Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha

Zadania na plusy

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 1

Zadanie 6

Dla jakich wartości α ∈ h0◦, 360◦i prawdziwe są na- Sprawdź parzystość funkcji: stępujące warunki:

a) f (x) = xtgx

a) sinα · cosα > 0

b) f (x) = xctgx

b) sinα · cosα = 0

c) f (x) = tgx

c) tgα · ctgα > 0

x

d) tgα · ctgα = 0

d) f (x) = ctgx

x

e) tgα > 1

e) f (x) = tgx + ctgx

√

f ) ctgα <

3

f ) f (x) = tgxctgx

g) tgα > ctgα

g) f (x) = tg3x

Zadanie 2

h) f (x) = cosx

Wyznacz kąt α ∈ h0◦, 360◦i, dla którego: tgx

a) tgα = 1 i cosα < 0

i) f (x) =

cosx

1+4tg2x

b) ctgα = −1 i cosα > 0

Zadanie 7

√

c) sinα =

2

i cosα < 0

Podaj zbiór wartości funkcji:

2

√

a) y = sinx + 1

d) cosα =

2

i sinα < 0

2

b) y = sinx − 3

e) sinα = 1 i tgα < 0

2 √

c) y = cosx − 1

f )

2

sinα = − 3 i ctgα > 0

2

d) y = −cosx

Zadanie 3

e) y = 3 − cosx

Ramię początkowe kąta α pokrywa się z dodatnią pół-

f ) y = −1 − sinx

osią OX. Podaj równanie prostej, w której zawiera się g) y = 2 − cos x + π

2

ramię końcowe kąta α, jeśli:

h) y = sin2x + 1

a) tgα = − 73

i) y = 1 − cos2x

b) ctgα = −3

Zadanie 8

c) sinα = 3 i cosα < 0

5

Zbadaj, które z określonych niżej funkcji są parzy-d) cosα = − 4 i sinα < 0

5

stymi, a które nieparzystymi:

Zadanie 4

a) y = sin2x

Dla danego równania oblicz sumę pierwiastków nale-b) y = tg x2

żących do przedziału h0, 6πi.

c) y = sin3x

a) sinx = 12

d) y = sinx + cosx

b) cosx = 12

e) y = xsinx

c) sinx = − 12

f ) y = xcosx

d) cosx = − 12

g) y = x2tgx

e) sinx = 0, 7

h) y = |1 + cosx|

f ) cosx = −0, 7

i) y = ctgx

Zadanie 5

x

j) y = tgx + ctgx

Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji f i g w k) y = tgxctgx

przedziale h0, 2πi?

l) y = tg3x

a) f (x) = sinx, g(x) = cosx

m) y = cosx

b)

tgx

f (x) = sinx,

g(x) = −sinx

n) y =

cosx

c) f (x) = sinx, g(x) = 2 − sinx 1+4tg2x

Zadanie 9

d) f (x) = cosx,

g(x) = 1 − sinx

Sporządź wykres funkcji dla x ∈ h−2π, 2πi.

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha

Zadania na plusy

a) y = −cos2x

k) cos22x + 4cos2x = 2

b) y = 2sin π

l) 2cos2x = sin2xtgx

3 − 2x

c) y = sinx + |sinx|

m) 2cos2x + 3 = 4cosx

d) y = |cosx|

n)

2

+ 1−tg2x = 2

cosx

1−tg2x

2

e) y = 2sinx · |cosx|

o) sin4x − cos4x = 1

f )

2

y = |sinx| + |cosx|

p) sin4x + cos4x = 1

Zadanie 10

r) 5sinx − 3 = 2

sinx

Naszkicuj wykres funkcji:

s) sin3x = 12sin2x

a) y = 1 − tg x − π

3

t) 2sin3x − sinxcosx − 3sinx = 0

b) y = tg x + π

6

− 1

u) 4sin3x − 4sin2x + 3sinx = 3

c) y = −ctg x + π

3

− 1

w) 2sin5x = 3sin3x − sinx

d) y = ctg π

v) cos4x + 2cos2x = 1

6 − x + 1

Zadanie 11

x) sin3x − sinx = sin2x

Rozwiąż równanie:

y) cos2x − cos6x = sin3x + sin5x a) sin2x = cosx

z) cos5x − cosx = sin3x

b) sinx + sin2x = 0

ź) cos2x + cos6x = sin3x − sin5x c) tg3x = 3tgx

ż) cos3x + sin3x = cosx + sinx

d) 4sinxcos2x = sinx

Wskazówka do punktu d) Skorzystaj ze wzoru: e) sinxcosx − sinx = cosx − 1

cosx = sin π2 − x .

f ) 2sin2x + 2sinx = 2cosx + 1

Zadanie 13

g) 2sinxcos2x + sinx = 3sinxcosx Rozwiąż równanie:

h) 2sin2xcosx − sinxcosx = cosx

a) sinx + cosx = 1

i) sin2x = 1

b) 3cosx + 4sinx = 5

√

j) cos3x = − 1

c)

3cosx + sinx = 7

2

4

√

√

k) tg x =

2

−1

d)

3cosx + sinx − 2 = 0

l) ctg x = 0

3

e) 3sinx − 5cosx = 0

m) sin(2x − 1) = 1

f ) sinx + cosx + 2sinxcosx = 1

n) cos 2x + π =

3

− 12

g) sinx + cosx = cos2x

1−sin2x

o) 1 sin 2x

=

h) 2cosx = 1 + sinx

3

− π5

− 16

p) cosx = 0

Zadanie 14

1+tgx

r) sinx = 0

Wyznacz rozwiązanie zawarte w przedziale h0; 2πi 1−cosx

s)

tgx

= 0

każdej z podanych niżej nierówności:

tgx+ctgx

a) sin2x < 1

t) 5tg 1 x

=

4

− π5

−5

b) cos2x < 1

u) 2cos x + π =

6

5

−1

c) tg2x > 1

w) tg(x2) = 0

d) ctg2x > 3

v) cos(x2) = 12

e) |sinx| > |cosx|

x) sin3x + cos3x = cosx

f ) ctgx < 2 − sinx

y) tgx + tg2x = tg3x

1+cosx

g) sinx+cosx > 0

z) sinx − cos2x + sin3x = 1

cos2x

h) sin3xcosx

Zadanie 12

− cos3xsinx 6 14

i) cos4x + 2cos2x > 1

Rozwiąż równanie:

j) 1 < 2 + sinx

a)

− cosx < 7

ctgx + sinx = 2

2

2

1+cosx

k) cosxctg2x 6 0

b) sinx + cosx =

1

sinx

l) sin3x − 4sin2x − sinx + 4 6 0

c) cos2x + sinxcosx = 0

m) cos2x + cos3x + cos4x + ...+ < 1 + cosx d) sin3x = cos2x

Zadanie 15

e) sin4x = 2cosxcos2x

Podaj rozwiązania nierówności należące do prze-f ) 1 + sin2x = cos2x

działu h0, 2πi.

g) tg3x = tgx

a) tg2x >

h)

−1

tg2x − 2tgx + 1 = 0

√

i) tg3x + tg2x − 3tgx = 3

b)

3tg2x 6 1

j) sin2x + 3sinx + 2 = 0

c) tg x > 1

2

d) tg2x − 1 > 0

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha

Zadania na plusy

√

e) ctg4x >

3

d) tgα − ctgα = (tgα − 1)(ctgα + 1) f ) |ctg2x| > 1

e) ctgα + sinα =

1

1+cosα

sinα

Zadanie 16

f ) (1 + sinα)

1

− tgα = cosα

Podaj rozwiązania nierówności należące do prze-cosα

działu h0, 2πi.

g) tgα(1+ctg2α) = ctgα

1+tg2α

a) sin x − π < 1

6

2

Zadanie 23

b) 2sin x + π > 1

3

√

Sprawdź następujące tożsamości:

c) 2cos π

3

3 − x 6 −

a) sinα + 1+cosα =

2

1+cosα

sinα

sinα

Zadanie 17

Korzystając z zależności między funkcjami trygono-b) tgα+tgβ = tgαtgβ

ctgα+ctgβ

metrycznymi kąta α i kąta 90◦ − α, oblicz: c)

1

+ 1 (sinα + cosα) = 2 +

1

sinα

cosα

sinαcosα

a) sin40◦ − cos50◦

d)

1

− 1 (sinα + cosα) = ctgα − tgα

sinα

cosα

b) sin29◦

cos61◦

e) 1 − 2sin2α = 1−tg2α

c) (sin20◦ + cos20◦)(sin20◦ − cos20◦) + 2sin270◦

1+tg2 α

Zadanie 24

d) sin255◦ + sin235◦

Sprawdź prawdziwość następujących równości: e) tg44◦tg45◦tg46◦

a) sinα = 1+cosα

Zadanie 18

1−cosα

sinα

Oblicz bez użycia tablic:

b)

1

= sinα · cosα

tgα+ctgα

a) sin262◦ + sin228◦

c) 1 + tg2α =

1

cos2α

b) tg44◦tg45◦tg46◦

d)

sinα

=

1

c) (sin35◦ + cos35◦)(sin35◦ − cos35◦) + 2sin255◦

1−cos2α

sinα

Zadanie 19

e) sin2α−cos2α = tgα − ctgα

sinαcosα

Oblicz bez użycia tablic wartość wyrażeń: f ) 1−cosα = sinα

sinα

1+cosα

a) sin2120◦·cos(−180◦)

tg(−135◦)ctg405◦

g) (1 + tgα)2 + (1 − tgα)2 =

2

cos2α

b) 9sin2150◦−4cos240◦+12sin600◦

3sin(−45◦)−2cos(−420◦)

c) tg10◦tg20◦tg30◦tg40◦tg50◦tg60◦tg70◦tg80◦

Zadanie 20

Oblicz wartość liczbową wyrażeń:

a) 5sin30◦ + 4cos60◦ + tg45◦

b) 3sin60◦ − 5cos45◦ + 2tg30◦

c) sin230◦ + cos260◦ + ctg245◦

d)

3sin60◦

sin245◦+cos245◦

e) ctg260◦+cos230◦

3−2ctg45◦

f )

2−tg260◦

sin30◦cos60◦

Zadanie 21

Sprawdź następujące tożsamości:

a) (tg2α − sin2α) · ctg2α = sin2α

b) (sinα + cosα)2 + (sinα − cosα)2 = 2

c) (1 + cosα)(1 − cosα) = sin2α

d) cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α

e)

1

− cosα = sinα · tgα

cosα

f ) cos4α − sin4α = cos2α − sin2α

Zadanie 22

Sprawdź następujące tożsamości:

a) 1 + ctgα = sinα+cosα

sinα

b) cos4α + sin4α = 1 − 2sin2αcos2α

c) (tgα + ctgα)2 =

1

sin2αcos2α