Rozważmy ciało w kształcie małej kulki o masie m, które potraktujemy jako punkt materialny poruszający się w kierunku osi y w polu ciężkości pod wpływem sił f i siły ciężkości mg, jak pokazano na rysunku.

Rys. Masa punktowa w ruchu w polu ciężkości z siłą oporu f.

Mamy tu:

y

m 

  f  mg

(1)

Zauważmy, że lewą stronę równania można zapisać: d

  1

2 



y

m 

 

 y

m 

d

d

K





y

m  

(2)

dt

dt  y  2



dt

y



1

gdzie

2

K 

y

m jest energią kinetyczną.

2

Natomiast siłę grawitacji możemy wyrazić w funkcji energii potencjalnej P , jako:





mg 





P

mgy 

(3)

y



y



P  mgy - jest energią potencjalną grawitacji.

Zdefiniujmy teraz funkcję będącą różnicą energii kinetycznej i potencjalnej: 1

L  K  P 

y

m 2

  mgy

(4)

2

L



K



L



P



i zauważmy, że:



i

 

 y

y



y



y



wobec tego (1) możemy zapisać w postaci:

d

L



L





 f

(5)

dt y



 y

Funkcję L będziemy nazywali lagrangianem (lagranżjanem) układu a równanie (5) równaniem Lagrange’a.

Równania Lagrange’a

Rozważmy teraz k punktów w przestrzeni 3D, których położenie jest określone wektorami położenia r ,.... r

. . Jeśli punkty te mogą poruszać się bez ograniczeń, to sformułowanie ich równań ruchu można 1

k

wykonać korzystając z równań zmiany pędów pod wpływem sił zewnętrznych. Założymy jednak, że na punkty te nałożono więzy, które stanowią ograniczenia ich ruchu względnego, co wymaga uwzględnienia w równaniach sił reakcji tych więzów.

Przykładem więzów może być połączenie dwóch wybranych punktów rozpatrywanego zbioru sztywnym i nieważkim prętem, wtedy musi być spełniona zależność: T

r  r

 l ,

r  r

r  r



,

1

2   1

2 

2

l

1

2

W tym wypadku oprócz sił zewnętrznych na każdy z punktów z dodatkowymi więzami działa siła tych więzów. Dla celów analizy dynamicznej układu możliwe są dwa różne podejścia; w metodzie pierwszej trzeba wyznaczyć siły więzów i uwzględnić je w analizie wraz z siłami zewnętrznymi, korzystniejsza jest jednak taka metoda analizy układu w której nie będzie potrzebna znajomość wartości sił więzów.

Więzy nałożone na współrzędne r ,.... r

. mogą spełniać dodatkowe zależności, np. postaci: 1

k

g r

r

dla i= 1,..., l

i 

,.....,

1

k   0,

i wtedy nazywamy je holonomicznymi (całkowalnymi), natomiast w innym wypadku będą nosić nazwę nieholonomicznych.

Typowym przykładem więzów nieholonomicznych są więzy jednostronne określone dla punktu materialnego w postaci: r   , gdzie  jest stałym promieniem powierzchni kulistej o środku w początku układu. Działanie więzów istnieje zawsze wtedy, gdy punkt znajduje się wewnątrz sfery kulistej lub na jej powierzchni, natomiast siły oddziaływania więzów pojawią się tylko wtedy, gdy punkt jest w kontakcie ze ścianką sfery.

Jeżeli na układ nałożymy l więzów holonomicznych, to ograniczymy jego liczbę stopni swobody o l.

Wobec tego współrzędne k -punktów można wyrazić przez n współrzędnych uogólnionych q ,....., q 1

n

r  r q ,....., q

,

i  ,

1 .. k

.

i

i  1

n 

gdzie współrzędne q ,....., q są niezależne 1

n

Rozważmy teraz zbiór nieskończenie małych przesunięć zgodnych z więzami r ,....., r

 , które

1

k

nazwiemy przesunięciami przygotowanymi albo wirtualnymi. Działając tymi przesunięciami na bieżące wartości więzów np. r  r

 , r  r

 układ nadal spełnia równania więzów, co zapiszemy 1

1

2

2

r  r



 r  r

r  r  r  r





1

1



T

l

2

2   1

1

 2



2

2

Wykonując działania i odrzucając człony kwadratowe z r , r

 dostaniemy

1

2

T

r  r

r  r





1

2  

1

 0

2

Ogólnie układ przesunięć przygotowanych można wyrazić wzorem n

r

r 

i

q



,

i  ,

1 .. k

.

i



j

q

1 

j 

j

W równowadze dynamicznej przaca wykonana przez układ przesunięć przygotowanych jest równa zeru, czyli

n

T

F

r



 0



i

i

j 1



 a

gdzie F jest siłą całkowitą działającą na punkt i-ty tj. sumą siły zewnętrznej f i siły więzów f

.

i

i

i

Załóżmy, że praca całkowita sił więzów odpowiadająca dowolnemu układowi przesunięć przygotowanych jest równa zeru, tzn.

k

 a T

f

r



i



 0

i

i 1



Z ostatnich dwóch wzorów otrzymamy:

k

f T r



 0



i

i

i 1



co wyraża zasadę prac przygotowanych

Należy tu zaznaczyć, że siły f indywidualnie nie są równe zeru.

i

Rozważmy teraz układ w stanie ruchu, w którym na każdy i-ty punkt materialny działa siła d’Alemberta p



i

zapewniając w ten sposób równowagę. Wtedy zastępując siłę F siłą F  p

 otrzymamy równanie:

i

i

i

k

k

T

f

r

 

T

p

r



 0



,

i

i

 i i

i 1



i 1



gdzie dowolny r nie zawsze jest równy zeru.

i

Wobec tego praca przygotowana sił f określona jest zależnością: i

k

k

n



n

r

 T

f r 

f

i

i

 T i q







q



i

j



1

1

1

q

i

i

j



j

j







j

j 1

k

r

gdzie 



T

i

f

 0 - jest siłą uogólnioną, która nie musi mieć wymiaru siły jak i q nie musi być j

 i q

i

i



1

j

długością, jednak 

q



musi mieć wymiar pracy.

j

j

Ponieważ p

  m r , więc

i

i i

k

k

k

n

r

T

T

T

i

p r 

m r

 r 

m r



q





i

i

 i i i  i i

j

1

1

1

1

q



i

i

i

j

j

Różniczkując dostaniemy

k

r

r

r

T 

k



 d 

d

d

i

T 







i

T





 m r



m r

m

i

r

i i

  i i

  i i





1

q

1

dt

q

dt

q

i

 j

i







 



j 





j 





n

r

v

r

ale v  

r 

i q ,

czyli

i 

i

i

i



j

q

 

q



1 



q

j

j

j

j

Wobec tego

n

d 



r

2r

v



i  

i

q 



i

l

dt

q



1  q

q



q





j





l

j

l

j



i dalej

k



k

r



 d 

v

d

dv

i

T 







i

T





 m rT







m v

m v

i i

  i i

  i i



i 



1

q

1

dt

q

dt

q

i

 j

i







 



j 





j 





Z definicji energia kinetyczna

k

1

K   m vTv

i

i

i

2

i 1

Stąd

k



d

K



K



T

i

m 

r

r







i i



1

q



dt q



q



i

j

j

j

oraz

k

n  d K



K







T

p r 





 q





i

i



j



1

1







  dt

q

q

i

j

j

j 





w końcu

n  d  K

 K









 

q



j 

 0

j

dt q

q

j 





1 

j

j







Wobec tego pamiętając, że przesunięcia przygotowane są niezależne, więc wszystkie współczynniki w ostatnim równaniu muszą być równe zeru a więc: d

K



K





  ,

j  ,

1 .. n

.

j

dt q

 

q



j

j

Ponadto, jeśli siła uogólniona  jest sumą zewnętrznej siły uogólnionej i siły w polu potencjalnym to j

zakładając, że istnieją  i V  q spełniające zależność j

 V

  

 

j

j

q

 j

Otrzymamy

d

L



L





 

j

dt q

 

q



j

j

gdzie V jest energią potencjalną pola a L  K  V jest lagrangianem.