), gdzie k i 0
v sa cig le, także można zapisać w postaci operatorowej A(u) = v
‘
definiujac operator (ca lkowy) A : C([0, 1]) → C([0, 1]) wzorem
‘
A(u)(x) = u(x) − R 1 k(x, y)u(y) dy.
0
Przypomnienie. Przestrzenia liniowa (wektorowa) nazywamy
‘
‘
‘
niepusty zbiór X z dzia laniami: x + y i λx, x, y ∈ X, λ ∈ R, oraz wektorem zerowym 0 o w lasnościach: x + y = y + x, x + (y + z) =
(x + y) + z, ∀x ∈ X∃ − x ∈ X x + 0 = x, x + (−x) = 0, 1x = x, λ(x + y) = λx + λy, λ1(λ2x) = (λ1λ2)x, (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x.
Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami.
AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe
2
W przestrzeniach liniowych mamy: x + y = x + z ⇒ y = z
prawo skracania; 0x = 0; −x jest jedyny; (−1)x = −x.
Przyk lady przestrzeni liniowych
(a) Rk, k = 1, 2, . . . przestrzenie euklidesowe.
(b) s zbiór wszystkich ciagów liczb rzeczywistych,
‘
s = {(tk) : tk ∈ R, k = 1, 2, . . . },
(tk) + (sk) = (tk + sk), λ(tk) = (λtk), 0 = (0, 0, . . . ).
(c) RE zbiór wszystkich funkcji x : E → R,
(x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t), 0(t) = 0, t ∈ E.
RN = s. R[a,b] zbiór wsz. funkcji x : [a, b] → R. R{1,2} = R2.
(d) X × Y , gdy X i Y sa p.liniowymi.
‘
(e) Każdy zbiór 1-elementowy: {0} - przestrzeń zerowa.
Podprzestrzenie liniowe
Niepusty zbiór Y nazywamy podprzestrzenia liniowa przestrzeni
‘
‘
liniowej X, jeśli: 1) Y ⊂ X, 2) x, y ∈ Y ⇒ x + y ∈ Y , 3) x ∈ Y , λ ∈ R ⇒ λx ∈ Y . Każda podprzestrzeń liniowa jest przestrzenia‘
liniowa. W szczególności, 0 ∈ X jest także zerem przestrzeni Y .
‘
Przyk lady. Każda prosta y = ax, a ∈ R, jest podprzestrzenia‘
liniowa przestrzeni R2. Prosta x = 0 jest także podprzestrze-
‘
nia liniowa w R2. Prosta y = 1 nie jest podprzestrzenia liniowa
‘
‘
‘
‘
przestrzeni R2 ale jest przestrzenia liniowa, gdy przyjmiemy:
‘
‘
(x1, 1) + (x2, 1) = (x1 + x2, 1), λ(x, 1) = (λx, 1), 0 = (0, 1).
Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni s sa zbiory:
‘
l∞
zb. wsz. ciagów ograniczonych liczb rzeczywistych,
‘
(tk) ∈ l∞ ⇔ ∃M > 0 ∀k |tk| ≤ M .
c
zb. wsz. ciagów zbieżnych, (t
‘
k ) ∈ c
⇔ ∃t ∈ R tk → t.
c0
zb. wsz. ciagów zbieżnych do zera, (t
‘
k ) ∈ c0 ⇔ tk → 0.
lp
zb. wsz. ciagów bezwzgl. sumowalnych z p-ta potega,
‘
‘
‘ ‘
(tk) ∈ lp ⇔ P∞ |t
1
k |p < ∞, p > 0.
AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe
3
Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R[a,b] sa zbiory:
‘
C([a, b])
zb. wsz. funkcji ciag lych x : [a, b] → R.
‘
Ck((a, b)) zb. wsz. funkcji x : [a, b] → R k-krotnie różniczkowal-nych w sposób ciag ly.
‘
Przestrzenie ilorazowe
Niech X p.lin, Y ⊂ X podp.lin. Relacja: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ,
jest relacja równoważności w X. Przestrzeń ilorazowa
‘
X/Y = X/∼ = {[x] : x ∈ X}, gdzie [x] = {y ∈ X : x ∼ y},
jest przestrzenia liniowa z dzia laniami: [x] + [y] = [x + y], λ[x] =
‘
‘
[λx] i zerem ˜
0 = [0] = Y .
Dowód. Relacja x ∼ y jest zwrotna, symetryczna i przechodnia: x ∼ x ⇔ x − x = 0 ∈ Y , x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ⇔ y − x ∈ Y ⇔
y ∼ x, x ∼ y ∧y ∼ z ⇒ x−y, y −z ∈ Y ⇒ x−y +y −z = x−z ∈ Y
⇒ x ∼ z. Definicje dzia lań sa poprawne (nie zależa od wyboru
‘
‘
reprezentantów klas abstrakcji). Niech bowiem x ∼ x′, y ∼ y′.
Należy pokazać, że [x] + [y] = [x′] + [y′] oraz λ[x] = λ[x′]. Mamy: x − x′ ∈ Y , y − y′ ∈ Y , x + y − x′ − y′ ∈ Y , [x + y] = [x′ + y′].
Zatem [x] + [y] = [x′] + [y′]. Podobnie otrzymujemy: x − x′ ∈ Y , λ(x − x′) ∈ Y . Stad: λ(x − x′) = λx − λx′ ∈ Y , [λx] = [λx′].
‘
Zatem λ[x] = λ[x′].
Pozostaje sprawdzić ( latwe), że dzia lania wektorowe i wektor zerowy spe lniaja aksjomaty p.lin., np.: [x]+[0] = [x+0] = [x].
‘
Uwaga. ˜
0 = {x ∈ X : x − 0 ∈ Y } = {x ∈ X : x ∈ Y } = Y .
Liniowa niezale żność wektorów
Wektory x1, . . . , xn ∈ X nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli λ1x1 + . . . + λnxn = 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0.
Zbiór {x1, . . . , xn} ⊂ X nazywamy wtedy liniowo niezależnym.
Dowolny P ⊂ X nazywamy liniowo niezależnym, jes li każdy skoń-
czony podzbiór zbioru P jest liniowo niezależny.
AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe
4
Przyk lady
(a) {e1, . . . , en} ⊂ Rn jest liniowo niezależny.
(b) Niech P = {(ak) : a ∈ (0, 1)}. Wtedy P ⊂ l1 i P jest liniowo niezależny.
Dowód. Dla a ∈ (0, 1) mamy P∞ ak < ∞. Zatem (ak) ∈ l1,
1
P ⊂ l1. Niech a1, . . . , an ∈ (0, 1), ai 6= aj dla i 6= j. Wystarczy pokazać, że wektory (ak1), . . . , (ak ) sa liniowo niezależne. Niech n
‘
λ1(ak1) + . . . + λn(ak ) = 0. Wtedy
n
λ1a1 + . . . + λnan = 0,
λ1a21 + . . . + λna2 = 0,
n
...
λ1an1 + . . . + λnan = 0,
n
...
Wystarczy ograniczyć sie do uk ladu n pierwszych równań.
‘
Wyznacznik g lówny tego uk ladu ma postać:
a1
. . .
a
n
a2
1
. . .
a2n =
. . .
an
1
. . .
ann
1
. . .
1
a
= a
1
. . .
an
1 . . . a
n
wyznacznik
. . .
an−1
1
. . .
an−1
n
Vandermonde’a
= a
Q
1 . . . an
(aj − ai) 6= 0.
1≤i<j≤n
Zatem
λ1 = 0, . . . , λn = 0.
AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe
5
Wymiar przestrzeni liniowej
W każdej przestrzeni liniowej X istnieje co najmniej jeden ma-ksymalny i liniowo niezależny podzbiór B. Wszystkie maksymalne i liniowo niezależne podzbiory w X sa równoliczne. Każdy z nich
‘
nazywamy baza Hamela przestrzeni X.
‘
B ⊂ X jest baza Hamela w X ⇔ każdy wektor x ∈ X ma
‘
jednoznaczne przedstawienie w postaci x = α1b1 + . . . + αnbn dla pewnego n ∈ N, pewnych b1, . . . , bn ∈ B i pewnych α1, . . . , αn ∈
R. Wymiarem przestrzeni liniowej X nazywamy moc dowolnej
bazy Hamela tej przestrzeni, tj., dim X = card B, B - dowolna baza Hamela w X.
Uwagi
1. Jeśli dim X < ∞, to X nazywamy p.skończenie wymiarowa.‘
Jeśli dim X ≥ ℵ0, to X nazywamy p.nieskończenie wymiarowa i
‘
piszemy dim X = ∞.
2. dim X = k < ∞ ⇔ X jest liniowo izomorficzna z Rk.
Przyk lady
(a) dim{0} = 0.
(b) dim R = 1, dim Rk = k.
(c) s0 = {(tk) ∈ s : tk = 0 dla p.w. k} jest p.liniowa. dim s
‘
0 =
ℵ0. Zatem dim s0 = ∞.
Dowód. Wektory e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, 0, . . . ), ... ∈ s0
sa liniowo niezależne. Stad dim s
‘
‘
0 = ∞. s0 ⊂ s.
(d) dim l1 = ∞.
Dowód. Niech P = {(ak) : a ∈ (0, 1)} ⊂ l1. P jest liniowo
niezależny oraz card (P ) = c > ℵ0. Stad dim l1 = ∞.
‘