Interpolacja polega na poszukiwaniu funkcji pomiędzy znanymi punktami (podobnie jak aproksymacja). W odróżnieniu jednak od aproksymacji funkcja ta przechodzi przez te punkty. Jeżeli poszukiwana jest funkcja poza zakresem zadanych punktów mamy do czynienia z ekstrapolacją.
Wybrane metody interpolacji:
- interpolacja wielomianem: P
x
1
= c x −1
2
−
1
+ c x −
2
+
+ c x
− 1 + c
n
( )
n
n
n
n
- interpolacja wielomianem Lagrange’a:
n
x − x
P
x
y L x
y L x
y L x , gdzie L x
n 1
= 1 1 + 2 2 +
+ n n
j
=
k
− ( )
( )
( )
( )
( ) ∏,1 x x
k = k ≠ j
j −
k
- interpolacja wielomianem Newtona:
P
x
− 1
= c 1 + c x
2
− x 1 + c x
3
− x c
1
− x 2 + + c x − x x
1
− x ⋯ x
2
− x
n
( )
(
)
(
)(
)
n (
)(
) (
n )
- interpolacja wielomianami sklejanymi
W interpolacji wielomianami sklejanymi zamiast stosowania jednego wielomianu dla wszystkich danych punktów stosowane jest wiele wielomianów niskiego poziomu dl Pi ( x) a danego przedziału
danych: P
x
x x
i ≤
≤ i+1 unkty łączenia wielomianów nazywamy węzłami. We węzłach sprawdzane są warunki ciągłości (np. ciągłość pochodnych).
- interpolacja kawałkami sześcienna – Hermite’a: P x = a + b x − x + c x − x
+ d x − x
i (
) i i(
i )
i (
i ) 2
i (
i ) 3
gdzie: s
a , b , c , d
i
i
i
i
ą poszukiwanymi współczynnikami, dla których są spełnione we węzłach następujące warunki:
*ciągłości: P x
− 1
= P x
i
( i) i( i)
*znane są wartości pierwszej pochodnej i jej ciągłość:
- interpolacja kawałkami sześcienna – splajny
Metoda ta w odróżnieniu od interpolacji Hermite’a nie wymaga znajomości pochodnych we wszystkich punktach węzłowych, muszą być jednak
1) ciągłość drugiej pochodnej: P ′ x
− 1
= P ′ x
i
( i) i ( i)
2) pierwsze pochodne (nachylenia krzywej) muszą być znane na końcach przedziału P′1 ( x 1), P′ x n ( n )
- ustalone nachylenie: P′ x = st P′ x = st
1 (
)
,
1
1
n ( n )
,
2
- naturalne nachylenie: P ′ x = P ′ x n
n =
1 (
)
( ) ,0
1
- nachylenie nieznane: P ′ x = P ′ x i P ′ x = P ′ x 1 ( 2 )
2 ( 2 )
1 ( 2 )
2 ( 2 )